INLÄMNINGSUPPGIFT 1
MATEMATIK 2, 6H3011
( DIFFERENTIAL EKVATIONER)
[email protected]
www.syd.kth.se/armin
tel 08 790 4810
Inlämningsuppgift 1 består av två uppgifter. Max två studenter kan jobba tillsammans
och lämna in en inlämningsuppgift..
Du väljer två av nedanstående uppgifter enligt följande :
A-G
Om ditt efternamn börjar med en av bokstäverna A-G då gör
du uppgifterna 1 och 2 ( som finns nedan på sidan 2).
H-N Om ditt efternamn börjar med en av bokstäverna H-N då gör du
uppgifterna 3 och 4 ( som finns nedan på sidan 3).
O-U Om ditt efternamn börjar med en av bokstäverna O-U då gör du
uppgifterna 5 och 6 ( som finns nedan på sidan 4).
V-Ö Om ditt efternamn börjar med en av bokstäverna V-Ö då gör
du uppgifterna 7 och 8 ( som finns nedan på sidan 5).
Låt a, b, c och d beteckna de sista fyra siffrorna i ditt personnummer.
T ex, om du har pn. 751106 2348 så är a=2 , b=3, c=4 och d=8 som du
substituerar i dina uppgifter och därefter löser dem.
Använd Maple (eller Mathematica) för att lösa dina uppgifter.
Uppgift 1 A-G
En kondensator med kapacitansen
C=(5+d)F kopplas i serie med en resistor med
resistansen R= 4 till en spänning
E=24 V ,
a) Ställ upp en differential ekvation för
strömmen i(t)
b) Lös ekvationen m a p i(t) dvs beräkna
strömmen i(t) ( använd Maple) då i(0)=3 A
c) Plotta lösningen
d) Bestäm stationär tillstånd dvs lim i (t )
t
Uppgift 2) A-G
I nedanstående elektrisk krets betecknas:
induktansen med L1, L2
resistansen med R1,R2,R3
strömmen med i1 (t ) , i2 (t ) , i3 (t )
och spänningen med u(t)
a) Ställ upp ett system med diff: ekvationer för
strömmarna i1 (t ) samt i2 (t ) och i3 (t ) då
, L1=(3+c)H , L2=(4+a) H , R1=2 , R2 =4 , R3=5 , R4=6 ,
ik (0) 0 och
u(t) = 3sintV
b) Använd Maple för att lösa systemet m a p i1 (t ) , i2 (t ) , i3 (t ) .
c) Plotta lösningen .
Uppgift 3) H-N
Bestäm strömmen i(t) i nedanstående LR krets om
L=(3+b) H , R = (4+c) och
u (t ) 2 cos(( 4 b)t ) V då i(0)=(0) A
a) Ställ upp en differential ekvation för strömmen i(t)
b) Lös ekvationen m a p i(t) dvs beräkna strömmen i(t)
c) Plotta lösningen
Uppgift 4) H-N
I tankar A och B finns (120 +2a) liter respektive (200+10c+d) liter saltvatten som
innehåller, 30g, respektive 50 g salt. Tanken A tillförs 8 liter vatten per minut som
innehåller 15 gram salt per liter. Vatten blandas ordentlig och 12 liter förs till B och
därefter 4 liter från B förs till A och 8 liter rinner ut, enligt bilden nedan. Låt x(t) ,y(t)
beteckna saltmängden (i gram) i A, B vid tidsmoment t
i) Ställ upp ett ekvationssystem för x(t) och y(t)
och lös systemet med Maple
lim
x
(
t
)
lim
y (t )
ii)Bestäm stationärtillstånd d v s
och
t
t
5) O-U
Ett mekaniskt system med en fjäder och en dämpare
kan beskrivas med följande ekvationen
my ay ky F
Bestäm y(t) då a) m=1, a= 2, k= 2, F=5
b) m=1, a= 2, k= 2, F=sin5t
c) m=1, a= 0, k= 4, F e 3t
då y(0)=2, y (0) 0
Plotta lösningarna.
Uppgift 6) O-U
I nedanstående elektrisk krets betecknas:
induktansen med L1, L2
resistansen med R1,R2,R3
strömmen med i1 (t ) , i2 (t ) , i3 (t )
och spänningen med u(t)
a) Ställ upp ett system med diff: ekvationer för
strömmarna i1 (t ) samt i2 (t ) och i3 (t ) då
, L1=(10+b)H , L2=(5+c+d) H , R1=5 , R2 =3 , R3=4 ,
ik (0) 0 och
u(t) =4sin(12t) V
b) Använd Maple för att lösa systemet m a p i1 (t ) , i2 (t ) , i3 (t ) .
c) Plotta lösningen .
Uppgift 7) V-Ö
I en tank finns (250 +a+b) liter saltvatten som innehåller 50g salt. Tanken A tillförs
8 liter vatten per minut som innehåller (5+c) gram salt per liter. Vatten blandas
ordentlig och 8 liter rinner ut, enligt bilden nedan. Låt y(t) beteckna saltmängden (i
gram) i tanken vid tidsmoment t
i) Ställ upp en ekvation för y(t) och lös ekvationen (använd Maple för att lösa
ekvationen)
ii)Bestäm stationärtillstånd d v s lim y (t )
t
Uppgift 8) V-Ö
Bestäm strömmen i(t) i nedanstående LCR-krets då
u(t) =(10+a)cos(8t) V , L=(1+a+c) H , R1=(3+b) , R1=(d+1) ,
i(0)=1 A, i (0) 1
a) Ställ upp en differential ekvation för strömmen i(t)
b) Lös ekvationen m a p i(t) dvs beräkna strömmen i(t) (använd Maple)
c) Plotta lösningen
C=4F ,
