“Från Pythagoras till Wiles” Sommaren 2008
Problemlapp 3. Problem om primtal.
1. Visa att varje tal större än elva är en summa av två sammansatta tal.
2. Visa att om p är ett primtal så gäller 24 | p2 − 1.
3. Visa att för varje primtal p > 3 gäller att p har formen 6n ± 1.
4. För vilka primtal p gäller att även p2 + 2 är primtal?
5. Låt p vara ett primtal större än tre sådant att även p + 2 är ett primtal. (De säges då vara
primtalstvillingar. Man vet ej om det finns oändligt många sådana.) Visa att summan 2p + 2
är delbar med 12. Visa också att det bara finns en uppsättning primtalstrillingar!
6. Visa att om n > 1 och n delar talet (n − 1)! + 1 så måste n vara ett primtal. (Att den omvända
utsagan gäller är innehållet i Wilsons sats.)
7. Visa att för varje primtal p > 3 gäller att talet 2p2 + 1 är delbart med 3. (Resultatet på ett
av problemen ovan kan vara till hjälp).
8. Visa genom att betrakta talen n! + 2, n! + 3, ...n! + n, att det finns godtyckligt långa avsnitt
av talaxeln utan primtal.
9. Visa först att ett tal på formen 4n + 3 måste ha en primfaktor på samma form. Försök sedan
modifiera Euklides’ bevis för att det finns oändligt många primtal till ett bevis för att det finns
oändligt många primtal på formen 4n + 3.
n
10. Euklides bevis kan också användas för att visa att den n:te primtalet pn uppfyller pn < 22 .
Hur går det till?
11. Visa att om talet an − 1 är ett primtal så måste a = 2 och n vara ett primtal. (Primtal på
denna form kallas Mersenne’ska primtal och av tradition har de flesta stora primtalen haft
denna form. Så t.ex. det hittills största 232.582.657 − 1 (upptäckt den 6 september 2006). Man
vet ej om det finns oändligt många primtal på denna form.)
n
12. Visa att om 2n + 1 är ett primtal så måste n vara en potens av 2. (Tal på formen 22 + 1
kallas Fermat-tal (betecknas Fn ) efter Pierre Fermat, som kan sägas ha återupplivat talteorin i
modern tid. Han uppställde år 1640 hypotesen att de alla var primtal, men 1732 visade Euler
att F5 är delbart med 641. Övning!)
...................................
Gunnar
