3. Skaläprodukt - ITN

34
3.
3 SKALÄPRODUKT
Skaläprodukt
Definition 3.1. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras
u · v = |u||v| cos θ,
där θ är vinkeln mellan u och v.
Anmärkning 3.2. Andra beteckningar för skalärprodukt som kan förekomma är (u, v)
respektive (u|v).
Exempel 3.3. Låt {e1 , e2 } vara en ON-bas i planet. Beräkna skalärprodukten mellan vektorerna u = e1 och v = e1 + e2 .
Lösning:
Figur 3.4.
e
v=e +e
1
2
2
θ
u = e1
35
Sats 3.5. Låt e = {e1 , e2 , e3 } vara en ON-bas i rummet. Då gäller att
1, om i = j,
ei · ej =
0, om i 6= j.
Bevis:




x1
x2
Sats 3.6. Om u = e  y1  och v = e  y2  är givna i en ON-bas e = {e1 , e2 , e3 },
z1
z2
så gäller att
u · v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 .
Bevis:
36
3 SKALÄPRODUKT
Exempel 3.7. Ange om vinkeln mellan vektorerna u och v, givna i en ON-bas, är spetsig,
rät eller trubbig då
 


3
2
1. u =  2  och v =  1 
4
−2
2
0
2. u =
och v =
2
1




−1
−5
3. u =  −3  och v =  1 
4
−1
Lösning: Låt θ vara vinkeln mellan u och v.
1. Eftersom u · v = 0, så följer att cos θ =
u·v
π
= 0, dvs θ = .
|u||v|
2
√
1
2. Vi har att u · v = 2, |u| = 2 2, |v| = 1, som ger cos θ = √ > 0, dvs θ är spetsig.
2
√
√
2
3. Det gäller att u·v = −2, |u| = 14, |v| = 27, och därmed är cos θ = − √ √ < 0,
14 27
dvs θ är trubbig.
37
Definition 3.8. Antag att vektorerna u och v är givna i en ON-bas. Vi säger att u
och v är ortogonala om deras skalärprodukt är 0, dvs
u · v = 0.


 
 
1
0
0
Exempel 3.9. Vektorerna v 1 =  0 , v2 =  1  och v 3 =  0  är parvis ortogo0
0
1
nala.
Exempel
3.10. Bestäm
vektorer som är vinkelräta, dvs ortogonala mot vektorerna
 
 alla 
1
1
v 1 =  1  och v 2 =  −1 . (ON-bas).
1
0


x
Lösning: Vi söker alla vektorer u =  y , så att
z
u · v1 = 0
x+y+z = 0
dvs
u · v2 = 0
x − y = 0.


1
Sätter vi y = t, får vi att x = t och z = −x − y = −2t. Alltså är u = t  1 , t ∈ R.
−2
Eftersom v 1 och v 2 är ej parallella så spänner dem upp ett plan Π. Vektorn u är då vinkelrät
mot detta plan. En sådan vektor kallar vi för normal till planet Π. Vi återkommer till detta
senare i kapitlet om linjer och plan. u
v2
v1
38
3 SKALÄPRODUKT
Exempel 3.11. Låt u och n vara två vektorer givna i en ON-bas. Visa att u kan skrivas
som en ortogonalprojektion på n, dvs
u = ukn + u⊥n ,
där
ukn =
är parallell med n och
u·n
·n
|n|2
u⊥ n = u −
är ortogonal mot n.
(3.2)
u·n
·n
|n|2
Lösning:
 

1
1
Exempel 3.12. Bestäm ortogonalprojektionen av u =  0  på n =  2 . Vi förutsätter
3
1
ON bas.

Lösning:
39
4.
Vektorprodukt
Definition 4.1. Låt u, v och w vara tre vektorer i rummet. Den ordnade trippeln
(u, v, w) kallas ett högerorienterat system och säges vara positivt orienterat om
den minsta vridning, som överför u i v sker moturs sett från w: spets.
Figur 4.2.
Minnes regel: Tumme, pekfinger och långfinger på högerhand bildar ett högersystem.
Definition 4.3. Vektorprodukt (eller kryssprodukt) mellan u och v är den vektor
u × v som entydigt bestäms av:
1. u × v är ortogonal mot både u och v.
2. (u, v, u × v) bildar ett högersystem.
3. |u × v| = |u| |v| sin θ, där θ är vinkeln mellan u och v.
Om u och v är parallella sätter vi u × v = 0.
Sats 4.4. Räknelagar för vektorprodukt:
1. u × v = −v × u.
2. u × (v + w) = u × v + u × w.
3. (λu) × v = λ(u × v), där λ är reellt.
40
4.1.
4
VEKTORPRODUKT
Vektorprodukt i koordinater
Sats 4.5. Låt {e1 , e2 , e3 } vara en ON-bas i ett positivt orienterat högersystem. Då
gäller att
1. e1 × e2 = e3
2. e2 × e3 = e1
3. e3 × e1 = e2
4. e1 × e1 = e2 × e2 = e3 × e3 = 0.




x2
x1
Exempel 4.6. Låt u =  y1  och v =  y2  vara givna i en ON-bas. Bestäm vektorz1
z2
produkten u × v.
Lösning: Eftersom u = x1 e1 + y1 e2 + z1 e3 och v = x2 e1 + y2 e2 + z2 e3 , så gäller att
u × v = (x1 e1 + y1 e2 + z1 e3 ) × (x2 e1 + y2 e2 + z2 e3 )
= x1 x2 (e1 × e1 ) + x1 y2 (e1 × e2 ) + x1 z2 (e1 × e3 )
+y1 x2 (e2 × e1 ) + y1 y2 (e2 × e2 ) + y1 z2 (e2 × e3 )
+z1 x2 (e3 × e1 ) + z1 y2 (e3 × e2 ) + z1 z2 (e3 × e3 )
Enligt Sats 4.5 försvinner första, femte och nionde termen ovan, så att
u×v = x1 y2 (e1 ×e2 )+x1 z2 (e1 ×e3 )+y1 x2 (e2 ×e1 )+y1 z2 (e2 ×e3 )+z1 x2 (e3 ×e1 )+z1 y2 (e3 ×e2 ).
Utnyttjar vi Sats 4.5 tillsammans med räknelagarna i Sats 4.4 får vi att
u × v = x1 y2 e3 − x1 z2 e2 − y1 x2 e3 + y1 z2 e1 + z1 x2 e2 − z1 y2 e1 .
Om vi samlar de termer som hör ihop fås
u × v = (y1 z2 − z1 y2 )e1 + (z1 x2 − x1 z2 )e2 + (x1 y2 − y1 x2 )e3 .
(4.2)
Vi ser enligt (4.2) att uttrycket som ger kryssprodukten mellan två vektorer är ganska komplicerat. Att dessutom försöka komma ihåg det är inte det lättaste. Därför är det lämpligt
att ta fram ett schema som gör det enklare för oss att beräkna en vektorprodukt. Ett sätt
är att använda sig av följande beteckning:
a b (korsmultiplikation!).
c d = ad − bc
Med denna beteckning kan paranteserna
y1 z1 x1 z1
= y1 z2 − z1 y2 ,
y2 z2 x2 z2
i (4.2) skrivas:
= x1 z2 − z1 x2 ,
x1 y1 x2 y2 = x1 y2 − y1 x2 .
4.1
41
Vektorprodukt i koordinater
Därmed kan vektorprudukten i (4.2) beräknas enligt:
y1 z1 x1 z1 x1 y1 e .
u×v =
e −
e +
y2 z2 1 x2 z2 2 x2 y2 3
(4.3)
Slutligen behöver vi veta vilka element skall stå i respektive schema. Detta löser vi genom att
skriva om vektorprodukten (4.3) med hjälp av ett utvidgat schema där även basvektorerna
återfinns, dvs
e1 e2 e3 u × v = x1 y1 z1 .
(4.4)
x2 y2 z2 

 
1
1
Exempel 4.7. Beräkna u × v om u =  1  och v =  2 . (ON-bas).
1
3
Lösning:
Exempel
4.8. (Tillbaka
3.10) Bestäm alla vektorer som är ortogonala mot
 
 till Exempel

1
1
v 1 =  1  och v 2 =  −1 .
1
0
Lösning:
42
4
VEKTORPRODUKT
Exempel
4.9. Bestäm en positiv orienterad ON-bas {f 1 , f 2 , f 3 }, sådan att f 1 är parallell
 
1
med  2 . (ON-bas).
2
Lösning:
4.1
43
Vektorprodukt i koordinater






x1
x2
x3
Exempel 4.10. Låt u =  y1 , v =  y2  och w =  y3  vara givna i en ON-bas.
z1
z2
z3
Beräkna skalärprodukten u · (v × w).
Lösning: Enligt Exempel 4.2, så följer att
e1 e2 e3 y z
v × w = x2 y2 z2 = 2 2
y3 z3
x3 y3 z3 Skalärprodukten ges därmed av
e1 − x2 z2 e2 + x2 y2 e3 .
x3 z3 x3 y3 y2 z2 x2 z2 x2 y2 e
u · (v × w) = (x1 e1 + y1 e2 + z1 e3 ) · e −
e +
y3 z3 1 x3 z3 2 x3 y3 3
y2 z2 x2 z2 x2 y2 x − y +
z
= y3 z3 1 x3 z3 1 x3 y3 1
x1 y1 z1 = x2 y2 z2 .
(4.5)
x3 y3 z3 Schemat i (4.5) är vad vi kallar för determinanten för tillhörande matris


x1 y1 z1
 x2 y2 z2  .
x3 y3 z3
Determinantbegreppet kommer vi att studera mera senare.
1 2 3
Exempel 4.11. Bereäkna determinanten 4 5 6
7 8 9
Lösning:
.
44
4
VEKTORPRODUKT
Definition 4.12. (Area av en parallellogram) Arean A av den parallellogram som
spänns upp av vektorerna u och v är
A = |u||v| sin θ,
dvs
A = |u × v|.
Exempel 4.13. Beräkna arean av den triangel som i ett ortonormerat koordinatsystem har
hörnen i P = (1, 0, 1), Q = (1, 2, 1) och R = (3, 2, 1).
−→
−→
Lösning: Låt O vara origo i detta koordinatsystem. Då ges ortsvektorerna OP , OQ och
−→
OR av


1
OP =  0  ,
1
−→
Låt


1
OQ=  2 
1
−→
och

3
OR=  2  .
1
−→

    
1
1
0
P Q=OQ − OP =  2  −  0  =  2 
1
1
0
−→
och
−→

−→
    
3
1
2





P R=OR − OP =
2
−
0
=
2 .
1
1
0
−→
−→
−→

−→
−→
−→
−→
Kantvektorerna P Q och P R spänner upp en parallellogram vars area är | P Q × P R |.
−→
1 −→
Triangelns area blir då | P Q × P R |. Nu är
2


e1 e2 e3 0
−→
−→
2 0 0 0 0 2 − e2  0 .
P Q × P R= 0 2 0 = e1 2 0 + e3 2 2 = −4e3 = e
2 0 2 2 0 −4
Triangelns area är alltså
−→
1 −→
1p 2
| PQ × PR | =
0 + 02 + (−4)2 = 2 a.e.
2
2
R
v = PR
h = |v|sinθ
θ
P
u = PQ
Q
4.1
45
Vektorprodukt i koordinater
Definition 4.14. (Volymen av en parallellepiped) Volymen V av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna u, v och w är
V = |(u × v) · w|.


 
 
1
1
0
Exempel 4.15. Låt v 1 =  1 , v 2 =  2  och v 3 =  1  vara tre vektorer i
1
1
1
rummet, (ON-bas).
1. Bestäm arean av den parallellogram som spänns upp av v 1 och v 2 .
2. Beräkna volymen av den parallellepiped som spänns upp av v 1 , v 2 och v3 .
Lösning: Vi har att


e1 e2 e3 −1
v 1 × v 2 = 1 1 1 = −e1 + e3 = e  0  .
1 2 1 1
p
√
Parallellogramens area blir då (−1)2 + 0 + 12 = 2 a.e.
Vidare gäller att

  
−1
0



(v 1 × v 2 ) · v 3 =
0
·
1  = 1.
1
1
Volymen är då |(v 1 × v 2 ) · v 3 | = 1 v.e.
u×v
h = |w| cosθ
V = A ⋅ h = |u × v| |w| cosθ = |(u × v) ⋅ w|
w
h
θ
v
A = |u × v|
u
46
4
VEKTORPRODUKT
Låt u, v och w vara tre vektorer i rummet. Enligt Definition 4.14 så ges volymen av den
parallellepiped som spänns upp av dessa av
V = |u × v| |w| cos θ = |(u × v) · w|.
Detta i sin tur motiverar följande definition
Definition 4.16. Volymprodukten V (u, v, w) av tre vektorer u, v och w i rummet
ges av
V (u, v, w) = (u × v) · w.
Anmärkning 4.17. Nedan har vi formulerat några egenskaper hos volymprodukten som
är en direkt följd av definitionen ovan.
1. Volymprodukten värde är lika med determinanten.
2. Om volymprodukten är lika med noll, så är vektorerna linjärt beroende, dvs ligger
i samma plan (på samma linje).
3. Om volymprodukten är skild från noll, så är vektorerna linjärt oberoende och bildar
därmed en bas i rummet.
4. Om volymprodukten är positiv, så bildar mängden {u, v, w} en höger orienterad bas
i rummet, dvs vektorerna u × v och w ligger på samma sida om planet genererat av
u och v.
Figur 4.18.
4.1
Vektorprodukt i koordinater
47
Exempel 4.19. Finns det något plan som innehåller punkterna (1, 0, 0), (0, 1, 1), (2, 0, 1)
och (1, 1, −2)? (ON-bas).
Lösning: