4.3. Tillämpningar

30
4.3.
4
VEKTORPRODUKT
Tillämpningar
Definition 4.12. (Area av en parallellogram) Arean A av den parallellogram som
spänns upp av vektorerna u och v är
A = |u||v| sin θ,
dvs
A = |u × v|.
Exempel 4.13. Beräkna arean av den triangel som i ett ortonormerat koordinatsystem har
hörnen i P = (1, 0, 1), Q = (1, 2, 1) och R = (3, 2, 1).
−→
−→
Lösning: Låt O vara origo i detta koordinatsystem. Då ges ortsvektorerna OP , OQ och
−→
OR av

1
OP =  0  ,
1
−→
Låt



1
OQ=  2 
1
−→
och

    
1
1
0
P Q=OQ − OP =  2  −  0  =  2 
1
1
0
−→
och
−→


3
OR=  2  .
1
−→
−→
    
3
1
2
P R=OR − OP =  2  −  0  =  2  .
1
1
0
−→
−→
−→

−→
−→
−→
−→
Kantvektorerna P Q och P R spänner upp en parallellogram vars area är | P Q × P R |.
−→
1 −→
Triangelns area blir då | P Q × P R |. Nu är
2
�
�


� e1 e2 e3 �
�
�
�
�
�
�
0
−→
−→
�
�
� 2 0 �
� 0 0 �
� 0 2 �
� − e2 �
�
�
�
 0 .
P Q × P R= �� 0 2 0 �� = e1 ��
� 2 0 � + e3 � 2 2 � = −4e3 = e
2 0 �
� 2 2 0 �
−4
Triangelns area är alltså
−→
1 −→
1� 2
| PQ × PR | =
0 + 02 + (−4)2 = 2 a.e.
2
2
Figur 4.14.
R
v = PR
h = |v|sin!
!
P
u = PQ
Q
�
31
4.3 Tillämpningar
Definition 4.15. (Volymen av en parallellepiped) Volymen V av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna u, v och w är
V = |(u × v) · w|.


 
 
1
1
0
Exempel 4.16. Låt u =  1 , v =  2  och w =  1  vara tre vektorer i rummet,
1
1
1
(ON-bas).
1. Bestäm arean av den parallellogram som spänns upp av u och v.
2. Beräkna volymen av den parallellepiped som spänns upp av u, v och w.
Lösning: Vi har att
�
�


� e1 e2 e3 �
−1
�
�
u × v = �� 1 1 1 �� = −e1 + e3 = e  0  .
� 1 2 1 �
1
�
√
Parallellogramens area blir då (−1)2 + 0 + 12 = 2 a.e.
Vidare gäller att

  
−1
0
(u × v) · w =  0  ·  1  = 1.
1
1
Volymen är då |(u × v) · w| = 1 v.e.
Figur 4.17.
u!v
h = |w| cos!
V = A " h = |u ! v| |w| cos! = |(u ! v) " w|
w
h
!
v
A = |u ! v|
u
�
32
4
VEKTORPRODUKT
Låt u, v och w vara tre vektorer i rummet. Enligt Definition 4.15 så ges volymen av den
parallellepiped som spänns upp av dessa av
V = |u × v| |w| cos θ = |(u × v) · w|.
Detta i sin tur motiverar följande definition
Definition 4.18. Volymprodukten V (u, v, w) av tre vektorer u, v och w i rummet
ges av
V (u, v, w) = (u × v) · w.
Anmärkning 4.19. Nedan har vi formulerat några egenskaper hos volymprodukten som
är en direkt följd av definitionen ovan.
1. Volymproduktens värde är lika med determinanten.
2. Om volymprodukten är lika med noll, så är vektorerna linjärt beroende, dvs ligger
i samma plan (på samma linje).
3. Om volymprodukten är skild från noll, så är vektorerna linjärt oberoende och bildar
därmed en bas i rummet.
4. Om volymprodukten är positiv, så bildar mängden {u, v, w} en höger orienterad bas
i rummet, dvs vektorerna u × v och w ligger på samma sida om planet genererat av
u och v.
Figur 4.20.
w
V(u,v,w) = (u ! v) " w # 0
V(u,v,w) = (u ! v) ! w = 0
w
v
v
u
u
u,v,w spänner upp ett plan
{u,v,w} spänner upp rummet
V(u,v,w) >0 ! {u,v,w} Höger orienterad bas
�
33
4.3 Tillämpningar
Exempel 4.21. Ange ekvationen för det plan som går igenom punkterna
P0 = (1, 0, 0), P1 = (0, 1, 1), och P2 = (2, 0, 1).
Vi förutsätter att vi har en ON-bas.
Lösning: Låt O vara origo i rummet. Vi utgår från punkten P0 och bildar riktningsvektorerna som spänner upp planet. Låt därför
    

0
1
−1
−→
−→
−→
u =P1 P0 =OP1 − OP0 =  1  −  0  =  1 
1
0
1
och
v
−→
−→
=P2 P0 =OP2
−
−→
OP0 =

    
2
1
1
 0  −  0  =  0 .
1
0
1
Eftersom normalen n är ortogonal mot planet; är den ortogonal mot u och v. Vi väljer
därför
�
�
� e1 e2 e3 �
�
�
n = u × v = �� −1 1 1 ��
� 1 0 1 �
�
�
�
�
�
�
� 1 1 �
� −1 1 �
� −1 1 �
�
�
�
�
�
� = e1 + 2e2 − e3 .
= e1 �
− e2 �
+ e3 �
0 1 �
1 1 �
1 0 �


1
Alltså är n =  2 . En kontroll visar att n ⊥ u och n ⊥ v.
−1
Planetsekvationen är då x + 2y − z = D. Sätter vi in t.ex. punkten P0 = (1, 0, 0) får vi
ekvationen x + 2y − z = 1.
Figur 4.22.
n=u!v
P
v
P0
2
u
P
1
�
34
4
VEKTORPRODUKT
Exempel 4.23. Finns det något plan som innehåller punkterna
P0 = (1, 0, 0), P1 = (0, 1, 1), P2 = (2, 0, 1) och P3 = (1, 1, −2)?
Vi förutsätter att vi har en ON-bas.
−→
−→
−→
Lösning: Vi bildar vektorerna u =P1 P0 , v =P2 P0 och w =P3 P0 . Enligt Anmärkning 4.19,
så ligger alla fyra punkterna i ett och samma plan om vektorerna u, v och w är linjärt
beroende. Därmed spänner de inte upp mer än ett plan och volymprodukten är då noll; se
figur 4.17. Om O är origo i rummet, så får vi
    

0
1
−1
−→
−→
−→
u =P1 P0 =OP1 − OP0 =  1  −  0  =  1  ,
1
0
1
 
2
 0 −
v
−
1

 
1
−→
−→
−→
w =P3 P0 =OP3 − OP0 =  1  − 
−2
−→
−→
=P2 P0 =OP2
Vi beräknar nu volymprodukten
Exempel 4.21:
�
� −1 1
1
�
�
1
(u × v) · w = � 1 0
� 0 1 −2
−→
OP0 =

 
1
0 =
0
 
1
0 =
0

1
0 ,
1

0
1 .
−2
V (u, v, w) = (u × v) · w enligt Exempel 4.10 eller
�
�
�
�
�
�
= gå längs 1:a raden och plocka ner elementen med minus på andra
�
�
�
�
�
�
� � 1
�
� −1 �
�
� −1 1
�
1
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 �−1·� 1 0
1 �+1·� 1 0
1 ��
= (−1) · � 1 0
� 0 1 −2 �
� 0 1 −2 �
� 0 1 −2 �
= stryk den rad och kolonn som � står på
�
�
�
�
�
�
� 0
� 1
� 1 0 �
1 ��
1 ��
�
�
�
�
= (−1) · �
−1·�
+1·�
1 −2 �
0 −2 �
0 1 �
= korsmultiplikation
= (−1)(0 · (−2) − 1 · 1) − 1 · (1 · (−2) − 0 · 1) + 1 · (1 · 1 − 0 · 0) = 4 �= 0.
Eftersom volymprodukten V (u, v, w) �= 0 så spänner vektorerna ett rättblock och därmed
kan punkterna P0 , P1 , P2 och P3 inte ligga i ett och samma plan; se figur 4.20.
�
Observera att de 3 första punkterna ligger i planet x + 2y − z = 1. Den fjärde punkten
ligger utanför detta plan.