Hela talen 1
Hela talen
! = 8…, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …<
Om inget annat sägs, förutsätts alla tal i detta avsnitt tillhöra !.
ARITMETIKENS FUNDAMENTALSATS
Varje naturligt tal > 1 kan skrivas som en primtalsprodukt, och produkten är entydig om vi bortser från ordningen mellan primtalsfaktorerna.
FUNDAMENTALSATSEN illustrerad
Delbarhet
Man säger att b är delbar med a, eller att a delar b, och skriver a \ b om det
finns något k så att a ÿ k = b.
EXEMPEL 1
2
12 525 331 ! 73 ÿ 13 ÿ 532
1 \6, 2 \6, 3 \6, 6 \6, -3 \6, 3 \0
Talet 0 har extrema delbarhetsegenskaper
För varje a gäller a \0, ty varje a kan multipliceras med ett tal så att
resultatet blir 0. (Vad skall man multiplicera med?).
För inget nollskilt b gäller 0 \ b, ty 0 kan inte multipliceras med något tal
så att resultatet blir nollskilt.
Lemmat nedanför tillsammans med anmärkningen är mycket användbart.
Lemma 1 d \ a och d \ b ï d \ Hx a + y bL för alla x, y
BEVIS x a + y b = x d k1 + y d k2 = Hx k1 + y k2 L d.
ANM 1 En enkel följd av lemmat är att ingen summa kan vara delbar med
ett tal d, om den ena men inte den andra av summans termer är delbar med
d. Försök själv visa detta!
Primtal
DEFINITION Ett primtal är ett naturligt tal som är större än 1 och som
inte har några andra positiva delare än 1 och sig själv.
Här är de fem första primtalen: 2, 3, 5, 7, 11. Ett naturligt tal som inte är
ett primtal är endera lika med 0 eller 1 eller ett sammansatt tal, som t.ex. 6.
Vi har redan bevisat existensdelen i följande sats.
En följd av fundamentalsatsen är att varje naturligt tal > 1 är delbart med
något primtal. Med hjälp av detta konstaterande kan vi bevisa den sats som
brukar kallas för Euklides andra sats.
EUKLIDES ANDRA SATS Det finns oändligt många primtal.
BEVIS För varje primtal p visar vi att det finns ett större dito. Betrakta
därför ett godtyckligt primtal p. Multiplicera nu p med alla mindre
primtal, och öka sedan resultatet med en enhet, dvs. bilda talet
a = 2ÿ3ÿ5ÿ…ÿp + 1
(1)
För varje primtal pk av 2, 3, 5, …, p gäller att 2 ÿ 3 ÿ 5 ÿ … ÿ p är delbar med
pk . Däremot är givetvis inte 1 delbar med pk . Så av de två termerna i (1):s
högerled är den ena men inte den andra delbar med pk . Det följer, av
anmärkning 1, att a inte kan vara delbar med pk . Alltså är a inte delbar
med något enda av primtalen 2, 3, 5, …, p. Å andra sidan måste a - som
är större än 1 - vara delbar med något primtal. Alltså måste det finnas
något primtal som är större än p. ·
Hela talen 1
3
ANM 2 Tal a som i (1) har kommit att kallas för Euklidiska tal.
Euklidiska tal
2 ÿ 3 ÿ 5 ÿ 7 ÿ 11 ÿ 13 ÿ 17 ÿ 19 ÿ 23 ÿ 29 ÿ 31 ÿ 37 ÿ 41 ÿ 43 ÿ 47 ÿ 53 + 1
= 73 ÿ 139 ÿ 173 ÿ 18 564 761 860 301
Hela talen 1
4
Mersennetal
Om p är ett primtal, så är ofta även 2p - 1 ett primtal.
p
2
2p - 1
3
3
ja
Primtal?
7
ja
5
31
ja
7
11
13
17
19
127
ja
231 891
8191
ja
131 071
ja
524 287
ja
nej
ANM Om det är det, så kallas det (dvs 2p - 1) för ett Mersennetal.
Marin Mersenne, fransk matematiker, munk och musikforskare, 1588 - 1648.
Det för närvarande (april 2008) största kända primtalet
32 582 657
är ett Mersennetal, nämligen 22
9 808 358 decimala siffror långt.
Eratosthenes’ såll (300 f Kr)
För att få fram alla primtal mindre eller lika med t.ex. 25, kan man utgå
från samtliga naturliga tal mellan 2 och 25:
82, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25<
Därefter sållas alla sammansatta tal bort …
Först multiplar av 2:
82, 3, _, 5, _, 7, _, 9, _, 11, _, 13, _, 15, _, 17, _, 19, _, 21, _, 23, _, 25<
Sedan multiplar av 3:
82, 3, _, 5, _, 7, _, _, _, 11, _, 13, _, _, _, 17, _, 19, _, _, _, 23, _, 25<
Sedan multiplar av 5:
82, 3, _, 5, _, 7, _, _, _, 11, _, 13, _, _, _, 17, _, 19, _, _, _, 23, _, _<
- 1, och det är
Prispengar
EFF Cooperative Computing Awards delar ut prispengar till den individ
eller grupp som först upptäcker ett större primtal än det f.n. största kända
primtalet.
$100,000 för ett primtal med minst 10 000 000 decimala siffror,
$150,000 för ett primtal med minst 100 000 000 decimala siffror,
$250,000 för ett primtal med minst 1 000 000 000 decimala siffror.
Öppet problem
Finns det oändligt många Mersennetal?
Eulers primtalsgenerator
Euler noterade att formeln n2 + n + 41 genererade primtal för 0 § n § 39,
men ej för n = 40:
n
n2 + n + 41
Primtal?
0
41
ja
1
43
ja
2
47
ja
3
53
ja
4
61
ja
5
71
ja
6
83
ja
Ett polynom som returnerar samtliga primtal
…
…
…
39
1601
ja
40
1681
nej
Hela talen 1
5
Hela talen 1
Primtalens spridning på tallinjen
Ett polynom som returnerar samtliga primtal
Primtalen uppträder allt glesare ju längre bort på tallinjen man kommer.
M.a.o. blir grafen för pn brantare ju större n blir. Redan Gauss och Legendre upptäckte omkring år 1800 att pn :s tillväxt liknar n logHnL:s tillväxt.
De slutna formlerna 2p - 1 och n2 + n + 41 (se ovan) genererar vissa primtal
(dock inte samtliga), samt vissa sammansatta tal.
”Finns det någon sluten formel som genererar samtliga primtal?”
Ja, det finns t o m ett polynom …
Hk + 2L J1 - Hw z + h + j - qL2 - HHg k + 2 g + k + 1L Hh + jL + h - zL2 H2 n + p + q + z - eL2 - I16 Hk + 1L3 Hk + 2L Hn + 1L2 + 1 - f 2 M2 Ie3 He + 2L Ha + 1L2 + 1 - o2 M2 IIa2 - 1M y2 + 1 - x 2 M2 - I16 r 2 y4 Ia2 - 1M + 1 - u2 M2 2
JJIa + u2 Iu2 - aMM2 - 1N Hn + 4 d yL2 + 1 - Hx + c uL2 N -
Primtalssatsen
Hn + l + v - yL2 - IIa2 - 1M t 2 + 1 - m2 M2 - Ha i + k + 1 - l - iL2 -
Antalet primtal som är mindre eller lika med n brukar betecknas med pHnL.
En följd av ovanstående påpekande om pn :s tillväxt är att tillväxten för
n
pHnL liknar tillväxten för såväl
som för den s.k. logaritmiska inte-
Ip + l Ha - n - 1L + b I2 a n + 2 a - n2 - 2 n - 2M - mM2 Iq + y Ha - p - 1L + s I2 a p + 2 a - p2 - 2 p - 2M - xM2 Iz + p l Ha - pL + t I2 a p - p2 - 1M - p mM2 N
vars positiva output sammanfaller med mängden av primtal. Men praktiskt
användbart är inte detta, eftersom ingen känner till någon formel som reder
ut vilka värden på de 26 variablerna som ger just positiva output …
logHnL
„t
n
gralen liHnL = Ÿ0
. Detta resultat kallas för PRIMTALSSATSEN.
logHtL
En rekursiv funktion som returnerar samtliga primtal och inget annat
Funktionen pn nedanför | som returnerar det n:te primtalet | använder sig
av en "primtalstestare" ÄrPrimtal som du själv får försöka konstruera …
p1 = 2
p2 = 3
Primtalsgap
pn = NästaPrimtalI2 + pn-1 M
Notera i figuren nedanför hur avståndet mellan två primtalsgrannar varierar
då man förflyttar sig på tallinjen. Man kallar ett sådant avstånd för ett
primtalsgap.
NästaPrimtalHmL = OmIÄrPrimtalHmL, m, NästaPrimtalHm + 2LM
p2 =3
Provkörning : p3 = NästaPrimtalH2 + p2 L = NästaPrimtalH5L
5 är ett primtal
=
5
6
Hela talen 1
7
primtalsgap = 34
499 819
499 853
område
Det finns inget största primtalsgap. Dvs. för varje naturligt tal n > 1, finns
det ett primtalsgap av storlek minst n. T.ex. ingår talen
n ! + 2, n ! + 3, n ! + 4, …, n ! + n
i ett sådant primtalsgap. Ty dessa n - 1 konsekutiva tal är bevisligen
sammansatta.
Primtalstvillingar
Då primtalsgapet är lika med två, kallas de två primtalsgrannarna för
primtalstvillingar. (Markerade med rött i figuren.)
Primtalstvillingar
149 087
område
Ingen vet om det finns oändligt många primtalstvillingar eller ej.
149 179
