Att kunna inför provet: Kapitel 1 åk 9 – TAL
(Alla siffror inom parenteserna är kopplade till uppgifterna i repetitionspappret)
Blå= godkändauppgifter, Röd=lite svårare
De två första punkterna är repetition men ändå viktiga saker som hänger med hela tiden och som du
bör kunna!!
De fyra räknesätten
Du ska kunna de olika termerna (orden) för de olika räknesätten (sid 18).
Vid addition och subtraktion är det viktigt att se till att man ställer samma position över
varandra vid uppställningen. Har man ett decimaltecken så står de också över varandra så
det blir rätt. Har man decimaltal vid multiplikation så räknar du bara antalet decimalsiffror
vid uppställningen , Ex. 5,8 ∙ 6,9 = 40,02. Du har två decimaler i uppställningen och ska ha två
i svaret.
Prioriteringsregler
Du räknar alltid från vänster i den här ordningen.
1. Parenteser
2. Multiplikation och division
3. Addition och subtraktion
Ett tips är att man alltid löser sådan här tal nedåt och tar ett steg i taget och bara har ett =
tecken på varje rad.
Ex. 7 + (8 – 2) + 4 ∙ 2 = ( först parentesen 8 – 2 )
7 + 6 + 4 ∙ 2 = ( Sedan multiplikation 4 ∙ 2 )
7 + 6 + 8 = 21 ( sedan addition )
Delbarhet
Hur ska man veta vad ett tal är delbart med ? För att underlätta så har vi några
delbarhetsregler som du alltid kan använda.
1. Alla jämna tal är delbara med 2
2. Alla tal vars siffersumma är delbar med 3 är delbara med 3. Ex. Siffersumman för
talet 405 är alltså 4+0+5 = 9 och 9 är delbart med tre så alltså är 405 delbart med 3.
3. Alla tal som som är delbara med både 2 och 3 går att dela på 6.
4. Alla tal som slutar på en nolla eller en femma är delbara med 5
5. Alla tal som slutar på en nolla är delbara med 10. (4)
Primtal / primtalsfaktorer
Alla tal som bara är delbara med 1 eller sig själv kallas för primtal. Ex. 5, 7, 13 osv
Har man ett tal så kan man dela in det i primfaktorer (primtal) i ett faktorträd. (3,5)
Ex.
24 Vi delar in talet 24 i primfaktorer och får till slut 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3
2
∙
12
3
∙
4
2
Negativa tal
Regler som gäller vid negativa tal:
1. a + (-b) = a – b
2. a – (-b) = a + b
3. a ∙ (-b) = -ab
4. (-a) ∙ b = -ab
5. (-a) ∙ (-b) = ab
6.
7.
8.
(−𝑎)
𝑏
𝑎
(−𝑏)
(−𝑎)
(−𝑏)
𝑎
𝑏
𝑎
−𝑏
𝑎
𝑏
=−
=
=
∙
2
Ex. 5 + (-3) = 5 – 3 = 2
Ex. 8 – (-4) = 8 + 4 = 12
Ex. 4 ∙ (-3) = -12
Ex. (-5) ∙ 7 = -35
Ex. (-4) ∙ (-6) = 24
(−6)
= −2
3
12
=
(−4)
(−18)
(−9)
−3
=2
Tips:
Vid addition och subtraktion gäller alltså följande: Har man två olika tecken bredvid varandra
så blir det minus. Har man två lika tecken bredvid varandra så blir det plus (se exemplen
ovan)
Vid multiplikation och division gäller alltså följande: Multiplicerar/dividerar man två tal med
olika tecken så blir talet negativt. Multiplicerar/dividerar man två tal med samma tecken så
blir det positivt.
Minnesregel som kan vara bra att komma ihåg vid multiplikation och division är att om det är
jämnt antal negativa tal så blir talet positivt. Är det ojämnt antal minustal så blir det alltid
negativt. (6,7)
Tal i potensform
Regler som gäller för tal i potensform:
1. ax ∙ ay = a x+y
Ex. 23 ∙ 25 = 2 2+5 = 27
2. ax / ay = a x-y
47 / 43 = 4 7-3 = 44
0
3. a = 1
Tips:
Vid multiplikation med samma bas så tar man alltså exponenterna adderat med varandra.
Vid division tar man istället och subtraherar exponenterna. (8,9)
Kvadrattal
Ett kvadrattal betyder att man tar talet upphöjt i två, dvs man tar talet multiplicerat med sig
självt.
Ex. fyra i kvadrat = 42 = 4 ∙ 4 = 16. Man kan även säga kvadraten på fyra eller fyra upphöjt i
två.
Kvadratrot / räkna med kvadratrötter
En kvadratrot betyder att man tar roten ur ett tal, man försöker hitta ett tal som
multiplicerat med sig själv blir det tal man hade från början.
Ex. kvadratroten ur 25 eller roten ur 25 = √25 = 5 eftersom 5 ∙ 5 = 25 (10,11,12,15,16)
Regler som gäller för kvadratrötter:
1. √𝑎 ∙ √𝑏 = √𝑎 ∙ 𝑏
Ex. √4 ∙ √9 = √4 ∙ 9 = √36 = 6
2.
√𝑎
√𝑏
𝑎
= √𝑏
Ex.
√18
√2
18
= √ 2 = √9 = 3
Pythagoras sats
Det finns ett samband mellan sidorna i en rätvinklig triangel, det kallas för pythagoras sats
och innebär följande:
Om du tar sidorna som bildar den räta vinkel i kvadrat och sedan adderar dessa, då får du
den tredje sidan i kvadrat, se formel och bild nedan…. (13,14,17)
Vi får då: a2 + b2 = c2
Ex.
x
3
4
Vi får här:
3 2 + 4 2 = x2
9 + 16 = x2
25 = x2
x = √25 = 5
Ex.
11
5
x
Även fast inte hypotenusan är den okända så tar vi ändå kateterna i kvadrat adderat med
varandra.
52 + x2 = 112
25 + x2 = 121 (vi vill få bort 25 från ”x-sidan” och tar minus 25 på båda sidorna)
25 – 25 + x2 = 121 – 25
x2 = 96
x = √96 ≈ 9,8
Ska man svara i exakt form så får man svara √96.
Tips:
När man får problem som kan lösas med hjälp av pythagoras sats.
1.
2.
3.
4.
Läs uppgiften noga
Rita en figur och sätt ut de mått du har fått
Ställ upp en ekvation och lös uppgiften
Svara på det de frågar efter!!
Tal och mönster
Figur 1
Figur 2
Figur 3
Hur många rutor finns det i figur 4 ?
Här kan vi se ett mönster och man ser att i figur 1 så är det 8 rutor, figur 2, 12 rutor och i figur
3, 16 rutor. Dvs för varje figur så ökar det med 4 rutor. Alltså kommer vi ha 20 rutor i figur 4:a
Hur många rutor skulle det då vara i figur 100? Nu tar det ju väldigt lång tid och sitta och
räkna sig fram och vi vill gärna få fram en formel som gäller för alla figurer i detta mönster
och speciellt om man vill veta hur många rutor det är i figur n. Då är ett tips att följa denna
ordning:
1. Se hur mycket det skiljer mellan de olika figurerna, i vårt fall 4
2. Ta 4 och multiplicera med första figurens nummer (1) och lägg till så många rutor som
behövs för att få rätt antal rutor, 4 ∙ 1 + 4 = 8 rutor
Skillnaden mellan
figurerna
Figur nr.
3. Tänk nu att du har figur n. Vi kan kalla antalet rutor för y och får då formeln y= 4n + 4
Där alltså y är antalet rutor och n är figurens nummer. Vi testar i figur 2 och får då:
y= 4∙2 + 4 = 12 vilket stämmer med figuren ovan.
4. Vi testar nu för figur 100 och får då:
Y= 4∙100 + 4 = 404
Tips:
Metoden ovan går alltid att lösa när man har en ökning som är densamma hela tiden. Har vi
istället ökning som varierar måste man försöka hitta ett mönster hur ökningen varierar.
Oftast handlar det om något med figuren i kvadrat, dvs n2 Utgår man ifrån det så brukar man
hitta en formel som gäller för alla figurer. Vi tar ett exempel.
oo
ooooo
oooooooooo
fig1
fig2
fig3
ooooooooooooooooo
fig4
Hur många nollor skulle det vara I figur 10 och i figur n ?
Utgår vi ifrån att vi ska hitta en formel som innehåller n2. Då kollar vi väl hur det ser ut då
2
1
oo
5
4
ooooo
10
9
oooooooooo
fig1
fig2
fig3
17
16
ooooooooooooooooo
fig4
Röda siffrorna visar alltså hur många nollor det är i varje figur och de blåa siffrorna visar
figurens nummer i kvadrat. Vi kan nu se ett mönster som visar att det hela tiden är 1 mer än
figurens nummer i kvadrat och får således formeln n2 + 1. För fig 10 får vi alltså 102 + 1 = 101
st nollor.
