LINKÖPINGS UNIVERSITET
Matematiska institutionen
Jesper Thorén
Svar TATA65 Diskret matematik, 6hp, 130108.
1. Använd induktion över n.
2. Efter att ha förkortat med 2 får man i (a) ekvationen 126x + 113y = 9, med allmänna
lösningarna (x, y) = (−234 + 113n, 261 − 126n), n heltal. I (b) blir lösningarna (x, y) =
(−234 + 113n, −261 + 126n), n heltal.
3. (a) Resten blir 15.
(b) Resten är 4.
4. (a) f (x, y, z) = 1 endast då (x, y, z) = (0, 0, 1), och (1, 1, 0).
(b) f (x, y, z) = x · y · z + x · y · z
= (x + y + z)(x + y + z)(x + y + z)(x + y + z)(x + y + z)(x + y + z).
5. Alla tal som är delbara med 12 är också delbara med 6 så vi bildar tre mängder av tal
i intervallet: A är mängden tal delbara med 6, B är mängden tal delbara med 9 och C
är de tal som är delbara med 15. Principen om inklusion och exklusion ger oss då
3000 − |A ∪ B ∪ C| = 3000 − (500 + 333 + 200 − 166 − 100 − 66 + 33) = 2266.
6. Antalet ekvivalensklasser är antalet olika antal gånger bokstaven E kan förekomma i ett
ord och blir då 6. Vi får
|[inga E]| = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 + 2 · 52 · 6 · 5 · 4 + 52 32 · 5.
|[ett E]| = 5 · 7 · 6 · 5 · 4 + 5 · 2 · 42 · 6 · 5 + 5 · 42 .
|[två E]| = 52 · 7 · 6 · 5 + 52 · 2 · 32 · 6.
|[tre E]| = 53 · 7 · 6 + 53 · 2.
|[fyra E]| = 54 · 7.
|[fem E]| = 1.
7. (a) En öppen eulerväg ges t.ex av 4 − 8 − 2 − 4 − 12 − 6 − 2 − 12.
(b) P (λ) = λ(λ − 1)(λ − 2)3 .
(c) Ett minsta uppspännande träd har totalvikt 9.
