Föreläsningar i mekanik: Statik och partikeldynamik

S T E FA N B . L I N D S T R Ö M | U P P L A G A 2 - β
FÖRELÄSNINGAR I MEKANIK
S TAT I K O C H
PA R T I K E L D Y N A M I K
Föreläsningar i mekanik: Statik och partikeldynamik
Lindström, Stefan B.
upplaga 2-β
c 2016 Stefan B. Lindström
Copyright Detta verk är licensierat enligt Creative Commons Erkännande-IngaBearbetningar 2.5 Sverige licens. För
att visa licensen, besök http://creativecommons.org/licenses/by-nd/2.5/se/ eller skicka ett brev till Creative Commons, 444 Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA. En lättläst, men
ofullständig, sammanfattning av licenstexten lyder:
Du har tillstånd: Att dela — att kopiera, distribuera och sända verket samt använda verket för kommersiella
ändamål. På följande villkor: Erkännande — Du måste ange upphovsmannen och/eller licensgivaren på det
sätt de anger. Inga bearbetningar — Du får inte förändra, bearbeta eller bygga vidare på verket. Övriga
förutsättningar: Undantag — Undantag från villkoren ovan kan ges av upphovsrättsinnehavaren. Public
Domain — Om verket eller någon av dess beståndsdelar är public domain enligt tillämplig lag påverkas
denna status inte på något sätt av licensen. Notera — Vid all återanvändning och distribution måste du
informera om licensvillkoren som gäller för verket.
Innehåll
I
Statik
1
Inledning
2
3
4
9
1.1
Grundläggande begrepp
1.2
Newtons rörelselagar
1.3
Krafter i klassisk mekanik
Kraftsystem
13
2.1
Kraft
2.2
Moment
2.3
Kraftsystem
2.4
Plana kraftsystem
Statisk jämvikt
3.1
Jämviktsekvationer
3.2
Friläggning
3.3
Flerkroppsproblem
21
Masscentrum och tyngdpunkt
4.1
Densitet
4.2
Masscentrum
4.3
Masscentrum för tunna kroppar
4.4
Tyngdpunkt
27
4
5
5.1
Ett friktionsexperiment
5.2
Coulombfriktion
5.3
Friktion i ett system av kroppar
II
6
7
8
9
10
33
Friktion
Partikeldynamik
Plan kinematik
6.1
Rätlinjig rörelse
6.2
Kroklinjig rörelse
6.3
Kinematiska tvång
Kinetik
39
49
7.1
Newtons rörelselagar
7.2
Rörelseekvationer och problemlösning
Effekt, arbete och energi
53
8.1
Effekt
8.2
Arbete
8.3
Rörelseenergi
8.4
Konservativa krafter
8.5
Mekaniska energisatsen med potentialer
Rörelsemängd och rörelsemängdsmoment
9.1
Rörelsemängd och impuls
9.2
Rörelsemängdsmoment
9.3
Partikelsystem
Stötar
65
10.1 Stötar mellan partiklar
10.2 Stötimpuls
59
5
11
69
Svängningsrörelse
11.1 Fria svängningar
11.2 Påtvingade svängningar
Bilagor
A
79
Geometri
A.1 Plan geometri
A.2 Trigonometri
B
Vektorer
83
B.1 Geometriska vektorer
B.2 Vektorer i ortogonala koordinatsystem
B.3 Skalärprodukt
B.4 Kryssprodukt
B.5 Vektorvärda funktioner
C
Storhet, enhet och dimension
C.1 Dimension
C.2 Enhet
C.3 Mätetal
C.4 Räkneregler för dimension
C.5 Dimensionsriktighet
D
91
Differentialer
Litteraturförteckning
Sakregister
95
93
87
6
Förord
Denna skrift syftar till att ge en koncis beskrivning av den elementära
mekanikens viktigaste definitioner och satser. Ansvaret för att levandegöra teorins innebörd, samt att demonstrera hur teorin kan användas
vid problemlösning, åläggs pedagogen.
Angående förkunskaper förutsätts läsaren vara förtrogen med elementär geometri (bilaga A), geometriska vektorer (bilaga B), linjära
ekvationssystem samt bestämda integraler i flera dimensioner. Utöver matematiska kunskaper bör läsaren vara bekant med begreppen
storhet, enhet och dimension, samt kunna avgöra fysikaliska uttrycks
dimensionsriktighet (bilaga C). För partikeldynamikdelen krävs därutöver att läsaren behärskar ordinära differentialekvationer och differentialnotation (bilaga D).
Tack
Ett varmt tack till tekn. dr Peter Schmidt vars undervisningsmaterial på ämnet kraftsystem varit en viktig inspirationskälla till kap. 2.
Författaren vill också tacka docent Lars Johansson för värdefull återkoppling på skrivningarna i bilaga C.
Del I
Statik
1
Inledning
Detta kapitel syftar till att ge fysikalisk förståelse för grundläggande begrepp i mekanik, bl.a. begreppet kraft, samt att avgränsa ämnesområdet statik. Förtrogenhet med geometriska vektorer (bilaga B)
och räkneregler för dessa är nödvändigt för att kunna tillgodogöra sig
framställningen.
1.1
Grundläggande begrepp
Kropp och stelkropp
En kropp har massa och uppfyller ett begränsat område i rummet
och har alltså en volym. Inom klassisk mekanik antas massan vara
kontinuerligt utbredd inom kroppens område.
Alla kroppar kan deformeras—ändra sin form—genom att lägena
för punkter i kroppen förskjuts i förhållande till varandra. I många
problem är kroppens deformation försumbar. Analysen förenklas då
av att man antar att kroppens form är oföränderlig, och en sådan
kropp kallas stelkropp.
Definition 1.1 (Stelkropp). En stelkropp är en kropp, sådana att avståndet mellan varje par av punkter i kroppen är konstant.
Partikel
En partikel är ett hypotetiskt föremål med massa men utan volym. All
dess massa är således koncentrerad till en punkt. Vid problemlösning
kan man ibland använda en partikel som modell för en kropp vars
form, rotation och deformation inte påverkar analysen i någon större utsträckning. Speciellt formulerar vi följande postulat1 för kroppar
eller delkroppar:2
Postulat 1.2. En kropp eller en del av en kropp, vars utsträckning
är tillräckligt liten för att försummas i en given situation, kan
betraktas som en partikel.
Om man t.ex. analyserar Jordens rörelse kring Solen kan Jorden betraktas som en partikel eftersom jordbanans medelradie är 23 000 gång-
1
postulat – obevisat påstående med experimentellt stöd.
2
J. B. Griffiths. The theory of classical
mechanics. Cambridge University Press,
1985. ISBN 0-521-23760-2
10
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
er större än Jordens egen radie, så att vare sig Jordens utsträckning
eller dess rotation kring sin egen axel påverkar banrörelsen nämnvärt.
Läge, hastighet och acceleration
En punkts eller partikels läge i rummet anges av dess lägesvektor 3 . Vi
definierar en godtycklig punkt P:s lägesvektor som r̄ = OP, där O
betecknar origo för ett givet ortogonalt koordinatsystem med basvektorerna ēx , ēy och ēz . Om punkten P:s läge ändras med tiden t kommer
lägesvektorn att bli en vektorvärd funktion (jfr bilaga B.5)
r̄(t) = x(t)ēx + y(t)ēy + z(t)ēz ,
3
Benämns även ortsvektor .
(1.1)
vilket kan tolkas som en riktad bana i rummet (fig. 1.1a). Hastigheten
hos punkten definieras som
v̄(t) ≡
dr̄
= ẋēx + ẏēy + żēz ,
dt
(1.2)
y
och är riktad i rörelsebanans tangentriktning. En prick över en skalär
funktion betecknar tidsderivatan av funktionen. Punktens acceleration
ges av
dv̄
d2 r̄
ā(t) ≡
= 2 = ẍēx + ÿēy + z̈ēz ,
dt
dt
v̄(t)
r̄(t)
O
x
z
(a)
(1.3)
och beskriver alltså hastighetsändringen per tidsenhet. Två prickar
över en skalär funktion betecknar andra tidsderivatan av funktionen.
Statik innefattar endast fallet ā = 0̄. Detta är liktydigt med att
hastigheten är konstant, så att r̄(t) beskriver en rätlinjig bana om v̄ 6= 0̄
(fig. 1.1b), eller en fix punkt om v̄ = 0̄.
Kraft
När två föremål placeras tillräckligt nära varandra, eller i direkt kontakt, kan de påverka varandras rörelse. Om man till exempel för en
magnet mot en knappnål, kommer knappnålen att accelerera mot magneten. Magnetens närvaro har skapat rörelse hos knappnålen. Kroppars
förmåga att att påverka varandras rörelse kallas växelverkan.
För att beskriva hur starkt och i vilken riktning ett föremål växelverkar med omgivningen införs begreppet kraft. En kraft skapas alltså
av växelverkan och förorsakar acceleration hos en kropp vars rörelse
annars är obehindrad. Denna vaga beskrivning ev kraftbegreppet ges
en precis innebörd i Newtons rörelselagar.
1.2
P
P
y
v̄
r̄(t)
O
x
z
(b)
Figur 1.1: En punkt P:s förflyttas längs en bana r̄(t) med (a) varierande hastighet v̄(t), eller med
(b) konstant hastighet v̄ och accelerationen ā = 0̄.
Newtons rörelselagar
Isaac Newton postulerade följande tre rörelselagar för partiklar (ej ordagrant återgivna):4
1. Tröghetslagen En partikel förblir i vila eller i likformig, rätlinjig
rörelse så länge inga yttre krafter verkar på partikeln.
4
I. S. Newton.
Naturvetenskapens
matematiska principer, första boken.
Svensk översättning C. V. L. Charlier,
Liber Läromedel, Malmö, 1986a. ISBN
91-40-60433-0
inledning
11
2. Kraftlagen För en partikel med konstant massa m gäller
ΣF̄ = mā,
(1.4)
där ΣF̄ är kraftsumman på partikeln och ā är partikelns acceleration.
3. Reaktionslagen Om en partikel påverkar en annan med en given
kraft, återverkar den senare partikeln på den första med en lika
stor men motsatt riktad kraft.
Dessa lagar kommer att behandlas utförligare i del II. Inom statik
intresserar man sig för specialfallet då kraftsumman på varje partikel
är noll, och således accelerationen för varje partikel är noll.
Inertialsystem
Att tala om rörelse är bara meningsfullt med avseende på ett givet
koordinatsystem, och man måste specificera ett koordinatsystem för
att kunna beskriva rörelse (se fig. 1.1ab). Newtons lagar gäller bara för
vissa val av koordinatsystem som kallas inertialsystem. Om man valt
ett koordinatsystem där tröghetslagen gäller, kommer även kraftlagen
och reaktionslagen att gälla. I ett koordinatsystem där tröghetslagen
inte gäller, t.ex. ett system som roteras eller accelereras relativt ett
inertialsystem (fig. 1.2), gäller inte Newtons lagar.
1.3
Krafter i klassisk mekanik
Krafter kan verka på en kropp om den står i fysisk kontakt med en
annan kropp. Dessutom kan krafter uppstå över avstånd genom så
kallade kraftfält. Kraft mäts i SI-enheten newton (N), och det gäller
att
y
y∗
x
z
z
ỹ
∗
x∗
x̃
z̃
Figur 1.2: Givet ett inertialsystem
xyz där tröghetslagen gäller, kommer koordinatsystem som roterar
relativt inertialsystemet, t.ex. x̃ỹz̃,
inte att vara några inertialsystem.
Koordinatsystem vars origo accelererar relativt inertialsystemet, t.ex.
x∗ y ∗ z ∗ , är inte heller några inertialsystem.
2
1 N = 1 kg·m/s .
Gravitationskraft
Enligt Newtons gravitationslag 5 påverkar varje par av partiklar varandra med gravitationskrafter. Gravitationskraften är en attraktiv centralkraft. Det vill säga, partiklarna dras mot varandra och dragningskraften verkar längs den räta linje som förbinder partiklarna (fig. 1.3).
m1
Fg
Fg
r
m2
5
I. S. Newton. Naturvetenskapens matematiska principer, andra och tredje boken. Svensk översättning C. V.
L. Charlier, Liber Läromedel, Malmö,
1986b. ISBN 91-40-60437-3
Figur 1.3: Newtons gravitationslag
för partiklar tillämpad på Jordens
växelverkan med Månen.
12
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Postulat 1.3 (Newtons gravitationslag). Mellan två partiklar med
massorna mP respektive mQ verkar en attraktiv kraft med beloppet
Fg = Gg
mP mQ
,
r2
(1.5)
där Gg = 6,674 · 10−11 Nm2 /kg2 är gravitationskonstanten 6 , och r
betecknar avståndet mellan partiklarna.
En följd av gravitationslagen är att en kropp med massan m vid
jordytan påverkas av en tyngdkraft, riktad ungefär mot jordens mittpunkt. Tyngdkraften är fördelad över det område som kroppen upptar,
men i många tillämpningar kan dess verkan modelleras med en kraft
som verkar i en enda punkt och har beloppet mg, där g är tyngdkraftskonstanten.7 I Sverige är g ≈ 9,82 N/kg, men värdet varierar mellan
olika platser på jorden. Ofta används det SI-standardiserade värdet
g = 9,80665 N/kg vid problemlösning.8
Kontaktkrafter
6
P. J. Mohr, B. N. Taylor, and D. B.
Newell. CODATA recommended values
of the fundamental physical constants:
2010. J. Phys. Chem. Ref. Data, 41:
043109, 2012
7
Benämns även oegentligt tyngdaccelerationen.
8
Bureau International des Poids et Mesures. The International System of Units
(SI). 8th edition, 2006
Två kroppar som står i fysisk kontakt med varandra växelverkar med
kontaktkrafter. Dessa kontaktkrafter är fördelade över kontaktytan på
respektive kropp. Ett exempel är de krafter som uppstår då du trycker
din hand mot en vägg (fig. 1.4ab). Din hand utövar då ett tryck mot
väggen, vilket kan representeras av en kraft F̄ på väggen. Omvänt
kommer väggen, enligt reaktionslagen, att utöva en kraft −F̄ mot din
hand, vilket du känner som ett tryck mot handflatan.
F
(a)
Figur 1.4: (a) En hand trycker mot
en vägg. (b) Handen och väggen utsätts för lika stora motriktade kontaktkrafter.
F
(b)
Elastisk kraft
k
Elastiska krafter uppstår då kroppar deformeras, till exempel då en
spiralfjäder förlängs eller förkortas. När en spiralfjäder inte påverkas av
någon kraft antar den sin naturliga längd `0 (fig. 1.5a). Om motriktade
krafter, vardera med beloppet Fe , angriper vid fjäderns ändpunkter
kommer fjädern att ändra sin längd till ` (fig. 1.5b). För en så kallad
linjär fjäder gäller då sambandet
Fe = k(` − `0 ),
där k benämns fjäderkonstanten.
(1.6)
ℓ0
(a)
Fe
k
Fe
ℓ
(b)
Figur 1.5: (a) Obelastad fjäder med
naturlig längd. (b) Förlängd fjäder.
2
Kraftsystem
2.1
Kraft
En kropp växelverkar med sin omgivning genom yttre krafter. Dessa
kan vara volymskrafter som verkar över kroppens område i rummet.
Gravitation och elektromagnetiska krafter är exempel på volymskrafter. Dessutom kan kroppen påverkas av kontaktkrafter, som är fördelade över kroppens yta (fig. 2.1). För stelkroppar kan volyms- och
kontaktkrafters verkan beskrivas av koncentrerade krafter, som verkar
i punkter på stelkroppen:
Postulat 2.1. En kraft, som verkar på en stelkropp, är en vektorstorhet F̄ , som tillordnats en angreppspunkt P.
⇒
kraftvektor
Figur 2.1: En kontaktkraft, som här
består av ett tryck fördelat över en
liten yta på en stelkropp, modelleras med en kraftvektor, som verkar
i en angreppspunkt på stelkroppen.
angreppspunkt
verkningslinje
En krafts verkan på en kropp bestäms av kraftens storlek, riktning och
angreppspunkt. Kraftvektorn och angreppspunkten definierar tillsammans en linje, som kallas kraftens verkningslinje (fig. 2.1).
Som alla vektorer kan kraftvektorn skrivas som en summa av sina
komposanter (fig. 2.2)
F̄ = Fx ēx + Fy ēy + Fz ēz ,
(2.1)
eller som en skalär F gånger en riktningsvektor
F̄ = F ēF .
(2.2)
I ekv. (2.2) tillåter man att F är negativ, så att F = |F̄ | eller F = −|F̄ |.
En kraftvektors projektion på en riktning med riktningsvektorn ēλ
kallas kraftens komponent i λ-riktningen och ges av
Fλ = F̄ · ēλ = |F̄ | cos ϕ,
där 0◦ ≤ ϕ ≤ 180◦ är vinkeln mellan F̄ och ēλ (fig. 2.3).
(2.3)
ēy
Fy
F̄
ēx
P
ēz
Fz
ēF
Fx
Figur 2.2: En kraft F̄ angripande i
punkten P. Pilar med öppet pilhuvud visar kraftens komposanter.
F̄
λ
ϕ
ēλ
Fλ = F̄ · ēλ
Figur 2.3: Kraftkomponenten för F̄
m.a.p. en axel λ.
14
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
2.2
Moment
Kraftmoment
Om man vill åstadkomma en vridande verkan kring en axel, som när
man drar åt en bult, låter man en kraft angripa i en punkt på ett
avstånd från axeln (fig. 2.4). Kraftens vridande verkan kallas moment.
Definition 2.2 (Kraftmoment). Låt F̄ vara en kraft som angriper i
punkten P. Då är kraftmomentet av kraften F̄ m.a.p. en godtycklig
punkt A vektorn
(2.4)
M̄A ≡ r̄ × F̄ ,
Figur 2.4: En kraft med angreppspunkt på ett avstånd från en axel λ
kommer att ha en vridande verkan
kring axeln.
M̄A = r̄ × F̄
där r̄ = AP.
Enligt def. B.11 av kryssprodukt ges momentvektorn M̄A :s riktning
av högerhandsregeln (fig. 2.5). Kraftmomentet kommer därför att vara vinkelrätt mot det plan som r̄ och F̄ spänner upp. Beloppet av
vektorn M̄A är
|M̄A | =
=
=
|r̄ × F̄ | = ekv. (B.12)
|r̄||F̄ | sin ϕ
(2.5)
d⊥ |F̄ |,
där d⊥ = |r̄| sin ϕ kallas för hävarm och ϕ är vinkeln mellan r̄ och F̄
(fig. 2.6). Momentvektorer betecknas här med en pil vars huvud är en
halvcirkel. Kraftmomentet m.a.p. en axel λ med riktningsvektorn ēλ ,
definieras som
F̄
P
r̄
A
Figur 2.5: Högerhandsregeln för
kraftmoment. Linjera höger hands
handflata med hävarmen och
vinkla fingrarna i kraftriktningen;
kraftmomentvektorn M̄A ges då
tummens riktning.
(2.6)
Mλ ≡ M̄B · ēλ ,
där B är en godtycklig punkt på axeln λ.
M̄A = r̄ × F̄
ϕ
F̄
Figur 2.6: En kraft med kraftvektor F̄ och angreppspunkt P ger ett
kraftmoment M̄A m.a.p. A, som
är vinkelrätt mot det plan som r̄
och F̄ spänner upp.
r̄
P
r̄
⇒
d⊥
A
ϕ
F̄
Sats 2.3. Låt n krafter F̄1 , . . . , F̄n , verka i samma punkt P. Summan
av krafternas moment, m.a.p. en godtycklig punkt A, är då lika
med momentet från kraftvektorernas summa m.a.p. A:
n
X
i=1
r̄ × F̄i = r̄ ×
där r̄ = AP.
n
X
i=1
F̄i ,
(2.7)
kraftsystem
15
Bevis. Kraftmomentet av kraftvektorernas summa m.a.p. A ges av
r̄ ×
n
X
F̄i
=
i=1
=
=
=
r̄ × (F̄1 + F̄2 + · · · + F̄n ) = ekv. (B.14b)
r̄ × F̄1 + r̄ × (F̄2 + · · · + F̄n ) = upprepa (B.14b)
r̄ × F̄1 + r̄ × F̄2 + · · · + r̄ × F̄n
n
X
r̄ × F̄i
P
i=1
Vid analys av statikproblem händer det ofta att problemet blir enklare
att lösa om man först delar upp kraften i sina komposanter (fig. 2.7).
Kraftens moment får man som summan av komposanternas respektive
moment (sats 2.3).
Fy ēy
F̄
≡
r̄
P
Fx ēx
r̄
A
A
Figur 2.7: Momentet från en kraft
är lika med summan av momenten
från dess komposanter: r̄ × F̄ = r̄ ×
Fx ēx + r̄ × Fx ēy (2D).
Kraftparsmoment
Definition 2.4 (Kraftpar). Ett kraftpar består av två krafter, F̄P med
angreppspunkt P och F̄Q med angreppspunkt Q, sådana att F̄Q =
−F̄Q (fig. 2.8).
En trivial men viktig egenskap hos kraftparet är att dess kraftsumma
är F̄P + F̄Q = 0̄, så att ett kraftpars verkan på en kropp endast är
vridande.
F̄Q = −F̄P
Q
F̄P
P
Figur 2.8: Kraftpar.
Definition 2.5 (Kraftparsmoment). Ett kraftparsmoment C̄ är summan av kraftmomenten från ett kraftpar m.a.p. en godtycklig punkt
A.
Sats 2.6. För ett godtyckligt kraftpar, F̄ med angreppspunkt P och
−F̄ med angreppspunkt Q (fig. 2.9), är kraftparsmomentet
C̄ = r̄ × F̄ ,
(2.8)
där r̄ = QP.
Bevis. Från def. 2.5 följer att kraftparets kraftparsmomentet m.a.p.
en godtycklig punkt A är
C̄
=
=
=
=
=
=
AP × F̄ + AQ × (−F̄ )
AP × F̄ − AQ × F̄ = ekv. (B.14b)
(AP − AQ) × F̄
(QA + AP) × F̄ = parallellogramlagen
QP × F̄
r̄ × F̄
Ett typexempel på ett kraftpar är en skruvmejsels verkan på en spårskruv (fig. 2.8). Det finns två kontaktpunkter, P och Q, mellan skruvhuvudet och mejseln, där två lika stora motriktade krafter verkar på
−F̄
Q
r̄
P
F̄
A
Figur 2.9: Kraftpar som bildar
kraftparsmomentet C̄ = r̄ × F̄ .
16
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
skruven. Kraftparsmomentet är oberoende av valet av momentpunkt
och är därmed en fri vektor som, med bibehållen storlek och riktning,
kan förflyttas i rummet till en godtycklig punkt (fig. 2.10).
F̄
⇒
P
Q
≡
Q P
−F̄
C̄ = QP × F̄
2.3
Figur 2.10: En skruvmejsel ger en
vridande verkan, vilken skapas av
två lika stora motriktade krafter
i skruvspåret. Kraftparsmomentet
är en fri vektor, som inte verkar i
någon specifik punkt på stelkroppen.
Kraftsystem
Flera krafter och kraftparsmoment, som verkar på en stelkropp, bildar
tillsammans ett kraftsystem.
Definition 2.7 (Kraftsystem). Ett kraftsystem Γ är ett antal n ≥ 0
krafter F̄1 , F̄2 , . . . , F̄n med givna angreppspunkter P1 , P2 , . . . , Pn ,
samt att antal m ≥ 0 kraftparsmoment C̄1 , C̄2 , . . . , C̄m (fig. 2.11).
F̄2
C̄2
P2
C̄1
P1
F̄1
Figur 2.11: Ett kraftsystem Γ med
godtyckligt antal krafter och kraftparsmoment, verkande på en stelkropp.
C̄m
F̄n
Pn
Kraft- och momentsumma
Definition 2.8 (Kraftsumma). För ett kraftsystem Γ, med beteckningar enligt def. 2.7, är kraftsumman vektorn
ΣF̄ ≡
n
X
(2.9)
F̄i .
i=1
Notera att kraftsumman, trots att den är en vektor med enheten newton, inte är någon kraft, eftersom den inte tillordnats någon angreppspunkt.
Definition 2.9 (Momentsumma). För ett kraftsystem Γ, med beteckningar enligt def. 2.7, är momentsumman m.a.p. en godtycklig
punkt A vektorn
ΣM̄A ≡
n
X
i=1
AP i × F̄i +
m
X
i=1
C̄i .
(2.10)
kraftsystem
17
Momentsumman för ett kraftsystem m.a.p. en punkt A erhåller man
alltså genom att summera alla systemets kraftmoment m.a.p. A och
alla systemets kraftparsmoment.
Sats 2.10 (Förflyttningssatsen för momentsumma). För ett kraftsystem Γ, med beteckningar enligt def. 2.7, och två godtyckliga punkter A och B gäller
ΣM̄B = ΣM̄A + BA × ΣF̄ ,
(2.11)
där ΣM̄A och ΣM̄B är momentsummor m.a.p. A respektive B, och
ΣF̄ är systemets kraftsumma.
Bevis. Definition 2.9 ger
ΣM̄B
=
n
X
i=1
=
n
X
i=1
=
n
X
i=1
BP i × F̄i +
m
X
i=1
C̄i = parallellogramlagen
BA + AP i × F̄i +
BA × F̄i +
n
X
i=1
|
m
X
i=1
C̄i = ekv. (B.14b)
AP i × F̄i +
{z
=ΣM̄A
= BA × ΣF̄ + ΣM̄A .
m
X
i=1
C̄i = sats (2.3)
}
Reducerade kraftsystem
Definition 2.11 (Reducerat kraftsystem). Det reducerade kraftsystemet ΓA till ett kraftsystem Γ m.a.p. en reduceringspunkt A, består av Γ:s kraftsumma ΣF̄ verkande i A samt ett kraftparsmoment ΣM̄A , som är Γ:s momentsumma m.a.p. A.
F̄2
C̄1
F̄1
ΣM̄A
C̄2
P2
P1
C̄m
Pn
F̄n
≡
ΣF̄
A
Det reducerade kraftsystemet ΓA är ekvivalent med Γ ur kraft- och
momentsynpunkt, och ger upphov till samma rörelse hos den stela
kropp varpå Γ verkar.
Definition 2.12 (Nollsystem). Om ett kraftsystem har kraftsumman
ΣF̄ = 0̄ och momentsumman ΣM̄A = 0̄ m.a.p. någon punkt A,
sägs kraftsystemet vara ett nollsystem.
Sats 2.13. Om ett kraftsystem är ett nollsystem så är dess momentsumma ΣM̄B = 0̄ för varje godtycklig punkt B.
Figur 2.12: Ett kraftsystem Γ, med
godtyckligt antal krafter och kraftparsmoment, är ekvivalent med sitt
reducerade kraftsystem ΓA m.a.p.
en godtycklig punkt A.
18
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Bevis. För ett generellt kraftsystem, med beteckningar enligt def. 2.7,
som är ett nollsystem gäller att ΣF̄ = 0̄ samt att ΣM̄A = 0̄ för någon
punkt A. Förflyttningssatsen för momentsumma (sats 2.10) från A
till B ger
ΣM̄B
=
ΣM̄A + BA × ΣF̄
= 0̄ + BA × 0̄
= 0̄.
Sats 2.13 innebär att ett nollsystem alltid är ett nollsystem oberoende
av valet av momentpunkt.
2.4
Plana kraftsystem
Definition 2.14 (Plant kraftsystem). Ett kraftsystem Γ, med beteckningar enligt def. 2.7, sägs vara plant om det existerar ett plan,
benämnt referensplanet, sådant att alla krafternas angreppspunkter Pi , i = 1, . . . , n ligger i referensplanet, och sådant att
F̄i ⊥ ēn ,
i = 1, . . . , n,
C̄i || ēn ,
i = 1, . . . , m,
där ēn är referensplanets enhetsnormal (fig. 2.13).
ēn
C̄2
F̄2
C̄1
P1
P2
Pn
Figur 2.13: Plant kraftsystem vars
referensplan har enhetsnormalen ēn .
F̄n
C̄m
F̄1
För ett plant kraftsystem, med beteckningar enligt def. 2.14, och en
momentpunkt A i referensplanet, är alla kraftmoment och kraftparsmoment riktade i ±ēn -riktningen. Därmed kan alla kraftmoment och
kraftparsmoment för ett plant kraftsystem beskrivas entydigt med ett
skalärt värde: momentets komponent i referensplanets normalriktning.
I fig. 2.14 illustreras ett plant kraftsystem med xy-planet som referensplan. Vektorrepresentationen av moment har ersatts med en skalär representation, vilket indikeras med krökta pilar för kraftparsmomenten
C1 , . . . , Cm i referensplanet.
Sats 2.15. För en kraft F̄ med angreppspunkt P i ett plant kraftsystem ges kraftmomentet m.a.p. en godtycklig punkt A i referensplanet av
MA = ±d⊥ F,
(2.12)
där F är kraftens belopp och d⊥ kallas hävarm och är vinkelräta
avståndet från A till kraftens verkningslinje.
F̄2
P2
C2
C1
P1
F̄1
ēy
ēz
ēx
Cm
Pn
F̄n
Figur 2.14: Ett plant kraftsystem
med xy-planet som referensplan.
Systemets kraftparsmoment kan
därmed skrivas som skalärer.
kraftsystem
19
Bevis. Vi har att
MA
= ±|M̄A | = def. 2.2
= ±|AP × F̄ | = ekv. (B.12)
= ±|AP||F̄ | sin ϕ,
där ϕ är vinkeln mellan AP och F̄ (fig. 2.15). Eftersom avståndet
från A till kraftens verkningslinje är d⊥ = |AP| sin ϕ följer det att
MA = ±d⊥ F .
Kraftmomentets riktning ges som tidigare av högerhandsregeln. Det
moturs vridande kraftmoment som avbildas i fig. 2.15 är riktat i ēz riktningen. Om vi väljer referensplanets normal som ēn = ēz kommer
kraftmomentet MA , och alla moturs orienterade kraftmoment, att ha
ett positivt tecken i sin skalära representation. Medurs orienterade
kraftmoment får negativt tecken. Det omvända gäller om vi skulle
välja ēn = −ēz .
F̄
ϕ
AP
ēy
ēz
d⊥ = |AP| sin ϕ
P
ēx
A
Figur 2.15: Geometri för kraftmoment i ett plant kraftsystem med
xy-planet som referensplan. Hävarmen betecknas d⊥ .
3
Statisk jämvikt
3.1
Jämviktsekvationer
Definition 3.1 (Statisk jämvikt). En stelkropp är i statisk jämvikt om
varje punkt på kroppen har accelerationen noll relativt ett givet
inertialsystem.
Eftersom en stelkropp inte kan deformeras, följer det att alla punkter
på en stelkropp i statisk jämvikt rör sig med samma konstanta hastighet v̄. Punkterna på kroppen färdas därför längs räta parallella banor,
så kallad translation (fig. 3.1). Att en stelkropp befinner sig i vila innebär att kroppen är i statisk jämvikt, samt att ett inertialsystem valts
så att v̄ = 0̄.
Statisk jämvikt definieras utifrån stelkroppens rörelse, inte utifrån
vilka krafter som verkar på kroppen. För att kunna avgöra vilka kraftsystem som ger statiskt jämvikt krävs ett postulat.
Postulat 3.2 (Jämviktsvillkor). En stelkropp i statisk jämvikt förblir
i statisk jämvikt om kraftsystemet som verkar på stelkroppen är
ett nollsystem
ΣF̄
=
0̄
(3.1a)
ΣM̄A
=
0̄,
(3.1b)
där ΣF̄ är kraftsystemets kraftsumma, och ΣM̄A är kraftsystemets
momentsumma m.a.p. en godtycklig punkt A.
Ekvation (3.1a) benämns kraftjämvikt och ekv. (3.1b) momentjämvikt.
Enligt sats 2.13 kan momentpunkten i momentjämvikten väljas fritt.
Kraft- och momentjämvikterna är vektorekvationer, som enligt ekv.
(B.4) kan skrivas på komponentform. De bildar sex oberoende skalära
ekvationer


ΣMAx = 0
 ΣFx = 0

(3.2)
ΣFy = 0
ΣMAy = 0


 ΣF = 0
ΣM = 0,
z
Az
vilka tillsammans utgör ett ekvationssystem.
v
v
v
Figur 3.1: Vid statisk jämvikt beskriver en stelkropp translation,
d.v.s. varje punkt rör sig med samma konstanta hastighet.
22
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Jämvikt i två dimensioner
För ett plant kraftsystem förenklas jämviktsekvationerna genom att
man väljer ett koordinatsystem så att två av koordinataxlarna ligger
i referensplanet. Om vi placerar xy-planet i referensplanet (fig. 2.14),
så att ēn = ēz i def. 2.14, erhåller vi
F̄i ⊥ ēz
⇔
Fiz = 0
⇒
ΣFz = 0.
Vidare är alla kraftmoment och kraftparsmoment riktade i z-riktningen
så att
ΣMAx = ΣMAy = 0,
där A betecknar en momentpunkt i referensplanet. Därmed återstår
endast tre icketriviala jämviktsekvationer för det plana kraftsystemet:




ΣFx = 0
(3.3)
ΣFy = 0


 ΣM = 0.
Az
3.2
Friläggning
Ett friläggningsdiagram är ett hjälpmedel för att identifiera alla yttre krafter och kraftparsmoment som verkar på ett mekaniskt system.
Vid friläggning särskiljs kroppen från sin omgivning och omgivningens
verkan på kroppen ersätts med krafter och kraftparsmoment. Arbetsgången vid friläggning är:
1. Bestäm vilken kropp som ska
friläggas, här inom streckad linje.
g
G
2. Rita ett diagram, som endast
innehåller den frilagda kroppen.
G
3. Ersätt omgivningens verkan på
kroppen med krafter och kraftparsmoment.
G
Omgivningens verkan på kroppen inbegriper krafter från kraftfält, t.ex.
tyngdkraft, och kontaktkrafter som uppstår vid varje fysisk kontakt
mellan den frilagda kroppens rand och omgivande föremål.
23
statisk jämvikt
g
Tyngdkraft
Tyngdkraftens verkan på en stelkropp nära jordens yta modelleras med
en kraft, tyngdkraften, verkande i kroppens tyngdpunkt G (fig. 3.2).
Tyngdkraften är ungefärligen riktad mot jordens centrum och har beloppet mg, där m är kroppens massa och g är tyngdkraftskonstanten.
Gravitationens verkan på stelkroppar kommer att studeras noggrannare i kap. 4.
Tvångskrafter och -moment
Om en stelkropp står i fysisk kontakt med omgivande föremål, så att
den därför hindras från att fritt förflyttas eller rotera, kan tvångskrafter
eller tvångsmoment uppstå vid kontakten.
Vi studerar först en punktkontakt mellan två kroppar, Ω1 och Ω2 .
Kropparna är i kontakt med varandra i den gemensamma punkten P.
Denna kontakt ger i allmänhet upphov till en kraft F̄1 verkande i P på
kroppen Ω1 , samt ett kraftparsmoment C̄1 på Ω1 . Kontakten ger också
upphov till en kraft F̄2 verkande i P på kroppen Ω2 , samt ett kraftparsmoment C̄2 på Ω2 (fig. 3.3). Enligt en utvidgning av reaktionslagen
gäller
F̄2 = −F̄1 ,
ēz
G
ēy
ēx
−mgēz
Figur 3.2: En stelkropp på vilken
tyngdkraftsfältet vid jordens yta
verkar. Tyngdkraften, som har beloppet mg, har sin angreppspunkt
i tyngdpunkten G.
C̄2 = −C̄1 .
Ω2
P
C̄2
P
F̄2
F̄1
P
C̄1
Ω1
Punktkontakt används som modell för olika typer av mekaniska
infästningar och anordningar mellan kroppar, såsom svetsar, gångjärn,
lager o.s.v. Infästningens typ påverkar riktningarna hos tvångskrafter
och -moment, enligt följande två principer:
1. Om en infästning medger att Ω1 kan förskjutas fritt relativt Ω2 i
en riktning ēλ , gäller
F̄1 · ēλ = F̄2 · ēλ = 0.
Ett exempel är y-riktningen i fig. 3.4d.
2. Om en infästning medger att Ω1 kan vridas fritt relativt Ω2 kring
en axel med riktningsvektorn ēλ genom P, gäller
C̄1 · ēλ = C̄2 · ēλ = 0.
Ett exempel är x-riktningen i fig. 3.4b.
Figur 3.3: Två kroppar, Ω1 och Ω2 ,
med en punktkontakt vid P. Friläggningen illustrerar kontaktkrafterna mellan kropparna: F̄2 = −F̄1 ;
C̄2 = −C̄1 .
24
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Cz
z
Cz
z
Fz
Fx
x
y
Fz
Fy
Cx
Fx
Cy
x
y
(a)
Cy
(b)
z
z
N
Fx
x
N
Fy
Fx
y
x
(c)
y
(d)
Tvångskrafter kan alltså bara uppstå i de riktningar i vilka relativ
rörelse är förhindrad. På samma sätt kan tvångsmoment bara uppstå
i de riktningar kring vilka relativ vridning är förhindrad.
Det finns ändlöst många typer av infästningar och i varje fall måste
en lämplig punktkontaktmodell införas. Några exempel ges i fig. 3.4.
När en ny typ av infästning påträffas är det lämpligt att utgå från att
alla kraft- och kraftparsmomentkomposanter är nollskilda, och därefter
metodiskt eliminera de komposanter som saknar tvång.
Snören och trissor
Ett snöre är en idealiserad lina, vajer eller liknande, vilken betraktas som masslös och otänjbar. Ett sträckt snöre belastas endast av
en dragkraft S > 0 i snörets längsriktning. Ett frilagt sträckt snöre
belastas av två krafter S̄ och −S̄, som verkar i vardera änden och är
parallella med snöret (fig. 3.5a).
När ett snöre löper kring en friktionsfritt lagrad masslös trissa, kommer dragkraften att vara densamma i var och en av de två utgående
tamparna. Detta framgår om man tecknar momentjämvikt kring trissans lagringsaxel (fig. 3.5b).
S
r
S1
S2
S1
A
S2
S1 = S2
S
(a)
Fy
(b)
Figur 3.4: Friläggning för olika typer av kontakter. (a) Fast inspänning, t.ex. svetsar, skruvförband
och limförband, där krafter och
kraftparsmoment kan uppstå i varje riktning. (b) För en gångjärnsled, nitar och spikar, tillåter en
sprint vridning kring x-axeln, varför Cx = 0. (c) Friktionskontakt
med rundad kropp; vridningar är
tillåtna genom rullning mot underlaget, så att Cx = Cy = 0. Utan
friktionsmoment kring normalaxeln har vi Cz = 0. (d) Ett hjul eliminerar en av friktionskomposanterna, Fy = 0, och vridning medges
kring varje axel, Cx = Cy = Cz =
0.
Figur 3.5: (a) Ett sträckt snöre belastas av två motriktade krafter,
parallella med snöret. (b) Snöre
som löper över en friktionsfritt lagrad trissa. Momentjämvikt för trissan kring A visar att S1 = S2 .
statisk jämvikt
25
Tvåkraftsystem
Ett viktigt specialfall för jämvikt i två eller tre dimensioner är när
exakt två krafter, ett tvåkraftsystem, verkar på en stelkropp.
F̄P
P
Sats 3.3 (Tvåkraftsystem). Om exakt två nollskilda krafter verkar på
en stelkropp i statisk jämvikt, är dessa krafter lika stora motriktade
och har sammanfallande verkningslinjer (fig. 3.6).
Bevis. Låt två godtyckliga krafter, F̄P med angreppspunkt P och F̄Q
med angreppspunkt Q, verka på en kropp i statisk jämvikt. Kraftjämvikt ger
F̄P + F̄Q = 0̄,
så att F̄P = −F̄Q och krafterna är lika stora och motriktade. Därmed
är också deras verkningslinjer parallella.
Momentjämvikt m.a.p. P ger (fig. 3.7)
PP × F̄P + PQ × F̄Q
=
0̄
=
0̄
|PQ||F̄Q | sin ϕ =
0
PQ × F̄Q
|PQ| sin ϕ =
0,
⇔
⇔
⇔
ekv. (B.12)
⇔
F̄Q 6= 0̄
⇔
Q
F̄Q = −F̄P
Figur 3.6: Ett tvåkraftsystem i statisk jämvikt. Krafternas verkningslinjer sammanfaller.
F̄Q
Q
d⊥
PQ
ϕ
P
F̄P
Figur 3.7: Geometri för beviset till
sats 3.3.
där ϕ är vinkeln mellan PQ och F̄Q . Enligt fig. 3.7 är det vinkelräta
avståndet mellan verkningslinjerna just
d⊥ = |PQ| sin ϕ = 0,
så att verkningslinjerna alltså måste sammanfalla.
Masslösa stänger fästa i gångjärnsleder är typiska tvåkraftsystem (fig. 3.8).
Analysen av flerkroppsproblem kan ibland förenklas avsevärt om man
utnyttjar denna egenskap.
Figur 3.8: Masslösa stänger som är
momentfria i sina fästpunkter utgör tvåkraftsystem under drag och
tryck. Även masslösa snören är tvåkraftsystem.
3.3
Flerkroppsproblem
När en konstruktion innehåller flera delar, som alla är i statisk jämvikt,
måste kraftsystemet på var och en av delarna vara ett nollsystem.
Man kan visa att det är ett nödvändigt villkor för statisk jämvikt att
hela systemet också påverkas av ett nollsystem av yttre krafter och
kraftparsmoment.
26
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Vid problemlösning kan man välja att frilägga flera sammankopplade stelkroppar åt gången. Betrakta t.ex. schaktmaskinen i fig. 3.9a.
Beroende på frågeställningen kan det vara lämpligt att antingen frilägga schaktmaskinen i sin helhet (fig. 3.9b), eller att frilägga varje del för
sig (fig. 3.9c). Det senare alternativet är lämpligt om frågeställningen
rör krafter mellan konstruktionens delar.
A
g
B
C
G1
D
(a)
G2
m2 g
m1 g
NE
ND
E
(b)
Fh
Fh
FAy
FAx
FAx
FAy
Fh
Fh
m1 g
ND
m2 g
NE
(c)
Friläggningen av schaktmaskinens delar i fig. 3.9c visar på några viktiga principer: I kontaktpunkten mellan två delar uppstår krafter och
reaktionskrafter, som enligt reaktionslagen är lika stora och motriktade. Hydraulcylindern antas vara masslös och är därför en tvåkraftsdel,
varför krafterna som angriper i dess ändar är lika stora, motriktade och
har sammanfallande verkningslinjer (sats 3.3). Kraft- och momentjämvikt kan tecknas för varje frilagd del.
Figur 3.9: (a) Schaktmaskin bestående av fordon med masscentrum G1 och massan m1 , en masslös
hydraulcylinder och ett schaktblad
på balk med masscentrum G2 och
massan m2 . (b) Friläggning av hela konstruktionen. (c) Friläggning
av konstruktionens delar, där hydraulcylindern är en tvåkraftsdel.
4
Masscentrum och tyngdpunkt
4.1
Densitet
Densiteten % hos ett material är ett mått på materialets täthet, och
definieras som massa per volymsenhet, med SI-enheten kg/m3 . Vilket material en kropp består av kan variera över det område kroppen
upptar i rummet, och således varierar även densiteten: % = %(r̄). En
kropp Ω har därmed massan
Z
Z
m=
dm =
%(r̄)dV,
(4.1)
Ω
Ω
där dV är ett infinitesimalt volymselement, dm = %dV är ett masselement och r̄ är integrationsvariabeln (fig. 4.1).
4.2
Ω
dV
y
r̄
z
x
Figur 4.1: Geometri för definition
av massa.
Masscentrum
Betrakta en stelkropp nära jordens yta. Om kroppen hängs upp i ett
snöre anslutet till en punkt P1 på kroppens yta, kommer snörets förlängning vid statisk jämvikt definiera en lodlinje genom kroppen. Om
förfarandet upprepas för flera olika punkter, P1 , P2 , . . ., på kroppens
yta är det ett experimentellt faktum att samtliga motsvarande lodlinjer med god noggrannhet skär en gemensam kroppsfix punkt, som
kallas kroppens tyngdpunkt (fig. 4.2).
g
P1
P1
P2
P2
P3
tyngdpunkt
P1
I det följande ges en formell definition av en kropps masscentrum G,
och senare visas att masscentrum sammanfaller med kroppens tyngdpunkt.
Figur 4.2: En stelkropp på vilket
tyngdkraftsfältet vid jordens yta
verkar. Lodlinjerna för olika upphängningspunkter P1 , P2 , . . . på
kroppen skär en gemensam punkt
benämnd tyngdpunkten.
28
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Definition 4.1 (Masscentrum). För en kropp Ω med densiteten %(r̄)
definieras kroppens masscentrum G av lägesvektorn
Z
Z
1
1
r̄G ≡
r̄dm =
r̄%(r̄)dV,
(4.2)
m Ω
m Ω
där m betecknar kroppens massa.
Detta betyder att om r̄G = xG ēx + yG ēy + zG ēz så ges masscentrums
x-koordinat av
Z
1
x%(x, y, z)dxdydz,
(4.3)
xG =
m Ω
med analoga uttryck för yG och zG .
Sats 4.2 (Masscentrum för sammansatt kropp). Om en kropp Ω med
massan m är sammansatt av n delkroppar Ω1 , . . . , Ωn , ges den
sammansatta kroppens masscentrum av
r̄G =
1 X
mi r̄Gi ,
m i=1
n
(4.4)
där mi är massan och r̄Gi är masscentrums lägesvektor för den i:te
delkroppen (fig. 4.3).
Bevis. Enligt def. 4.1 för masscentrum har vi
Z
1
r̄G =
r̄dm = En integral för varje delområde
m Ω
Z
Z
1
=
r̄dm + · · · +
r̄dm
m Ω1
Ωn
Z
Z
1
1
1
=
m1
r̄dm + · · · + mn
r̄dm
m
m1 Ω1
mn Ωn
|
{z
}
|
{z
}
=r̄G1
=
1
m
n
X
=r̄Gn
mi r̄Gi .
i=1
Definition 4.3 (Geometriskt centrum). För en kropp Ω definieras
kroppens geometriska centrum C av lägesvektorn
Z
1
r̄dV,
(4.5)
r̄C ≡
V Ω
där V betecknar kroppens volym.
Det är vanligt att en kropp Ω består av ett och samma material, så
att densiteten är oberoende av läget i kroppen, d.v.s. % är konstant. I
sådana fall är kroppens massa
Z
Z
m=
%dV = %
dV = %V.
Ω
Ω
Kroppens masscentrum blir då, enligt ekv. (4.2),
Z
Z
Z
1
1
1
r̄G =
r̄%dV =
%
r̄dV =
r̄dV = r̄C .
m Ω
%V
V Ω
Ω
Vid konstant densitet sammanfaller alltså masscentrum med geometriskt centrum.
mn
r̄Gn
y
m1
r̄G1
z
x
Figur 4.3: En kropp sammansatt av
delkroppar Ωi , i = 1, . . . , n, vardera med massan mi och masscentrum Gi .
masscentrum och tyngdpunkt
4.3
Masscentrum för tunna kroppar
För ett tunt skal definieras ytdensiteten %A som skalets massa per
areaenhet. Ytdensiteten kan variera över skalet, varför vi skriver %A =
%A (r̄), där r̄ är lägesvektorn för en punkt på skalet. Vi låter Ω beteckna
den yta i rymden, som skalet upptar. Låt dA vara ett infinitesimalt
ytelement på Ω. Motsvarande masselement blir dm = %A dA, så att
lägesvektorn för skalets masscentrum G blir
Z
Z
1
1
r̄G =
r̄dm =
r̄%A dA,
(4.6)
m Ω
m Ω
enligt ekv. (4.2) (fig. 4.4). På motsvarande sätt generaliseras ekv. (4.5)
för geometriskt centrum till
Z
1
r̄C =
r̄dA,
(4.7)
A Ω
R
där A = Ω dA är skalets area.
För en krökt tunn stång, som följer kurvan K från P till Q, definieras linjedensiteten %` som stångens massa per längdenhet. Låt ds
beteckna ett infinitesimalt längdelement på kurvan K, så att motsvarande masselement är dm = %` ds. Stångens masscentrum G ges då av
r̄G =
1
m
Z
r̄dm =
K
1
m
Z
r̄%` ds,
(4.8)
K
enligt ekv. (4.2) (fig. 4.5). Ekvation (4.5) generaliseras här till
Z
1
r̄ds,
r̄C ≡
` K
R
där ` = K ds betecknar kurvan K:s längd.
4.4
29
dA
y
(4.9)
Gravitationen är en volymskraft, som verkar över en kropps hela område i rummet. Betrakta en kropp Ω med densiteten % = %(r̄). Kroppen
påverkas då av en volymskraft,
f¯g (r̄) = %(r̄)ḡ(r̄),
där ḡ betecknar det tyngdkraftsfält som skapas av gravitationen. Man
kan ofta med tillräckligt god noggrannhet anta att tyngdkraftsfältet ḡ(r̄) = ḡ är ett konstant vektorfält inom ett begränsat område.
Sats 4.4 (Tyngdkraft och tyngdpunkt). För en stelkropp Ω med massan m och densiteten % = %(r̄) i ett rumskonstant tyngdkraftsfält ḡ
ges kraftsumman av volymskraften %(r̄)ḡ av tyngdkraften
(4.10)
och momentsumman för %(r̄)ḡ m.a.p. kroppens masscentrum G är
ΣM̄G = 0̄.
r̄
x
z
Figur 4.4: Geometri för definition
av masscentrum för ett tunt skal Ω.
K
ds
P
y
z
Tyngdpunkt
F̄g = mḡ,
Ω
r̄
x
Q
Figur 4.5: Geometri för definition
av masscentrum för en tunn stång
längs kurvan K.
30
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Bevis. Betrakta ett godtyckligt volymselement dV med massan dm =
%dV och lägesvektorn r̄. Kraften på volymselementet är (fig. 4.6)
dF̄ = ḡdm.
Kraftsumman över alla volymselement ges av
Z
F̄g =
dF̄
Ω
Z
=
ḡdm = ḡ konstant
ΩZ
=
dm ḡ
| Ω{z }
=
=m
mḡ.
ḡ
Ω
G
r̄G
y
G
dV
y
r̄
r̄
z
r̄ − r̄G
x
z
x
dF̄ = ḡdm
Volymselementet betraktas som en partikel (postulat 1.2) varför kraftparsmomentet på dm antas vara 0̄.9 Momentsumman m.a.p. masscentrum G ges av
Z
ΣM̄G =
(r̄ − r̄G ) × dF̄
Ω
Z
=
(r̄ − r̄G ) × ḡdm = ḡ konstant
Ω
Z
=
(r̄ − r̄G )dm × ḡ
ZΩ
Z
=
r̄dm −
r̄G dm × ḡ = r̄G konstant
Ω
Ω Z
Z
1
=
m
r̄dm −r̄G
dm × ḡ
m Ω
| {z
}
| Ω{z }
=r̄G
=
=
=
Figur 4.6: Geometri för tyngkraftens verkan på en stelkropp, med
en friläggning av ett volymselement.
=m
(mr̄G − r̄G m) × ḡ
0̄ × ḡ
0̄.
Tack vare den egenskap som påvisas i sats 4.4 är det möjligt att representera tyngdkraftens verkan på en stelkropp med en enda kraft mḡ
som verkar i kroppens masscentrum.
9
Detta är i sig ett postulat.
masscentrum och tyngdpunkt
31
Ett typiskt exempel, där tyngdkraftsfältet är ḡ = −gēz , finns avbildat i fig. 4.7. I ett rumskonstant tyngdkraftsfält är masscentrum identiskt med tyngdpunkten, som alltså avser den punkt G där tyngdkraften mḡ anses verka. Om tyngdkraftsfältet varierar med läget, ḡ = ḡ(r̄),
existerar ingen tyngdpunkt eftersom lodlinjerna som bildas vid förfarandet i fig. 4.2 inte nödvändigtvis kommer att ha någon gemensam
skärningspunkt.
ḡ = −gēz
ēz
ēy
ēx
m
≡
G
−mgēz
Figur 4.7: En stelkropp på vilket
tyngdkraftsfältet vid jordens yta
verkar. Tyngdkraften, som har beloppet mg, har sin angreppspunkt
i tyngdpunkten G.
5
Friktion
Vid en kontakt mellan två kroppar uppstår friktionskrafter på respektive kropp, som motverkar glidning.10 Betrakta två kroppar Ω1 och Ω2 ,
som står i fysisk kontakt vid den för kropparna gemensamma punkten P (fig. 5.1). Vid kontaktpunkten P definieras ett tangentplan till
kropparna, med normalvektorn ēn . På kropp Ω1 verkar en normalkraft N̄ = N ēn och en friktionskraft F̄f ⊥ ēn . På kropp Ω2 verkar −N̄
och −F̄f enligt reaktionslagen.
Ω1
Ω1
P
Ω2
P
tang
entp
lan
N̄
F̄f
ēn
normal
Alla material uppvisar friktion mot varandra, men när friktionen
mellan två kroppar bedöms vara försumbar, t.ex. p.g.a. smörjning,
sägs kontaktstället vara friktionsfritt. För en friktionsfri kontakt är
friktionskraften F̄f = 0̄. Med en friktionsfri yta,11 menas att alla ytans
kontaktställen är friktionsfria.
5.1
Ett friktionsexperiment
Betrakta experimentuppställningen i fig. 5.2. En låda vilar mot en plan
vagn som i sin tur vilar mot ett plant underlag. Vagnen hålls på plats
av en anordning som mäter beloppet Ff av den horisontella kraften på
vagnen. Lådan påverkas av en variabel horisontell kraft P vars belopp
mäts med en givare. En friläggning av lådan återfinns också i fig. 5.2.
Kraftjämvikt i horisontell riktning visar att det kraftbelopp Ff som
uppmäts på vagnen är identiskt med friktionskraftens belopp.
I ett experiment låter man först kraften P = 0 verka på lådan, därefter ökas P långsamt. I ett första skede glider inte lådan mot vagnen;
den hålls på plats av statisk friktion. Så länge ingen glidning uppstår
råder kraftjämvikt, vilket ger Ff = P . När man ökat P tillräckligt
10
Även kraftparsmoment kan uppstå för
att motverka vridning kring en normal
genom kontaktytan.
Figur 5.1: Två stelkroppar i kontakt vid punkten P. Tangentplanet
för kontakten har indikerats. Kroppen Ω1 har frilagts, med friktionskraften F̄f i tangentplanet, och normalkraften N̄ i planets normalriktning.
11
Benämningen glatt yta förekommer
också.
34
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
mg
g
P
G
m
Figur 5.2: Experimentuppställning
för friktionsmätning, och friläggning av rörlig del. Kraftgivare har
indikerats med dubbelcirkelsymbol.
P
N
Ff
börjar dock lådan glida mot vagnen och accelerera. I samma ögonblick
sjunker friktionskraften plötsligt och behåller ett konstant värde även
om vi ökar P ytterligare under rörelsen (fig. 5.3). Friktionskraften vid
glidning benämns kinetisk friktion.
Beteendet som skildras i tankeexperimentet ovan är typiskt för så
kallad torr friktion, där kontaktstället utgörs av rena torra ytor. Fukt,
partiklar och oxidlager med mera på kropparnas ytor påverkar annars
friktionskraftens belopp. Även temperaturen och kropparnas mekaniska egenskaper påverkar friktionen.
5.2
Ff
µs N
µk N
1
1
statisk
kinetisk
P
Figur 5.3: Friktionskraft ritad som
funktion av pålagd kraft P för experimentet i fig. 5.2.
Coulombfriktion
Om vi begränsar oss till torr friktion mellan rena ytor under konstant
temperatur, gäller följande empiriska samband12 approximativt.
Empiriskt samband 5.1 (Coulombs friktionslag). Om glidning föreligger vid ett kontaktställe gäller
|F̄f | = µk N.
(5.1)
Om glidning ej föreligger, består denna statiska friktion så länge
|F̄f |
< µs .
N
(5.2)
Här är F̄f friktionskraften, N normalkraftens belopp, µk den kinetiska friktionskoefficienten och µs den statiska friktionskoefficienten, där 0 ≤ µk ≤ µs .
Vid glidning verkar F̄f rakt motsatt glidhastigheten vid kontaktstället. Tankeexperimentet från stycke 5.1 (fig. 5.2 och 5.3) exemplifierar
Coulombfriktion.
Om glidning ej föreligger i utgångsläget kan man undersöka gränsfallet för begynnande glidning. För detta sätter man friktionskraften
till det instabila gränsfall där glidning är förestående:
|F̄f | = µs N.
(5.3)
Detta motsvarar friktionskraftens maximum i fig. 5.3.
Vid problemlösning är det ibland inte känt huruvida glidning föreligger vid kontaktstället. I sådana fall antar man först att friktionen
är statisk och använder jämviktsekvationerna, ekv. (3.1a) och (3.1b),
för att bestämma friktionskraftens belopp |F̄f | och normalkraftens belopp N . Om detta leder till att ekv. (5.2) ej är uppfylld måste glidning
föreligga, och friktionskraften ges i stället av ekv. (5.1).
12
empiriskt samband – ekvation eller lag
som påvisats experimentellt.
friktion
5.3
35
Friktion i ett system av kroppar
Om det finns flera kontaktställen med Coulumbfriktion i ett flerkroppsproblem gäller det konstitutiva sambandet 5.1 vid varje kontaktställe.
Om vi t.ex. har två kontaktställen, vid punkterna P och Q, är följande
fall tänkbara:
•
•
•
•
Ingen glidning vid något av kontaktställena P eller Q.
Glidning vid P men ej vid Q.
Glidning vid Q men ej vid P.
Glidning vid både P och Q.
Dessa fall är avbildade i fig. 5.4. Om ett flerkroppsproblem innehåller n kontaktställen finns det maximalt 2n tänkbara kombinationer av
glidning och statisk friktion.
m1
F
P
P
m2
Q
Q
(a)
m2
(b)
m1 v
F
P
Q
(c)
m1 v 1
F
m1 v 1
F
P
m2 v
Q
Figur 5.4: Exempel på friktion vid
flera kontaktställen. Tänkbara utfall är (a) ingen glidning, (b) endast
glidning vid P, (c) endast glidning
vid Q, och (d) glidning vid både P
och Q. Det sista fallet kan åstadkommas genom att, efter att glidning uppstått vid Q, hastigt öka F .
m2 v 2
(d)
Ibland medför problemets geometri att vissa kombinationer av glidning och statisk friktion kan uteslutas. En kil har t.ex. två kontaktställen (fig. 5.5). Glidning måste uppstå vid båda kontaktställena för
att kilen ska kunna förflyttas. Således existerar bara två tänkbara fall:
antingen glidning vid båda kontaktställena, eller ingen glidning vid
något kontaktställe.
Figur 5.5: För att en kil ska drivas in krävs glidning vid båda dess
kontaktställen.
Del II
Partikeldynamik
6
Plan kinematik
Kinematik är läran om rörelsens geometri, utan att orsaken till denna
rörelse beaktas. Detta kapitel ägnas åt studier av partikelrörelse begränsad till ett plan, så kallad plan rörelse. Framställningen använder
sig av differentialer, som beskrivs formellt i bilaga D.
6.1
Rätlinjig rörelse
Om en partikel P rör sig längs en rät linje i rummet sägs partikeln
utföra rätlinjig rörelse. För att beskriva partikelns läge inför vi en
lägeskoordinat x(t) relativt en rumsfix punkt O på linjen (fig. 6.1).
Koordinaten x(t) beskriver läget vid tiden t och tillåts anta negativa
värden. Om partikeln vid en annan tid t + ∆t befinner sig vid punkten
P 0 med koordinaten x(t + ∆t), definierar vi partikelns momentana13
hastighet genom gränsvärdet
x(t + ∆t) − x(t)
dx
=
,
∆t→0
∆t
dt
v(t) ≡ lim
13
momentan – som råder i ögonblicket.
(6.1)
vilket vi känner igen som tidsderivatan av läget x(t). För rätlinjig
rörelse definieras partikelns fart som |v|.
P
O
x
v
P ′ v + ∆v
Figur 6.1: En partikel P:s rörelse
längs en rät linje relativt en fix referenspunkt O.
x + ∆x
På motsvarande sätt definieras partikelns momentana acceleration
som hastighetens tidsderivata:
a(t) ≡ lim
∆t→0
v(t + ∆t) − v(t)
dv
=
.
∆t
dt
(6.2)
Definitionerna för hastighet och acceleration kan även skrivas med
differentialnotation (bilaga D). Genom att tillämpa ekv. (D.2) på ekv. (6.1)
respektive (6.2) får vi
dx
=
vdt
(6.3a)
dv
=
adt.
(6.3b)
40
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Sats 6.1. För en partikel i rätlinjig rörelse, med lägeskoordinaten x(t),
hastigheten v(t) och accelerationen a(t) gäller
vdv = adx.
Bevis. Från ekv. (6.3b) får vi
dv = adt ⇔
multiplicera med v
vdv = avdt ⇔
ekv. (6.3a)
⇔
vdv
(6.4)
⇔
= adx.
Vid problemlösning utgår man lämpligen från ett eller flera av differentialsambanden (6.3a), (6.3b) och (6.4). Därefter tillämpar man
satserna D.2 eller D.3 för att bilda en skalär ekvation.
6.2
Kroklinjig rörelse
Det tidsberoende läget för en partikel eller punkt i rummet betecknas r̄(t). Utifrån denna lägesvektor definieras sedan hastighet och acceleration som gränsvärden.
v̄
Definition 6.2 (Hastighet). Hastigheten för en partikel med lägesvektorn r̄(t) definieras (fig. 6.2)
r̄(t + ∆t) − r̄(t)
∆r̄
dr̄
= lim
=
.
∆t→0
∆t→0 ∆t
∆t
dt
v̄(t) ≡ lim
t+∆t
r̄(t+∆t)
(6.5)
Hastighet är en vektorstorhet och dess riktning är parallell med tangenten för den bana som beskrivs av r̄(t) (fig. 6.2).
Definition 6.3 (Acceleration). Accelerationen för en partikel med
hastigheten v̄(t) definieras (fig. 6.3)
v̄(t + ∆t) − v̄(t)
∆v̄
dv̄
= lim
=
.
∆t→0
∆t→0 ∆t
∆t
dt
ā(t) ≡ lim
v̄(t+∆t)
v̄(t)
t+∆t
z
Rektangulära koordinater
(6.7)
Denna situation illustreras i fig. 6.4. När det framgår av kontexten
vilka storheter som är tidberoende utelämnar man ofta parametern t
och skriver r̄ = xēx + yēy + zēz .
Sats 6.4 (Hastighet på rektangulär form). Hastigheten för en partikel
med lägesvektorn r̄ = xēx + yēy + zēz ges på rektangulär form av
v̄ = ẋēx + ẏēy + żēz .
y
(6.8)
r̄(t)
Figur 6.2: Geometri för gränsvärdesdefinition av hastighet.
Accelerationen är en vektorstorhet vars riktning inte behöver vara parallell med tangenten till banan r̄(t).
r̄(t) = x(t)ēx + y(t)ēy + z(t)ēz .
t
x
(6.6)
En partikels läge i ett rektangulärt koordinatsystem med basen {ēx , ēy , ēz }
skrivs
∆r̄
z
x
∆v̄
∆t
t
∆v̄
v̄(t)
y
v̄(t+∆t)
Figur 6.3: Geometri för gränsvärdesdefinition av acceleration.
plan kinematik
P
y
r̄
ēy
z
ēx
ēz
Figur 6.4: En partikel P:s rörelse
i rummet relativt ett rektangulärt
koordinatsystem.
v̄
ā
x
Bevis. Enligt definition 6.2 för hastighet gäller
v̄
=
=
=
=
dr̄
dt
d
(xēx + yēy + zēz ) = produktregeln
dt
dēx
dēy
dēz
ẋēx + x
+ ẏēy + y
+ żēz + z
= ēx , ēy , ēz konst.
dt
dt
dt
ẋēx + ẏēy + żēz .
Basvektorernas tidsderivator blir noll eftersom de är konstanter för
rektangulära koordinatsystem.
Sats 6.5 (Acceleration på rektangulär form). Accelerationen för en
partikel med lägesvektorn r̄ = xēx + yēy + zēz ges på rektangulär
form av
ā = ẍēx + ÿēy + z̈ēz .
(6.9)
Bevis. Definition 6.3 för acceleration ger
ā
=
=
=
=
41
dv̄ = sats 6.4
dt
d
(ẋēx + ẏēy + żēz ) = produktregeln
dt
dēx
dēy
dēz
ẍēx + ẋ
+ ÿēy + ẏ
+ z̈ēz + ż
= ēx , ēy , ēz konst.
dt
dt
dt
ẍēx + ÿēy + z̈ēz .
Precis som för rätlinjig rörelse är det önskvärt att skriva om uttrycken för hastighet och acceleration till differentialsamband, så att
partikelrörelser kan bestämmas genom integration.
Sats 6.6. Om en partikelbana ges av r̄ = xēx + yēy + zēz , hastigheten
betecknas v̄ = vx ēx + vy ēy + vz ēz och accelerationen betecknas
ā = ax ēx + ay ēy + az ēz gäller differentialsambanden
dx = vx dt
dy = vy dt
dz = vz dt
dvx = ax dt
dvy = ay dt
dvz = az dt
vx dvx = ax dx
vy dvy = ay dy
vz dvz = az dz.
(6.10)
42
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Bevis. För koordinatriktningen x har vi enligt ekv. (6.8) att
vx
=
dx
=
dx
⇔
dt
vx dt.
ekv. (D.2)
⇔
(6.11)
Dessutom ger ekv. (6.9)
ax
=
dvx
=
d2 x
dvx
=
dt2
dt
ax dt.
⇔
ekv. (D.2)
⇔
Detta ger i sin tur
dvx
=
ax dt
vx dvx
=
ax vx dt
vx dvx
=
ax dx.
multiplicera med vx
⇔
ekv. (6.11)
⇔
⇔
⇔
Övriga differentialsamband för koordinaterna y och z erhålles analogt.
De differentialsamband som gäller för rätlinjig rörelse, gäller alltså enligt sats 6.6 för var och en av koordinatriktningarna vid kroklinjig
rörelse.
y
P
Polära koordinater
r
I ett givet rektangulärt koordinatsystem med origo O kan en partikel
P:s läge i xy-planet beskrivas med dess avstånd r = |OP| till origo samt vinkeln θ utgående från x-axeln moturs till strålen OP. Här
är r och θ partikelns polära koordinater (fig. 6.5). Om partikeln rör
sig blir dess polära koordinater tidsberoende: r = r(t) och θ = θ(t).
Vinkelhastigheten definieras ω ≡ θ̇, och vinkelaccelerationen definieras
α ≡ ω̇ = θ̈.
K
x
θ
O
Figur 6.5: Polära koordinater (r, θ).
Definition 6.7 (Polära basvektorer). Givet en rektangulär bas {ēx , ēy }
i planet definieras de polära basvektorerna (fig. 6.6)
ēr
ēθ
≡ cos θēx + sin θēy
≡
− sin θēx + cos θēy .
ēθ
ēr
θ
x
ēx
(6.13)
där r̄ = r̄(t), r = r(t) och ēr = ēr (t). Partikelns hastighet och acceleration kan nu erhållas från definitionerna 6.2 och 6.3 genom tidsderiveringar av ekv. (6.13). Dessa deriveringar förenklas dock om vi först
beräknar basvektorernas tidsderivator.
Sats 6.8. De polära basvektorernas tidsderivator ges av
dēr
= θ̇ēθ
dt
dēθ
= −θ̇ēr .
dt
ēy
(6.12b)
I och med denna definition kan lägesvektorn för en partikel skrivas på
polär form som
r̄ = rēr ,
y
(6.12a)
(6.14a)
(6.14b)
Figur 6.6: Rektangulär och polär
bas i enhetscikeln.
plan kinematik
Bevis. Derivering av ekv. (6.12a) ger
dēr
dt
=
=
=
=
=
=
d
d
(cos θēx ) +
(sin θēy ) = ēx , ēy konstanter
dt
dt
d(cos θ)
d(sin θ)
ēx +
ēy = kedjeregeln
dt
dt
d(cos θ) dθ
d(sin θ) dθ
ēx +
ēy
dθ dt
dθ dt
(− sin θ)θ̇ēx + (cos θ)θ̇ēy
θ̇ (− sin θēx + cos θēy ) = ekv. (6.12b)
θ̇ēθ .
Derivering av ekv. (6.12b) ger
dēθ
dt
=
=
=
=
=
=
d
d
(sin θēx ) +
(cos θēy ) = ēx , ēy konstanter
dt
dt
d(sin θ)
d(cos θ)
−
ēx +
ēy = kedjeregeln
dt
dt
d(sin θ) dθ
d(cos θ) dθ
−
ēx +
ēy
dθ dt
dθ dt
−(cos θ)θ̇ēx + (− sin θ)θ̇ēy
−θ̇ (cos θēx + sin θēy ) = ekv. (6.12a)
−
−θ̇ēr .
Direkt tidsderivering av ekv. (6.13) ger därefter uttrycken för hastighet
och acceleration i polära koordinater.
Sats 6.9 (Hastighet på polär form). Hastigheten för en partikel ges
på polär form av
v̄ = ṙēr + rθ̇ēθ .
(6.15)
Bevis. Från definition 6.2 för hastighet får vi
v̄
dr̄ = ekv. (6.13)
dt
d
=
(rēr ) = produktregeln
dt
dēr
= ṙēr + r
= ekv. (6.14a)
dt
= ṙēr + rθ̇ēθ .
=
Sats 6.10 (Acceleration på polär form). Accelerationen för en partikel
ges på polär form av
ā = (r̈ − rθ̇2 )ēr + (rθ̈ + 2ṙθ̇)ēθ .
(6.16)
43
44
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Bevis. Från definition 6.3 för acceleration får vi
dv̄ ā =
= ekv. (6.15)
dt
d
=
(ṙēr + rθ̇ēθ ) = produktregeln
dt
dēr
dēθ
= r̈ēr + ṙ
+ ṙθ̇ēθ + rθ̈ēθ + rθ̇
= ekv. (6.14a), (6.14b)
dt
dt
= r̈ēr + ṙ(θ̇ēθ ) + ṙθ̇ēθ + rθ̈ēθ + rθ̇(−θ̇ēr )
=
(r̈ − rθ̇2 )ēr + (rθ̈ + 2ṙθ̇)ēθ .
Cirkulär rörelse
En cirkulär rörelse låter sig väl beskrivas av polära koordinater (fig. 6.7).
Genom att placera origo i den cirkelära banans centrum försäkrar vi
oss om att r är konstant, så att ṙ = 0 och r̈ = 0. För cirkulär rörelse
rörelse förenklas därmed uttrycken för hastighet och acceleration till
v̄
=
rθ̇ēθ = rωēθ
(6.17a)
ā
=
−rθ̇2 ēr + rθ̈ēθ = −rω 2 ēr + rαēθ .
(6.17b)
Genom att betrakta ekv. (6.17a) finner man en enkel relation mellan
partikelns fart och dess vinkelhastighet:
v = rω.
ēr
y
r
v̄
ēθ
θ
x
Figur 6.7: Cirkelrörelse med polärt
koordinatsystem.
(6.18)
Denna formel gäller dock endast vid cirkulär rörelse.
Naturliga komponenter
Betrakta en partikel P som rör sig längs en kurva K i planet. Utgående
från en fix punkt O på kurvan kan partikels lägesvektor skrivas r̄ =
r̄(s), där s = s(t) är båglängden från O till P längs kurvan (fig. 6.8).
O
ρ
C
K
n
ēn
P
s
t
ēt
r̄
y
x
Definition 6.11 (Naturliga basvektorer). För en given båglängdsparametrisering r̄ = r̄(s) av en kurva K definieras den naturliga
basen
dr̄
ēt ≡
(6.19a)
ds
dēt −1
dēt
,
ēn ≡ ρ
,
ρ ≡ (6.19b)
ds
ds Figur 6.8: En partikel P:s rörelse i
planet längs en bana K, med båglängdskoordinaten s utgående från
den rumsfixa punkten O. Den naturliga basen {ēt , ēn } varierar med
partikelns läge.
plan kinematik
45
där ēt är kurvans tangentriktning, ēn är dess normalriktning och
ρ är dess krökningsradie.
Definition 6.11 är så utformad att |ēt | = |ēn | = 1 och ēt ⊥ ēn , och
därför utgör dessa enhetsvektorer en ortonormal bas i planet.14 Basvektorernas riktning varierar med partikelns läge (fig. 6.8).
För vårt vidkommande är den geometriska tolkningen av def. 6.11
intressant. Då partikeln befinner sig i en punkt P kommer ēt att peka i
kurvans tangentriktning vid P, riktad i båglängdskoordinatens positiva
riktning. Vidare kan man konstruera en cirkel, den oskulerande cirkeln,
sådan att den tangerar kurvan vid P och har samma krökningsradie ρ
som kurvan har vid P (fig. 6.8). Den oskulerande cirkelns mittpunkt
kallas krökningscentrum, C, och normalriktningen är orienterad mot
detta krökningscentrum.
För en partikelbana varierar läget med tiden t, varför vi skriver s =
s(t), och lägesvektorn får således formen
r̄ = r̄ [s(t)] ,
ṡ ≥ 0.
(6.20)
Notera speciellt villkoret ṡ ≥ 0. En partikel som rör sig fram och åter
längs samma bana, som pendeln i figur 6.9, måste tillordnas en kurva
som veckar sig, så att rörelsen kan beskrivas med en båglängdskoordinat som är växande i tiden, och så att s kommer att representera
tillryggalagd sträcka. Från lägesvektorn i ekv. (6.20) härleds uttryck
för hastighet och acceleration (fig. 6.10) från deras respektive definitioner.
14
R. A. Adams. Calculus: A complete course. Addison Wesley Longman,
Ltd., 4th edition, 1999. ISBN 978-0201-39607-2
s
O
v̄
Figur 6.9: Vikten hos en pendel
rör sig fram och tillbaka i samma spår. Detta representeras av en
kurva som veckar sig fram och åter,
så att båglängdskoordinaten ökar
med tiden.
Sats 6.12 (Hastighet i naturliga basen). Hastigheten för en partikel
ges i den naturliga basen av
v̄ = ṡēt = vēt ,
(6.21)
Bevis. Från def. 6.2 för hastighet får vi
v̄
dr̄ = ekv. (6.20)
dt
d
=
r̄ [s(t)] = kedjeregeln
dt
dr̄ ds =
= ekv. (6.19a)
ds dt
= ṡēt .
Sats 6.13 (Acceleration i naturliga basen). Accelerationen för en partikel ges i den naturliga basen av
v2
ēn ,
ρ
där v = ṡ och ρ är banans krökningsradie.
K
ā
an
t
at
v̄
r̄
y
x
Figur 6.10: Lägesvektor r̄, hastighet v̄ och acceleration ā i den naturliga basen.
=
ā = v̇ēt +
n
P
där v = ṡ ≥ 0 är partikelns fart.
P
(6.22)
46
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Bevis. Från def. 6.3 för acceleration får vi
dv̄ ā =
= ekv. (6.21)
dt
d
=
(ṡēt ) = produktregeln
dt
dēt
= s̈ēt + ṡ
= kedjeregeln
dt
dēt ds = s̈ēt + ṡ
= ekv. (6.19b)
ds dt
ṡ2
= s̈ēt + ēn
ρ
v2
= v̇ēt + ēn .
ρ
Accelerationens normalkomponent är alltså an = v 2 /ρ och är alltid
riktad mot krökningscentrum (fig. 6.10).
Sats 6.14. För en krökt partikelbana i den naturliga basen gäller
vdv = at ds,
(6.23)
där at = v̇ är accelerationens komponent i tangentriktningen.
Bevis. Eftersom v = ds/dt ger ekv. (D.2) att
ds = vdt.
(6.24)
Enligt ekv. (D.1) har vi
dv
= v̇dt
dv
= at dt
vdv
= at vdt
vdv
= at ds.
⇔
⇔
ekv. (6.22)
ekv. (6.24)
⇔
⇔
Kinematiska tvång
Rörelsen hos kroppar som är i kontakt med varandra kan vara kopplade på grund av kinematiska tvång. Det gäller t.ex. då två kroppar
är förbundna med en länkarm eller ett sträckt snöre. I ett materiellt
system med flera partiklar i rätlinjig rörelse, förses varje partikel med
en koordinat, som bestämmer partikelns läge relativt någon rumsfix
punkt.
d
xP − d
6.3
⇔
Q
Partiklar förbundna med ett snöre
Som typexempel betraktar vi ett system med två partiklar, P och Q,
förbundna med ett snöre. Snöret löper genom två trissor, som är upphängda enligt fig. 6.11. Båda trissornas radier är R. Med hjälp av definitionerna av sträckor och lägen i fig. 6.11 kan vi teckna ett uttryck
xQ
xP
vQ
P
vP
aQ
aP
Figur 6.11: Två partiklar, P och
Q, sammankopplade med ett snöre,
som löper genom trissor med radien R.
plan kinematik
47
för snörets totala längd:
` =
=
xP + πR + (xP − d) + πR + xQ
2xP + xQ + 2πR − d.
Derivering av denna ekvation m.a.p. tiden ger ett samband mellan
partiklarnas hastighet i deras respektive koordinatriktning:
0 = 2ẋP + ẋQ
⇔
2vP + vQ = 0,
där vi utnyttjade att snörets längd är konstant. Ytterligare en derivering m.a.p. t ger ett samband mellan partiklarnas accelerationer
0 = 2ẍP + ẍQ
⇔
2aP + aQ = 0.
Typiskt för dynamiska problem är att man behöver just sambandet
mellan olika partiklars acceleration, eftersom accelerationen ingår i
kraftlagen (stycke 1.2).
Generellt är det alltid fruktbart att teckna ett snöres längd i de
sammanbundna partiklarnas koordinater och sedan derivera m.a.p. t.
Om problemet innehåller flera snören erhåller man på detta sätt ett
kinematiskt samband för varje snöre.
dP
Partiklar förbundna med en länkarm
När två partiklar står i förbindelse med varandra genom en vridbar
länkarm, inför man en vinkelkoordinat θ, som betecknar länkarmens
vridning relativt en rumsfix axel. Om vinkeln förblir liten, kommer
rörelsen vid länkarmens ändar att vara approximativt rätlinjig.
Som exempel betraktar vi två partiklar, P och Q, som är upphängda
i var sin ände av en rät stång enligt fig. 6.12. Partiklarnas lägen kan
skrivas som funktioner av vinkeln θ:
(
xP = b + dP sin θ
dP
⇔ xP = b +
(b − xQ ),
d
Q
xQ = b − dQ sin θ
där sin θ eliminerades ur ekvationssystemet. Derivering m.a.p. t ger
ẋP = −
dP
ẋQ
dQ
⇔
vP = −
dP
vQ .
dQ
Ytterligare en derivering m.a.p. t ger ett samband mellan partiklarnas
accelerationer
ẍP = −
dP
ẍQ
dQ
⇔
aP = −
dP
aQ .
dQ
θ
xP
dQ
θ
b
b
xQ
Q
P
vQ
vP
aQ
aP
Figur 6.12: Två partiklar, P och Q,
är upphängda i snören, vardera
med längden b, och sammankopplade med en länkarm.
7
Kinetik
7.1
Newtons rörelselagar
Vi upprepar Newtons rörelselagar för partiklar, från stycke 1.2:15
1. Tröghetslagen En partikel förblir i vila eller i likformig rätlinjig
rörelse så länge inga yttre krafter verkar på partikeln.16
2. Kraftlagen För en partikel med konstant massa m gäller
ΣF̄ = mā,
15
I. S. Newton.
Naturvetenskapens
matematiska principer, första boken.
Svensk översättning C. V. L. Charlier,
Liber Läromedel, Malmö, 1986a. ISBN
91-40-60433-0
16
(7.1)
Med formuleringen “inga yttre krafter” menas att partikeln är helt fri från
växelverkan.
där ΣF̄ är kraftsumman på partikeln och ā är partikelns acceleration.
3. Reaktionslagen När en partikel Q utövar en kraft F̄ på en annan partikel P, utövar P samtidigt en kraft −F̄ på Q. Kraften
och reaktionskraften mellan två partiklar är alltså lika stora och
motriktade.
Postulaten ovan benämns även Newtons första, andra respektive tredje
lag. Experiment visar att Newtons rörelselagar gäller för makroskopiska system, alltså system mycket större än den atomära längdskalan,
och farter mycket mindre än ljusets hastighet.
Newtons första lag
Enligt Newtons första lag krävs ingen kraft för att upprätthålla en
rörelse. En partikel rör sig med konstant hastighet i en rät linje, så
kallad likformig rörelse, om den inte påverkas av några krafter från
omgivningen. Det krävs någon form av växelverkan med omgivningen
för att förändra rörelsen.
Rörelsen hos partiklar måste beskrivas relativt en referensram,17
inom vilket vi kan definiera ett koordinatsystem. Newtons rörelselagar
gäller bara i en viss typ av koordinatsystem, som kallas inertialsystem. Newtons första lag, tröghetslagen, gör det möjligt att bestämma
om ett givet koordinatsystem är ett inertialsystem. Man väljer då ut
ett antal föremål som växelverkar mycket svagt med sin omgivning,
till exempel stjärnor långt från andra astronomiska objekt. Om varje
17
referensram – mängden av alla koordinatsystem, som är i vila relativt ett givet
koordinatsystem.
50
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
sådant föremål har konstant hastighet i det givna koordinatsystemet
(fig. 7.1a), vet man att koordinatsystemet med stor noggrannhet är
ett inertialsystem. Om däremot hastigheten för dessa föremål varierar för ett koordinatsystem (fig. 7.1b), vet man att detta inte är ett
inertialsystem.
y
Figur 7.1: (a) Inertialsystemet xyz
är sådana att kroppar med försumbar växelverkan beskriver likformig
rörelse. (b) Koordinatsystemet x̃ỹz̃
är ej ett inertialsystem. Föremål
som påverkas av mycket liten kraft
förefaller vara accelererade.
ỹ
x
x̃
z
z̃
(a)
(b)
Ett koordinatsystem som är fixt relativt Jordens yta är inte något
inertialsystem. Detta framgår tydligt då man fotograferar en stjärnklar himmel med lång exponeringstid (fig. 7.2); stjärnorna rör sig inte
likformigt i den jordbundna referensramen. I många tillämpningar—
dock inte alla—uppnås tillfredställande noggrannhet om Newtons lagar
tillämpas för ett jordbundet koordinatsystem.
Newtons andra lag
I Newtons andra lag, kraftlagen, är det underförstått att en referensram valts så att tröghetslagen gäller. Då är accelerationen ā, som ingår
i kraftlagen, väldefinierad (def. 6.3).
I mer noggranna framställningar utreds hur begreppet massa kan
definieras ur Newtons lagar.18 Här antar vi emellertid att massa och
kraft är på förhand väldefinierade storheter. Deras relation till en partikels rörelse ges av kraftlagen:
Figur 7.2: Stjärnhimlen fotograferad med lång exponeringstid. Ett
jordbundet system är inte något inertialsystem. (foto LCGS Russ)
18
J. B. Griffiths. The theory of classical
mechanics. Cambridge University Press,
1985. ISBN 0-521-23760-2
ΣF̄ = mā.
Notera att vänsterledet innehåller den vektoriella summan av alla på
partikeln verkande krafter. Endast krafter som härrör från växelverkan, t.ex. gravitationskraft och kontaktkrafter, ingår i denna summa.19
Newtons tredje lag
Newtons tredje lag, reaktionslagen för partiklar, beskriver växelverkans natur. Eftersom krafter uppstår genom växelverkan mellan kroppar, uppträder krafter i par: kraften och reaktionskraften på respektive
växelverkande partikel är lika stora och motriktade (fig. 7.3). Den tredje lagen omtalar dock inte huruvida kraften och reaktionskraften ger
upphov till något kraftparsmoment. Vi formulerar därför ett tillägg
19
Fiktiva krafter, t.ex. centripetalkraft,
lyder inte de lagar som normalt gäller
för krafter, t.ex. reaktionslagen.
kinetik
till reaktionlagen, som säkerställer att växelverkan inte skapar något
kraftparsmoment:
Postulat 7.1 (Tillägg till reaktionslagen). Kraften och reaktionskraften verkar längs en gemensam verkningslinje vid växelverkan mellan partiklar (fig. 7.3).
Reaktionslagen är mycket generell. Den gäller i både statiska och
dynamiska situationer och den gäller för alla typer av kroppar, även
deformerbara. Det finns dock tillfällen då den inte gäller, t.ex. när
partiklar växelverkar genom elektromagnetiska krafter och kropparna
accelereras eller befinner sig på mycket stort avstånd från varandra.20
7.2
I kinetiska problem bestäms en partikels rörelse av de krafter som
påverkar partikeln. Samtidigt kan partikelns rörelse påverkas av kinematiska tvång.
Rätlinjig rörelse
Vid rätlinjig rörelse är det på förhand givet att en partikel rör sig längs
en rät linje i ett inertialsystem. Vi väljer ett rektangulärt koordinatsystem sådant att x-riktningen sammanfaller med rörelseriktningen.
Eftersom ingen rörelse sker i y- eller z-riktningen gäller ay = az = 0.
Kraftlagen på komponentform blir därmed
ΣFx
=
max
(7.2a)
ΣFy
=
0
(7.2b)
ΣFz
=
0.
(7.2c)
Accelerationen i en given rörelseriktning bestäms alltså av kraftsumman i denna riktning.
Kroklinjig plan rörelse
Då en partikels rörelse sker i ett plan finns tre alternativa koordinatsystem, som kan användas för att beskriva rörelse.
För rektangulära koordinater med partikelrörelser begränsade till
i xy-planet gäller enligt sats 6.5 att ax = ẍ, ay = ÿ och az = 0.
Kraftlagen på komponentform blir
ΣFx
=
max = mẍ
(7.3a)
ΣFy
=
may = mÿ.
(7.3b)
För polära koordinater (r–θ) och plan rörelse gäller enligt sats 6.10
att ar = r̈ − rθ̇2 och aθ = rθ̈ + 2ṙθ̇. Kraftlagen på komponentform blir
ΣFθ
= mar = m(r̈ − rθ̇2 )
=
maθ = m(rθ̈ + 2ṙθ̇).
(7.4a)
(7.4b)
−F̄
Q
Figur 7.3: Newtons tredje lag, reaktionslagen, under det extra antagandet att kraften och reaktionskraften har en gemensam verkningslinje.
20
Rörelseekvationer och problemlösning
ΣFr
F̄
P
51
K. R. Symon. Mechanics. AddisonWesley Publishing Company, Inc., 2nd
edition, 1960
52
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Dessa ekvationer förenklas avsevärt vid cirkulär rörelse, då ṙ = 0
och r̈ = 0.
För naturliga komponenter (n–t) och plan rörelse gäller enligt sats 6.13
att at = v̇ och an = v 2 /ρ, där ρ är banans krökningsradie. Kraftlagen
på komponentform blir
ΣFn
ΣFt
v2
ρ
= mat = mv̇.
= man = m
(7.5a)
(7.5b)
Observera vikten av att införa korrekta koordinatriktningar. Normalriktningen är orienterad mot krökningscentrum.
8
Effekt, arbete och energi
I de fall krafterna på en partikel beror av dess läge (fig. 8.1) kan analysen ofta förenklas m.h.a. energimetoder. Man utnyttjar då att arbete
kan omvandlas till rörelseenergi hos en partikel och vice versa. Vi väljer
dock att definiera arbete utifrån begreppet effekt.
8.1
Effekt
Definition 8.1 (Effekt av en kraft). Effekten som utvecklas av en
kraft F̄ definieras
(8.1)
P ≡ F̄ · v̄,
där v̄ är hastigheten för kraftens angreppspunkt.
Det är uppenbart att en kraft med fix angreppspunkt, v̄ = 0̄, inte
utvecklar någon effekt. Effekten mäts i SI-enheten watt (W). Det gäller
att
3
1 W = 1 Nm/s = 1 kg·m2 /s .
8.2
Arbete
Arbete och energi mäts i enheten joule (J), newtonmeter (Nm) eller
wattsekund (Ws), där
2
1 J = 1 Nm = 1 Ws = 1 kg·m2 /s .
Definition 8.2 (Arbete av en kraft). Arbetet av en kraft F̄ mellan
tidpunkterna t1 och t2 definieras
U1−2 ≡
Z
t2
t1
P dt =
Z
t2
t1
F̄ · v̄dt,
(8.2)
där P är kraftens effekt och v̄ är hastigheten för kraftens angreppspunkt.
Vid problemlösning utnyttjar man att integralen över tiden i ekv. (8.2)
kan skrivas om till en integral längs angreppspunktens bana.
P
F̄ (r̄)
y
z
r̄
x
Figur 8.1: Då kraften på en partikel
P beror av dess läge är energimetoder ofta användbara.
54
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Sats 8.3 (Arbete mellan lägen). Om en kraft med kraftvektorn F̄ =
F̄ (s) angriper i en punkt med given bana r̄ = r̄(s), där s = s(t) är
båglängdskoordinaten sådan att ṡ ≥ 021 , är kraftens arbete
Z s2
U1−2 =
F̄ · ēt ds,
(8.3)
Med villkoret ṡ ≥ 0 kommer r̄(s) att
representera en unik väg, och s är den
tillryggalagda sträckan.
21
s1
där vi använt beteckningarna s1 = s(t1 ) och s2 = s(t2 ), och ēt är
banans tangentriktning (fig. 8.2).
O
Figur 8.2: Partikelbana mellan tidpunkterna t1 och t2 motsvarande
båglängdskoordinaterna s1 och s2 .
F̄
s1
F̄ ·ēt
s2
ēt
s
Bevis. Enligt def. (8.2) har vi
Z t2
U1−2 =
F̄ · v̄dt = ekv. (6.21)
t1
t2
Z
=
F̄ · ṡēt dt = substituera s = s(t)
t1
s(t2 )
Z
=
s(t1 )
F̄ · ēt ds.
En trivial men viktigt följd av definitionen är att inget arbete uträttas
av en kraft som angriper i en rumsfix punkt, sådan att s1 = s2 .
Definition 8.4 (Arbete på en partikel). Arbetet på en partikel mellan
tidpunkterna t1 och t2 är
Z t2
ΣU1−2 =
ΣF̄ · v̄dt,
(8.4)
t1
där v̄ är partikelns hastighet, och ΣF̄ är kraftsumman som verkar
på partikeln.
Detta totala arbete på en partikel mellan två tidpunkter, t1 och t2 , ges
därmed av
!
Z t2
Z t2 X
n
n Z t2
X
ΣU1−2 =
ΣF̄ · v̄dt =
F̄i · v̄ dt =
F̄i · v̄dt, (8.5)
t1
t1
i=1
i=1
t1
som är summan av varje krafts arbete.
Tvångskrafter, t.ex. normalkraften, uppstår endast i de rörelseriktningar som är förhindrade. Partikelrörelsen relativt ett rumsfixt hinder
är därför alltid vinkelrät mot tvångskraftens riktningen (fig. 8.3), varför tvångskrafter från ett sådant hinder ej kan utföra arbete.
g
N
m
v̄
t
mg
Figur 8.3: Partikelns rörelseriktning relativt ett rumsfixt hinder är
vinkelrät mot normalkraften N .
effekt, arbete och energi
8.3
55
Rörelseenergi
Definition 8.5 (Rörelseenergi). För en partikel med massan m och
hastigheten v̄ definieras rörelseenergin 22 som
22
Benämns även kinetisk energi.
1
1
m(v̄ · v̄) = mv 2 .
(8.6)
2
2
Krafter som verkar på en partikel kommer att ändra partikelns hastighet, och kan därför ändra dess rörelseenergi. Hur krafters arbete
omvandlas till rörelseenergi beskrivs av mekaniska energisatsen.
T ≡
Sats 8.6 (Mekaniska energisatsen). För en partikel med massan m,
som påverkas av en kraftsumma ΣF̄ mellan tiderna t1 och t2 , gäller
(fig. 8.4)
ΣU1−2 = T2 − T1 ,
(8.7)
där ΣU1−2 är kraftsummans arbete på partikeln, T1 är rörelseenergin vid t1 och T2 är rörelseenergin vid t2 .
Bevis. Tidsderivering av rörelseenergin, ekv. 8.6, ger
d 1
dT
=
mv̄ · v̄ = produktregeln
dt
dt 2
1
1
=
mā · v̄ + mv̄ · ā
2
2
= mā · v̄ = kraftlagen
=
ΣF̄ · v̄
(8.8)
Detta samband kan, enligt ekv. D.2, uttryckas med differentialnotation:
ΣF̄ · v̄dt = dT ⇔
sats D.3
⇔
Z t2
Z T2
ΣF̄ · v̄dt =
dT ⇔
ekv. (8.5)
⇔
t1
8.4
ΣU1−2
T1
= T2 − T1 .
Konservativa krafter
Konservativa krafter är sådana som bevarar den totala mekaniska energin när de utför ett arbete. Med mekanisk energi menas summan av
rörelseenergi, lägesenergi och elastisk energi. Konservativa krafters arbete ger inte upphov till andra energiformer, t.ex. värme eller elektromagnetisk strålning (ljus). Friktion alstrar värme, och är alltså inte
någon konservativ kraft. Däremot är tyngdkraften konservativ.
Definition 8.7 (Lägesenergi i tyngdkraftsfält). Lägesenergin för en
partikel P med massan m i ett konstant tyngdkraftsfält ḡ = −gēz
definieras som
Vg (z) ≡ mgz,
(8.9)
där z är partikelns höjdkoordinat relativt ett valt koordinatsystem.
t1
t
ΣF̄
v̄
t2
Figur 8.4: Geometri för mekaniska energisatsen: partikelbana mellan tidpunkterna t1 och t2 .
56
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Vid jordytan ökar alltså lägesenergin linjärt med höjden över marken.
z
Sats 8.8 (Tyngdkraftens arbete). För en partikel med massan m, som
påverkas av ett tyngdkraftsfält ḡ = −gēz (fig. 8.5) mellan tiderna
t1 och t2 , utför tyngdkraften F̄g = mḡ arbetet
z1
U1−2 = − [Vg (z2 ) − Vg (z1 )] ,
(8.10)
där z1 och z2 är partikels höjdkoordinat vid t1 respektive t2 , och
Vg (z) är partikelns lägesenergi.
Bevis. Enligt def. 8.2 gäller
U1−2 =
Z
g
t1
t
P
v̄
mḡ
z2
t2
x
Figur 8.5: Geometri för tyngdkraftens arbete på en partikel P.
t2
t1
F̄g · v̄dt,
där v̄ är partikelns hastighet. Integranden i högerledet kan skrivas
F̄g · v̄ = −mgēz · v̄ = ekv. (6.8)
= −mgēz · (ẋēx + ẏēy + żēz )
dz
= −mg .
dt
Detta samband skrivs med differentialnotation, enligt ekv. (D.2), som
F̄g · v̄dt = −mgdz ⇔
sats D.3
⇔
Z z2
Z t2
F̄g · v̄dt =
−mgdz
z1
t1
= −mg(z2 − z1 ) = def. 8.7
=
− [Vg (z2 ) − Vg (z1 )] .
Fjädrar, till exempel spiralfjädrar (fig. 8.6), kan användas för att
lagra mekanisk energi. Den kraft som en fjäder utvecklar är konservativ.
Definition 8.9 (Elastisk energi för linjär fjäder). Den elastiska energin för en linjär fjäder med fjäderkonstanten k och den naturliga
längden `0 (fig. 1.5), definieras som
Ve (`) ≡
1
k(` − `0 )2 ,
2
(8.11)
där ` betecknar fjäderns aktuella längd.
Om man låter δ = ` − `0 beteckna fjäderns förlängning kan den elastiska energin skrivas
Ve =
1 2
kδ .
2
(8.12)
Sats 8.10 (Fjäderkraftens arbete). En linjär fjäder är fäst mellan den
rumsfixa punkten O och en partikel P så att partikeln påverkas
Figur 8.6: Tryckfjädrar (foto G.
Carena).
effekt, arbete och energi
57
av fjäderkraften F̄e mellan tiderna t1 och t2 . Fjäderkraftens arbete
på P är då
U1−2 = − [Ve (`2 ) − Ve (`1 )] ,
(8.13)
där `1 och `2 är fjäderns längd vid t1 respektive t2 , och Ve (`) är
fjäderns elastiska energi.
P
ēr
ēθ
t
t2
P
t2
k, ℓ0
ℓ2
ℓ
k(r − ℓ0 )
O
r
y
O
θ
x
ℓ1
t1
t1
Bevis. Enligt def. 8.2 gäller
U1−2 =
Z
t2
t1
(8.14)
F̄e · v̄dt,
där v̄ är partikelns hastighet. Inför att polärt koordinatsystem med
origo O. Fjäderkraften skrivs då F̄e = −k(r − `0 )ēr där k är fjäderkonstanten och `0 fjäderns naturliga längd, så att integranden i ekv. (8.14)
är
F̄e · v̄
= −k(r − `0 )ēr · v̄ = ekv. (6.15)
= −k(r − `0 )ēr · (ṙēr + rθ̇ēθ )
dr
= −k(r − `0 ) .
dt
Detta samband skrivs med differentialnotation, enligt ekv. (D.2), som
Z
t2
t1
F̄e · v̄dt =
F̄e · v̄dt =
=
=
=
=
−k(r − `0 )dr ⇔
sats D.3
⇔
Z `2
−k(r − `0 )dr = subst. x = r − `0
`1
−k
Z
`2 −`0
`1 −`0
xdx
` −`
1 2 2 0
−k x
2
`1 −`0
1
1
− k(`2 − `0 )2 + k(`1 − `0 )2
2
2
− [Ve (`2 ) − Ve (`1 )] .
Figur 8.7: Geometri för en fjäderkrafts arbete på en partikel P.
58
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
8.5
Mekaniska energisatsen med potentialer
Tyngdkraftens och fjäderkrafternas arbete kan beräknas m.h.a. deras
respektive potentialer Vg och Ve . Övriga krafters arbete måste beräknas direkt utifrån ekv. (8.3). Mekaniska energisatsen skrivs om enligt
följande:
F
Figur 8.8: En partikel rör sig under påverkan av gravitation, fjäderkrafter samt övriga krafter ΣF̄ 0 ,
där de senare inbegriper t.ex. friktionskraften och den externa kraften F̄ .
g
t1
t
k, ℓ0
m
t2
µk
Betrakta en partikel P med hastigheten v̄, som påverkas av tyngdkraften F̄g , den elastiska kraften F̄e och övrig kraftpåverkan ΣF̄ 0 mellan tiderna t1 och t2 (fig. 8.8). Enligt sats 8.6 gäller
Z t2
(F̄g + F̄e + ΣF̄ 0 ) · v̄dt = T2 − T1 ⇔
Z
t2
t1
F̄g · v̄dt +
Z
t1
t2
t1
F̄e · v̄dt +
−(Vg2 − Vg1 ) − (Ve2 − Ve1 ) +
Z
t2
t1
Z t2
t1
ΣF̄ 0 · v̄dt =
T2 − T1
ΣF̄ 0 · v̄dt =
T2 − T1 ,
⇔
(8.15)
där vi använde satserna 8.8 och 8.10. Genom att låta
Z t2
0
ΣU1−2
=
ΣF̄ 0 · v̄dt
t1
beteckna arbetet utfört av alla krafter utom tyngdkraft och elastisk
kraft kan ekv. (8.15) skrivas om till
0
ΣU1−2
= (Vg2 − Vg1 ) + (Ve2 − Ve1 ) + (T2 − T1 ).
(8.16)
Vid problemlösning bestämmer man vänster led i ekv. (8.16) med hjälp
av ekv. (8.3) medan högerled bestäms med definitionerna för lägesenergi, elastisk energi och rörelseenergi.
9
Rörelsemängd och rörelsemängdsmoment
9.1
Rörelsemängd och impuls
Definition 9.1 (Rörelsemängd). Rörelsemängden hos en partikel med
massan m och hastigheten v̄ definieras (fig. 9.1)
(9.1)
Ḡ ≡ mv̄.
Rörelsemängd har ingen egen SI-enhet utan uttrycks i härledda enheter: 1 N·s = 1 kg·m/s. För en konstant massa m gäller dḠ/dt = mā, så
att kraftlagen för partiklar kan skrivas
dḠ
ΣF̄ =
.
(9.2)
dt
Om en kraftsumma verkar på en partikel över tid kommer partikeln
att ändra sin rörelsemängd enligt den så kallade impulslagen:
Sats 9.2 (Impulslagen). Om en partikel påverkas av en kraftsumma ΣF̄ mellan tidpunkterna t1 och t2 gäller
Z t2
ΣF̄ dt = Ḡ2 − Ḡ1 ,
(9.3)
t1
där Ḡ1 och Ḡ2 är partikelns rörelsemängd vid tiderna t1 respektive
t2 .
Bevis. Vi utgår från kraftlagen på komponentform för ett rektangulärt
inertialsystem. För x-riktningen gäller enligt ekv. (9.2) att
ΣFx =
Z
t2
dGx
dt
ΣFx dt = dGx
⇔
ΣFx dt =
t1
Z
G2x
⇔
sats D.2
⇔
dGx
G1x
=
=
G2x
Gx
G1x
G2x − G1x .
Analoga samband erhålles för y- och z-riktningen, vilket medför att
Z t2
ΣF̄ dt = Ḡ2 − Ḡ1 .
t1
m
dḠ
dt
ā
v̄
Ḡ
Figur 9.1: Riktningarna hos rörelsemängden och dess tidsderivata
sammanfaller med hastigheten respektive accelerationen för en partikeln.
60
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Tidsintegralen i impulslagens vänsterled kallas impulsen av kraftsumman.
Definition 9.3 (Impuls av en kraft). En kraft F̄ med angreppspunkt P
som verkar mellan tidpunkterna t1 och t2 ger en impuls
L̄ ≡
Z
t2
F̄ dt.
(9.4)
t1
Om flera krafter F̄i , i = 1, . . . , n, verkar på en partikel under tidsintervallet t1 ≤ t ≤ t2 ger krafterna var sin impuls L̄i . Impulslagen,
ekv. (9.3), kan i så fall skrivas
n
X
i=1
9.2
L̄i = Ḡ2 − Ḡ1 .
(9.5)
Rörelsemängdsmoment
Definition 9.4 (Rörelsemängdsmoment). För en partikel P med massan m och hastigheten v̄ definieras rörelsemängdsmomentet m.a.p.
en godtycklig punkt A av
(9.6)
H̄A ≡ r̄ × mv̄,
där r̄ = AP.
H̄A = r̄ × mv̄
ϕ
P
mv̄
Figur 9.2: En partikel med rörelsemängden Ḡ = mv̄ ger ett rörelsemängdsmoment H̄A m.a.p. A.
r̄
r̄
⇒
d⊥
A
ϕ
mv̄
Riktningen hos H̄A ges av högerhandsregeln och beloppet av H̄A är
|H̄A | = |r̄ × mv̄| = |r̄||mv̄| sin ϕ = mvd⊥ ,
(9.7)
där ϕ är vinkeln mellan r̄ och mv̄ och d⊥ = |r̄| sin ϕ är det vinkelräta
avståndet från A till den linje som definieras av partikelns läge och
hastighet (fig. 9.2).
Sats 9.5 (Momentlagen). För en partikel P som påverkas av en kraftsumman ΣF̄ gäller
ΣM̄D =
dH̄D
,
dt
(9.8)
där D är en rumsfix punkt, ΣM̄D = DP × ΣF̄ är momentsumman på partikeln m.a.p. D, och H̄D är rörelsemängdsmomentet
m.a.p. D.
rörelsemängd och rörelsemängdsmoment
Bevis. Låt m vara partikelns massa och låt r̄ = DP. Enligt def. 9.4
gäller
dH̄D
dt
d
(r̄ × mv̄) = produktregeln
dt
dr̄
dv̄ =
× mv̄ + r̄ × m
= def. 6.2 och 6.3
dt
dt
= v̄ × mv̄ + r̄ × mā
= r̄ × mā = kraftlagen
=
= r̄ × ΣF̄
=
ΣM̄D .
Genom att integrera momentlagen m.a.p. tiden erhåller man impulsmomentlagen.
Sats 9.6 (Impulsmomentlagen). Om en partikel P påverkas av en
kraftsumma ΣF̄ mellan tidpunkterna t1 och t2 , och om D är en
rumsfix punkt, gäller
Z t2
ΣM̄D dt = H̄D2 − H̄D1 ,
(9.9)
t1
där ΣM̄D = DP × ΣF̄ är momentsumman på partikeln m.a.p. D,
och H̄D1 och H̄D2 är partikelns rörelsemängdsmoment m.a.p. D
vid tiderna t1 respektive t2 .
Bevis. Vi utgår från momentlagen (9.8) på komponentform för ett
rektangulärt inertialsystem. För x-riktningen gäller
ΣMDx =
Z
t2
dHDx
dt
ΣMDx dt =
t1
⇔
Z
ΣMDx dt = dHDx
HD2x
⇔
sats D.2
⇔
dHDx
HD1x
=
=
HD2x
HDx
HD1x
HD2x − HD1x .
Analoga samband erhålles för y- och z-riktningen, vilket medför att
Z t2
ΣM̄D dt = H̄D2 − H̄D1 .
t1
Rörelsemängdsmoment vid plan rörelse
Vid plan rörelse kommer hastighetsvektorn v̄ för en partikel P att ligga
i ett givet referensplan med normalen ēn . Det följer av def. 9.4 att partikelns rörelsemängdsmoment H̄A m.a.p. en punkt A i referensplanet
måste ligga i ±ēn -riktningen. Detta är analogt med kraftmomentvektorn för plana kraftsystem (stycke 2.4). Rörelsemängdsmomentet kan
61
62
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
därför vid plan rörelse representeras av en skalär, där det är underförstått att dess vektorriktning sammanfaller med ēn .
Sats 9.7. För en partikel P i plan rörelse, med massan m och hastigheten v̄, ges rörelsemängdsmomentet m.a.p. en punkt A i referensplanet av
HA = ±mvd⊥ ,
(9.10)
där v är hastighetens belopp och d⊥ är avståndet från A till den
linje som definieras av punkten P och hastighetsvektorn.
Bevis. Vi har att
HA
= ±|H̄A | = def. 9.4
= ±|AP × mv̄| = ekv. (B.12)
ēy
= ±m|AP||v̄| sin ϕ
där ϕ är vinkeln mellan AP och v̄ (fig. 9.3). Eftersom avståndet från
A till linjen som bildas av P och v̄ är d⊥ = |AP| sin ϕ följer det att
HA = ±mvd⊥ .
Rörelsemängdsmomentets riktning ges som förut av högerhandsregeln
(jfr kraftmoment, stycke 2.4). Det moturs orienterade rörelsemängdsmomentet HA som avbildas i fig. 9.3 är riktat i ēz -riktningen. Om
vi väljer referensplanets normal som ēn = ēz kommer detta rörelsemängdsmoment HA , och alla moturs orienterade rörelsemängdsmoment, att ha ett positivt tecken i sin skalära representation. Medurs
orienterade rörelsemängdsmoment får negativt tecken. Det omvända
gäller om vi skulle välja ēn = −ēz .
9.3
ēx
ēz
mv̄
P
ϕ
d⊥ = |AP| sin ϕ
AP
A
Figur 9.3: Geometri för rörelsemängdsmoment vid plan rörelse
med xy-planet som referensplan.
Partikelsystem
Ett partikelsystem består av flera partiklar med olika massor och banor:
Definition 9.8 (Partikelsystem). Ett partikelsystem är en mängd partiklar Pi , i = 1, . . . , n, med massorna mi , lägesvektorerna r̄i och
hastigheterna v̄i (fig. 9.4).
Definition 9.9 (Rörelsemängd för partikelsystem). Ett partikelsystem, med beteckningar som i def. 9.8, har rörelsemängden
ΣḠ ≡
n
X
mi v̄i .
(9.11)
i=1
Definition 9.10 (Rörelsemängdsmoment för partikelsystem). Ett partikelsystem, med beteckningar som i def. 9.8, har ett rörelsemängdsmoment m.a.p. en godtycklig punkt A som definieras
ΣH̄A ≡
n
X
i=1
AP i × mi v̄i .
(9.12)
v̄1
P1
v̄i
r̄i
y
z
x
Pi
Pn
v̄n
Figur 9.4: System av n olika partiklar Pi , i = 1, . . . , n.
rörelsemängd och rörelsemängdsmoment
systemgräns
yttre kraft
inre kraft
reaktionskraft
Pi
g
Betrakta ett system av partiklar, P1 , . . . , Pn . Parvis växelverkan
mellan partiklar inom ett partikelsystem ger upphov till så kallade
inre krafter. Växelverkan med föremål i partikelsystemets omgivning,
inklusive jordens gravitation, ger upphov till yttre krafter (fig. 9.5). Låt
summan av inre krafter på partikel Pi betecknas F̄iI , och låt summan av
yttre krafter på Pi betecknas F̄iY (fig. 9.6). Enligt reaktionslagen och
postulat 7.1 bildar varje parvis växelverkan inom partikelsystemet ett
kraftpar med kraftparsmomentet noll, så att systemet av inre krafter
bildar ett nollsystem:
n
X
n
X
F̄iI = 0̄,
i=1
i=1
AP i × F̄iI = 0̄,
(9.13)
Sats 9.11 (Impulslagen för partikelsystem). Ett partikelsystem, som
påverkas av en summa ΣF̄ Y av yttre krafter mellan tiderna t1
och t2 , gäller
Z t2
ΣF̄ Y dt = ΣḠ2 − ΣḠ1 ,
(9.14)
t1
där ΣḠ1 och ΣḠ1 är partikelsystemets rörelsemängd vid tiderna
t1 respektive t2 .
Bevis. Låt inre och yttre krafter på partikel Pi betecknas F̄iI respektive
F̄iY . Impulsekvationen (9.3) ger
Z t2
F̄iI + F̄iY dt = Ḡi (t2 ) − Ḡi (t1 ),
i = 1, . . . , n.
t1
i=1 t1
Z t2 X
n
F̄iI
t1 i=1
| {z }
=0̄
+
n
X
F̄iY dt =
i=1
Z
| {z }
=ΣF̄ Y
t2
Y
t1
ΣF̄ dt =
Figur 9.5: Parvis växelverkan mellan partiklar inom ett partikelsystem ger upphov till inre krafter.
Växelverkan med omgivningen ger
yttre krafter.
A
Pi
F̄iY
F̄iI
för varje momentpunkt A.
Summering över i ger
n Z t2
X
F̄iI + F̄iY dt =
63
n
X
i=1
Ḡi (t2 ) −
ΣḠ2 − ΣḠ1
n
X
Ḡi (t1 )
i=1
⇔
⇔
ΣḠ2 − ΣḠ1 ,
där summan av inre krafter är 0̄ eftersom de inre krafterna bildar ett
nollsystem.
Figur 9.6: Partikeln Pi påverkas av
en inre kraftsumma F̄iI och en yttre
kraftsumma F̄iY . Jfr fig. 9.5.
64
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Sats 9.11 är giltig även då partiklarna kolliderar med varandra så att
värme utvecklas och mekanisk energi går förlorad. Ett särskilt viktigt
fall uppstår när man identifierar ett partikelsystem som inte påverkas
av några yttre krafter, ΣF̄ Y = 0̄. I sådana fall bevaras rörelsemängden
för partikelsystemet:
ΣḠ2 = ΣḠ1 .
(9.15)
Sats 9.12 (Impulsmomentlagen för partikelsystem). Ett partikelsyY
stem, som påverkas av en summa ΣM̄D
av yttre kraftmoment
m.a.p. en rumsfix punkt D mellan tiderna t1 och t2 , gäller
Z t2
Y
ΣM̄D
dt = ΣH̄D2 − ΣH̄D1 ,
(9.16)
t1
där ΣH̄D1 och ΣH̄D2 är partikelsystemets rörelsemängdsmoment
m.a.p. D vid tiderna t1 respektive t2 .
Bevis. Låt inre och yttre krafter på partikel Pi betecknas F̄iI respektive
F̄iY . Impulsmomentekvationen (9.9) ger
Z
t2
t1
DP i × (F̄iI + F̄iY )dt = H̄Di (t2 ) − H̄Di (t1 ),
i = 1, . . . , n,
där H̄Di betecknar rörelsemängdsmomentet för partikel i m.a.p. D.
Summering över i ger
n
n Z t2
n
X
X
X
H̄Di (t1 ) ⇔
H̄Di (t2 ) −
DP i × F̄iI + DP i × F̄iY dt =
Z
t2
t1
i=1 t1
n
X
i=1
|
i=1
DP i × F̄iI +
{z
=0̄
}
n
X
i=1
|
DP i × F̄iY dt
{z
Y
=ΣM̄D
Z
t2
t1
}
Y
ΣM̄D
dt
i=1
=
ΣH̄D2 − ΣH̄D1
=
ΣH̄D2 − ΣH̄D1 ,
⇔
där summan av inre kraftmoment är 0̄ eftersom de inre krafterna bildar
ett nollsystem.
Ett viktigt specialfall av sats 9.12 uppstår när man kan identifiera en
Y
rumsfix punkt D sådan att ΣM̄D
= 0̄. I sådana fall bevaras rörelsemändsmomentet för partikelsystemet m.a.p. D:
ΣH̄D2 = ΣH̄D1 .
(9.17)
10
Stötar
Kollisioner mellan partiklar, eller kollisioner mellan en partikel och ett
jordfast föremål är exempel på stötar. Stötar kan vara våldsamma och
leda till utveckling av värme (fig. 10.1). Trots denna komplikation går
det att i vissa avseenden förutsäga stötförloppet.
10.1
Stötar mellan partiklar
Vi tänker oss att två partiklar, P och Q, kolliderar med varandra.
Deras hastigheter kommer att genomgå stor förändring på relativt kort
tid. Denna process kallas stöt.
Figur 10.1: Stötar är plötsliga utbrott av kraftig växelverkan, vilket
kan leda till utveckling av värme.
(teckning, NASA)
Rörelsemängdens bevarande
En sammanstötningen mellan P och Q antas äga rum inom ett tidsintervall 0 ≤ t ≤ ∆t. Vi låter v̄P och v̄Q beteckna partiklarnas respektive
0
0
betecknar hastigoch v̄Q
hastigheter före stöten, vid t = 0, medan v̄P
heterna efter stöten, vid t = ∆t (fig. 10.2). Framledes används prim
för att beteckna storheter omedelbart efter en stöt. Partikelsystemets
rörelsemängd före respektive efter stöten är
ΣḠ = mP v̄P + mQ v̄Q ,
0
0
ΣḠ0 = mP v̄P
+ mQ v̄Q
,
där mP och mQ är partiklarnas massor. Enligt impulslagen för partikelsystem, sats 9.11, gäller
Z ∆t
ΣF̄ Y dt = ΣḠ0 − ΣḠ,
0
där ΣF̄ Y är summan av yttre krafter på partiklarna.
I en momentan stötmodell 23 antar man att tiden ∆t för stöten är
tillräckligt kort, så att impulsen på partikelsystemet kan försummas:
Z ∆t
ΣF̄ Y dt = 0̄.
0
Huruvida en sådan approximation är rimlig måste värderas i varje
enskilt fall. En konsekvens av den momentana stötmodellen är att
partikelsystemets rörelsemängd bevaras vid stöten:
ΣḠ0 = ΣḠ.
(10.1)
23
Benämns även momentan stöt.
66
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
precis före
under
precis efter
mP
v̄P
Figur 10.2: Stöt mellan två partiklar, P och Q.
v̄P′
A
′
v̄Q
v̄Q
mQ
Rak central stöt
Vid en rak central stöt färdas två partiklar, P och Q, längs samma
räta linje både före och efter stöten. Vi inför en x-koordinat längs
rörelselinjen och låter vP och vQ beteckna respektive partikels hastig0
0
het i x-riktningen precis före stöten, samt låter vP
och vQ
beteckna
partiklarnas hastigheter precis efter stöten (fig. 10.3).
Vi inför en momentan stötmodell så att rörelsemängden bevaras
under stöten, ΣḠ0 = ΣḠ. Således gäller
0
0
mP v P
+ mQ vQ
= mP vP + mQ vQ .
→:
(10.2)
Med den momentana stötmodellen har det ingen betydelse om andra krafter, t.ex. fjäderkrafter eller tyngdkraften, påverkar partiklarna
under stöten eftersom man försummar deras impuls.
precis före
vP
vQ
mP mQ
A
precis efter
under
vP′
x
x
′
vQ
mP m Q
x
Om partiklarnas massor och hastigheter före en rak central stöt är
kända, kan man ändå inte räkna ut vilka hastigheter partiklarna har
efter stöten med ekv. (10.2), eftersom en ekvation inte räcker för att
0
0
bestämma de två obekanta, vP
och vQ
. Ytterligare ett samband krävs
för att resultatet av stöten ska kunna beräknas.
Empiriskt samband 10.1 (Stöttal). Vid en rak central stöt mellan
två partiklar P och Q, vars hastigheter före stöten är vP respektive
0
0
vQ och efter stöten är vP
respektive vQ
, gäller
e=−
0
0
vQ
− vP
,
vQ − v P
(10.3)
där konstanten e är stöttalet.
Det gäller att 0 ≤ e ≤ 1. Om partikelsystemets energi bevaras under
stöten sägs stöten vara elastisk och stöttalet blir e = 1. Om stöttalet är
e = 0 sägs stöten vara plastisk. Om stöttalet är givet bildar ekv. (10.2)
tillsammans med ekv. (10.3) ett ekvationssystem som är lösbart m.a.p.
0
0
vP
och vQ
.
Figur 10.3: Rak central stöt där två
partiklar, P och Q, stöter samman
och rör sig längs en rät linje.
67
stötar
Sned stöt
Vi tänker oss nu att två kroppar kolliderar med varandra i en mer
generell geometri, så att kropparna infaller i vinkel mot varandra. I de
flesta fall kommer en sådan stöt att försätta kropparna i rotation, så
att det inte är lämpligt att betrakta dem som partiklar. Det finns dock
speciella fall där en partikelmodell kan tillämpas.
Betrakta två partiklar, P och Q, som kolliderar så att partiklarna
slås samman och fortsätter längs en gemensam bana (fig. 10.4). Has0
0
tigheten för partiklarna efter stöten är i så fall v̄P
= v̄P
= v̄ 0 . Vi inför
en momentan stötmodell så att rörelsemängden bevaras under stöten,
ΣḠ0 = ΣḠ:
(mP + mQ )v̄ 0 = (mP v̄P + mQ v̄Q ),
{z
} |
{z
}
|
ΣḠ0
efter
(10.4)
ΣḠ före
med beteckningar enligt fig. 10.4. Kännedom om partiklarnas hastigheter, v̄P och v̄Q , före stöten räcker då för att bestämma den gemensamma hastigheten v̄ 0 efter stöten.
precis före
under
precis efter
mP
v̄P
mP + mQ
A
v̄ ′
v̄Q
Figur 10.4: Sned central stöt där
två partiklar, P och Q, stöter ihop
så att partiklarna slås samman och
fortsätter längs en gemensam bana.
g
mQ
P
stöt
10.2
(a)
Stötimpuls
Betrakta en partikel P, som kolliderar med en annan kropp Ω, som
inte behöver vara en partikel. Precis som vid en stöt mellan partiklar
kommer P:s hastighet att ändras mycket under kort tid. Enligt kraftlagen måste en snabb hastighetsförändring innebära att kraftsumman
på partikeln är mycket stor under själva stöten.
Betrakta ett stötförlopp med början vid tiden t = 0 och slut vid
tiden t = ∆t. Låt partikel P:s rörelsemängd före stöten vara Ḡ = mv̄,
och rörelsemängden efter stöten Ḡ0 = mv̄ 0 . Impulslagen, ekv. (9.3), för
en partikel ger
Z
|
0
∆t
Z
∆t
Z
∆t
F̄s dt +
F̄1 dt + · · · +
F̄n dt = Ḡ0 − Ḡ,
{z } | 0 {z }
| 0 {z }
=L̄s
=L̄1
(10.5)
=L̄n
där F̄s betecknar den kontaktkraft som verkar på P under stöten,
medan F̄i , i = 1, . . . , n är övriga krafter som verkar på P.
Med en momentan stötmodell antar man tiden ∆t för stötförloppet är tillräckligt kort för att alla impulser under stötförloppet utom
stöt
F̄s (t)
F̄v
(b)
mḡ
stötmodell
L̄s =
R ∆t
0 F̄s dt
(c)
Figur 10.5: (a) Exempel på tillämpning av stötmodell. (b) Flera krafter, luftmotstånd F̄v , gravitation
mḡ och stötkraften F̄s , verkar på en
tennisboll under slaget. (c) I en momentan stötmodell försummas alla
impulser utom L̄s från stötkraften
68
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
stötimpulsen L̄s kan försummas, så att
L̄s = Ḡ0 − Ḡ.
(10.6)
Stötimpulsen antas alltså ensam vara ansvarig för den plötsliga rörelsemängdsändringen hos P. Denna approximation är lämplig då |L̄s | |L̄i |, i = 1, . . . , n, vilket gäller då beloppet av stötkraftens medelvärde
är mycket större än motsvarande belopp för övriga krafter.
11
Svängningsrörelse
11.1
Fria svängningar
Odämpade system
Betrakta en vagn med massan m, som rullar friktionsfritt mot ett
horisontellt underlag. En linjär fjäder med fjäderkonstanten k är fäst
mellan vagnen och en fix vägg (fig. 11.1). Vidare beskrivs vagnens läge
längs underlaget av en x-koordinat, sådan att x = 0 då fjädern är
obelastad. Eftersom x i detta fall är identisk med fjäderns förlängning
` − `0 är fjäderkraften Fe = kx. Vid friläggning ska kraften på vagnen
från fjädern ha den kraftriktning som gäller då x > 0.
m
g
k
kx
Figur 11.1: En vagn med massan m
rullar utan friktion mot underlaget.
Den hålls på plats av en fjäder och
utför harmonisk svängningsrörelse
när den störs ur sitt jämviktsläge.
N
mg
x
Eftersom rörelsen är begränsad till x-riktningen är vagnens acceleration ā = ẍēx , så att kraftlagen i x-riktningen ger
→:
−kx = mẍ ⇔
k
ẍ + x = 0 ⇔
m
ẍ + ωn2 x = 0,
(11.1)
där ωn benämns den naturliga frekvensen, vilken i just detta exempel
p
är ωn = k/m.
Lösningen till ekv. (11.1) hittar man genom att ansätta
x = A cos(ωn t) + B sin(ωn t),
(11.2)
där A och B är godtyckliga reella konstanter. Vi deriverar denna ansatta lösning m.a.p. tiden och får
ẋ
ẍ
= −ωn A sin(ωn t) + ωn B cos(ωn t)
= −ωn2 A cos(ωn t) − ωn2 B sin(ωn t).
70
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Genom insättning av x och ẍ kan vi konstatera att ekv. (11.1) är
uppfylld för varje val av A och B. Således beskriver ekv. (11.2) vagnens
rörelse. Konstanterna A och B beror på systemets begynnelsevillkor
x(0) och ẋ(0).
Den fria odämpade svängningen, som beskrivs av ekv. (11.2), kallas
harmonisk svängningsrörelse och har alltid liknande karaktär, vilket
illustreras med ett exempel i fig. 11.2.
τ = 2π/ωn
x
C
t
x(0)
−C
← ẋ(0)
Partikeln svänger med vinkelfrekvensen ωn och en konstant amplitud C
kring ett jämviktsläge, där kraftsumman på partikeln är noll. Perioden,
alltså tiden mellan två maxima hos svängningsrörelsen, ges av
τ=
2π
.
ωn
(11.3)
Amplituden för en harmonisk svängningsrörelse är halva topp-till-toppvärdet hos x(t), Det framgår direkt från ekv. (A.6) och (A.7) att en
harmonisk funktion
x(t) = X0 + A cos(ωn t) + B sin(ωn t),
där X0 , A, B och ωn är konstanter, kan skrivas
x(t) = X0 + C sin(ωn t + ψ),
där C är amplituden och ψ är fasvinkeln:

B

A>0
 arctan A ,
p
B
2
2
C = A +B ,
ψ=
arctan A + πsgn(B), A < 0

 π sgn(B),
A = 0,
2
(11.4)
där sgn(·) betecknar teckenfunktionen.
Dämpade system
En ideal odämpad fri svängning kommer att fortgå med samma amplitud för all framtid. I alla verkliga fritt svängande system minskar amplituden efter hand, så att svängningen slutligen dör ut. Detta fenomen
kallas dämpning och beror typiskt på värmeförluster, t.ex. friktion eller luftmotstånd. I konstruktioner används dämpare för att begränsa
amplituden hos svängningar och vibrationer. Dessa består av en cylinder fylld med vätska eller gas, och en kolv med kanaler så att värme
Figur 11.2: Exempel på rörelse för
fria odämpade svängningar med
givna randvillkor x(0) och ẋ(0).
Kurvans amplitud är C och dess
period är τ = 2π/ωn .
svängningsrörelse
fäste
gas/vätska
kolv
kanal
Figur 11.3: Exempel på en realisering av en dämpare. Kolvens rörelse hindras av vätska eller gas, som
måste passera kanaler i kolven.
fäste
utvecklas då vätskan tvingas flöda genom kanalerna under kolvens rörelse (fig. 11.3).
Figur 11.4 visar en frilagd linjär dämpare där varpå en kraft Fd
verkar i vardera änden. Dämparen har en aktuell längd ` och en dämpningskoefficient c med enheten N·s/m. Dämpkraften är
˙
Fd = c`,
71
(11.5)
Fd
c
Fd
ℓ
Figur 11.4: Friläggning av ideal
˙
dämpare, där Fd = c`.
där `˙ är dämparens förlängning per tidsenhet.
Betrakta en vagn med massan m, som rullar friktionsfritt mot ett
horisontellt underlag. En linjär fjäder med fjäderkonstanten k och en
linjär dämpare med dämpningskoefficienten c är fästa mellan vagnen
och en orubblig vägg (fig. 11.5). Vidare beskrivs vagnens läge längs
underlaget av en x-koordinat, så att x = 0 då fjädern är obelastad.
Eftersom ẋ är identisk med dämparens förlängning per tidsenhet är
dämpningskraften Fd = cẋ. Vid friläggning ska kraften på vagnen från
dämparen ha den kraftriktning som gäller då ẋ > 0.
m
k
g
c
kx
Figur 11.5: En vagn med massan m
rullar utan friktion mot underlaget. Den hålls på plats av en fjäder
och en dämpare. Vid störning från
jämviktsläget utför vagnen dämpad
svängningsrörelse.
N
cẋ
mg
x
Eftersom vagnens acceleration ges av ā = ẍēx , ger kraftlagen i xriktningen att
−kx − cẋ = mẍ ⇔
c
k
ẍ + ẋ + x = 0 ⇔
m
m
ẍ + 2ζωn ẋ + ωn2 x = 0,
→:
(11.6)
där ωn är den naturliga frekvensen och ζ är dämpningsförhållandet. I
p
vårt exempel är ωn = k/m och ζ = c/(2mωn ).
Ekvation (11.6) är en homogen24 andra ordningens differentialekvation med konstanta koefficienter. Lösningens form beror på dämpningsförhållandet enligt följande:25
√
√ 2

−ω t(ζ− ζ 2 −1)

+ Be−ωn t(ζ+ ζ −1) , ζ > 1
 Ae n
x(t) =
(11.7)
(A + Bt)e−ωn t ,
ζ=1


[A cos(ωd t) + B sin(ωd t)] e−ζωn t ,
ζ < 1,
24
Att ekvationen är homogen betyder
att alla termer innehåller x, ẋ eller ẍ.
25
R. A. Adams. Calculus: A complete course. Addison Wesley Longman,
Ltd., 4th edition, 1999. ISBN 978-0201-39607-2
72
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
p
där ωd = ωn 1 − ζ 2 . Det finns alltså dämpade system av tre skilda
typer som benämns överdämpade (ζ > 1), kritiskt dämpade (ζ = 1)
och underdämpade (ζ < 1). Notera speciellt att när ζ = 0 är systemet
underdämpat (ζ < 1) och vi erhåller samma uttryck för rörelsen som
vid odämpad svängning, ekv. (11.2). De tre typerna av dämpad fri
svängningsrörelse illustreras i fig. 11.6.
x
x0
t
0
ζ=3
ζ=1
ζ = 1/8
Figur 11.6: Exempel på fria svängningar för dämpade system med
begynnelsevillkoren x(0) = x0 och
ẋ(0) = 0: överdämpat (punktad),
kritiskt dämpat (streckad) och underdämpat (heldragen).
I det överdämpade och det kritiskt dämpade fallet kommer systemet
att återvända till jämviktläget utan att oscillera, vilket är uppenbart
från lösningens form, som inte innehåller någon harmonisk funktion.
För det underdämpade fallet observeras en oscillation, som avklingar
mot noll med jämvikt i slutskedet.
11.2
Påtvingade svängningar
Betrakta en vagn med massan m, som rullar friktionsfritt mot ett
horisontellt underlag, och som är kopplad till en fjäder och en dämpare
på precis samma sätt som för fria dämpade svängningar ovan. Låt
vidare en kraft F (t) verka på vagnen (fig. 11.7).
m
k
g
F (t)
c
kx
F (t)
N
cẋ
mg
x
Kraftlagen för vagnen i x-riktningen ger
→:
−kx − cẋ + F (t) = mẍ ⇔
c
k
1
ẍ + ẋ + x =
F (t) ⇔
m
m
m
ẍ + 2ζωn ẋ + ωn2 x = f (t),
(11.8)
där högerledet är en funktion f (t) = F (t)/m. Ekvation (11.8) är en
inhomogen andra ordningens differentialekvation med konstanta koefficienter. Den allmänna lösningen till differentialekvationen (11.8) kan
skrivas på formen
x(t) = xh (t) + xp (t),
(11.9)
Figur 11.7: En vagn med massan m
rullar utan friktion mot underlaget. Den hålls på plats av en fjäder
och en dämpare, och en kraft F (t)
tvingar vagnen i rörelse.
svängningsrörelse
73
där xh kallas homogenlösningen och xp kallas partikulärlösningen.
Homogenlösningen xh är lösningen till den homogena motsvarigheten till ekv. (11.8), vilken är identisk med ekv. (11.6) för fria dämpade
svängningar. Homogenlösningen ges därmed av ekv. (11.7), som exemplifieras för olika värden för ζ i fig. 11.6. Alla homogenlösningar
avklingar mot 0 eftersom de för varje ζ > 0 domineras av en exponentiellt avtagande faktor:
xh (t) → 0
då t → ∞.
Alltså kommer en påtvingad dämpad svängning, efter tillräckligt lång
tid, att beskrivas av partikulärlösningen:
x(t) = xh (t) + xp (t) → xp (t) då t → ∞.
Eftersom homogenlösningen “dör ut” medan partikulärlösningen består är partikulärlösningen av särskilt intresse vid påtvingad svängning.
Vi begränsar oss fortsättningsvis till det vanligt förekommande fall
då den tvingande kraften är en harmonisk funktion, t.ex. F (t) =
F0 sin(ωt). Innan vi fortsätter med vår analys betraktar vi en lösning
till ekv. (11.8) för ett specifikt fall: ζ = 1/8 och ω = 25 ωn med begynnelsevillkoren x(0) = x0 och ẋ(0) = 0, som illustreras i fig. 11.8.
Vi observerar ett inledande aperiodiskt förlopp som kallas transient.
Rörelsen övergår i ett periodiskt förlopp, som motsvarar partikulärlösningen med vinkelfrekvensen ω och amplituden Cp . Vi önskar bestämma denna kvarstående amplitud Cp .
x
x0
2π
ω
Cp
0
−Cp
t
x = xh + xp
xp
Definition 11.1 (Förstärkningsfaktor). För ett svängande system med
den naturliga frekvensen ωn och dämpningsförhållandet ζ definieras förstärkningsfaktorn som
s
1
M (ω) ≡
,
(11.10)
2
2
2
(1 − ω /ωn ) + (2ζω/ωn )2
där ω betecknar vinkelfrekvensen för en periodisk yttre kraft.
Då endast partikulärlösningen återstår visar det sig att amplituden hos
en påtvingad svängningsrörelse är proportionell mot förstärkningsfaktorn M (ω). Detta fastställs i följande sats:
Figur 11.8: Exempel på tvingade
svängningar för ett dämpat system
med beginnelsevillkoren x(0) = x0
och ẋ(0) = 0. Efter en transient domineras rörelsen av partikulärlösningen (punktad linje) med amplituden Cp .
74
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Sats 11.2. För ett svängande system som beskrivs av differentialekvationen
ẍ + 2ζωn ẋ + ωn2 x = a0 + a sin(ωt + ψ),
där ωn > 0, ω > 0, ζ > 0, a0 , a och ψ är konstanter, är partikulärlösningen en harmonisk funktion med amplituden
Cp =
a
M (ω),
ωn2
(11.11)
där M (ω) är förstärkningsfaktorn.
Bevis. Vi ansätter en harmonisk funktion som partikulärlösning:
xp = X0 + Cp sin(ωt + φ),
där X0 och φ är konstanter. Insättning av partikulärlösningen och dess
tidsderivator i differentialekvationen ger
−ω 2 Cp sin(ωt+φ)+2ζωωn Cp cos(ωt+φ)+ωn2 Cp sin(ωt+φ)+ωn2 X0 = a0 +a sin(ωt+ψ).
(11.12)
Eftersom detta ska gälla för alla t får vi ωn2 X0 = a0 , vilket subtraheras
från ekv. (11.12). Division av ekv. (11.12) med ωn2 Cp ger
ω
a
ω2
2ζ
cos(ωt + φ) + 1 − 2 sin(ωt + φ) = 2
sin(ωt + ψ).
ωn
ωn
ωn Cp
Substitutionen θ = ωt + φ ger
ω2
a
ω
cos θ + 1 − 2 sin θ = 2
sin(θ − φ + ψ).
2ζ
ωn
ωn
ωn Cp
Enligt ekv. (A.6) kan denna ekvation satisfieras. Eftersom amplituden
skall vara lika i vänster och höger led ger ekv. (A.7) att
p
(2ζω/ωn )2 + (1 − ω 2 /ωn2 )2 =
a
ωn2 Cp
⇔
Cp =
a
M (ω).
ωn2
För en tvingande kraft F (t) = F0 sin(ωt) som verkar på det dämpade systemet i fig. 11.7 får vi
f (t) =
F0
sin(ωt).
m
I sats 11.2 kan vi identifiera a = F0 /m, så att partikulärlösningens
amplitud ges av
Cp =
a
M (ω) =
ωn2
F0
m
k
m
M (ω) =
F0
M (ω).
k
Amplituden beror alltså av en karaktäristisk längd F0 /k och förstärkningsfaktorn.
svängningsrörelse
M (ω)
Resonans
Förstärkningsfaktorns betydelse för påtvingade svängningars amplitud gör det intressant att undersöka dess frekvensberoende. I fig. 11.9
är grafen för M (ω) återgiven för olika dämpningsförhållanden ζ =
{3, 1, 1/8, 0}, där ζ = 0 motsvarar ett odämpat system.
Vi noterar först att
M (ω) → 1
då ω → 0,
för alla ζ. Vid mycket långsamma svängningar har alltså dämpade och
odämpade system samma förstärkningsfaktor och följaktligen samma
svängningsamplitud. Det beror på att kraften från dämparen går mot
noll för långsamma rörelser, så att dämparen inte längre påverkar systemet.
I det överdämpade (ζ > 1) och det kritiskt dämpade fallet (ζ = 1)
i fig. 11.9 avtar förstärkningsfaktorn med frekvensen. Snabba svängningar dämpas alltså effektivare än långsamma. I det underdämpade
fallet (ζ < 1) har M (ω) ett maximum vid ω = ωn . Det betyder att
svängningsrörelsens amplitud blir mycket stor just när ω ≈ ωn . Detta fenomenen kallas resonans och den naturliga frekvensen benämns
därför även resonansfrekvensen.
∞
8
6
75
ζ=3
ζ=1
ζ = 1/8
ζ=0
4
2
0
0
1
2
3
ω
ωn
Figur 11.9: Förstärkningsfaktorn
för olika frekvenser ω och olika värden av ζ.
Vibrationer
Vi fortsätter med att undersöka rörelsen hos en vagn som är kopplad
till en fjäder med obelastade längden `0 och en dämpare. I detta fall
störs vagnen ur sitt jämviktsläge på grund av vibrationer vid fjäderns
ena infästningspunkt A, vars läge är en på förhand given funktion
xA (t) (fig. 11.10).
g
m
c
k, ℓ0
A
cẋ
N
Fe
mg
x
xA
Med storheter definierade som i fig. 11.10 kommer fjäderns längd
att i varje ögonblick vara ` = `0 + xA − x. Således ges fjäderkraften av
uttrycket
Fe = k(` − `0 ) = k(xA − x).
Kraftlagen för vagnen i x-riktningen ger att
→:
k(xA − x) − cẋ =
c
k
ẍ + ẋ + x =
m
m
ẍ + 2ζωn ẋ + ωn2 x =
mẍ ⇔
k
xA ⇔
m
f (t),
Figur 11.10: En vagn med massan m rullar utan friktion mot underlaget. Den hålls på plats av
en fjäder och en dämpare, och läget xA för infästningen till fjädern
oscillerar så att vagnen sätts i rörelse.
76
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
där f (t) = kxA (t)/m. Exakt samma typ av differentialekvation uppstår alltså då systemets tvingas i rörelse av en vibration, som när det
tvingas i rörelse av en kraft.
Vid en harmoniska vibration, xA (t) = b sin(ωt), får vi
f (t) =
kb
sin(ωt)
m
för anordningen i fig. 11.10. I sats 11.2 kan vi identifiera a = kb/m, så
att partikulärlösningens amplitud blir:
Cp =
a
M (ω) =
ωn2
kb
m
k
m
M (ω) = bM (ω),
Ännu en gång kan man notera förstärkningsfaktorns avgörande betydelse för svängningsrörelsens amplitud. Vi kan förvänta oss resonans
när ω = ωn .
Bilagor
A
Geometri
A.1
Plan geometri
Vertikalvinklar
α=β
Tabell A.1: Terminologi för vinklar
vid skärande linjer. Linjer som ej
skär varandra i tabellens bilder är
parallella.
α
β
β
Likbelägna vinklar
α=β
Alternatvinklar
α=β
Komplementvinklar
α + β = 90◦
Supplementvinklar
α + β = 180◦
α
β
α
β
α
β
α
a
Topptriangelsatsen Likformiga trianglar uppstår när man genom en
triangel ritar en linje parallell med triangelns bas (fig. A.1). För likformiga trianglar gäller
a0
b0
c0
=
= .
a
b
c
A.2
a′
c
c′
b′
b
Figur A.1: Geometri för topptriangelsatsen.
(A.1)
Trigonometri
Definitioner För en rätvinklig triangel med hypotenusan c och en vinkel θ, med närliggande katet b och motstående katet a, gäller (fig. A.2)
c
a
θ
b
Figur A.2: Geometri för definitioner av trigonometriska funktioner.
80
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
sin θ
=
cos θ
=
tan θ
=
cot θ
=
a
c
b
c
sin θ
a
=
cos θ
b
cos θ
b
=
sin θ
a
θ
0
±30◦
±45◦
±60◦
±90◦
±120◦
±135◦
±150◦
±180◦
◦
(A.2a)
(A.2b)
(A.2c)
(A.2d)
sin θ
cos θ
tan θ
0
±1/2
√
±1/ 2
√
± 3/2
±1
√
± 3/2
√
±1/ 2
±1/2
0
1
√
0
√
±1/ 3
±1
√
± 3
odefinierat
√
∓ 3
∓1
√
∓1/ 3
0
3/2
√
1/ 2
1/2
0
−1/2
√
−1/ 2
√
− 3/2
−1
Tabell A.2: Trigonometrisk värdetabell.
Trigonometriska identiteter
sin2 θ + cos2 θ
=
1 + tan2 θ
=
sin(θ ± ϕ)
=
sin(2θ)
=
cos(θ ± ϕ)
cos(2θ)
=
=
1
1
cos2 θ
sin θ cos ϕ ± cos θ sin ϕ
cos θ cos ϕ ∓ sin θ sin ϕ
2 sin θ cos θ
2
2
cos θ − sin θ
(A.3a)
(A.3b)
(A.3c)
(A.3d)
(A.3e)
(A.3f)
Sinussatsen För en triangel med sidorna a, b och c, vars motstående
vinklar är α, β respektive γ (fig. A.3), gäller
sin α
sin β
sin γ
=
=
.
a
b
c
β
a
(A.4)
c
α
γ
b
Cosinussatsen För en triangel med sidorna a, b och c, där γ är motstående vinkel till c (fig. A.3), gäller
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ.
(A.5)
Figur A.3: Geometri för sinus- och
cosinussatsen.
geometri
Amplitud och fasvinkel
Det gäller att
A cos θ + B sin θ = C sin(θ + ψ),
där amplituden C och fasvinkeln ψ ges av

B

A>0
 arctan A ,
p
2
2
C = A +B ,
ψ=
+
πsgn(B),
A
<0
arctan B
A

 π sgn(B),
A = 0,
2
där sgn(·) betecknar teckenfunktionen.
(A.6)
(A.7)
81
B
Vektorer
Detta kapitel ger en kortfattad repetition av vektorbegreppet. En mer
detaljerad framställning återfinns annorstädes.26
B.1
26
H. Anton and C. Rorres. Elementary
linear algebra. John Wiley & Sons, Inc.,
8th edition, 2000. ISBN 0-471-17052-6
Geometriska vektorer
Vektorer kan representeras geometriskt som ett riktat linjesegment i
planet eller i rummet, och ritas som en pil. Speciellt ritas vektorer som
är riktade ut ur papperets plan som (pilspets) och de som är riktade
in i papperets plan som ⊗ (pilfjädrar). I detta kompendium betecknas
vektorstorheter med en pil ovanför variabelnamnet, t.ex. ū.
En vektors belopp betecknas |ū| och är längden av det linjesegment
som representerar vektorn (fig. B.1a). Två vektorer ū och w̄ är lika,
ū = w̄, om deras belopp (längd) och rikting är lika, oberoende av deras
lägen i rummet (fig. B.1b). En vektor kan bildas av ett linjesegment,
som förbinder två punkter A och B. En sådan vektor betecknas AB
(fig. B.1c). Vi inför den särskilda nollvektorn 0̄ = AA, som har beloppet 0 och en odefinierad riktning.
En negerad vektor −ū har samma belopp som ū, men omvänd riktning (fig. B.1d). Vidare definieras summan av två vektorer i parallellogramlagen: Placera w̄:s startpunkt vid ū:s slutpunkt. Då är ū + w̄
vektorn från ū:s startpunkt till w̄:s slutpunkt (fig. B.1e). Vektorsubtraktion definieras ū − w̄ ≡ ū + (−w̄).
Om ett reellt tal c multipliceras med en vektor ū blir resultaten en
ny vektor cū. Om c > 0 har ū och cū samma riktning, men om c < 0
har ū och cū motsatta riktningar. Det gäller att cū är |c| gånger längre
än ū.
Följande räkneregler gäller för vektorer i både två och tre dimensioner:
ū + w̄
= w̄ + ū
(B.1a)
c(dū)
=
(cd)ū
(B.1b)
c(ū + w̄)
=
cū + cw̄
(B.1c)
(c + d)ū = cū + dū.
(B.1d)
Här betecknar c och d godtyckliga reella tal.
|ū|
ū
(a)
(b)
B
ū
AB
A
−ū
(c)
(d)
w̄
ū
ū + w̄
(e)
ū
1
ēu
(f)
Figur B.1: (a) Vektor ū med beloppet |ū|. (b) Ekvivalenta vektorer. (c) Vektor som förbinder två
punkter. (d) Negering omkastar en
vektors riktning. (e) Vektoraddition med parallellogramlagen. (f)
Riktningsvektorn ēu till ū har samma riktning som ū och beloppet 1.
84
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
En vektor med längden 1 kallas enhetsvektor. En godtycklig vektor
ū 6= 0̄ har en så kallad riktningsvektor ēu , som är en enhetsvektor med
samma riktning som ū (fig. B.1f). Man kan således skriva
ū = uēu
⇔
ēu =
ū
,
u
(B.2)
där u 6= 0 är ett reellt tal, en så kallad skalär. Denna skalär tillåts vara
såväl positiv som negativ. Denna teknik att skriva vektorer som produkten av dess storlek och riktning används flitigt vid problemlösning.
B.2
Vektorer i ortogonala koordinatsystem
Vi inför ett ortogonalt högerorienterat koordinatsystem med origo O
och koordinaterna x, y och z i rummet. Att ett koordinatsystem är ortogonalt betyder att dess axlar är vinkelräta mot varandra. Huruvida
det är högerorienterat bestäms av högerhandsregeln (fig. B.2). I detta
kompendium används endast ortogonala högerorienterade koordinatsystem.
Varje koordinataxel x, y och z definierar en riktningsvektor ēx , ēy
respektive ēz i koordinatens positiva riktning (fig. B.3a). Vektorerna
ēx , ēy och ēz bildar en ortogonal bas, vilket innebär att en godtycklig
vektor ū kan representeras entydigt som
ū = ux ēx + uy ēy + uz ēz ,
(B.3)
där ux , uy och uz är skalärer (reella tal) och kallas vektorn ū:s komponenter. Termerna ux ēx , uy ēy och uz ēz är ū:s komposanter (fig. B.3b).
Av bekvämlighetsskäl används ibland ett ekvivalent beteckningssätt,
där vektorn skrivs som en kolumnmatris:


ux


ux ēx + uy ēy + uz ēz =  uy  .
uz
Att en vektors representation i en ortogonal bas är unik är särskilt
viktigt. Tack vare denna egenskap gäller det att


u = wx

 x
ū = w̄ ⇔
(B.4)
uy = wy


u = w .
z
z
En ekvation på vektorform kan alltså skrivas om till ett ekvationssystem med reella koefficienter och variabler.
B.3
Skalärprodukt
Skalärprodukten mellan två godtyckliga vektorer ū = ux ēx +uy ēy +uz ēz
och w̄ = wx ēx + wy ēy + wz ēz definieras som
ū · w̄ ≡ |ū||w̄| cos ϕ,
(B.5)
z
y
x
Figur B.2: Högerhandregeln: Då
högerhandens tre första fingrar
hålls i vinkelrätt läge mot varandra pekar de ut x-, y- och z-axelns
riktningar.
y
ēy
x
ēx
ēz
z
(a)
ēy
y
ēx
uy
ēz
ū
x
z
uz
ux
(b)
Figur B.3: (a) Ortogonalt högerorienterat koordinatsystem med ortogonala basvektorer ēx , ēy och ēz .
(b) En vektor ū med sina tre komposanter ux ēx , uy ēy och uz ēz ritade met öppna pilhuvuden.
vektorer
85
där ϕ är vinkeln mellan ū och w̄, så att 0◦ ≥ ϕ ≥ 180◦ . Man kan visa
att
ū · w̄ = ux wx + uy wy + uz wz .
(B.6)
Resultatet av en skalärprodukt är, som synes, en skalär.
En följd av ekv. (B.5) är att skalärprodukten för nollskilda vinkelräta vektorer (ϕ = 90◦ ) är 0:
ū ⊥ w̄
⇔
ū · w̄ = 0.
(B.7)
Enligt ekv. (B.5) gäller också att ū · ū = |ū|2 , eftersom cos 0◦ = 1. Ur
detta samband får vi en formel för en godtycklig vektors belopp
q
√
|ū| = ū · ū = u2x + u2y + u2z .
(B.8)
Följande räkneregler gäller för skalärprodukt i både två och tre
dimensioner:
ū · w̄
=
c(ū · w̄)
=
ū · (v̄ + w̄)
=
w̄ · ū
ū · v̄ + ū · w̄
(cū) · w̄,
(B.9a)
(B.9b)
(B.9c)
där c är en skalär.
Räknereglerna för skalärprodukt ger att
ū · ēx
=
=
ux (ēx · ēx ) + uy (ēy · ēx ) + uz (ēz · ēx )
ux 1 + uy 0 + uz 0 = ux .
Detta kan generaliseras till en godtycklig axel λ med riktningen ēλ ; vi
har att ū·ēλ är vektorn ū:s komponent i λ-riktningen. Skalärprodukten
med en enhetsvektor ēλ kan tolkas som en ortogonal projektion på λaxeln:
uλ = ū · ēλ = |ū| cos ϕ,
(B.10)
där ϕ är vinkeln mellan ū och ēλ (fig. B.4).
B.4
Kryssprodukt
Kryssprodukten ū × w̄ mellan två vektorer definieras med determinantnotation som
ē
x ēy ēz ū × w̄ ≡ ux uy uz =
wx wy wz = (uy wz − uz wy )ēx + (uz wx − ux wz )ēy + (ux wy − uy wx )ēz . (B.11)
Resultatet från en kryssprodukt är alltså en vektor. En konsekvens av
definitionen är att resultatvektorns belopp ges av
|ū × w̄| = |ū||w̄| sin ϕ,
(B.12)
λ
ū
ϕ
ēλ
ū · ēλ
Figur B.4: Projektion av en vektor på en godtycklig axel λ genom skalärmultiplikation med riktningsvektorn.
86
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
ū
där ϕ är vinkeln mellan ū och w̄. Dessutom är ū × w̄ vinkelrät mot
både ū och w̄, och dess orientering följer högerhandsregeln (fig. B.5).
Vidare gäller enligt ekv. (B.12) att om ϕ = 0◦ eller ϕ = 180◦ blir
kryssprodukten 0̄:
ū || w̄
ū × w̄ = 0̄.
⇔
(B.13)
Följande räkneregler gäller för kryssprodukt:
ū × w̄
=
c(ū × w̄)
=
ū × (v̄ + w̄)
=
ū × ū =
w̄
ū × w̄
Figur B.5: För kryssprodukt ges resultatvektorns riktning av högerhandsregeln.
(B.14a)
−(w̄ × ū)
ū × v̄ + ū × w̄
(B.14b)
0̄,
(B.14d)
(cū) × w̄ = ū × (cw̄),
(B.14c)
där c är en skalär. Notera särskilt ekv. (B.14a): kryssprodukten byter
tecken när multiplikanderna kastas om. Det finns också räkneregler
som inbegriper både skalär- och kryssprodukt:
ū × (v̄ × w̄)
=
ū · (v̄ × w̄)
B.5
=
(ū · w̄)v̄ − (ū · v̄)w̄
(B.15a)
w̄ · (ū × v̄) = v̄ · (w̄ × ū).
(B.15b)
Vektorvärda funktioner
Om en vektor ū:s värde beror av en parameter t, som inte nödvändigtvis behöver vara tid, bildas en vektorvärd funktion ū(t). Denna kan
skrivas
ū(t) = ux (t)ēx + uy (t)ēy + uz (t)ēz ,
(B.16)
där ux (t), uy (t) och uz (t) är vanliga skalära funktioner, och ēx , ēy och
ēz är konstanta basvektorer.27 Derivatan av den vektorvärda funktionen i ekv. (B.16) definieras
dū
ū(t + ∆t) − ū(t)
dux
duy
duz
≡ lim
=
ēx +
ēy +
ēz .
∆t→0
dt
∆t
dt
dt
dt
(B.17)
Produktregeln gäller både för produkt med en skalär funktion, skalärprodukt mellan vektorvärda funktioner och kryssprodukt mellan vektorvärda funktioner. Det gäller alltså att
d
(cū)
dt
dc
dū
ū + c ,
(B.18a)
dt
dt
d
dū
dw̄
(ū · w̄) =
· w̄ + ū ·
,
(B.18b)
dt
dt
dt
d
dū
dw̄
(ū × w̄) =
× w̄ + ū ×
,
(B.18c)
dt
dt
dt
där c, ū och w̄ alla är funktioner av t. Den bestämda integralen av den
vektorvärda funktionen ū(t) i ekv. (B.16) är
Z
t2
t1
ūdt =
=
Z
t2
t1
ux dtēx +
Z
t2
t1
uy dtēy +
Z
t2
t1
uz dtēz .
(B.19)
27
Allmänt kan vektorvärda funktioner
flera parametrar och andra värdemängder än R3 .
C
Storhet, enhet och dimension
En storhet är en mätbar egenskap hos ett föremål eller en företeelse.
Varje storhet besitter en fysikalisk dimension och en storlek. Med dimension avses vilken typ av storhet det är frågan om, t.ex. längd, tid,
fart, massa eller kraft. Med storlek avses relativ storlek jämfört med
någon annan storhet med samma dimension.
C.1
Dimension
De grundläggande dimensionerna inom mekanik är tid (T), längd (L)
och massa (M).28 Från dimensionerna T, L och M kan härledda dimensioner bildas. Eftersom fart definieras som en sträcka (L) per tidsenhet
(T), skrivs dimensionen för fart L/T. På motsvarande sätt har acceleration dimensionen L/T2 .
Ett därutöver nämnvärt fall är dimensionen för vinklar. En vinkel
definieras som kvoten mellan en cirkelbåges längd (L) och cirkelradien
(L). Vinkelns dimension är därför L/L = 1. Vi säger att en storhet är
dimensionslös när den har dimensionen 1.29
C.2
28
Det är även möjligt att välja tre andra grundläggande dimensioner, t.ex. tid,
längd och kraft.
29
Storheter har alltid en dimension, så
begreppet dimensionslös är oegentligt.
Enhet
En enhet är en välbestämd storhet, som används som referens vid beskrivning av andra storheter av samma dimension. Enligt SI-systemet30
används följande enheter för dimensionerna tid, längd och massa:
30
Bureau International des Poids et Mesures. The International System of Units
(SI). 8th edition, 2006
• En sekund (s) har dimensionen T och definieras som varaktigheten
hos 9 192 631 770 perioder av strålningen från övergången mellan de
två hyperfina energinivåerna hos Cesium-133-isotopen i sitt grundtillstånd vid absoluta nollpunkten.
• En meter (m) har dimensionen L och definieras som den sträcka
ljuset färdas i vakuum under 1/299 792 458 sekunder.
• Ett kilogram (kg) har dimensionen M och definieras som massan hos
arkivkilogrammet: ett cylinderformat metallföremål (fig. C.1).31
Härledda enheter kan bildas från produkten eller kvoten av fördefinierade enheter. Till exempel kan vi bilda enheten meter per sekund
31
R. Davis. The SI unit of mass. Metrologia, 40(6):299–305, 2003
88
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
(m/s), som får dimensionen L/T och alltså kan användas för att beskriva fart. Dessutom kan prefix användas för att beteckna multiplar
eller andelar av en enhet, t.ex. betyder mikrosekund (µs) en miljondels sekund, där mikro- (µ) är prefixet för en miljondel. Några vanliga
prefix återfinns i tabell C.1.
Det finns även enheter med dimensionen 1, t.ex. procent [%] och
enheter för vinklar som radianer [rad] och grader [◦ ]. Gemensamt för
dessa enheter är att de definieras matematiskt, utan hänvisning till
något fysikaliskt fenomen.
C.3
Mätetal
Värdet hos en storhet X, med avseende på en enhet E, uttrycks som
en produkt av ett mätetal n och enheten:
X = nE,
(C.1)
där n är en reell koefficient som inte påverkar uttryckets dimension.
En vektorstorhet X̄ kan skrivas
X̄ = n̄E,
(C.2)
där n̄ är en vektor med reella komponenter. Om hastigheten v̄ är
5,0 m/s i z-riktningen är det således korrekt att skriva: v̄ = 5,0ēz m/s.
C.4
Räkneregler för dimension
Vi använder beteckningssättet [X] för dimensionen hos en storhet X.
Till exempel betyder [`] = L att ` har dimensionen längd. Om X och
Y är storheter gäller det att
X=Y
⇒
[X] = [Y ] .
(C.3)
Dimensionen hos de båda leden av en ekvation måste alltså vara lika.
För dimensioner gäller följande räkneregler
[nX]
[X + Y ]
=
[X]
(
[X] ,
om [X] = [Y ]
=
odefinierat, annars
(C.4a)
(C.4b)
[XY ]
=
[X] [Y ]
(C.4c)
[X n ]
=
[X]
(C.4d)
n
där n är ett reell tal. En dimensionsbetraktelse av kraftlagen, ekv. (1.4),
ger
L
ΣF̄ = [mā] = ekv. (C.4c) = [m] [ā] = M 2 ,
T
så att dimensionen för kraft ges av en kombination av de grundläggande dimensionerna.
Figur C.1: Kopia av arkivkilogrammet, som förvaras hos National Institute of Standards and Technology i USA.
Prefix
Symbol
Faktor
teragigamegakilohektodecicentimillimikronanopico-
T
G
M
k
h
d
c
m
µ
n
p
1012
109
106
103
102
10−1
10−2
10−3
10−6
10−9
10−12
Tabell C.1: Några prefix som används inom SI-systemet.
storhet, enhet och dimension
Eftersom enheter också är storheter, är det korrekt att skriva
[s] = T,
[kg] = M,
[m/s] =
L
,
T
och så vidare. Det är vanligt att man använder de grundläggande enheterna för att representera dimensionen, och till exempel skriver att
dimensionen för fart är [m/s].
C.5
Dimensionsriktighet
För alla meningsfulla fysikaliska ekvationer eller uttryck gäller:
• Dimensionen hos vänster och höger led i en likhet eller olikhet
skall vara lika.
• Dimensionen hos alla termer i en summa skall vara lika.
• Dimensionen hos argumentet x till transcendenta funktioner, t.ex.
cos x och ex , skall vara 1.
Ett uttryck som följer dessa regler sägs vara dimensionsriktigt. Uttryck som inte är dimensionsriktiga är felaktiga. Vid problemlösning
kontrollerar man dimensionsriktighet för att lokalisera fel.
89
D
Differentialer
För en funktion y(t) betecknar dy/dt derivatan av y m.a.p. t, vilken definieras som ett gränsvärde. Denna beteckning skall inte uppfattas som
en kvot mellan en täljare dy och en nämnare dt, eftersom denna kvot i
så fall skulle vara 0/0, vilket är odefinierat. Istället skall dy/dt betraktas som en symbol för derivata. Inom fysik är det ändå vanligt att man
behandlar dt som en oberoende variabel, vilken benämns differentialen
av t, och tillåts ha ett ändligt reellt värde. Dessutom betraktar man dy
som en beroende variabel, vilken benämns differentialen av y.32
Definition D.1 (Differential). Om y(t) är en deriverbar funktion definieras differentialen av y som
dy =
dy
dt,
dt
(D.1)
där dt är en oberoende variabel som kallas differentialen av t.
I ekv. (D.1) betecknar dy/dt som vanligt derivatan av y m.a.p. t. Vi
kan konstatera att dy = dy(t, dt) är en funktion av variablerna t och dt.
För en given funktion f (t) gäller enligt definitionen, ekv. (D.1), att
dy = f (t)dt
⇔
dy
= f (t).
dt
(D.2)
Detta betyder att differentialuttrycket kan ses som en alternativ notation för derivata. Eftersom de båda leden i ekv. (D.1) är reella tal,
erbjuder differentialnotationen nya möjligheter; alla algebraiska operationer, som är tillåtna för vanliga skalära ekvationer, är även tillåtna
för ekvationer som innehåller differentialer.
Sats D.2 (Separabla differentialekvationer). Om y(t) är en deriverbar
funktion, och f (t) och g(y) är givna funktioner, gäller det att
g[y(t)]dy = f (t)dt
⇒
Z
där y1 = y(t1 ) och y2 = y(t2 ).
y2
y1
g(y)dy =
Z
t2
t1
f (t)dt,
(D.3)
32
R. A. Adams. Calculus: A complete course. Addison Wesley Longman,
Ltd., 4th edition, 1999. ISBN 978-0201-39607-2
92
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
Bevis. Vi har
g[y(t)]dy
=
dy
=
f (t)dt ⇔
f (t)
dt ⇔
g[y(t)]
f (t)
⇔
g[y(t)]
def. D.1
⇔
dy
=
dt
dy
= f (t).
g[y(t)]
dt
Detta utgör en separabel differentialekvation. Integration av dess båda
led m.a.p. t ger
Z t2
Z t2
dy
g[y(t)] dt =
f (t)dt ⇔
subst. y = y(t)
⇔
dt
t1
t1
Z y(t2 )
Z t2
g(y)dy =
f (t)dt.
y(t1 )
t1
Sats D.3 (Differentialekvation med två parametriserade funktioner).
Om x(t) och y(t) är deriverbara funktioner, och g(y) och h(x) är
givna funktioner, gäller det att
Z y2
Z x2
g[y(t)]dy = h[x(t)]dx ⇒
g(y)dy =
h(x)dx, (D.4)
y1
x1
där y1 = y(t1 ), y2 = y(t2 ), x1 = x(t1 ) och x2 = x(t2 ).
Bevis. Vi har
g[y(t)]dy =
dy
g[y(t)] dt =
dt
dy
=
g[y(t)]
dt
Integration av båda
Z t2
dy
g[y(t)] dt
dt
t1
Z y(t2 )
g(y)dy
y(t1 )
h[x(t)]dx ⇔
def. D.1
⇔
dx
h[x(t)] dt ⇔
div. med dt
⇔
dt
dx
h[x(t)] .
dt
led m.a.p. t ger
(
)
Z t2
subst. y = y(t)
dx
=
h[x(t)] dt ⇔
⇔
dt
x = x(t)
t1
Z x(t2 )
=
h(x)dx.
x(t1 )
Litteraturförteckning
R. A. Adams. Calculus: A complete course. Addison Wesley Longman, Ltd., 4th edition, 1999. ISBN 978-0-201-39607-2.
H. Anton and C. Rorres. Elementary linear algebra. John Wiley &
Sons, Inc., 8th edition, 2000. ISBN 0-471-17052-6.
R. Davis. The SI unit of mass. Metrologia, 40(6):299–305, 2003.
Bureau International des Poids et Mesures. The International System
of Units (SI). 8th edition, 2006.
J. B. Griffiths. The theory of classical mechanics. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-23760-2.
P. J. Mohr, B. N. Taylor, and D. B. Newell. CODATA recommended
values of the fundamental physical constants: 2010. J. Phys. Chem.
Ref. Data, 41:043109, 2012.
I. S. Newton. Naturvetenskapens matematiska principer, första boken.
Svensk översättning C. V. L. Charlier, Liber Läromedel, Malmö,
1986a. ISBN 91-40-60433-0.
I. S. Newton. Naturvetenskapens matematiska principer, andra och
tredje boken. Svensk översättning C. V. L. Charlier, Liber Läromedel,
Malmö, 1986b. ISBN 91-40-60437-3.
K. R. Symon. Mechanics. Addison-Wesley Publishing Company, Inc.,
2nd edition, 1960.
Sakregister
acceleration, 10, 11, 39, 43, 45, 49
alternatvinklar, 79
amplitud, 70, 81
angreppspunkt, 13
arbete, 53
bana, 10, 45
basvektor, 10, 42, 86
begynnande glidning, 34
belopp, 83, 85
båglängd, 44
båglängdskoordinat, 45
centralkraft, 11
cosinussatsen, 80
Coulombfriktion, 34
deformation, 9
densitet, 27
differential, 91
differentialekvation, 91, 92
dimension, 87
dimensionslös, 87
dimensionsriktig, 89
dämpare, 70
dämpat system, 70
dämpning, 70
dämpningsförhållande, 71
dämpningskoefficient, 71
effekt, 53
elastisk energi, 56
elastisk kraft, 12
elastisk stöt, 66
energi, 53
energimetod, 53
enhet, 87
enhetsvektor, 84, 85
fart, 39
fasvinkel, 70, 81
fjäder, 12
fjäderkonstant, 12
flerkroppsproblem, 25
fri svängning, 69
friktion, 33
friktionsfri yta, 33
friktionskoefficient, 34
friktionskraft, 33
friläggning, 22
friläggningsdiagram, 22
fysikalisk dimension, 87
förflyttningssats, 17
förstärkningsfaktor, 73, 75
geometri, 79
geometriskt centrum, 28
glatt yta, 33
gravitation, 11, 29
gravitationskonstant, 12
gravitationskraft, 11
gravitationslag, 12
hastighet, 10, 39, 43, 45
homogenlösning, 73
hävarm, 14
högerhandsregeln, 14, 84, 86
högerorienterat koordinatsystem, 84
höjdkoordinat, 55
impuls, 60, 67
impulslag, 59, 63, 67
impulsmomentlag, 61, 64
inertialsystem, 11, 49
infästning, 23
inre kraft, 63
joule, 53
jämvikt, 21
jämviktsekvation, 21
jämviktsläge, 70
jämviktsvillkor, 21
kinematik, 39
kinematiskt tvång, 46
kinetik, 49
kinetisk energi, 55
kinetisk friktion, 34
kinetisk friktionskoefficient, 34
komplementvinklar, 79
komponent, 13, 84
komposant, 13, 84
konservativ kraft, 55
kontaktkraft, 12, 13
kraft, 10, 11, 13, 49
kraftjämvikt, 21
kraftkomponent, 13
kraftkomposant, 13
kraftlag, 11, 49
kraftmoment, 14
kraftpar, 15
kraftparsmoment, 15
kraftsumma, 16
kraftsystem, 13, 16, 18
kritiskt dämpad, 72
kropp, 9
kryssprodukt, 85
krökningscentrum, 45
krökningsradie, 45
likbelägna vinklar, 79
likformig rörelse, 49
likformig triangel, 79
linjedensitet, 29
linjär fjäder, 12
läge, 10
lägesenergi, 55
lägesvektor, 10, 40, 42
längd, 87
länkarm, 47
mätetal, 88
massa, 11, 49, 87
masscentrum, 27, 29
masselement, 27
mekanisk energi, 55, 58
96
föreläsningar i mekanik: statik och partikeldynamik
mekaniska energisatsen, 55, 58
moment, 14
momentan acceleration, 39
momentan hastighet, 39
momentan stöt, 65
momentan stötmodell, 65
momentjämvikt, 21
momentlag, 60
momentsumma, 16
momentvektor, 14
naturlig bas, 44
naturlig frekvens, 69
naturlig längd, 12
naturliga komponenter, 44
negerad vektor, 83
Newton, Isaac, 10
newtonmeter, 53
Newtons gravitationslag, 11
Newtons rörelselagar, 10
nollsystem, 17
nollvektor, 83
normalriktning, 45
odämpat system, 69
ortogonal, 84
ortogonalt koordinatsystem, 84
ortsvektor, 10
oskulerande cirkel, 45
parallellogramlag, 83
partikel, 9
partikelbana, 45
partikeldynamik, 37
partikelsystem, 62
partikulärlösning, 73
period, 70
plan geometri, 79
plan rörelse, 39
plant kraftsystem, 18
plastisk stöt, 66
polär bas, 42
polär basvektor, 42
polär koordinat, 42
prefix, 88
projektion, 13, 85
punktkontakt, 23
påtvingad svängning, 72
rak central stöt, 66
reaktionskraft, 49
reaktionslag, 11, 49
reducerat kraftsystem, 17
referensplan, 18
referensram, 49
rektangulär koordinat, 40
resonans, 75
resonansfrekvens, 75
riktningsvektor, 84
rätlinjig rörelse, 10, 39
rörelseenergi, 55
rörelselag, 10, 49
rörelsemängd, 59, 62, 63
rörelsemängdsmoment, 60, 62, 64
separabel differentialekvation, 91
sinussatsen, 80
skalärprodukt, 84, 85
snöre, 24
sned stöt, 67
spiralfjäder, 12
statik, 7
statisk friktion, 33
statisk friktionskoefficient, 34
statisk jämvikt, 21
stelkropp, 9, 21
storhet, 87
storlek, 87
stöt, 65
stötimpuls, 67, 68
stöttal, 66
supplementvinklar, 79
svängning, 69
svängningsrörelse, 69
tangentplan, 33
tangentriktning, 45
tid, 87
tidsderivata, 10, 39
topptriangelsatsen, 79
torr friktion, 34
transient, 73
translation, 21
trigonometri, 79
trigonometrisk identitet, 80
trissa, 24
tröghestlag, 10, 49
tvåkraftsystem, 25
tvång, 23
tvångskraft, 23
tvångsmoment, 23
tyngdacceleration, 12
tyngdkraft, 23, 29
tyngdkraftsfält, 29
tyngdkraftskonstant, 12
tyngdpunkt, 23, 29, 31
täthet, 27
underdämpad, 72
vektor, 83
vektoraddition, 83
vektorbelopp, 83, 85
vektorkomponent, 84
vektorkomposant, 84
vektormultipel, 83
vektornegation, 83
vektorsubtraktion, 83
vektorvärd funktion, 10, 86
verkningslinje, 13
vertikalvinklar, 79
vibration, 75
vila, 21
vinkel, 79
vinkelacceleration, 42
vinkelhastighet, 42
volymskraft, 13, 29
växelverkan, 10
watt, 53
ytdensitet, 29
yttre kraft, 13, 63
överdämpad, 72

Föreläsningar i mekanik: Statik och partikeldynamik

Related documents

Products

Support

Föreläsningar i mekanik: Statik och partikeldynamik

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib