KRAV FÖR GODKÄNTBETYG
För betyget 3 (godkänt), skall studenten kunna följande:
Kapitel 1:
• lösa linjära ekvationssystem med eliminationsmetoden
• förklara hur de olika typer av lösningsmängder uppkomer och hur de
kan beskrivas.
• använda sats 2 i avsnitt 1.2 i problemlösning.
• förklara hur ett ekvationssystem hänger samman med en vektorekva-
tion.
• använda sats 4 i avsnitt 1.4 i problemlösning.
• förklara hur ett ekvationssystem hänger samman med en matrisekva-
tion.
• skriva lösningsmängden till ett ekvationssystem på vektorform.
• avgöra om en vektor är en linjär kombination av givna vektorer.
• avgöra om en given mängd vektorer är linjärt beroende eller oberoende.
• avgöra om en given avbildning är linjär.
• bestämma standardmatrisen till en linjär avbildning.
Kapitel 2:
• addera matriser
• multiplicera matriser, dels genom användning av denitionen, dels med
rad-kolonn metoden.
• utnyttja räknereglerna i sats 2 vid beräkningar.
1
• ge exempel som visar att matrismultiplikationen inte är kommutativ,
annuleringslagen inte gäller, och en matrisprodukt kan vara noll trots
att ingen faktor är noll.
• tillämpa sats 5 och 6 i problemlösning.
• beräkna inversen med hjälp av sats 4 och metoden i exempel 7, avsnitt
2.2.
• tillämpa sats 8 i problemlösning.
• bestämma LU-faktoriseringen av en matris där det inte krävs radbyte.
Kapitel 3:
• beräkna determinanten för en matris med hjälp av sats 1.
• tillämpa sats 2, 3 och 5 i problemlösning.
• utnyttja determinant för att avgöra om en matris är inverterbar.
• tillämpa sats 6 i problemlösning.
• uttnytja Cramers regel i problemlösning.
• beräkna invers till en (3,3)-matris med hjälp av sats 8.
Kapitel 4:
• deniera begreppet underrum i Rn och avgöra om en viss mängd är ett
underrum.
• deniera begreppet nollrum N ul(A) till en matris A, avgöra om en viss
vektor tillhör N ul(A), samt bestämma en bas.
• deniera begreppet kolonnrum Col(A) till en matris A, avgöra om en
viss vektor tillhör Col(A), samt bestämma en bas.
• deniera begreppet linjärt beroende och oberoende mängd av vektorer
och bas för ett underrum i Rn .
• deniera begreppet koordinater för en vektor relativt en bas och bestämma
koordinaterna för en vektor relativt en given bas.
• deniera begreppet dimension av ett underrum i Rn .
2
• deniera begreppet rang för en matris.
• tillämpa rang-satsen vid problemlösning.
• tillämpa satsen om inverterbara matriser vid problemlösning.
• basbyte i Rn , satsen 15 i avsnitt 4.7 är central.
Kapitel 5:
• deniera begreppet egenvärde och egenvektor.
• förklara varför lösningarna till den karakteristiska ekvationen till en
matris är matrisens egenvärden.
• bestämma egenvärden och egenvektorer till en matris.
• bestämma egenvektorsbas till en matris.
• diagonalisera en matris.
• beräkna potenser av en matris med hjälp av diagonalisering.
• använda matrisdiagonalisering för att lösa system av linjära dieren-
tialekvationer.
Kapitel 6:
• beräkna skalärprodukten av två vektorer i Rn , tillämpa räknereglerna
för skalärprodukt, beräkna norm av en vektor och avståndet mellan
vektorer i Rn .
• avgöra om två vektorer i Rn är ortogonala.
• bevisa Pythagoras sats i Rn .
• förklara vad som menas med W ⊥ om W är att underrum i Rn .
• tillämpa sats 3 i problemlösning.
• förklara vad som menas med ortogonal bas för ett underrum W och
tillämpa sats 5 för beräkning av koordinaterna för en vektor y ∈ W
relativt en ortogonal bas för W .
• använda projektionsformeln i problemlösning.
• förklara begreppet ortonormerad bas för ett underrum W .
3
• tillämpa sats 8 för att dela upp en vektor i ortogonala komponenter,
en i W , och den andra i W ⊥ , då en ortogonal bas för W är känd.
• förklara vad en ortogonal matris betyder.
• tillämpa Gram-Schmidt processen för att bestämma en ortogonal bas
för ett underrum W i Rn , utgående från en annan bas för W .
• förklara vad minsta-kvadrat lösning betyder och tillämpa minsta-kvadrat
metoden för modellanpassning.
Kapitel 7:
• tillämpa satserna 1, 3 i avsnitt 7.1 vid problemlösning.
4
