LINJÄR ALGEBRA II
LEKTION 2
JOHAN ASPLUND
Innehåll
1. Dimensionen av ett vektorrum
Uppgifter
4.5:3
4.5.7(b)
4.5:13
4.5:21
1
2
2
2
3
3
1. Dimensionen av ett vektorrum
Det kanske viktigaste begreppet som har med vektorrum att göra, förutom bas är dimension.
Definition 1.1 (Dimension). Låt V vara ett reellt vektorrum, och låt v = {v1 , v2 , . . . , vn } vara en bas till V . Då
definierar vi dim(V ) som antal basvektorer i v. Det vill säga dim(V ) = n.
Om V = {0} definierar vi dimensionen som dim(V ) = 0.
Sats 1.2. Låt V vara ett reellt vektorrum. Om v = {v1 , v2 , . . . , vn } och w = {w1 , w2 , . . . , wn } är två baser till
V så måste vi ha n = m.
Denna sats säger mer eller mindre att alla baser i ett vektorrum har samma längd.
Exempel 1.3. Här följer en lista på dimensionen av några viktiga vektorrum.
• dim(Rn ) = n.
• dim(Rn×m ) = nm. Här betecknar Rn×m mängden av alla n × m-matriser med element i R.
• dim(Pn ) = n + 1.
Anmärkning 1.4. Det finns en väldigt djup sats som direkt använder urvalsaxiomet som säger att alla
vektorrum har en bas. Man kan dessutom visa att ett vektorrum bestäms helt utifrån sin dimension. Det
vill säga om V är ett vektorrum med dim(V ) < ∞, så vet man precis vilket vektorrum det är. Så länge
V är ett reellt vektorrum med n = dim(V ) < ∞ så är V = Rn .
Detta gör mer eller mindre att linjär algebra reduceras till att studera Rn . Så länge vi vet hur Rn beter
sig, så vet vi hur alla (reella ändligdimensionella) vektorrum beter sig.
Genom att vi vet dimensionen av ett vektorrum så kan vi ofta ta reda på om en mängd vektorer är
linjärt (o)beroende eller om de spänner upp rummet utan att lösa ett ekvationssystem.
Sats 1.5. Låt V vara ett reellt vektorrum med dim(V ) = n. Låt sedan W = {w1 , w2 , . . . , wm } vara en mängd
vektorer. Då gäller följande
(i) Om m < n då är span(W ) ⊊ V .
(ii) Om m > n då är W linjärt beroende.
Exempel 1.6. Denna sats säger att om vi har V = R2 till exempel, och tre stycken vektorer,
( ) (
1
2
,
) ( )
5
9
,
,
−2
1
så är de nödvändigtvis linjärt beroende. Detta vet vi direkt eftersom dim(V ) = 2, och vi har en mängd med tre vektorer.
1
2
JOHAN ASPLUND
Sats 1.7. Låt V vara ett reellt vektorrum med dim(V ) = n. Låt W vara en mängd vektorer i V .
(i) Om W inte är en bas i V och om span(W ) = V , så kan W reduceras till en bas i V genom att plocka bort vektorer
från W .
(ii) Om W inte är en bas i V och W är linjärt oberoende, så kan W utvidgas till en bas i V genom att lägga till vektorer.
Nu kommer en sats som talar om för oss att det är onödigt att kolla om en mängd vektorer både är
linjärt oberoende, och om de spänner upp ett vektorrum om vi vill kolla om det är en bas i ett vektorrum
med en känd dimension.
Sats 1.8. Låt V vara ett n-dimensionellt reellt vektorrum, och låt W = {w1 , . . . wn }. Då är de följande påståendena
ekvivalenta.
(i) W är linjärt oberoende.
(ii) span(W ) = V .
(iii) W är en bas i V .
Exempel 1.9. Betrakta V = R2 och två vektorer W =
( ) ( )
1
2
1
. För att avgöra om W är en bas i R2 räcker
3
,
det alltså att kolla om W är linjärt oberoende eftersom|W | = 2 = dim(R2 ) enligt sats 1.8. Eftersom vektorerna inte är
parallella (dvs proportionella, eller en multipel av varandra), så är de linjärt oberoende och därför en bas till R2 .
Uppgifter
4.5:3. Hitta en bas för rummet som beskrivs av följande homogena och linjära ekvationssystem
3x − x + 2x + x = 0
1
2
3
4
6x1 − 2x2 − 4x3 = 0
.
Lösning. Vi ställer upp systemets matris (högerledet är 0) och radreducerar.
(
3 −1 2 1
6 −2 −4 0
)
−2
←
−+
(
∼
3 −1 2
1
0 0 −8 −2
(
)
| · − 12
∼
3 −1 2 1
0 0 4 1
Sätter vi x3 = t får vi x4 = −4t. Sedan sätter vi x1 = s och får x2 = 3s − 2t. Så
)
.
x1
s
s
0
1
0
x
3s
−
2t
3s
−2t
3
−2
2
=
= +
= s + t .
x3 t 0 t
0
1
x4
−4t
0
−4t
0
−4
1
0
3 −2
Alltså spänns lösningsrummet S upp av vektorerna , , så
0 1
0
−4
1 0
3 −2
S = span , .
0 1
0
−4
Dessa två vektorer utgör också en bas till S.
4.5.7(b). Hitta en bas till planet y + z = 0 i R3 .
Lösning. Vi hittar en bas genom att parametrisera planet. Vi parametriserar det genom att notera att
alla vektorer på följande form
x
t
y = s ,
z
−s
LINJÄR ALGEBRA II
LEKTION 2
3
löser ekvationen y + z = 0. Notera att vi kan välja x till vad som helst! Därför kan planet skrivas på
parameterform som
x
1
0
y = t 0 + s 1 ,
z
0
−1
och en bas till planet som delrum av R3 är då
0
1
0
1
,
.
0
−1
4.5:13. Hitta standardbasvektorer i R4 som kan läggas till följande vektorer
v1 = (1, −4, 2, −3),
v2 = (−3, 8, −4, 6) ,
så att {v1 , v2 } utvidgas till en bas.
Lösning. Före vi börjar lägga till vektorer så behöver vi ta en sekund och analysera vad det innebär att
en mängd vektorer är en bas. Enligt sats 1.8 behöver vi endast kolla om vektorerna är linjärt oberoende,
∑
eftersom dim(R4 ) = 4. Vi behöver alltså kolla om ekvationen 4i=1 ki vi = 0 endast har den triviala
lösningen.
k1
k2
Om k = och vi betecknar koefficientmatrisen med vektorerna vi som kolonner, med A, så har vi
k3
k4
ekvationen Ak = 0. Om A är inverterbar och A−1 finns, så kan vi muliplicera båda led (från vänster) med
A−1 för att få k = A−1 0 = 0. Så för att vektorerna vi ska vara linjärt oberoende så vill vi att det(A) ̸= 0.
För att återgå till vårt problem så vill vi utvidga {v1 , v2 } med två vektorer ei och ej . Ekvatonen vi vill
undersöka är alltså
k1 v1 + k2 v2 + k3 ei + k4 ej = 0 .
Vi skriver om denna på matrisform, och får
1 −3 | |
k1
−4 8 ei ej k2
Ak =
= 0.
| k3
2 −4 |
−3 6
| |
k4
Vi vill alltså undersöka, och hitta två standardbasvektorer ei och ej så att det(A) ̸= 0. Vi gör detta genom
att pröva olika standardbasvektorer. Determinanten är rätt lätt att beräkna, och därför nöjer vi oss med
att gissa. Om vi tar e2 samt e4 får vi följande
1
−4
det(A) = 2
−3
−3
8
−4
6
0
1
0
0
Utveckla längs kolonn 3
=
0
Utveckla längs kolonn 3 1 −3 0
0
=
− 2 −4 0
0
−3 6 1
1
1
−
2
−3
= −(−4 + 6) = −2 ̸= 0 .
−4
Alltså kan vi utvidga {v1 , v2 } med e2 och e4 så att {v1 , v2 , e2 , e4 } bildar en bas i R4 , eftersom de är linjärt
oberoende och dim(R4 ) = 4 (se sats 1.8).
4.5:21. Bevisa att om W ⊂ V är ett delrum i ett reellt vektorrum V med dim(V ) = n < ∞, då är
dim(W ) < ∞.
Lösning. Låt w vara en bas i W . Då är w linjärt oberoende på grund av sats 1.8. Eftersom W ⊂ V så
är w en mängd vektorer i V . På grund av sats 1.7 så kan vi då utvidga mängden w så att det blir en bas i
V . Detta måste innebära att W är ändligdimensionellt.
E-mail address: [email protected]
