LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 I 1. V Hela kursen

LINJÄR ALGEBRA II
LEKTION 1
JOHAN ASPLUND
I
1. V  
Hela kursen Linjär Algebra II handlar om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de
ibland kallas) beter sig. Tidigare har man antagligen stött på en hel drös med vektorrum. De viktigaste
och mest uppenbara är R2 och R3 . Tidigare har man mer eller mindre sett på vektorrum som en mängd
med vektorer (pilar), men vi ska nu ta ett mer seriöst grepp och faktiskt definiera vad som menas med
ordet vektorrum.
Rent formellt sett är ett vektorrum inget mer än en mängd med punkter (till exempel ett plan), en
mängd med skalärer (till exempel R) och en rad med regler som dessa ska följa.
Definition 1.1 (Vektorrum). Låt V vara en icke-tom mängd, och låt k beteckna en godtycklig skalär. Om följande
regler gäller kallas V för ett vektorrum.
Sluten map addition: Om v, w ∈ V så v + w ∈ V .
Sluten map skalärmultiplikation: Om v ∈ V och k är en skalär så kv ∈ V .
A1: v + w = w + v för alla v, w ∈ V .
A2: (u + v) + w = u + (v + w) för alla u, v, w ∈ V .
A3: Det finns en nollvektor, 0, så att v + 0 = v för alla v ∈ V .
A4: För varje v ∈ V finns det en negativ motsvarighet, −v ∈ V , så att v + (−v) = 0.
M1: k(v + w) = kv + kw för alla v, w ∈ V och alla skalärer k.
M2: (k + l)v = kv + lv för alla v ∈ V och alla skalärer k och l.
M3: k(lv) = (kl)v för alla v ∈ V och alla skalärer k och l.
M4: Det finns en etta, 1, så att 1v = v för alla v ∈ V .
Från och med nu kommer vi anta att alla skalärer är reella, och vi kommer kalla V ett reellt vektorrum
om V är sluten (med avseende på både addition och skalärmultiplikation) samt uppfyller A1-4 och M1-4.
Element i mängden V kallas för (reella) vektorer och alla reella tal för skalärer.
Anmärkning 1.2. Det finns ingen begränsning som säger att vi måste använda reella tal som skalärer.
Vi kan använda komplexa tal, rationella tal, eller gå så långt att vi använder element i en så kallad kropp,
som är en generalisering av reella och komplexa tal.
Som nämnt tidigare så är Rn det vanligaste vektorrumet. Men vi kommer också se att mängden av
n × n matriser också är ett vektorrum med matrisaddition bildar ett vektorrum med de reella talen. Vi
kommer också jobba rätt mycket med rummet av alla polynom med högst grad n, med reella koefficienter,
eftersom de också bildar ett vektorrum.
Låt V vara ett reellt vektorrum. Vi kan då kolla på en mängd W ⊂ V . Frågan är då när W är
ett vektorrum, eller ett delrum till V . Svaret är intuitivt. W är ett delrum till V då W i sig själv är ett
vektorrum. Vi kan dock förenkla situationen genom att använda det faktum att V är ett vektorrum. En
del av egenskaperna A1-4 och M1-4 ärvs ner till W också.
Sats 1.3. Låt V vara ett reellt vektorrum. Om W ⊂ V är en icke-tom mängd, är W ett delrum av V om och endast om
(1) Om v, w ∈ W så v + w ∈ W .§
(2) Om v ∈ W och k är en skalär, så kv ∈ W .
1
2
JOHAN ASPLUND
Sats 1.3 säger mer eller mindre att alla lagar A1-4 och M1-4 ärvs ner från V till W , om W ⊂ V , och
att det enda som krävs för att se om W är ett vektorrum är att kolla om W är sluten under addition samt
skalärmultiplikation.
2. L   () 
I R2 , som kan visualiseras som xy-planet, finns det vektorer på formen (a, b) där a, b ∈ R. Dessa
vektorer kan man kombinera (eftersom R2 är ett vektorrum) och skapa nya vektorer med. Ta till exempel
(1, 2) och (e, π). Vi kan addera dessa och få en ny vektor (1 + e, 2 + π). Mer allmänt kan vi multiplicera
vektorerna var för sig med en skalär före vi adderar ihop dem. Då får vi något som ser ut som följande.
a(1, 2) + b(e, π) = (a + be, 2a + bπ) ,
där a och b är skalärer. Mer allmänt kan vi skapa nya vektorer genom att ta två godtyckliga vektorer
(x0 , y0 ), och (x1 , y1 ).
a(x0 , y0 ) + b(x1 , y1 ) = (ax0 + bx1 , ay0 + by1 ) .
(2.1)
Uttrycket (2.1) är precis vad vi kallar för en linjärkombination. Vi kombinerar två vektorer och skapar en ny.
Vi behöver inte använda enbart två vektorer heller, utan vi kan använda fler än så. Om vi har n stycken
vektorer v1 , . . . , vn ∈ V i ett godtyckligt (reellt) vektorrum V , och n reella tal k1 , . . . , kn så är
v = k1 v 1 + k2 v 2 + · · · + kn v n ,
en ny vektor som kallas för en linjärkombination av v1 , . . . , vn (för varje val av k1 , . . . , kn ).
Definition 2.1 (Linjärt oberoende). Låt S = {v1 , . . . , vn } ⊂ V vara en mängd av vektorer i ett reellt vektorrum
V . Om ekvationen
k1 v 1 + k2 v 2 + · · · + kn v n = 0 ,
endast har den triviala lösningen k1 = k2 = . . . = kn = 0, kallas mängden S för linjärt oberoende. Om denna
ekvation har en annan lösning än den triviala, kallas S för linjärt beroende.
def:vektorrum Att en mängd är linjärt beroende innebär
kan skrivas som en linjär{ att en utav vektorerna
}
kombination av de andra. I exemplet med mängden (1, 0), (0, 1), (1, 1) så har vi
(1, 1) = (1, 0) + (0, 1) .
Eftersom (1, 1) kan skrivas som en linjärkombination av de andra två vektorerna är mängden linjärt
beroende.
Givet n stycken vektorer v1 , . . . , vn ∈ V så kallas mängden av linjärkombinationer av dessa vektorer
för spannet (eller det linjära höljet) av vektorerna, och är viktigt att känna till.
Definition 2.2 (Span). Vi definierar spannet av vektorerna v1 , . . . , vn ∈ V som mängden av alla linjärkombinationer.
Vi betecknar spannet med span {v1 , . . . , vn }, och vi har alltså följande.
span {v1 , . . . , vn } =
Exempelvis har vi
{
}
{

n
∑

km v m | k1 , . . . , k n ∈ R
m=1
}
{



.
}
span (1, 0), (0, 1) = a(1, 0) + b(0, 1) | a, b ∈ R = (a, b) | a, b ∈ R = R2 .
Så alla möjliga linjärkombinationer av (1, 0) och (0, 1) utgör hela R2 . Detta är ett viktigt exempel på en
bas.
Definition 2.3 (Bas). Betrakta ett reellt vektorrum V . Låt v1 , . . . , vn ∈ V vara n vektorer som uppfyller
span {v1 , . . . , vn } = V ,
samt att mängden {v1 , . . . , vn } är linjärt oberoende. Då sägs {v1 , . . . , vn } vara en bas till vektorrummet V .
Anmärkning 2.4. En bas till ett vektorrum är det första riktigt viktiga begreppet som man bör ta med
sig från linjär algebra. Det finns resultat som säger att alla vektorrum har en bas (det finns dock exempel
på mer avancerade vektorrum där man vet att det finns en bas, men där man inte kan skriva upp en bas).
En bas till ett vektorrum är inte unik. Det som är unikt är däremot antal vektorer som ingår i själva basen.
Det talet kallas för vektorrummets dimension, och är unikt för ett givet vektorrum.
LINJÄR ALGEBRA II
LEKTION 1
3
Notera att vi ofta kommer använda notationen v = {v1 , . . . , vn } för att betona att det är en bas.
Om man vet basen till ett vektorrum så vet man i princip allting om det. Ett vektorrum bestäms helt
och hållet utifrån sin bas. Basen bestämmer i synnerhet ett koordinatsystem för alla andra vektorer i
vektorrummet.
Definition 2.5 (Koordinater). Låt v = {v1 , . . . , vn } vara en bas i vektorrummet V och betrakta en godtycklig
vektor w ∈ V . Låt x1 , . . . xn ∈ R vara de koefficienter så att
w=
n
∑
xk vk .
k=1
Då kallas talen x1 , . . . , xn för koordinaterna till vektorn w i basen v, och vektorn w betecknas då ibland som
(x1 , . . . , xn ) i förhållande till v. En mer tydlig notation är


x1
 
 x2 

[w]v = 
 ..  .
 . 
xn
3. U
4.1:4. Avgör om alla par av reella tal på formen (0, y) bildar ett vektorrum med standardoperationerna
på R2 . Standardoperationerna är (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) samt k(x, y) = (kx, ky).
Lösning. Svaret är att det bildar ett vektorrum. Gå igenom listan i definition 1.1 och verifiera att alla
dessa regler gäller.
4.1:5. Avgör om alla par av reella tal på formen (x, y), där x ≥ 0, bildar ett vektorrum med standardoperationerna på R2 .
Lösning. Detta är inget vektorrum. Det är A4 som inte är uppfylld. Om vi tar (1, 0) så finns det ingen
vektor
vi kan addera
till (1, 0) för att få (0, 0), eftersom (−1, 0) inte ligger i den underliggande mängden
{
}
(x, y) | x ≥ 0 .
4.1:17. Visa att mängden av alla punkter i R2 som ligger på en linje, bildar ett vektorrum med avseende
på standardoperationerna på R2 om och endast om linjen går igenom origo.
Lösning. Om linjen inte går igenom origo kan vi lätt dra slutsatsen att det inte är ett vektorrum på grund
av A3. Om linjen inte går igenom origo, kommer inte nollvektorn att finnas med, och det är därmed inget
vektorrum.
Låt nu linjen passera genom origo. Linjens ekvation
kan då skrivas
{
} som y = kx för något godtyckligt
k. Vår uppgift är alltså att visa att mängden ℓ = (x, kx) | k ∈ R med standardoperationerna på R2 ,
bildar ett vektorrum. Här följer beviset för några av reglerna listade i definition 1.1.
Sluten map addition: Ta två vektorer på linjen (x1 , kx1 ) och (x2 , kx2 ). Då har vi (x1 , kx1 ) +
(x2 , kx2 ) = (x1 + x2 , k(x1 + x2 )), som ligger i ℓ.
Sluten map skalärmultiplikation: Låt a ∈ R. Då ligger a(x, kx) = (ax, k(ax)) i ℓ.
A4: Den negativa motsvarigheten till (x, kx) är (−x, k(−x)) = −(x, kx).
M2: Låt a, b ∈ R. Då har vi
(a + b)(x, kx) = ((a + b)x, (a + b)kx) = (ax + bx, k(ax + bx)) =
(ax, kax) + (bx, kbx) = a(x, kx) + b(x, kx) .
M4: Ettan är helt enkelt 1 eftersom skalärerena är R.
4.2:3. Med hjälp utav sats 1.3, bestäm om följande delmängder är delrum av P3 . Notera att
{
}
Pn ..= a0 + a1 x + · · · + an xn | a0 , . . . , an ∈ R ,
är mängden av alla polynom med grad högst n (det kan vara av lägre grad eftersom inget säger att vi inte
får ha an = 0 t.ex.).
(a) Alla polynom på formen a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 där a1 = a2 .
4
JOHAN ASPLUND
(b) Alla polynom på formen a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 där a0 = 0.
(c) Alla polynom på formen a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 där a0 , a1 , a2 , a3 alla är heltal.
(d) Alla polynom på formen a0 + a1 x där a0 , a1 ∈ R.
Lösning. (a) Vi behöver alltså endast kolla om mängden uppfyller att den är sluten med avseende på
addition samt skalärmultiplikation.
(a0 +a1 x+a2 x2 +a2 x3 )+(b0 +b1 x+b2 x2 +b2 x3 ) = (a0 +b0 )+(a1 +b1 )x+(a2 +b2 )x2 +(a2 +b2 )x3 ,
som också är på den givna formen.
k(a0 + a1 x + a2 x2 + a2 x3 ) = ka0 + ka1 x + ka2 x2 + ka2 x3 ,
så slutsatsen är att mängden som beskrivs i (a), är ett delrum till P3 .
(b) Vi har
(a1 x + a2 x2 + a3 x3 ) + (b1 x + b2 x2 + b3 x3 ) = (a1 + b1 )x + (a2 + b2 )x2 + (a3 + b3 )x3 ,
och
k(a1 x + a2 x2 + a2 x3 ) = ka1 x + ka2 x2 + ka2 x3 ,
så mängden beskriven i (b) är också ett delrum.
(c) Denna mängd är sluten under addition, men inte skalärmultiplikation, ty
1
1
1
1
1
(a0 + a1 x + a2 x2 + a2 x3 ) = a0 + a1 x + a2 x2 + a2 x3 ,
2
2
2
2
2
ligger inte i mängden om någon av a0 , a1 , a2 , a3 är ett udda tal.
(d) På samma sätt som i (a) inses det enkelt att mängden är ett delrum av P3 .
4.2:9. Vilka av de följande matriserna är en linjärkombination av
(
A=
(
(a)
(
(b)
(
(c)
(
(d)
)
(
3 2
,
0 1
B=
)
2 5
−2 4
4
5
−2 10
)
0 2
,
−2 4
C=
(
)
1 1
?
−2 5
)
)
1 3
−4 1
9
9
−8 21
)
Lösning. Det första vi kommergöra
 är att skriva om matriserna som kolonnvektorer med 4 element.
a
(
)
 
a b
b
Dvs vi skriver om
som  . Detta får vi göra eftersom addition och skalärmultiplikation för
c d
c
d
både kolonnvektorer och matriser sker elementvis. För att en vektor v ska vara en linjärkombination av
en annan måste vi ta reda på om det finns tal k1 , k2 och k3 så att
 




3
0
1
 
 
 
2 
 2 
 1 
k1   + k2   + k3   = v .
0 
−2
−2
1
4
5
Vänsterleder kan skrivas om på matrisform som
 






3
0
1
3 0
1  
k1
 
 
  
1
2
 2 
 1  2 2
 
k1   + k2   + k3   = 
 k2  .
0
−2
−2 0 −2 −2
k3
1
4
5
1 4
5
LINJÄR ALGEBRA II

v1
LEKTION 1
5

 
v 
För ett givet v =  2  så vill vi radreducera denna matris.
v3 





v4
3 0
1 v1
2 2
1 v2
0 −2 −2 v3
1 4
5 v4


1 4
5 v4
2 2
1 v2
0 −2 −2 v3
3 0
1 v1
 
 
∼
 




∼




∼


 
 
∼
 
1
4
5
v4
0 −6 −9 v2 − 2v4
0 −2 −2
v3
0 −12 −14 v1 − 3v4


1
0
0
0
4
1
2
6
5
v4
1
− 12 v3
3 − 13 (v2 − 2v4 )
7 − 12 (v1 − 3v4 )
1
0
0
0
4
1
0
0
v4
5
1
− 12 v3
1
− 3 (v2 − 2v4 ) + v3
1
0 − 12 (v1 − 3v4 ) + 3v3 + 31 (v2 − 2v4 ) − v3
 
 
∼
 
1
0
0
0
4
1
0
0





5
v4
1
− 21 v3
1 − 13 (v2 − 2v4 ) + v3
1 − 21 (v1 − 3v4 ) + 3v3










För att ekvationen ska ha en lösning, så måste den sista ekvationen vara uppfylld. Det vill säga för den
givna vektorn v måste vi ha
1
1
1
5
1
− (v1 − 3v4 ) + 3v3 + (v2 − 2v4 ) − v3 = − v1 + v4 + 2v3 + v2 = 0 .
2
3
2
6
3
Om vi stoppar in vektorerna (matriserna) i uppgifterna märker vi att denna ekvation är uppfylld för matriserna i (a) och (d). Eftersom sista ekvationen måste vara uppfylld så finns det en lösning till ekvationssystemet för matriserna i (a) och (d), vilket innebär att matriserna i (a) och (d) är linjärkombinationer av A,
B och C.
4.2:14. Låt f = cos2 (x) och g = sin2 (x). Vilka av följande vektorer ligger i span {f, g}?
(a) cos(2x)
(b) 3 + x2
(c) 1
(d) sin(x)
(e) 0
Lösning. (a) Från analys vet vi att cos(2x) = cos2 (x) − sin2 (x). Så cos(2x) är alltså en linjärkombination av f och g, och tillhör alltså span {f, g}.
(b) Det är omöjligt att af + bg = a cos2 (x) + b sin2 (x) = 3 + x2 för några värden på a och b. Så cos(2x)
ligger inte i span {f, g}.
(c) Tänk trigonometriska ettan!
(d) Tillhör inte spannet.
(e) Tillhör alltid spannet (av vilka vektorer som helst)! Ta a = b = 0.
4.2:17. Visa att mängden av kontinuerliga funktioner f = f (x) definierade på [a, b], så att
∫
b
f (x) dx = 0 ,
a
utgör ett delrum av C([a, b]) (dvs mängden av alla kontinuerliga funktioner på [a, b]).
Lösning. Det vi behöver visa är att rummet är slutet under addition och skalärmultiplikation. Additionen
är definierad som (f + g)(x) = f (x) + g(x), och skalärmultiplikationen som (kf )(x) = kf (x). Detta
följer enkelt eftersom
∫
∫
b
a
∫
b
(kf )(x) dx = k
a
a
b
f (x) dx +
a
∫
b
∫
b
f (x) + g(x) dx =
a
och
∫
b
(f + g)(x) dx =
g(x) dx = 0 + 0 = 0 ,
a
f (x) dx = k · 0 = 0 .
6
JOHAN ASPLUND
4.3:5. Anta att v1 , v2 och v3 är ortsvektorer i R3 . För varje trippel av vektorer, avgör om de ligger i samma
plan.
(a) v1 = (−1, 2, 3), v2 = (2, −4, −6) och v3 = (−3, 6, 0)
(b) v1 = (2, −1, 4), v2 = (4, 2, 3) och v3 = (2, 7, −6)
(c) v1 = (4, 6, 8), v2 = (2, 3, 4) och v3 = (−2, −3, −4)
Lösning. Givet två ortsvektorer kan vi alltid hitta ett plan som gör att vektorerna ligger i planet. Att
avgöra om den tredje vektorn också ligger i samma plan, är detsamma som att avgöra om vektorerna är
linjärt beroende. För att göra detta så vill vi veta om ekvationen
3
∑
ki v i = 0 ,
k=1
har någon lösning som inte är den triviala. Det är alltså ett ekvationssystem vi vill lösa för varje val av v1 ,
v2 och v3 . I fallet i (a) har vi följande.









 
−1
2
−3
−1 2 −3
k1
0
 
 
 

   
k1  2  + k2 −4 + k3  6  = 0 ⇔  2 −4 6  k2  = 0 .
3
−6
0
3 −6 0
k3
0
Detta ekvationssystem kan vi lösa. Men vi ville endast veta om vektorerna ligger i samma plan. Vi vill alltså
bara veta om ekvationssystemet har en icke-trivial lösning. Detta ekvationssystem har en icke-trivial lösning
endast om


−1 2 −3


A =  2 −4 6  ,
3 −6 0
inte är inverterbar. Det vill säga om det(A) = 0. Om det(A) ̸= 0, då skulle vi kunnat multiplicera båda
led med A−1 och få att k1 = k2 = k3 = 0. Vi utvecklar längs sista raden för att få följande.
−1
2
3
2 −3
2 −3
−1 −3
−4 6 = 3 + 6
= 3(12 − 12) + 6(−6 + 6) = 0 .
−4 6 2
6
−6 0 Alltså är determinten 0, och ingen invers finns. Därför måste det finnas en icke-trivial lösning till ekvationssystemet, så att vektorerna är linjärt beroende. Alltså ligger de i samma plan.
Det lämnas som en övning att reda ut (b) och (c).
4.3:9. För vilka reella värden på λ bildar vektorerna


λ
 1
v1 = − 2  ,
− 12



−1
 2
v2 =  λ  ,
− 12
en linjärt beroende mängd av vektorer?
Lösning. Som utrett i förra uppgiften så vill vi veta när det(A) = 0, där

λ
 1
A = − 2
− 12
− 12
λ
− 21

−1
 21 
v3 = − 2  ,
λ

− 12

− 12  .
λ
LINJÄR ALGEBRA II
LEKTION 1
Determinanten beräknar vi som följande.
λ
1
− 2
1
− 2
− 12
λ
− 12
7
−1
+
−1
λ − 1
− 12 ←
−+ ←
−+
1
= − 12
− 12 1
−2
1
λ 


y

y
+
1
1
1 λ
− 12 = (λ − 1) − 12 λ − 21 1
− 2 − 21
− 12
λ λ 1
0
0 1
λ + 21
0
1
0 = (λ − 1) = (λ − 1) − 2 λ + 2
0
λ+
1
− 2
0
λ + 12 (
)2
λ − 1 λ − 1
= (λ − 1) λ +
1
2
1 2
.
Detta är lika med 0 då λ = 1 eller då λ = − 12 .
4.4:2. Vilka av följande mängder utgör en bas för R2 ?
{
}
(a) A = {(3, 1), (0, 0)
}
(b) B = {(4, 1), (−7, −8)
}
(c) C = {(5, 2), (−1, 3) }
(d) D = (3, 9), (−7, −12)
Lösning. (a) För att mängden ska vara en bas till R2 så ska vektorerna spänna upp R2 , samt att de måste
vara linjärt oberoende. Vi vill alltså att
k1 v1 + k2 v2 = 0 ,
endast ska ha den triviala lösningen, samt att
k1 v 1 + k2 v 2 = v ,
(
ska ha en lösning för alla v ∈ R2 . Vi undersöker den andra frågan först. Låt v =
kolonnvektor i R2 . Då har vi ekvationssystemet
(
3 0
1 0
)(
k1
k2
)
(
=
v1
v2
v1
v2
)
vara en
)
.
(
Vi ser att om v = 0 så finns det icke-triviala lösningar. Ett exempel är
k1
k2
)
( )
=
0
. Alltså är
1
vektorerna linjärt beroende, och A kan därför inte vara en bas i R2 .
(b) På samma sätt här får vi ekvationssystemet
(
Vi radreducerar och får
Systemet vi har är alltså
(
4 −7
1 −8
1 −8 v 2
4 −7 v 1
)(
)
(
∼
k1
k2
)
(
=
v1
v2
)
.
1 −8
v2
1
0 −39 v − 4v 2

k − 8k = v 2
1
2
−39k2 = v 1 − 4v 2
)
.
,
så oavsett vad v är för vektor så kan vi alltid hitta k2 och k1 som gör att v kan uttryckas som en
linjärkombination av vektorerna i B. På samma sätt, om v = 0 så tvingas man få k1 = k2 = 0, vilket
gör att B är linjärt oberoende. Eftersom då B både spänner upp R2 och är linjärt oberoende, gör att
B är en bas i R2 .
8
JOHAN ASPLUND
Extrauppgift (från dugga). P3 är rummet av polynom av grad högst 3.
(a) Ange en bas i P3 .
(b) Bevisa att alla polynom p ∈ P3 sådana att p(0) = 0 är ett delrum W av P3 .
(c) Bestäm en bas i delrummet W .
Lösning. (a) Ett godtyckligt polynom i P3 är
a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 .
{
}
En bas (standardbasen) i P3 är b = 1, x, x2 , x3 , eftersom ett godtyckligt polynom är en linjärkombination av vektorerna i b.
(b) Vi betecknar delmängden av alla polynom p ∈ P3 sådana att p(0) = 0 med W . Om vi har det
godtyckliga polynomet
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ,
så ska det uppfylla p(0) = 0, det vill säga att a0 = 0. Alla polynom i W är alltså på formen
w(x) = a1 x + a2 x2 + a3 x3 .
Det vi behöver göra är att visa att W ⊂ P3 är ett delrum. Vi behöver endast visa att W är sluten under
addition och skalärmultiplikation. Vi har
(a1 x + a2 x2 + a3 x3 ) + (b1 x + b2 x2 + b3 x3 ) = (a1 + b1 )x + (a2 + b2 )x2 + (a3 + b3 )x3 ,
och
k(a1 x + a2 x2 + a3 x3 ) = ka1 x + ka2 x2 + ka3 x3 ,
som båda också naturligtvis
ligger
{
} i W . Alltså är W ett delrum av P3 .
2
3
(c) En bas i W är w = x, x , x eftersom ett godtyckligt polynom i W är en linjärkombination av
dessa vektorer.
E-mail address: [email protected]