“Strövtåg i matematikens värld” Sommaren 2009 Problem om primtal

“Strövtåg i matematikens värld”
Sommaren 2009
Problem om primtal
1. Visa att om p är ett primtal större än 3 så gäller 24 | p2 − 1.
2. Visa att för varje primtal p > 3 gäller att p har formen 6n ± 1.
3. Visa att om n > 1 och n delar talet (n − 1)! + 1 så måste n vara ett primtal. (Att den omvända
utsagan gäller är innehållet i Wilsons sats.)
4. Visa att inga av talen
12321, 1234321, 123454321, 12345654321, 1234567654321
är primtal. (Ledning: de har en egenskap gemensam!)
5. Visa att för varje primtal p > 3 gäller att talet 2p2 + 1 är delbart med 3. (Resultatet på ett
av problemen ovan kan vara till hjälp).
6. För vilka primtal p gäller att även p2 + 2 är primtal?
7. Visa först att ett tal på formen 4n + 3 måste ha en primfaktor på samma form. Försök sedan
modifiera Euklides’ bevis för att det finns oändligt många primtal till ett bevis för att det finns
oändligt många primtal på formen 4n + 3.
8. Genomför motsvarande resonemang för att visa att det finna oändligt många primtal på formen
6n + 5. Försök sedan hitta ytterligare tal a och b så att det finns oändligt många primtal på
forman a n + b. (Dirichlet visade i ett berömt arbete 1837 det allmänna resultatet att om
SGD(a, b) = 1 så finns det oändligt många primtal på formen an + b.)
n
9. Euklides bevis kan också användas för att visa att den n:te primtalet pn uppfyller pn < 22 .
Hur går det till?
10. För vilka primtal p gäller att också talet p2 + 2p är primtal?
(Ledning: undersök talet “modulu 3”!)
11. Visa att om n ≥ 3 så finns ett primtal p så att n < p < n! .
(Ledning: undersök talet N = n! − 1.)
12. Visa att om talet an − 1 är ett primtal så måste a = 2 och n vara ett primtal. (Primtal på
denna form kallas Mersenne’ska primtal och av tradition har de flesta stora primtalen haft
denna form, så t.ex. det hittills största 243.112.609 − 1 (upptäckt i september 2008; utskrivet
skulle talet bestå av nästan 13 miljoner siffror). Man vet ej om det finns oändligt många
primtal på denna form.)
n
13. Visa att om 2n + 1 är ett primtal så måste n vara en potens av 2. Tal på formen 22 + 1 kallas
Fermat-tal (betecknas Fn ) efter Pierre Fermat. Han uppställde år 1640 hypotesen att de alla
var primtal, men 1732 visade Euler att F5 är delbart med 641. Visa detta genom att först visa
att 216 ≡ 154 (mod 641) och sedan undersöka 232 på motsvarande sätt.
14. Bertrands postulat säger att om pn är det n :te primtalet så gäller pn+1 < 2 pn .
a) Visa med hjälp av detta att pn < 2n om k ≥ 2.
b) Visa med hjälp av samma sats att
p2n+1 < p1 · p2 · p3 · ... · pn .
Gunnar