lasse berglund
I gränstrakterna mellan
kontinuerlig och diskret matematik
Primtalen är intressanta ur ett talteoretiskt perspektiv.
Hur många primtal finns det i ett visst intervall, och
vad har logaritmer med den frågan att göra?
D
e hela talen utgör en grundläggande
del av matematiken. Med dem kan
man t ex räkna upp saker. De hela ta­
lens egenskaper behandlas inom tal­teorin.
Med de reella talen beskriver man
samman­­hängande förlopp. Detta studeras
inom den matematiska analysen. Som en bro
mellan dessa två discipliner, i gräns­trakterna
av kontinuerlig och diskret matematik, föl­
jer här några rader från den analytiska tal­
teorin, där logaritmer och primtal sam­verkar
i ett fruktbart möte.
Primtal har i alla tider haft en stor lock­
else och dragningskraft. Primtal fascinerar.
En naturlig fundering är frågan om prim­
talens densitet. Hur tätt ligger egentligen
primtalen? Saken är ordentligt utredd sedan
länge, men återges här med hopp om att ge
impulser till framtida lektioner.
Antalet primtal p ≤ n brukar betecknas
π (n). Det finns t ex åtta stycken primtal
som är mindre än 20. Alltså är π (20) = 8. Det
samband som approximerar antalet primtal
fram till och med talet n är Primtalssatsen,
först formulerad av Gauss:
π (n) ≈
n
ln n
Man kan med fog fråga sig, hur ett uttryck
som innehåller logaritmer, i hela fridens
namn kan säga något om primtal. Att belysa
56
Nämnaren nr 2 • 2007
detta skulle kunna vara en rimlig gymnasie­
uppgift, även om ett stringent bevis av satsen
ligger på en högre nivå.
Primtalstabeller med empiriska data, lik­
nande den nedan fast mindre omfattande,
studerades av tonåringen Gauss i slutet av
1700-talet. Denna tabell inleder med n = 10,
och sedan kvadreras n-värdet för varje ny rad:
π (n)
n
n
π (n)
10
4
0,4
= a1
102
25
0,25
= a2 ≈ a1/2
104
1 229
0,1229 = a3 ≈ a2/2
108 5 761 455
0,0576 = a4 ≈ a3/2
Från nedersta raden kan vi läsa att fram till
talet 108 finns det, om vi avrundar, 5,7 mil­
joner primtal. Det intressanta är emeller­tid,
och som den unge Gauss fann, att då talet
n kvadreras, halveras andelen primtal. Detta
framgår av den högra kolumnen.
En fråga som infinner sig då man väl har
upptäckt detta, är: Vilken funktion y = f (x),
har den egenskapen att då variabeln x kvad­
reras, halveras y?
Ingen av funktionerna
y = 1
1
1
y=
y = 2
2x x
√x eller liknande duger.
Utifrån en av logaritmlagarna, välkänd
p
för dagens gymnasieelever, ln a = p ln a,
fann den unge Gauss att funktionen
f (n) =
1
ln n
är den typ av funktion som har denna egen­
skap. Detta inses av ovan nämda logaritmlag.
Kvadrering av n ger
f (n2) =
1
1
f (n)
=
=
ln n2
2 ln n
2
Så här ser mönstret ut, så långt alla tabel­
ler når, och Gauss antog att så kommer
mönstret fortsätta att se ut, långt bort­
om alla tänkbara gränser. Vi har därmed
två uttryck för andelen primtal: π (n) / n
och 1 / ln n. Sätter vi nu, tillsammans med
Gauss, dessa uttryck lika och multiplicerar
ekvationen med n, får vi
π (n) ≈
n
ln n
som alltså är Primtalssatsen, ett häpnads­
väckande resultat, som mycket elegant
väver samman primtalen med de irrationel­
la loga­ritmerna. Gauss kunde bara anta att
satsen var sann. Att den verkligen är sann
bevisades 40 år efter Gauss död av bland
andra Hada­mard år 1896.
Den approximation det är fråga om, blir
bättre ju större värden på n vi tar, dvs ju läng­
re ut på tallinjen vi går. Vid gränsövergång
blir likheten exakt. För den intresserade:
Hur många primtal finns det fram till och
med talet 10100?
Hur långt ut på tallinjen måste man gå
för att bara vart femtusende tal ska vara
ett primtal?
De heltal som består av fyra siffror går från
1 000 till 9 999, dvs från 103 till 104 –1. Talet
14 298 362 581 288 630 969 är ett primtal som
består av 20 siffror. Säg att vi vill göra en lista
över alla de primtal som består av 20 siffror.
Primtalssatsen ger hur många de är:
19 π ( 1020 ) – π ( 10 ) ≈
1020
1019
≈ 2 . 1018
20 –
ln 10
ln 1019
25000 av alla dessa primtal tar upp cirka
1 MB hårddiskminne, och en CD-skiva med
tjockleken 1 mm motsvarar 1 GB. Traven av
CD-skivor blir därmed 8 000 mil hög, d v s
200 gånger längre ut i rymden än där astro­
naut Fuglesang befann sig.
Om inte förr, så efter denna beräk­
ning, framgår det omöjliga i att försöka göra
någon­ form av primtalstabell över intervall
av den extrema typen n = 10100. Alla tänk­
bara resultat­ från så avlägsna trakter får vi
hämta direkt ur primtalssatsen.
litteratur
Böiers, Lars-Christer (2003). Diskret mate­
matik. Studentlitteratur.
The Prime Page, primes.utm.edu
Gauss i gränstrakterna mellan kontinuerlig och diskret matematik.
Nämnaren nr 2 • 2007
57
