Poängbedömning på uppgift 1

Poängbedömning på uppgift 1
A. Helt rätt (2/21). (0/2/0)
Delvis rätt: Andel granskog är (0/1/0)
Resten av marken är (1/0/0)
1-- (ett bråk) (1/0/0)
B. a) Helt rätt (-5,5˚C) (0/1/0)
Delvis rätt: Temperaturen stiger 5˚C på en halvtimme. (1/0/0)
Temperaturen stiger 7,5˚C på 45 minuter. (1/0/0)
b) Helt rätt (4 timmar) (0/1/0)
Delvis rätt: Temperaturen har stigit 40˚C. (1/0/0)
C. Helt rätt (9,461*1012) (0/3/0)
Delvis rätt: Rätt antal sekunder på ett år (0/1/0)
Rätt omvandling meter till km (0/1/0)
Fyra värdesiffror och grundpotensform (0/1/0)
Vid bedömningen av ditt arbete kommer läraren att ta hänsyn till:
• vilka matematiska kunskaper du har visat och hur väl du har genomfört uppgiften
• hur väl du har förklarat ditt arbete och motiverat dina slutsatser
• hur väl du har redovisat ditt arbete.
På dessa två uppgifter kan du visa kunskapskrav på E – C : nivå.
2
Under den franska revolutionen ville revolutionärerna ändra systemet för att räkna timmar,
minuter och sekunder på ett dygn. De föreslog att varje dygn skulle delas in i 10 timmar, att
varje timme delas in i 100 minuter och varje minut delas in i 100 sekunder. Med andra ord
ville de införa det decimala dygnet. Hur lång är en decimal sekund, jämfört med en vanlig
sekund? Ge ditt svar så enkelt och exakt du kan i bråkform.
Lösning samt bedömningsgrunder:
I 60-systemet:
Ett dygn = 24 h = 24 ⋅ 60 min = 24 ⋅ 60 ⋅ 60 sek = 86 400 sek
I det decimala systemet:
Ett dygn = 10 h = 10 ⋅ 100 min = 10 ⋅ 100 ⋅ 100 sek = 100 000 sek
Här kan man visa:
E-CB
E-CP
E-CPL
Jämförelse:
decimal sekund 100000 1000 500 250 125
=
=
=
=
=
≈ 1,1574
vanlig sekund
86400
864 432 216 108
SVAR: En decimal sekund är
125
av en vanlig sekund, vilket är ungefär 1,16 gånger längre.
108
E-CB – Att tolka vad som menas med uttrycket ”jämfört med” och alltså ställa
decimal sekund
upp kvoten
.
vanlig sekund
E-CP – Att kunna utföra beräkningen för hur många sekunder det är på ett dygn,
antingen i vårt vanliga system eller i det decimala systemet. Att kunna förkorta
bråket till enklaste form.
E-CPL – Att tolka vad ”det decimala dygnet” innebär och således korrekt kunna
ställa upp en uträkning för antalet sekunder i det nya dygnet.
Vid bedömningen av ditt arbete kommer läraren att ta hänsyn till:
• vilka matematiska kunskaper du har visat och hur väl du har genomfört uppgiften
• hur väl du har förklarat ditt arbete och motiverat dina slutsatser
• hur väl du har redovisat ditt arbete.
På denna uppgift kan du visa kunskapskrav på E – A : nivå.
3
I den här uppgiften kan man visa:
E-AB
E-CP
E-APL
E-AM
Titta på följande produkt:
…
Om antalet faktorer är tre är produkten lika med
Beräkna produkten då antalet faktorer är
a) 4
b) 5
c) 50
d) n
Fakulteten av ett tal definieras enligt
Här är några exempel:
.
e) Med hjälp av fakulteter, hitta ett annat uttryck då produkten överst innehåller n
faktorer. Observera att det ska vara ett annat uttryck än det du kom fram till i d-uppgiften!
Lösning och bedömningsgrunder
 1  1  1  1  3 4 5 6 360
a) 1 + 1 + 1 + 1 +  = ⋅ ⋅ ⋅ =
=3
 2  3  4  5  2 3 4 5 120
 1  1  1  1  1  3 4 5 6 7 2520
b) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +  = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
= 3,5
 2  3  4  5  6  2 3 4 5 6 720
E-CB – Att kunna tolka vad det innebär att produkten har fyra respektive fem faktorer
och ställa upp detta.
E-CP – Att kunna beräkna produkterna då antalet faktorer är fyra respektive fem.
c) Det verkar som om produkterna följer ett mönster där man hela tiden lägger till 0,5.
Vi undersöker för n = 1, n = 2 och n = 6 och sammanställer resultatet i en tabell:
n
1
2
3
4
5
6
Produkt
1,5
2
2,5
3
3,5
4
För att hitta för n = 50 verkar vi kunna multiplicera 50 med 0,5 och addera 1.
⇒ 50 ⋅ 0,5 + 1 = 25 + 1 = 26
d) Om vi istället har n stycken faktorer gör vi precis som när vi räknade ut för 50
faktorer, men använder bokstaven n istället. Om vi kallar produkten för P(n) får vi:
P (n) = n ⋅ 0,5 + 1 = 0,5n + 1 eller P(n) =
n
+1
2
Vi testar formeln för n = 3 och n = 4 som kontroll:
P (3) =
3
+ 1 = 2,5
2
OK!
P ( 4) =
4
+1 = 3
2
OK!
EP – Att korrekt kunna beräkna produkten då n = 50 efter egen modell oavsett om
modellen är korrekt eller ej.
E-APL – Att kunna se att produkterna följer ett mönster (0,5 adderas) och kunna
representera detta. För A krävs korrekt uttryck i symbolisk algebra.
E-AM – Att avgöra om den framtagna modellen är rimlig eller ej, till exempel genom
kontrollräkning för några n, samt vid behov omvärdera sin modell.
e) Definitionen för fakultet är

1 +

1  1 
1 + 1 +
2  3 
. Vi tittar på vår produkt:
1
1 
1  3 4 5
(n + 1) ⋅ (n + 2) = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (n + 1) ⋅ (n + 2) = P(n)

 = ⋅ ⋅ ⋅ ... ⋅
 ⋅ ... ⋅ 1 + 1 +
4
n
n
+
1
2
3
4
n
2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ ... ⋅ n ⋅ (n + 1)
(
)
(n + 1)



Det är ganska likt fakulteten för (n+2) dividerat med fakulteten för (n+1), så vi
undersöker:
(n + 2)! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (n + 1) ⋅ (n + 2) = 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (n + 1) ⋅ (n + 2) = 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (n + 1) ⋅ (n + 2) = 2 ⋅ P (n)
(n + 1)!
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ ... ⋅ n ⋅ ( n + 1)
2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ ... ⋅ n ⋅ ( n + 1)
2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ ... ⋅ n ⋅ (n + 1)
För att hitta ett uttryck för P(n) kan vi alltså ta halva ovanstående uttryck som
använder sig av fakulteter, det vill säga multiplicera med en halv:
P(n) =
1 (n + 2 )! (n + 2 )!
⋅
=
2 (n + 1)! 2( n + 1)!
Kontroll:
P(3) =
P ( 4) =
(3 + 2)! =
5!
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5
=
= 2,5
2 ⋅ 4! 2 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4
(4 + 2)! =
6!
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6
=
= 3 OK!
2 ⋅ 5! 2 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5
2(3 + 1)!
2(4 + 1)!
OK!
SVAR: Uttryckt med fakulteter blir formeln för produkten istället P(n) = (n + 2 )!
2(n + 1)!
E-AB – Att kunna tolka och förstå begreppet fakultet samt att kunna använda det, till
(n + 2)! = 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (n + 1) ⋅ (n + 2) .
exempel genom att ställa upp kvoten
(n + 1)!
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ ... ⋅ n ⋅ (n + 1)
E-APL – Att kunna uttrycka produkten som
3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (n + 1) ⋅ (n + 2)
och i förlängningen
2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ ... ⋅ n ⋅ (n + 1)
(
)
hitta ett korrekt uttryck för produkten uttryckt i fakulteter, till exempel P(n) = n + 2 !
2(n + 1)!
(flera formler möjliga?)
E-AM – Att avgöra om den framtagna modellen är rimlig eller ej, till exempel genom
kontrollräkning för några n, samt vid behov omvärdera sin modell.
1. Begrepp (B)
2. Procedur (P)
3. Problemlösning (PL)
4. Matematisk modellering (M)
5. Matematiskt resonemang (R)
6. Kommunikation (K)
7. Relevans
Lösningsförslag Uppgift 4:
Beräkna talen F2 , F3 , F4 och F5
1
2
F2 = 2 2 + 1 = 2 4 + 1 = 16 + 1 = 17
3
F3 = 2 2 + 1 = 28 + 1 = 256 + 1 = 257
4
F4 = 2 2 + 1 = 216 + 1 = 65536 + 1 = 65537
5
F5 = 2 2 + 1 = 232 + 1 = 4294967296 + 1 = 4294967297
Kunskapskrav: EB,P , EB,P
Om poäng: 2 E
1 E : räknar ut en av de givna F
1 E : räknar ut samtliga givna F
2
Visa att F2 , F3 , F4 är primtal
Primtal: ett heltal större än 1, som inte är delbart med några andra tal än 1 och sig självt.
F2 : Primtal: Undersökning!
F3 : Primtal: Undersökning:
mindre än 16
F4 : Primtal: Undersökning:
inte hitta en delare till 65537
257 ≈ 16 Undersöker därför med primtal som är
65537 ≈ 256 Men eftersom 257∙257 > 65537 kan vi
Kunskapskrav: EB,P , CB,P , CP.L , CR , CK , AP.L
Om poäng: 1 E och 2 C och 1 A
1 EB,P : Översiktligt beskriver definitionen av primtal och bestämmer att F2 är ett primtal.
1 CB,P: Beskriver utförligt definitionen av primtal och bestämmer att F2 och F3 är ett primtal.
1 CR,K,P.L + 1 AP.L: För välgrundande matematiska resonemang om varför F4 är ett primtal.
1. Begrepp (B)
2. Procedur (P)
3. Problemlösning (PL)
4. Matematisk modellering (M)
5. Matematiskt resonemang (R)
6. Kommunikation (K)
7. Relevans
3
Det hittills största kända primtalet som hittats är 243 112 609 − 1.
Om man skulle skriva ut talet (i den vanliga basen 10), hur många siffror skulle
det innehålla? Tips: När du omvandlar bas 2 till bas 10 går det bra att ge ett
uppskattat värde.
Använd t.ex. uppskattningen att
( )
43112609
210 = 1024 ≈ 10 3 . Det ger att 2
− 1 ≈ 210
4311260 , 9
( )
≈ 10 3
4311260 , 9
= 1012933782 , 7 ≈ 1012933783
, dvs. ungefär 12 933 783 siffror.
Kunskapskrav: CB,P , AB,P , CP.L , AP.L , CR , AR
Om poäng: 3 C och 3 A
1-3 CB,P,P.L,R : Omvandling till bas 10 genom antingen ansats till lösning eller till acceptabelt
svar.
1-3 AB,P,P.L,R: Beskriver utförligt omvandling samt motiverar sitt svar.
Alltså:
OM POÄNG:
3/5/4
Vad tycker ni!?!