Sensorer, effektorer och fysik

Sensorer, effektorer och fysik
Grundläggande fysikaliska begrepp
som är viktiga inom mättekniken
Innehåll
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Grundläggande begrepp inom mekanik.
Elektriskt fält och elektrisk potential.
Gauss lag
Dielektrika och kapacitans
Ohms lag och resistans
Magnetiska fält: Ampères lag
Induktion: Faradays lag
Induktans
Magnetiska material
Mekanik: Arbete
• Arbete som en kraft F uträttar under en
förflyttning ∆x från A till B
W = F ⋅ ∆x
F
A
∆x
B
Mekanik: Arbete
• Arbete utfört av en kraft under förflyttning
längs en kurva från A till B:
B
W = ∫ F ⋅ dr
A
A
F
B
Mekanik: Konservativ kraft
• För en konservativ kraft är det uträttade
arbetet under en förflyttning från A till B
oberoende av vägen.
• Exempel på konservativa krafter är
gravitation och elektriska krafter.
Mekanik: Potentiell energi
• För konservativa krafter kan man införa en
potentiell energi. Den potentiella energin i
en punkt P ges av
P
U P − U R = − ∫ F ⋅ dr
R
där
UR
är potentialen i en referenspunkt R.
Ellära: Elektriskt fält
• Om den elektriska kraften på en
testladdning q0 i en viss punkt är F, så är
det elektriska fältet i denna punkt
F
E=
q0
Ellära: Elektriskt fält
• Exempel: Elektriska fältet orsakat av en
punktladdning q.
q0
q
r
r̂
F
• Beloppet av kraften ges av Coulombs lag
q q0
F=k 2
r
Ellära: Elektriskt fält
(forts. exempel)
• Det elektriska fältet utanför laddningen q
blir
F
q
E=
= k 2 rˆ
q0
r
Ellära: Elektrisk potential
• Ändringen i potentiell energi hos en
testladdning i ett elektriskt fält E under en
förflyttning från en punkt A till en punkt B
ges av
B
B
∆U = U
B
−U
A
= − ∫ F ⋅ dr = − q0 ∫ E ⋅ dr
A
A
• Integralerna ovan beror inte på vägen
mellan A och B eftersom den elektriska
kraften är konservativ.
Ellära: Elektrisk potential
(forts.)
• Eftersom ∆U / q0 inte beror på testladdningen
så inför vi en elektrisk potential V = U / q0.
• Skillnaden i elektrisk potential mellan
punkterna B och A blir då
B
VB − V A = − ∫ E ⋅ dr
A
Ellära: Gauss lag
• Enligt Gauss lag är det elektriska flödet
genom en sluten yta S proportionell mot
laddningen Q inuti ytan
∫ E⋅ dS = Q /ε
S
0
Ellära: Gauss lag
• Exempel: Det elektriska fältet utanför en
platta med laddningen σ per ytenhet kan
beräknas med Gauss lag.
S
E
E
Ellära: Gauss lag
(forts. exempel)
• Låt S vara en sluten yta som innesluter en
yta med area A av den laddade plattan (se
fig.).
• Det elektriska flödet blir 2EA eftersom det
elektriska fältet är vinkelrätt mot plattan.
• Laddningen som innesluts av S är σA .
σ
• Det elektriska fältet blir alltså E =
2ε 0
Ellära: Gauss lag
• Det elektriska fältet mellan två motsatt
elektriskt laddade plattor i vakuum är
σ
E=
ε0
+
−
+
−
+
E −
+
−
Ellära: Dielektrika
• Om ett elektriskt isolerande material
placeras i ett elektriskt fält så polariseras
materialet genom att positiva och negativa
laddningar förskjuts relativt varandra.
E
_
+
_
+
_
_
+
+
_
_
+
+
Ellära: Dielektrika
• Pga. polariseringen av dielektrikumet
kommer det att bildas en inducerad
ytladdning på ytan, vilket ger upphov till ett
inducerat elektriskt fält.
E0
- E
ind
-
+
+
+
+
+
+
+
+
Ellära: Dielektrika
• Sambandet mellan det elektriska fältet E i
dielektrikumet och det yttre elektriska fältet E 0
är E = E0 / ε , där ε är dielektricitetskonstanten.
Ellära: Kapacitans
• En kondensator består i princip av två
ledande plattor på ömse sidor om ett
dielektrikum. Kapacitansen är kvoten
mellan laddningen på plattorna och
spänningen mellan plattorna
Q
C=
∆V
Ellära: Kapacitans
-Q
+Q
d
• Laddning Q = σA
• Spänning ∆V = Ed = σ d
εε0
• Kapacitans
Q εε 0 A
C=
=
∆V
d
Ellära: Ohms lag
• Om man ansluter en elektrisk ledare till ett
batteri så driver det elektriska fältet E en
ström med strömtäthet j genom ledaren.
• Ohms lag ger j = σE eller E = ρj där σ och
är konduktiviteten respektive resistiviteten.
Resistiviteten beror på typ av material,
renhet, temperatur etc.
ρ
Ellära: Resistans
• Betrakta en ledare med längd l och
tvärsnittsarea A ansluten till en
spänningskälla.
• Spänningen över ledaren är ∆V = El
• Strömmen genom ledaren är I = jA
∆V El
l
• Resistansen är R = = = ρ
I
jA
A
Magnetiska krafter
• Den magnetiska kraften på en laddad
partikel med hastighet v och laddning q i
ett magnetfält B är F = qv × B
• Beloppet av kryssprodukten är v × B = v B sinθ
• Riktningen av kryssprodukten ges av
högerhandsregeln.
B
θ
v
Magnetiska fält: Ampères lag
• Linjeintegralen av magnetfältet runt en
sluten slinga är proportionell mot strömmen
som passerar genom slingan.
S
C
∫ B ⋅ ds = µ ∫ j ⋅ dS
0
C
S
Magnetiska fält: Ampères lag
• Exempel: Magnetfältet i en lång rak spole
utan kärna och med längd l samt N varv
som genomströmmas av en ström I är
B = µ 0 NI / l
I
B
l
Induktion: Faradays lag
• Den elektromotoriska kraft ε som induceras
runt en sluten slinga C är lika med
tidsderivatan av det magnetiska flödet
genom slingan.
ε
∫ E ⋅ ds = −
C
d
B ⋅ dS
∫
dt S
Induktion: Faradays lag
• Den inducerade elektromotoriska kraften i
en spole med N varv ges av
dΦ
ε = −N
dt
• Lenz lag säger att den inducerade emk:n
motverkar ändringen av det magnetiska
flödet Φ . (Lenz lag kan användas för att
bestämma tecknet på den inducerade emk:n)
Induktans
• Ändras strömmen genom en spole så ändras
det magnetiska flödet genom spolen och
därigenom induceras en emk ε = − L dI .
dt
• Induktansen L hos en lång rak spole med
längd l, tvärsnittsarea A och N ledningsvarv
är L = µ0 N 2 A / l
Magnetiska material
• Betrakta en lång rak spole med en kärna av
ett magnetiskt material.
• Atomernas bidrag till det magnetiska fältet i
spolens kärna kan anses vara orsakade av
små strömslingor (magnetiska dipoler).
• Dessa små virvelströmmar tar ut varandra
inuti spolens kärna, men det uppstår en
ström på ytan av kärnan.
Magnetiska material
• Strömmen på ytan ger ett bidrag B1 till Bfältet i kärnan. Det totala B-fältet i spolens
kärna är summan av det externa B-fältet,
som orsakas av spolen, och bidraget från
strömmen på ytan. B = Bext + B1
Magnetiska material
• När man arbetar med magnetiska material
brukar man skriva den magnetiska
flödestätheten B som en summa av det
magnetiska fältet H pga av yttre strömmar
och magnetiseringen M
B = µ0 (H + M)
• I exemplet med spolen är Bext = µ0H och B1 = µ0M
Magnetiska material
• Sambandet mellan magnetiseringen och
magnetfältet ges av susceptibiliteten
M = χH
•
•
•
•
Diamagnetiska material:χ < 0
Paramagnetiska material: χ > 0
Ferromagnetiska material:χ >> 0
Magetiska flödestätheten blir dåB = µ r µ 0 H ,
där relativa permeabiliteten ges avµr =1+ χ
Magnetiska material
• I exemplet med en lång rak spole med
längden l och N varv virad kring en kärna så
är magnetfältet
H = Bext / µ 0 =
NI
l
• Magnetiska flödestätheten i spolen blir
µ r µ 0 NI
B = µ r µ0 H =
l