Sensorer, effektorer och fysik Grundläggande fysikaliska begrepp som är viktiga inom mättekniken Innehåll • • • • • • • • • Grundläggande begrepp inom mekanik. Elektriskt fält och elektrisk potential. Gauss lag Dielektrika och kapacitans Ohms lag och resistans Magnetiska fält: Ampères lag Induktion: Faradays lag Induktans Magnetiska material Mekanik: Arbete • Arbete som en kraft F uträttar under en förflyttning ∆x från A till B W = F ⋅ ∆x F A ∆x B Mekanik: Arbete • Arbete utfört av en kraft under förflyttning längs en kurva från A till B: B W = ∫ F ⋅ dr A A F B Mekanik: Konservativ kraft • För en konservativ kraft är det uträttade arbetet under en förflyttning från A till B oberoende av vägen. • Exempel på konservativa krafter är gravitation och elektriska krafter. Mekanik: Potentiell energi • För konservativa krafter kan man införa en potentiell energi. Den potentiella energin i en punkt P ges av P U P − U R = − ∫ F ⋅ dr R där UR är potentialen i en referenspunkt R. Ellära: Elektriskt fält • Om den elektriska kraften på en testladdning q0 i en viss punkt är F, så är det elektriska fältet i denna punkt F E= q0 Ellära: Elektriskt fält • Exempel: Elektriska fältet orsakat av en punktladdning q. q0 q r r̂ F • Beloppet av kraften ges av Coulombs lag q q0 F=k 2 r Ellära: Elektriskt fält (forts. exempel) • Det elektriska fältet utanför laddningen q blir F q E= = k 2 rˆ q0 r Ellära: Elektrisk potential • Ändringen i potentiell energi hos en testladdning i ett elektriskt fält E under en förflyttning från en punkt A till en punkt B ges av B B ∆U = U B −U A = − ∫ F ⋅ dr = − q0 ∫ E ⋅ dr A A • Integralerna ovan beror inte på vägen mellan A och B eftersom den elektriska kraften är konservativ. Ellära: Elektrisk potential (forts.) • Eftersom ∆U / q0 inte beror på testladdningen så inför vi en elektrisk potential V = U / q0. • Skillnaden i elektrisk potential mellan punkterna B och A blir då B VB − V A = − ∫ E ⋅ dr A Ellära: Gauss lag • Enligt Gauss lag är det elektriska flödet genom en sluten yta S proportionell mot laddningen Q inuti ytan ∫ E⋅ dS = Q /ε S 0 Ellära: Gauss lag • Exempel: Det elektriska fältet utanför en platta med laddningen σ per ytenhet kan beräknas med Gauss lag. S E E Ellära: Gauss lag (forts. exempel) • Låt S vara en sluten yta som innesluter en yta med area A av den laddade plattan (se fig.). • Det elektriska flödet blir 2EA eftersom det elektriska fältet är vinkelrätt mot plattan. • Laddningen som innesluts av S är σA . σ • Det elektriska fältet blir alltså E = 2ε 0 Ellära: Gauss lag • Det elektriska fältet mellan två motsatt elektriskt laddade plattor i vakuum är σ E= ε0 + − + − + E − + − Ellära: Dielektrika • Om ett elektriskt isolerande material placeras i ett elektriskt fält så polariseras materialet genom att positiva och negativa laddningar förskjuts relativt varandra. E _ + _ + _ _ + + _ _ + + Ellära: Dielektrika • Pga. polariseringen av dielektrikumet kommer det att bildas en inducerad ytladdning på ytan, vilket ger upphov till ett inducerat elektriskt fält. E0 - E ind - + + + + + + + + Ellära: Dielektrika • Sambandet mellan det elektriska fältet E i dielektrikumet och det yttre elektriska fältet E 0 är E = E0 / ε , där ε är dielektricitetskonstanten. Ellära: Kapacitans • En kondensator består i princip av två ledande plattor på ömse sidor om ett dielektrikum. Kapacitansen är kvoten mellan laddningen på plattorna och spänningen mellan plattorna Q C= ∆V Ellära: Kapacitans -Q +Q d • Laddning Q = σA • Spänning ∆V = Ed = σ d εε0 • Kapacitans Q εε 0 A C= = ∆V d Ellära: Ohms lag • Om man ansluter en elektrisk ledare till ett batteri så driver det elektriska fältet E en ström med strömtäthet j genom ledaren. • Ohms lag ger j = σE eller E = ρj där σ och är konduktiviteten respektive resistiviteten. Resistiviteten beror på typ av material, renhet, temperatur etc. ρ Ellära: Resistans • Betrakta en ledare med längd l och tvärsnittsarea A ansluten till en spänningskälla. • Spänningen över ledaren är ∆V = El • Strömmen genom ledaren är I = jA ∆V El l • Resistansen är R = = = ρ I jA A Magnetiska krafter • Den magnetiska kraften på en laddad partikel med hastighet v och laddning q i ett magnetfält B är F = qv × B • Beloppet av kryssprodukten är v × B = v B sinθ • Riktningen av kryssprodukten ges av högerhandsregeln. B θ v Magnetiska fält: Ampères lag • Linjeintegralen av magnetfältet runt en sluten slinga är proportionell mot strömmen som passerar genom slingan. S C ∫ B ⋅ ds = µ ∫ j ⋅ dS 0 C S Magnetiska fält: Ampères lag • Exempel: Magnetfältet i en lång rak spole utan kärna och med längd l samt N varv som genomströmmas av en ström I är B = µ 0 NI / l I B l Induktion: Faradays lag • Den elektromotoriska kraft ε som induceras runt en sluten slinga C är lika med tidsderivatan av det magnetiska flödet genom slingan. ε ∫ E ⋅ ds = − C d B ⋅ dS ∫ dt S Induktion: Faradays lag • Den inducerade elektromotoriska kraften i en spole med N varv ges av dΦ ε = −N dt • Lenz lag säger att den inducerade emk:n motverkar ändringen av det magnetiska flödet Φ . (Lenz lag kan användas för att bestämma tecknet på den inducerade emk:n) Induktans • Ändras strömmen genom en spole så ändras det magnetiska flödet genom spolen och därigenom induceras en emk ε = − L dI . dt • Induktansen L hos en lång rak spole med längd l, tvärsnittsarea A och N ledningsvarv är L = µ0 N 2 A / l Magnetiska material • Betrakta en lång rak spole med en kärna av ett magnetiskt material. • Atomernas bidrag till det magnetiska fältet i spolens kärna kan anses vara orsakade av små strömslingor (magnetiska dipoler). • Dessa små virvelströmmar tar ut varandra inuti spolens kärna, men det uppstår en ström på ytan av kärnan. Magnetiska material • Strömmen på ytan ger ett bidrag B1 till Bfältet i kärnan. Det totala B-fältet i spolens kärna är summan av det externa B-fältet, som orsakas av spolen, och bidraget från strömmen på ytan. B = Bext + B1 Magnetiska material • När man arbetar med magnetiska material brukar man skriva den magnetiska flödestätheten B som en summa av det magnetiska fältet H pga av yttre strömmar och magnetiseringen M B = µ0 (H + M) • I exemplet med spolen är Bext = µ0H och B1 = µ0M Magnetiska material • Sambandet mellan magnetiseringen och magnetfältet ges av susceptibiliteten M = χH • • • • Diamagnetiska material:χ < 0 Paramagnetiska material: χ > 0 Ferromagnetiska material:χ >> 0 Magetiska flödestätheten blir dåB = µ r µ 0 H , där relativa permeabiliteten ges avµr =1+ χ Magnetiska material • I exemplet med en lång rak spole med längden l och N varv virad kring en kärna så är magnetfältet H = Bext / µ 0 = NI l • Magnetiska flödestätheten i spolen blir µ r µ 0 NI B = µ r µ0 H = l