Sam Lodin, Cornelia Schiebold
Mittuniversitetet
TFM
2008-04-25
Hjalpmedel: Svensk-Engelsk ordbok, miniraknare sam ej ar symbolhanterande,
samt formelsamling NV- och TE-programmen, TEFYMA och Natur och kultur
Skrivtid: 5 timmar
Glom inte aft ge transparenta argument till alIa dina svar, och avsluta varje
losning genom eft tydligt svar! For aft vara godklind behOverdu atminstone 10
poling.
1. Los foljande ekvationssystem:
w-x+y-z
w + 2x - 2y - z
-2w + x - 2y + 2z
-
1,
=
2,
-2.
(3p)
2. Llit
B
Go}
J.'Ul
VuAa
Va.J.UCu
}JQ,
\,.. a.J.
.t'1
b) LosmatrisekvationenA(X
=
(
0
!
1
0 )
.
lUVC1.."'lUQ,.;
-
I)
= Bidet
faBetatt A ar inverterbar.
(3p)
3. 1M
(
A=
2 1 -1
2
3 1 -2 0)
-3 0 2 0
1 0 0 0
a) Bestam det(A),
b) Bestam det(-A-3).
(2p)
~
4. Galler foljande pastAendefor alIa 2 x 2-matriserA, Beller inte? Ge ett
motexempelom pAstAendet
inte galler!
a) AB
= BA,
b) det(AB)= det(BA),
c) Omdet(A)= 0, sAA = o.
(2p)
(2p)
5. LAt
V=(!2)' W=(~2).
a) Bestamortogonaiaprojektionenav w pa v. Forklara ditt resultat med en
figur.
b) Bestiim alIa vektorer sam iir ortogonala mot v.
(2p)
(2p)
-6. --1at
R=
p=G).
Q~(~l).R=G)
(~}
-- --
a) Visa att vektorerna
PQ, PR ar ortogonala
--
och bestam langden av PQ och .
--
PRo
b) Bestam arean av den triangel 80m bar horn i punkterna P t Q, and R.
c) Be8tam ekvationen for planet 80m innehAller P, Q, och R.
(3p)
7. 1M
p=
w;OJ
a) Bestam den linje i genom P som ar vinkelrat mot bMa vektorer v och w.
b) Bestam skarningspunkten mellan linjen i och planet 7rdar 7rfir givet genom
ekvationen 7r : 3x
-
y + z = 1.
c) Bestam avstfmdet mellan punkten P och planet 7r.
"
(3p)
(3p)
8. Vilka av fOljandemangder ar delrum av JR2?Ange en bas fOr vart oeh ett av
delrummenoeh bestam delrummets dimension.
a)
{(:)laER},
b) { (a; b) I a, bE R},
c)
(3p)
{(~) IO$a$l}.
9. Bestam den matris som motsvarar avbildningen fr~n JR2tillJR2 given av att
fOrst rotera 90 grader moturs och sedanspeglai linjen y = -x.
(2p)
10. Lat
A=
(4
a 1
-2 1 a) .
-2 a 1
a) Bestam egenvardenatill matrisen A.
b) Bestam egenvektorernatill mat risen A.
Lycka till!
(2p)
