N˚agra problem om talen 111...111. Reflektioner som initerats av ett

Några problem om talen 111...111.
Reflektioner som initerats av ett klädskåp på F & S samt ett problem i en lärobok. Skåpnumret var
111 och jag började tänka på primtal - förstås - och undrade hur det var med existensen av primtal
i en “dekad” dvs. en följd av tio tal startande med en jämn multipel av tio, ex.vis talen 1 till 10
(som innehåller primtalen 2, 3, 5 och 7), talen 11 till 20 (som också innehåller fyra primtal: 11, 13,
17 och 19), talen 101 till 110 (skåpnumren innan mitt, och som också innehåller fyra primtal: 101,
103, 107 och 109 - kolla det!)
Problem 1: Visa att en dekad kan innehålla högst fyra primtal.
Problem 2: Hitta en dekad utan ett enda primtal.
Problem 3: Påståendet att det finns oändligt många dekader med fyra primtal kan ej vara bevisat.
Varför?
Jag började sedan fundera på talen 1, 11, 111, 1111, ... och kom fram till följande.
Problem 4: Visa att:
a) Vart tredje tal är delbart med 3.
b) Vartannat är delbart med 11.
c) Inga är delbara med 2 eller 5.
Hur är det då med delbarhet med 7? Man kan naturligtvis testa sig fram men det är rätt tröttsamt,
finns ingen annan metod? Jo, det går att vända på det hela: hur skall ett tal se ut för att det skall
få formen 111...1 efter multiplikation med 7? (Förresten - ett tal på den angivna formen kallas på
engelska en “repunit”, man repeterar ju enheten, “the unit”, 1.)
Problem 5: Hitta på en bra beteckning på svenska.
Om man sätter upp en vanlig multiplikationsuppställning (tyvärr kan jag inte göra det här men ni
förstår säkert vad jag menar) så får man något i stil med:
xxxxxxx · 7 = 11111..11
där xxxxx är okänt liksom antalet ettor. Men börjar man bakifrån och tar hänsyn till att slutsiffran
i multipler av 7 i tur och ordning är 7, 4, 1, 8, 5, 2, 9, 6 och 3 så ser man att det finns ett minsta
heltal vars produkt med 7 blir en repunit.
Problem 6: Bestäm detta minsta heltal.
Som vi såg ovan så delar 3 och 11 oändligt många “repunits”, hur är det med 7? Denna fråga
hänger ihop med en annan, nämligen om vad som kan sägas om förekomsten av primtal i följden
1, 11, 111, 1111, ... . Ett primtal, nämligen 11 ser vi direkt, men finns det fler? Ja, det är bara att
sätt igång och leta. Men innan du gör det så kan det vara bra att veta att vi kan hoppa över en hel
del tal. Tag till exempel 111111 (OK, visst är det delbart med 11, men principen för resonemanget
är mer allmän).
Vi har att
111111 = 111000 + 111 = 111 (1000 + 1) = 111 · 1001,
så talet är inget primtal.
Problem 7: Visa på samma sätt att 1111111111 är sammansatt.
Problem 8: Vilken är den första repunit som ej är delbar med 3 eller 11 och som kan visas
vara sammansatt med denna metod?
Problem 9: Visa att en repunit bara kan vara ett primtal om antalet ettor är ett primtal!
Villkoret att antalet ettor skall vara ett primtal är nödvändigt, dvs. måste vara uppfyllt, men inte
tillräckligt. Det visar t.ex. talet 111. För att slippa räkna för hand så kan man gå in på websajten
http://primes.utm.edu/ och kolla. Där ser man att varken sju, elva eller tretton ettor ger primtal.
Använd sajten ifråga för att besvara följande två problem.
Problem 10: Kontrollera det som just sades om sju, elva och tretton ettor och bestäm om möjligt
faktoriseringen av talen.
Problem 11: Vilket är det första primtalet efter 11 som är en repunit?
Vi kan använda den nyss genomgångna metoden för att visa att 7 delar oändligt många av talen
i följden av “repunits”, eller hur? Hur är det med andra primtal? För att angripa denna fråga
kan det vara bra att hitta ett mer behändigt sätt att framställa repunits. Vi använder formeln för
summan av en geometrisk serie:
1111...1 (n st.) = 1 + 10 + 102 + 103 + ... + 10n−1 =
10n − 1
10n − 1
=
.
10 − 1
9
Ur detta ser vi att det räcker att studera tal på formen 10n − 1 när det gäller delbarhet (åtminstone
med andra tal än 9). Till att börja med så är tal på den angivna formen naturligtvis inte delbara
med 2 eller 5, men hur det med andra primtal? Ja alla är delbara med tre och med användning av
Problem 6 ovan ser vi att 106 − 1 är delbart med 7. Gäller kanske mer allmänt (här gör vi ett klart
tankesprång!) att p (ett primtal) delar ap−1 − 1.
Problem 12: Visa att det inte kan gälla generellt. Försök komma på ett villkor som verkar
naturligt.
Problem 13: Kontrollera några fall.
Förhoppningsvis ger din kontroll att det verkar stämma om villkoret (att p inte delar a) är uppfyllt.
Men hur skulle man kunna bevisa att det gäller generellt? Det är naturligt att försöka med induktion
i a, dvs. visa att om det gäller för ett visst värde på a så gäller det också för a + 1. Men det kan ju
inte fungera på grund av att vi har ett nödvändigt villkor på a som inte kommer att vara uppfyllt
för alla “efterföljare” till a. Men vi kanske kan formulera om påståendet så att det gäller för alla
a? Här är ett försök.
Problem 14: Visa att om p är ett primtal så gäller att ap − a är delbart med p.
Bevis: Vi försöker med ett induktionsbevis och konstaterar först att påståendet är sant om
a = 0. Antag nu att det är sant och undersök vad som händer om vi ersätter a med a + 1. Vi får
medelst binomialutveckling:
p p−1
p p−2
p
p
p
(a + 1) − (a + 1) = a +
a
+
a
+ ... +
a + 1 − (a + 1).
1
2
p−1
De binomialkoefficienter
som dyker upp är som bekant heltal (det följer t.ex. ur den kombinatoriska
tolkningen: nk är antalet delmängder med k element valde ur en mängd med n element) och
dessutom delbara med p eftersom p finns i täljaren men inte i nämnaren. Men i högerledet återstår
då bara ap − a som ju också är delbart med p enligt antagandet! Således är vänsterledet delbart
med p och induktionen är klar. ⊔
⊓
Det vi just visat är i själva verket en berömd talteoretisk sats uppkallad efter Pierre Fermat och
som heter Fermats lilla sats för att inte förväxla den med den mer kända. Hur är det förresten med
den omvända utsagan, dvs. gäller p|ap − a ⇒ p är primtal? Det visar sig att så tillmötesgående är
inte talvärlden. Det minsta motexemplet möter vi i påståendet 341|2341 − 2 där 341 = 11 · 31 Vi är
nu redo att knyta ihop säcken och med användning av ovanstående lösa följande problem
Problem 15: Visa att varje primtal 6= 2, 5 delar oändligt många repunits.
När vi klarat av detta så kan det vara intressant att fundera på om det går att hitta andra, relaterade
problem. Man kan t.ex. fråga sig vad som händer i andra baser.
Problem 16: Visa att i basen 2 är varje repunit ett Mersenne-tal, dvs. ett tal som i basen tio har
formen 2n − 1.
Genom ett resonemang som är analogt med ett fört ovan kommer man fram till lösningen av
Problem 17: Visa att om 2n − 1 är primtal så måste även n vara det.
Det är nu naturligt att fråga sig om den omvända utsagan gäller. Man kan övertyga sig om att så
inte är fallet på flera sätt. Ett är att om den gällde, dvs. om p är ett primtal så gäller detta också
2p − 1, så vore det mycket enkelt att hitta hur stora primtal som helst, men det är det ju inte. Ett
annat är att undersöka några hanterbara fall:
Problem 18: Visa att det finns ett primtal p sådant att 2p − 1 inte är ett primtal.
(Fortsättning följer! 1.) Perfekta tal. 2.) Lucas-Lehmer. )
Gunnar