Blandade uppgifter
1.
a)
Välj till exempel talen 2, 3 och 4 ,
vilket enligt påståendet i uppgift ger
22 + 32 + 42 − 2 = 3 ∙ 32
VL = 4 + 9 + 16 − 2 = 27
HL = 3 ∙ 9 = 27
VL = HL
Påståndet gäller för talen 2, 3 och 4
b)
Om a, b och c är tre på varandra
följande tal och x är ett godtyckligt
heltal kan vi skriva
a=x−1
b=x
c = x+1
påstående enligt uppgift
a2 + b2 + c 2 − 2 = 3b2
insättning ger
(x − 1)2 + x 2 + (x + 1)2 − 2 = 3x 2
VL ∶
x 2 − 2x + 1 + x 2 + x 2 + 2x + 1 − 2 =
3x 2
HL ∶ 3x 2
VL = HL
Påståendet gäller för alla heltal.
2. Utnyttja att vinkelsumman i en triangel
alltid är 180°
α + β + 90° = 180°
α + β = 90°
sin(α + β) = sin 90°
sin(α + β) = 1
3. I den här uppgiften är det tänkt att vi ska ska
koppla samman siffrornas värden med radnumret.
Radnumret växer förstås med +1 för varje ny rad,
men även alla siffror växer också med +1 för varje
ny rad
Vi gör några observationer:
Siffrorna i första kolumnen är
identiska med radnumret
Siffrorna i andra kolumnen är
radnumret + 2
Siffrorna i tredje kolumnen är
radnumret − 1
Siffrorna i fjärde kolumnen är
radnumret + 3
Radnumret har beteckningen n
Den n: te radens siffror kan nu skrivas
n(n + 2) − (n − 1)(n + 3) =
n2 + 2n − n2 − 3n + n + 3 =
n2 − n2 + 3n − 3n + 3 =
3
Resultatet är 3 och oberoende av radnumret.
4. Antag att talen är a och b , då de är jämna
kan de skrivas som
a = 2m
b = 2n
summan skrivs som
a+b=
2m + 2n =
2(m + n) =
2 ⋅ heltal =
2k , vilket är ett jämnt tal
5. Påstående P: n3 +2 är ett udda tal
Påstående Q: n är ett udda tal
Visa att P → Q
Enligt teorin om indirekta bevis kan vi
påstå motsatsen 𝑜𝑐ℎ
vända på implikationen,
¬P: n3 +2 är ett jämnt tal
¬Q: n är ett jämnt tal
Visa nu istället att ¬Q → ¬P
Då ¬Q är ett jämnt tal kan vi skriva
¬Q = 2m som betecknar ett godtycklgt
jämnt tal
¬P = (2m)3 +2
¬P = 8m3 + 2
¬P = 2 ⋅ (4m3 + 1)
¬P = 2 ⋅ heltal
¬P = 2k , som är ett jämnt tal
Vi har visat att ¬Q → ¬P är sant
då är också P → Q sant v. s. v
6.
7.
A ∶ ”Jag har varit i London mer än 5 gånger”
P ∶ ”Nej, nu ljuger du”
L ∶ ”Du har i alla fall varit i London minst en gång”
Vi antar att Andersson varit x gånger i
London, där x är ett heltal större eller lika
med 0. Dela upp möjliga x värden i intervall
I∶ x=0
II ∶ 1 ≤ x ≤ 5
III ∶ x > 5
Tillsammans täcker dessa samtliga
möjligheter.
Om III är sant, så är både Anderssons
och Lundströms påstående sant.
Det strider mot antagandet att
endast ett av uttalandena är sanna.
Enligt randvinkelsatsen är
medelpunktsvinkeln dubbelt så stor
som randvinkeln, vilket ger
m=2⋅v
då v = 90° fås
m = 2 ⋅ 90°
m = 180°
Om m = 180° så är det en rak vinkel
vars vinkelben ligger utefter en rät linje
som går genom origo och därmed
skär av halva cirkeln. Vi får en
halvcirkelbåge.
Om II är sant är både Pettersons och
Lundströms påståenden sanna.
Det strider mot antagandet att
endast ett av uttalandena är sanna.
Om I är sant är både Anderssons och
Lundströms påståenden falska.
Endast Pettersons påstående är sant.
Alltså måste gälla att
x=0
Andersson har aldrig varit i London. v. s. b.
8.
10.
Hela arean kan tecknas på två olika sätt
A1 eller A2
A1 = yttre kvadrat
= (a + b)2
= a2 + 2ab + b2
A2 = fyra yttre trianglar + inre röd kvadrat
ab
= 4 ∙ + c2
2
= 2ab + c 2
A1 = A2 ger
a2 + 2ab + b2 = 2ab + c 2
a2 + b2 = c 2
Pythagoras sats är bevisad,
de yttre trianglarna är räta
och har kateterna a och b samt hypotnusan c
9. Vi ska visa att x 3 − x = k
inte har några heltalslösningar om k är udda
Skriv om vänsterledet
x3 − x = k
x (x 2 − 1) = k
x (x + 1)(x − 1) = k
(x − 1) x (x + 1) = k
Vi ser nu att VL består av tre på varandra
följande tal och då måste minst ett av talen
vara jämnt. Ett jämnt tal gånger ett heltal är
alltid jämnt.
Sålunda VL blir alltid jämnt.
Om k är udda saknas därmed lösningar
till ekvationen.
∠ACD = ∠DBA
randvinklar till samma cirkelbåge
∠AEC = ∠BED
motstående vinklar
∆AEC~∆BED
likformiga trianglar, två gemensamma vinklar
Likformighet ger
a c
=
d b
ab = cd , vilket är kordasatsen.
