Material, form och kraft, F7
Repetition
Stång, balk, fackverk, och ramverk
Styvhet
Material, form och kraft
Form och kraftflöde
Statiskt bestämda/obestämda konstruktioner
Strukturelement
F
Verkligheten är 3D komplext!
Förenklande antaganden om
Last, geometri och deformationer
Material, töjnings- och
spänningstillstånd
kan förenkla analysen
I olika strukturelement (modeller)
renodlas lastbärande principer
Exempel: strukturelementen stång och
balk
1
Stång - Antaganden
Endast axiell last
Rak, prismatisk (konstant tvärsnitt)
Linjärelastiskt material
Enaxligt spänningstillstånd, jämn fördelning
(endast normalspänning)
Små deformationer vid belastning
F
P
P
Linjärt elastisk stång
Deformationssamband
L
N
Materialsamband
Jämvikt
N
E
N
A
L
L
E
NL
AE
2
Balk
En balk kan överföra både krafter och moment
Snittkrafter i balk (3d): (stångverkan+balkverkan)
Normalkraft (som stången)
2 Tvärkrafter
2 Böjmoment
Vridmoment
Snittkrafter i balk (2d): (stångverkan+balkverkan)
Normalkraft
Tvärkraft
Böjmoment
Böjning av balk
3
Böjning av balk
1
Iz
Normalspänning
1
Iz
Nedböjning
x
My
Iz
y
Yttröghetsmoment Iz
Iz
y2 A
z
y 2 dA)
(I z
A
Optimal balk = stort yttröghetsmoment
=materialet långt från tyngdpunktsnivån
Böjning av balk
A = 16
Ay2 = 20
A = 16
Ay2 = 140
4
Vridning
Vridning orsakar skjuvspänning
Vridning
Tröghetsmoment tvärsnittets bidrag till
böjstyvhet
Vridstyvhetens tvärsnittsfaktor Kv tvärsnittets
bidrag till vridstyvhet
Materialet långt från centrum
Rör bättre än cirkel med samma A
Slutet tunnväggigt tvärsnitt
bättre än öppet
5
Exempel: stol
Styvhet - Definition
Styvhet motstånd mot deformation
Styvhet kvantifieras som last per deformationsenhet
För given total last F, som ger förskjutning
styvheten som F/ .
Enhet N/m, (Nm/rad vid moment-rotation)
definieras
F
k=F/
6
Styvhet är en viktig designparameter
Exempel
Styvhet
Material, form & kraft
En konstruktions styvhet beror på:
Material
E-modul(er), skjuvmodul(er)
Materialets riktning i strukturen (för icke isotropa material)
Form
Form hos strukturelement (balk, stång)
Tvärsnitt och längd
Form på struktur, orientering och upplag
Hur strukturelementen är sammansatta och belastade,
kopplingspunkter, upplag
Kraft
Dragkraft ger ökad styvhet
Tryckkraft ger minskad styvhet
7
Styvhet
Stång
Stång
Material
E-modul (N/ m2)
Form
A
F
Tvärsnittsarea (m2)
Längd (m)
F
L
Styvhet
A
F
F
Stång
k
F
L
Jämvikt
F
N
F
N
k
F
N
8
Styvhet
A
F
Stång
F
L
k
N
N
L
L
N
A
L
A
E A
L
EA
L
E
Styvhet - Stång
MATERIAL:
Materialets inverkan
på styvheten
k
EA
L
FORM:
Tvärsnittets inverkan
på styvheten
Längdens inverkan
på styvheten
9
Styvhet
Balk
Balk
Drag/tryck (Stångverkan)
E-modul (N/m2)
Tvärsnittsarea (m2)
Längd (m)
k
E A
L
k
G Kv
L
Vridning
Skjuvmodul (N/m2)
Vridstyvhetens
tvärsnittsfaktor (m4)
Längd (m)
Böjning
E-modul (N/m2)
Tröghetsmoment (m4)
Längd (m)
Inspänningsförhållanden,
lastfördelning (C)
Styvhet
k
C
E I
L3
Balk - Stångverkan
MATERIAL:
Materialets inverkan
på styvheten
k
EA
L
FORM:
Tvärsnittets inverkan
på styvheten
Längdens inverkan
på styvheten
10
Styvhet
Balk - Vridning
MATERIAL:
Materialets inverkan
på styvheten
k
G Kv
L
Styvhet
C
Längdens inverkan
på styvheten
Balk- Böjning
MATERIAL:
Materialets inverkan
på styvheten
k
FORM:
Tvärsnittets inverkan
på styvheten
E I
L3
FORM:
Tvärsnittets inverkan
på styvheten
Längdens inverkan
på styvheten
FORM OCH KRAFT
Konstant som beaktar inverkan av inspänningsförhållanden och lastfördelning
11
Styvhet
Exempel
P
h
L
b
PL3
3EI
P
k
3 E I
L3
I
bh 3
12
C=3
Styvhet
Form
Exempel: Lastens fördelning
P
L/2
k
q
L
L/2
48 E I
L3
C=48
(P=qL)
k
76.8 E I
L3
C=76.8
12
Styvhet
Form
Exempel: Inspänningsförhållanden - upplag
P
L/2
k
P
L/2
L/2
48 E I
L3
L/2
192 E I
L3
k
C=48
C=192
Styvhet
Räkneexempel
För träpinnen med El = 10 GPa och måtten
700×25×25 mm3, beräkna k för:
Axiellt drag
F
A
L
F
d
P
Böjning, 3-punkt böj
L/2
L/2
P
Böjning, konsolbalk
L
13
Styvhet
Form
Strukturelementens orientering i förhållande till
lasten:
Tumregel:
Böjning vekt
Drag (tryck) styvt
Tryck - risk för knäckning
k=EA/L+EI/L3
k=EA/L
Styvhet
Form
Seriekoppling/parallellkoppling
Samma förskjutning
parallellkoppling
k1
ktot=k1+k2
k2
Samma kraft
k1
seriekoppling
k2
1/ktot=1/k1+1/k2
14
Styvhet
Inverkan av krafter
Nedböjningen beror på normalkraften, N
Tryck ger stor nedböjning (vekt)
Drag ger liten nedböjning (styvt)
P
P
N
N
N
N
Form och Kraftflöde
I 2D finns 3 jämviktsekvationer
Vi kan med friläggning och jämvikt bestämma
maximalt 3 obekanta upplagskrafter
R1
A
Fixlager
B
Rullager
R3
R2
P=10kN
15
Hur kan styvheten ökas?
Form och Kraftflöde
Momentekvation kring A (moturs):
R3·L-P·L/2=0 dvs
R3=P/2
R1
A
B
P/2
R2
P=10kN
16
Form och Kraftflöde
Vertikal jämvikt:
R2+R3-P=0
R2=P/2
Horisontell jämvikt
R1=0
Krafterna bestäms
enbart med hjälp av
jämviktsekvationer
A
P/2
B
P=10kN
P/2
Form och Kraftflöde
Inre krafter på samma sätt!
Vertikal jämvikt
N2·sin(v)+P/2=0
N2=-p/2/sin(v)
N2·sin(v)
N2
Horisontell jämvikt
N2·cos(v)+N1=0
N1=-N2·cos(v)
N1=P/2/tan(v) (drag)
N2·cos(v)
A
v
N1
P/2
17
Form och Kraftflöde
En konstruktion i vilken kraftflödet kan beräknas
endast med hjälp av jämvikt kallas statiskt
bestämd
Styvheten i de olika delarna påverkar ej
kraftfördelningen.
Form och Kraftflöde
P
P
Mekanism
(instabil)
Mekanism
P
Bestämd
Obestämd
Kan ej bära last, kollapsar.
Statiskt bestämd Alla obekanta krafter kan
bestämmas ur jämviktsekvationerna.
Statiskt obestämd
ej.
Jämviktsekvationer räcker
18
Mekanism
P
P
Mekanism-kan ej bära last
För lite upplag eller
För få stänger (ej triangelmönster)
Statiskt bestämd
Tar man bort en stång eller ett upplag blir det en mekanism
Precis tillräckligt för stabilitet men inte mer
Kraften kan inte välja väg
Kraftflödet kan beräknas med hjälp av endast jämvikt
Styvheten i de olika delarna påverkar ej kraftfördelningen.
19
Statiskt obestämd
Fler upplag eller stänger än vad som krävs för stabil
konstruktion
Stång/upplag kan tas bort/brista utan att det blir kollaps
Kraften kan välja väg
Deformationssamband + jämvikt krävs för att beräkna
kraftflödet
Styvheten i de olika delarna påverkar kraftfördelningen.
Form och Kraftflöde
Statiskt bestämd map upplagskrafter
Statiskt obestämd map inre krafter
P=10kN
20
Form och Kraftflöde
Statiskt obestämd map upplagskrafter (1-falt)
P
L
21
