7 (a) Bestäm f sådan att FHzL = (b) Ange f:s 11 första värden

5
7 (a) Bestäm f sådan att FHzL = 5z
(b) Ange f :s 11 första värden.
z +1
LÖSNING
FHzL =
HaL
z5
z5 + 1
=
1
1 + 15
z
¶
=
= ‚ H-1Lk
k=0
¶
1
1 - -1
z5
1
z5 k
-1 k
= ‚
= 1-
5
k=0 z
1
z5
+
1
z 10
-
1
z 15
+…
Å andra sidan är
¶
1
FHzL = ‚ f HnL
zn
n=0
Det följer att merparten av f :s värden är nollor. Dock är vart femte
värde nollskilt och alternerar mellan 1 och -1.
Det finns flera olika formler för f . Här är en:
k
f HnL = ⁄n
k=0 H-1L dHn - 5 kL
(b) De 11 första värdena är 1, 0, 0, 0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 1.
8. Antag att bakterietillväxten på en viss plats är sådan att antalet
bakterier fördubblas varje timme.
(a) Hur många bakterier har man på nämnda plats efter n timmar,
om man lägger dit f HnL stycken bakterier i början av varje hel timme?
(b) Hur blir det efter 24 timmar om f HnL = n?
LÖSNING
(a) Den givna texten formaliserad:
På en viss plats placeras varje timme k, där k = 0, 1, …, n - 1, n
f H0L, f H1L, … , f HkL, …, f Hn - 1L, f HnL stycken bakterier.
Eftersom antalet bakterier fördubblas varje timme, förökar sig de
placerade bakterierna så att de i början av timmen n har blivit
2
4.nb
Eftersom antalet bakterier fördubblas varje timme, förökar sig de
placerade bakterierna så att de i början av timmen n har blivit
f H0L 2n , f H1L 2n-1 , …, f Hn - 1L 21 , f HnL 20 stycken.
Totala antalet bakterier är därför i början av timmen n
n
f H0L 2n + f H1L 2n-1 + … + f Hn - 1L 21 + f HnL 20 = ‚ f HkL 2n-k ,
k=0
vilket som bekant är faltningen mellan f och n # 2n , dvs
f HnL * 2n
(1)
(b) Om f HnL = n, så blir (1) lika med
n * 2n
Vi beräknar (2) med hjälp av Z-transformation följd av invers dito.
Först Z-transformation:
ZHn * 2n L = ZHnL ZH2n L
z
z
2
H1-zL z-2
z
= z
2
H1-zL Hz-2L
=
= zK 2 - 2 -
1 O
z-2 z-1 Hz-1L2
= 2 z -2 z - z 2
z-2
z-1 Hz-1L
Sedan invers Z-transformation:
Z-1 K2 z - 2 z -
z O
z-2
z-1 Hz-1L2
= 2 ÿ 2n - 2 ÿ 1n - n 1n = 2n+1 - 2 - n
För n = 24 blir resultatet
225 - 2 - 24 = 33 554 406.
(2)