“Strövtåg i matematikens värld”
Problemlapp 9. Om primtal
1. Visa att om p är ett primtal större än 3 så gäller 24 | p2 − 1.
2. Bestäm alla primtal mellan 10 och 10000 sådana att när sista siffran flyttas till första plats
blir talet oförändrat.
3. Visa att om n > 1 och n delar talet (n − 1)! + 1 så måste n vara ett primtal. (Att den omvända
utsagan gäller är innehållet i Wilsons sats.)
4. Visa att inga av talen
12321, 1234321, 123454321, 12345654321, 1234567654321
är primtal. (Ledning: de har en egenskap gemensam!)
5. Visa att för varje primtal p > 3 gäller att talet 2p2 + 1 är delbart med 3.
6. För vilka primtal p gäller att även p2 + 2 är primtal?
7. Visa först att ett tal på formen 6n + 5 måste ha en primfaktor på samma form. Försök sedan
modifiera Euklides’ bevis för att det finns oändligt många primtal till ett bevis för att det finns
oändligt många primtal på formen 6n + 5. (Dirichlet visade i en berömd uppsats från 1837
det allmänna resultatet att om SGD(a, b) = 1 så finns det oändligt många primtal på formen
an + b.)
n
8. Euklides bevis kan också användas för att visa att den n:te primtalet pn uppfyller pn < 22 .
Hur går det till?
9. Visa att om p och p2 + 2 är primtal så måste p3 + 2 också vara ett primtal.
10. Visa att p = 2 är det enda primtalet som kan skrivas p = x3 + y 3 .
11. För vilka primtal p gäller att också talet p2 + 2p är primtal? (Ledning: undersök talet “modulu
3”!)
12. Visa att om n ≥ 3 så finns ett primtal p så att n < p < n! . (Ledning: undersök talet
N = n! − 1.)
Gunnar
