IPhO 2016 - Experiment - Electrical Conductivity in Two Dimensions

Experiment
Swedish (Sweden)
Q1-1
Elektrisk ledningsförmåga i två dimensioner (10 poäng)
Läs de allmänna anvisningarna i separat kuvert, innan du påbörjar detta problem.
Inledning
I jakten på att utveckla nästa generations apparater baserade på halvledarteknologi, såsom datorchips
eller solceller, letar forskarna efter material som uppvisar extrema transportegenskaper, såsom låg ledningsförmåga. Mätning av dessa egenskaper utförs på prov av ändlig storlek och speciell geometri, med
kontakter med ändlig kontaktresistans. Dessa effekter måste tas hänsyn till för att man ska få korrekta
värden på materialegenskaperna. Dessutom kan en tunn film av ett material uppföra sig annorlunda än
samma material i bulkform.
I denna uppgift ska vi undersöka mätningen av elektriska egenskaper. Vi kommer att använda två olika
definitioner:
• Resistans 𝑅: Resistansen är en egenskap hos ett specifikt prov eller en specifik komponent. Det är
denna storhet vi verkligen mäter hos ett specifikt prov med givna dimensioner.
• Resistivitet 𝜌: Resistiviteten är den materialegenskap som bestämmer resistansen. Den beror på
själva materialet, och på externa parametrar som temperaturen, men inte på ett provs geometri.
Speciellt kommer vi att mäta den så kallade ytresistiviteten. Denna ges av den vanliga resistiviteten dividerad med tjockleken hos det mycket tunna skiktet.
Vi kommer att utforska inverkan av följande parametrar på mätningen av den elektriska resistansen hos
tunna skikt av ett material.
• hur mätkretsen är kopplad,
• mätningens geometri,
• och provets dimensioner.
Som prov kommer ett ark ledande papper och en metallbelagd kiselskiva att användas.
Q1-2
Experiment
Swedish (Sweden)
Utrustningslista
(1)
(2)
(4)
(3)
(5)
Figur 1: Ytterligare utrustning för detta experiment.
1. Grafit-täckt ledande papper
2. Kiselskiva belagd med ett tunt kromskikt (i hållare)
3. Plexiglasskiva med 8 fjäderbelastade spetsar
4. En ohmsk resistor
5. Färgade klistermärken
Försiktighetsåtgärder
• Den tillhandahållna kiselskivan går lätt sönder om man tappar eller böjer den. Undvik att röra eller
repa den blanka metallytan.
Instruktioner
• I experimentet används en signalgenerator som likspänningskälla. I detta läge ger signalgeneratorn en konstant spänning mellan kontakterna märkta VOLTAGE (5) och GND (7). Siffrorna refererar
till fotot som visas i de allmänna anvisningarna.
• Spänningen (skala: 0−5 V) kan justeras med den vänstra potentiometern, märkt adjust voltage (3)
med skruvmejseln.
• När du gör denna uppgift, måste du se till att den modul i signalgeneratorn som är till för att driva
högtalaren, är avstängd med vippströmbrytaren (8). Detta kan kontrolleras genom att mäta spänningen mellan kontakterna märkta speaker amplitude (6) och GND (7). Om högtalar-drivmodulen är
avstängd är denna spänning noll.
Experiment
Swedish (Sweden)
Q1-3
Del B. Mätningar med fyrpunktsprob (4PP) (1.1 poäng)
För att mäta resistiviteten hos ett prov med hög precision, måste de kontakter som används för spänningsmätningar och de som används för strömtillförsel hållas väl åtskilda.
Denna teknik kallas fyrpunktsprob (4PP). De fyra kontakterna är ordnade i en symmetrisk geometri som
är väldigt enkel: strömmen 𝐼 flyter in i provet genom en av de yttre kontakterna (kallad inflödet), sedan
via alla tänkbara vägar genom provet, och ut genom den andra kontakten (utflödet). Under tiden mäts
spänningen 𝑉 över en viss sträcka 𝑠 i provet.
Allting blir väldigt enkelt om vi har en symmetrisk konfiguration, dvs. samma avstånd 𝑠 mellan alla kontakter och kontakterna i mitten av provet, som visat i följande skiss:
R kontakt
Batteri +
_
s
I
V
s
s
Prov
R kontakt
Kurvan 𝐼 som funktion av 𝑉 kallas provets 𝐼 − 𝑉 karaktäristika och möjliggör bestämning av provsegmentets resistans. Du ska nu enbart använda 4PP-tekniken. Börja med att använda en rak och ekvidistant
placering av fyra av de åtta spetsarna enligt fotot.
Figure 2: Plexiglasskiva för 4PP-mätningar, med sina fyra gummifötter och åtta kontakter (eller
spetsar).
För följande mätning ska hela det ledande pappersarket användas.
Q1-4
Experiment
Swedish (Sweden)
Viktiga instruktioner för alla följande mätningar:
• Pappersarkets långsida är referenssida. De fyra spetsarna ska arrangeras parallellt med denna sida.
• Var noga med att använda skiktsidan (svart), inte den bruna baksidan av pappret! Du kan märka ut
den korrekta orienteringen med färgade klistermärken.
• Kontrollera att det inte finns några hål eller rispor i pappret.
• För dessa mätningar ska kontakterna placeras så nära provets mittpunkt som möjligt.
• Tryck tillräckligt hårt på skivan för att alla spetsar ska få god kontakt. Plastfötterna ska nätt och
jämnt nudda ytan.
A.1
Mätning med fyrpunktsprob (4PP): Mät spänningsfallet 𝑉 över ett segment av
längd 𝑠 som funktion av strömmen 𝐼 som passerar genom detta segment. Registrera totalt minst fyra värden, gör en tabell och plotta spänningsfallet 𝑉 som
funktion av strömmen 𝐼 in Graf A.1.
0.6pt
A.2
Bestäm den effektiva elektriska resistansen 𝑅 =
0.2pt
A.3
Använd Graf A.1 för att bestämma osäkerheten Δ𝑅 i värdet på resistansen 𝑅
för 4PP-mätningen.
𝑉
𝐼
som du fick från Graf A.1.
0.4pt
Experiment
Swedish (Sweden)
Q1-5
Del B. Ytresistivitet (0,3 poäng)
Resistiviten 𝜌 representerar en materialegenskap, som bestämmer resistansen hos en tredimensionell
ledare av givna dimensioner och given form kan beräknas. Här betraktar vi en stång med dimensionerna
längd 𝑙, bredd 𝑤, och tjocklek 𝑡:
t
l
I
w
ρ
Den elektriska resistansen 𝑅 hos den övre, tjocka ledaren ges av:
𝑅 = 𝑅3D = 𝜌 ⋅
𝑙
𝑤⋅𝑡
(1)
På samma vis kan vi definiera resistansen hos en tvådimensionell ledare av tjocklek 𝑡 ≪ 𝑤 och 𝑡 ≪ 𝑙
l
w
t
ρ☐
𝑅 = 𝑅2D = 𝜌□ ⋅
𝑙
,
𝑤
(2)
genom att använda ytresistiviteten 𝜌□ ≡ 𝜌/𝑡 (kallad rho-box). Denna har enheten Ohm: [𝜌□ ] = Ω.
Viktigt: Ekv. 2 gäller bara för homogen strömtäthet och konstant potential över ledarens hela tvärsnittsplan. För fallet punktformig kontakt mot ytan gäller inte detta. I stället kan man för detta fall visa att
sambandet mellan ytresistivitet och resistans lyder
𝜌□ =
𝜋
⋅𝑅
ln(2)
(3)
för 𝑙, 𝑤 ≫ 𝑡.
B.1
Beräkna papprets ytresistivitet 𝜌□ från 4PP-mätningen i del A. Vi ska kalla detta
speciella värde för 𝜌∞ (och den uppmätta resistansen från del A 𝑅∞ ) eftersom
provets dimensioner är mycket större än avståndet mellan kontakterna 𝑠: 𝑙, 𝑤 ≫
𝑠.
0.3pt
Experiment
Swedish (Sweden)
Q1-6
Del C. Mätningar för olika prov-dimensioner (3,2 poäng)
Fram till nu har vi inte tagit hänsyn till de ändliga provdimensionerna 𝑤 och 𝑙. Om provet blir mindre leder det mindre ström, om spänningen hålls konstant: om vi lägger på en spänning mellan de två
punktkontakterna (vita cirklar) kommer ström att flyta längs alla möjliga banor genom provet som inte
korsar varandra, som symboliserat av linjerna: ju längre linjer, desto mindre ström, indikerat av linjernas
tjocklek. För ett litet prov (b) och samma pålagda spänning kommer strömmen att minska för att det
finns färre möjliga strömvägar. Resistansen kommer därvid att öka:
(a)
(b)
(Yt-)resistiviteten är densamma oberoende av provets storlek. För att räkna om den uppmätta resistansen till en ytresistivitet enligt ekv. 3, behöver vi alltså införa en korrektionsfaktor 𝑓(𝑤/𝑠):
𝜌□ =
𝜋
𝑅(𝑤/𝑠)
⋅
.
ln(2) 𝑓(𝑤/𝑠)
(4)
För ett prov av längd 𝑙 ≫ 𝑠 beror faktorn 𝑓 bara på kvoten 𝑤/𝑠 och är större än 1: 𝑓(𝑤/𝑠) ≥ 1. För
enkelhets skull fokuserar vi på beroendet på bredden 𝑤 och ser bara till att provet är tillräckligt långt för
våra mätngar. Vi antar att värdet närmar sig det korrekta gränsvärdet 𝜌□ för stora dimensioner:
𝑅(𝑤/𝑠) = 𝑅∞ ⋅ 𝑓(𝑤/𝑠)
med
(5)
𝑓(𝑤/𝑠 → ∞) → 1.0.
C.1
Använd 4PP-metoden för att mäta resistansen 𝑅(𝑤, 𝑠) för fyra värden på 𝑤/𝑠 i
området 0,3 till 5,0 och notera dina resultat i Tabell C.1. Försäkra dig om att
provets längd är större än fem gånger spets-avståndet: 𝑙 > 5𝑠 och att provets
längd alltid tas längs samma (lång-)sida av pappret.
Mät för varje värde på 𝑤/𝑠 spänningen för fyra olika värden på strömmen, och
beräkna resistansens medelvärde 𝑅(𝑤/𝑠) över fyra mätningarna. För in dina
resultat i Tabell C.1.
3.0pt
C.2
Beräkna𝑓(𝑤/𝑠) för var och en av dessa mätningar.
0.2pt
Del D. Geometrisk korrektionsfaktor: skalningslag (1.9 points)
Vi har sett i del C att den uppmätta resistiviteten skalar med kvoten mellan bredden och avståndet mellan spetsarna, 𝑤/𝑠. Utgående från dina data i del C väljer vi följande funktionsansats för att beskriva
resultaten inom mätintervallet:
Funktionsansats:
𝑤 𝑏
𝑓(𝑤/𝑠) = 1.0 + 𝑎 ⋅ ( )
𝑠
(6)
Experiment
Swedish (Sweden)
Q1-7
Notera att 𝑓(𝑤/𝑠) blir 1.0 för väldigt stora värden på 𝑤/𝑠,
D.1
Anpassa en kurva med hjälp av Ekv. 6 och värdena på 𝑓(𝑤/𝑠) från del C, genom
att välja det lämpligaste grafpappret (antingen linjärt Graf D.1a, lin-log Graf
D.1b, eller log-log Graf D1.c) och plotta värdena.
1.0pt
D.2
Bestäm parametrarna 𝑎 och 𝑏 från din anpassning.
0.9pt
Q1-8
Experiment
Swedish (Sweden)
Del E. Kiselskivan och van der Pauws metod (3,4 poäng)
I halvledarindustrin är kännedom om ytresistansen för halvledare och tunna metallskikt mycket betydelsefull, eftersom denna bestämmer komponenters egenskaper. Du ska nu arbeta med en kiselskiva.
Halvledarskivan är belagd med ett mycket tunt kromskikt (blanka sidan).
Öppna kiselskivans behållare (skruva i RELEASE-pilens riktning) och ta fram skivan. Lägg den på bordet
med den blanka sidan upp. Se noga till att inte tappa eller knäcka skivan, och inte heller ta på eller repa
den blanka ytan.
E.1
Använda samma 4PP-uppställning som förut för att mäta spänningen 𝑉 som
funktion av strömstyrkan 𝐼.
Skriv ned skivans nummer på svarsbladet; du finner det på skivans plastbehållare.
0.4pt
E.2
Plotta dina mätvärden i Graf E.2 och bestäm resistansen 𝑅4PP .
0.4pt
E.3
För att kunna bestämma korrektionen för ett cirkulärt prov, approximerar vi
provets effektiva bredd 𝑤 med skivans diameter 𝐷 = 100 mm. Beräkna med
detta antagande kvoten 𝑤/𝑠. Använd funktionsansatsen i Ekv. 6 och dina parametrar 𝑎 och 𝑏 för att bestämma korrektionsfaktorn 𝑓(𝑤/𝑠) för mätningarna på
skivan.
0.2pt
E.4
Beräkna ytresistiviteten 𝜌□ hos kromskiktet med hjälp av Ekv. 4.
0.1pt
För att mäta ytresistiviteten precist utan att behöva använda geometriska korrektioner, föreslog Philipsingenjören L. J. van der Pauw en enkel mätmetod: genom att på ett prov av godtycklig form placera
de fyra spetsarna (numrerade 1 till 4) längs periferin, så som visas i figuren. Strömmen flyter genom
två närliggande spetsar, t.ex. 1 och 2, och spänningen mäts mellan spetsarna 3 och 4. Detta ger ett
resistansvärde 𝑅𝐼,𝑉 = 𝑅21,34 .
I21
+
Batteri _
1
2
Prov
3
4
V34
Av symmetriskäl gäller 𝑅21,34 = 𝑅34,21 och 𝑅14,23 = 𝑅23,14 . Van der Pauw visade att för en godtycklig, en-
Experiment
Swedish (Sweden)
Q1-9
kelt sammanhängande (inga hål), form på provet, och för spetsiga kontakter, så gäller följande ekvation:
(7)
𝑒−𝜋𝑅21,34 /𝜌□ + 𝑒−𝜋𝑅14,23 /𝜌□ ≡ 1.
Figur 3: 4PP-anordningen ovanpå den metallbelagda kiselskivan. Notera den raka avfasningen
på den cirkulära skivans högra sida.
Anslut de fyra fjädrande spetsarna så att de bildar en kvadrat. Anslut två närliggande spetsar till strömkällan via ampèremetern, och anslut de två återstående spetskontakterna till voltmetern. Orientera kvadraten så att en sida är parallell med skivans avfasning.
E.5
Skissa strömflödet mellan kontakterna från strömkällan i förhållande till skivans
avfasning. Mät spänningen 𝑉 för minst 6 olika värden på strömmen 𝐼, någorlunda jämnt utspridda. Redovisa dina värden i Tabell E.5.
0.6pt
E.6
Upprepa proceduren efter att ha vridit anordningen 90 grader. Redovisa dina
värden i Tabell E.6.
0.6pt
E.7
Plotta alla värden tillsammans i en graf, Graf E.7, med olika färger och/eller
symboler för respektive mätserie. Bestäm medelvärdet ⟨𝑅⟩ med hjälp av de två
kurvorna.
0.5pt
E.8
Lös ut 𝜌□ ur Ekv. 7, genom att ersätta alla resistanser 𝑅𝑘𝑙,𝑚𝑛 med ⟨𝑅⟩, och beräkna sedan värdet på kromskiktets ytresistivitet 𝜌□ .
0.4pt
E.9
Jämför resultaten från mätningarna gjorda med rak geometri (E.4) med dem
gjorda med van der Pauws metod (E.8). Ange den procentuella avvikelsen mellan resultaten av de två mätningarna.
0.1pt
E.10
Kromskiktet anges vara 8 nm tjockt. Använd detta värde tillsammans med det
slutliga resultatet från van der Pauws metod, för att beräkna resistiviteten hos
krom (Cr) medelst Ekv. 1 och 2.
0.1pt