Design för lärande i grundläggande taluppfattning

Malmö högskola
Lärande och samhälle
Skolutveckling och ledarskap
Examensarbete
15 högskolepoäng, avancerad nivå
Design för lärande i grundläggande
taluppfattning
Design for Learning in Foundational Number Sense
Sofia Strand
Speciallärarexamen 90 hp Matematikutveckling
Examinator: Ola Fransson
Slutseminarium 2016-05-25
Handledare: Birgitta Lansheim
Jag vill tacka studiens deltagare för varmt mottagande och för att ni så
öppet berättade om ert arbete. Jag vill också tacka min handledare
Birgitta
Lansheim
för
förslag till
inspirerande läsning och
textförbättringar. Jag vill även tacka min dotter för ständigt visat
tålamod och outtröttlig uppmuntran.
2
Sammanfattning/abstrakt
Strand, Sofia (2016). Design för lärande i grundläggande taluppfattning. Speciallärarprogrammet med
inriktning mot matematikutveckling, Skolutveckling och ledarskap, Lärande och samhälle, Malmö
högskola, 90 hp.
Förväntat kunskapsbidrag
Studien kan bidra till att belysa vilka insatser speciallärare i matematik gör för att skapa
förutsättningar för elevers lärande i grundläggande taluppfattning i grundskolans årskurs 1-3 och
därmed också bidra till ökad förståelse för vikten av effektiva designer för lärande.
Syfte och frågeställningar
Studiens syfte var att belysa vilka designer för lärande som speciallärare i matematik använder för att
möjliggöra lärande i grundläggande taluppfattning i grundskolans årskurs 1-3. Syftet var också att
åskådliggöra vad som ligger till grund för valet av design och vad som avgör att en design har verkat
tillräckligt mycket för elevers lärande. De preciserade frågeställningarna var:
Vilka designer för lärande använder studiens deltagare, bestående av speciallärare i matematik, för att
möjliggöra lärande i grundläggande taluppfattning i grundskolans årskurs 1-3?
Vad ligger till grund för dessa speciallärares val av design för lärande?
Vad avgör att en design, enligt deltagarna, har verkat tillräckligt mycket för elevers lärande?
Teori
Att ha grundläggande taluppfattning beskrivs i forskning som viktigt för elevers fortsatta
matematikutveckling (Andrews & Sayers, 2015). Att formulera och genomföra väl genomtänkta
designer för lärande kan öka elevers möjlighet att utveckla grundläggande taluppfattning. Design för
lärande betonar speciallärares ställningstaganden inför och under genomförandet av en design
(Wenger, 1998) till skillnad från att applicera en färdig undervisningsstrategi på undervisningen
(Mitchell, 2015). För att avgöra om en design verkar för lärande behöver analyser av om det lärande
som sker i skolan bidrar till matematisk litteracitet göras (Wenger, 1998).
Metod
Studien genomfördes med konstruktivistisk grounded theory som angreppssätt. I studien deltog sju
utbildade speciallärare i matematik som var verksamma i grundskolans årskurs 1-3. Data samlades in
genom halvstrukturerad intervju. Data bearbetades genom kodning för att skapa kategorier som kan
belysa en möjlig variation på det studerade fältet.
3
Resultat
Resultatet visar att studiens deltagare dels använder undervisning i samverkan, där tvålärarsystem,
handledning och samarbete ingår och dels undervisning i grupp eller enskilt. I resultatet framgår att
deltagarna förändrar undervisningsstrategier för att förbättra elevers situation och lärande vilket
innebär att de resultat forskning visat om strategins påverkan på lärande inte kan förväntas gälla
(Mitchell, 2015). Resultatet visar också att egna perspektiv på till exempel taluppfattning, lärande,
kunskap och erfarenhet speglar hur designen genomförs och vad den innehåller. I designerna betonar
deltagarna bland annat elevers trygghet och självförtroende, varierad undervisning kring ett
matematiskt begrepp och undervisning som innehåller olika representationsnivåer och samband mellan
dessa. Resultatet visar dessutom att speciallärarna i denna studie vill rikta fokus mot matematisk
litteracitet, utveckling av undervisning och minskat fokus på elevers kompetens samt att arbeta
förebyggande genom tidiga insatser.
Implikationer
Tidiga insatser är särskilt viktigt i speciallärare i matematiks arbete med förebyggande åtgärder för att
hindra att lärande som leder till att elever misstror sin egen förmåga att lära och använda matematik
sker. Den här studien visar att deltagare funnit stöd för att tidiga insatser ger resultat som inte bara är
tydliga i matematisk kompetens utan även i självförtroende och tilltro till att använda matematik.
Tidiga insatser i förskoleklass föreslås, liksom samarbete med förskolor.
Att utveckla ramverk som informerar och stödjer lärare i vilket innehåll som är nödvändigt i
undervisningen i olika matematiska områden kan vara en viktig del i speciallärares arbete. Dessa
ramverk kan användas som utvärderingsverktyg av undervisningen och även ligga till grund för
planering av serier av lektioner som fungerar väl för elevers lärande. En del av det arbetet kan riktas
mot hur vi uppmärksammar och främjar elevers användning av matematik på sin fritid och använda
det som information om vad undervisning kan innehålla och vilka kontexter som är motiverande att
undersöka matematik i. Även ramverk för utvärdering av speciallärare i matematiks insatser behövs.
En sådan ram kan till exempel vara att använda de motsatsförhållanden som Wenger (1998)
formulerat, vilka synliggör om vi rör oss mot att träna kompetens eller mot att skapa förutsättningar
för elever att engagera sig i sitt eget lärande i ett område som sträcker sig utöver skolans verksamhet.
Samarbete mellan speciallärare i matematik för att generera beprövad erfarenhet om effektiva
designer för lärande i grundläggande taluppfattning är behövligt på grund av att det ännu inte finns
forskning om vilka designer som är tillräckligt effektiva för elevers möjlighet att utveckla
grundläggande taluppfattning. Därför kan delaktighet i nätverk för kollegialt lärande för speciallärare i
matematik vara avgörande för utveckling av insatser i den egna verksamheten.
Nyckelord:
design för lärande, matematisk litteracitet, taluppfattning
4
Innehållsförteckning
INLEDNING .......................................................................................................................................................... 7
SYFTE ................................................................................................................................................................. 9
PRECISERADE FRÅGESTÄLLNINGAR............................................................................................................................... 9
DEFINITION AV CENTRALA BEGREPP ............................................................................................................................. 9
TIDIGARE FORSKNING OCH TEORETISK FÖRANKRING .................................................................................................... 11
GRUNDLÄGGANDE TALUPPFATTNING ......................................................................................................................... 11
DESIGN FÖR LÄRANDE ............................................................................................................................................ 13
Viktiga ställningstaganden när en design formuleras ................................................................................. 13
Undervisningsstrategiers bakomliggande idéer .......................................................................................... 15
Övergripande kritik mot designer för lärande ............................................................................................. 18
Bedömning av om en design verkar för lärande .......................................................................................... 18
SAMMANFATTNING ............................................................................................................................................... 19
METOD ............................................................................................................................................................ 21
KONSTRUKTIVISTISK GROUNDED THEORY .................................................................................................................... 21
Datainsamling genom halvstrukturerad intervju ........................................................................................ 21
Urvalsgrupp ................................................................................................................................................. 22
GENOMFÖRANDE .................................................................................................................................................. 23
Intervjuteknik ............................................................................................................................................... 24
ANALYS OCH BEARBETNING ..................................................................................................................................... 24
Transkribering .............................................................................................................................................. 25
Kodning ........................................................................................................................................................ 25
TEORETISK RIMLIGHET, VALIDITET OCH RELIABILITET...................................................................................................... 26
ETIK .................................................................................................................................................................... 27
SAMMANFATTNING ............................................................................................................................................... 28
RESULTAT OCH ANALYS ......................................................................................................................................... 29
DESIGN FÖR LÄRANDE I GRUNDLÄGGANDE TALUPPFATTNING .......................................................................................... 29
Undervisning i samverkan ........................................................................................................................... 30
5
Undervisning i liten grupp eller individuellt ................................................................................................. 33
DELANALYS .......................................................................................................................................................... 35
EGNA PERSPEKTIV SOM PÅVERKAR DELTAGARNAS VAL AV DESIGN .................................................................................... 38
Perspektiv på grundläggande taluppfattning .............................................................................................. 39
Perspektiv på lärande i grundläggande taluppfattning ............................................................................... 40
Perspektiv på kunskap i matematik ............................................................................................................. 43
Andra perspektiv som är betydelsefulla vid val av design ........................................................................... 44
Taluppfattning påverkar inte val av design för lärande .............................................................................. 46
Faktorer som inte ingår i denna studie ........................................................................................................ 46
DELANALYS .......................................................................................................................................................... 46
BEDÖMNING AV OM DESIGNER GÖR TILLRÄCKLIG SKILLNAD FÖR ELEVERS LÄRANDE ............................................................. 48
Insatsers avslut ............................................................................................................................................ 50
DELANALYS .......................................................................................................................................................... 50
SAMMANFATTNING ............................................................................................................................................... 51
DISKUSSION ....................................................................................................................................................... 53
RESULTATDISKUSSION ............................................................................................................................................ 53
SPECIALPEDAGOGISKA IMPLIKATIONER ....................................................................................................................... 56
METODDISKUSSION ............................................................................................................................................... 57
FÖRSLAG PÅ FORTSATT FORSKNING ........................................................................................................................... 58
REFERENSER ...................................................................................................................................................... 61
BILAGA 1 .......................................................................................................................................................... 65
BILAGA 2 .......................................................................................................................................................... 66
BILAGA 3 .......................................................................................................................................................... 69
BILAGA 4 .......................................................................................................................................................... 71
BILAGA 5 .......................................................................................................................................................... 75
BILAGA 6 .......................................................................................................................................................... 76
BILAGA 7 .......................................................................................................................................................... 77
BILAGA 8 .......................................................................................................................................................... 79
BILAGA 9 .......................................................................................................................................................... 80
6
Inledning
Grundläggande taluppfattning beskrivs som väsentlig för elevers fortsatta utveckling i
matematik i texter om matematikundervisning i grundskolans första årskurser. Men
definitionen av taluppfattning är enligt Andrews och Sayers (2015) vag vilket hindrar lärare
att ge undervisningen det innehåll som krävs. Samtidigt vet vi att den undervisning elever
erbjuds är avgörande för deras utveckling av taluppfattning (Lunde, 2011). När elever visar
resultat i taluppfattning som innebär rätt till insatser i undervisningen ska insatser skyndsamt
sättas in enligt skollagens tredje kapitel (bilaga 1). Men i regeringens kommittédirektiv
(2015:65) gällande att eventuellt införa en läsa-skriva-räkna garanti konstateras att resurser
sätts in för sent. Skolverkets (2011a) sammanställning om extra anpassningar i
undervisningen och särskilt stöd belyser dessutom att specialpedagogiska insatser inte är
tillräckligt effektiva och att insatserna hindrar elever från att delta regelbundet i undervisning
som ger förberedelse för omdömesgrundande uppgifter. Det finns enligt Sterner (2015)
forskningsstöd för att tidiga insatser är avgörande för att förebygga senare bekymmer i
matematik och att det är rimligt att insatser sätts in redan i förskoleklassen. Men det finns få
riktlinjer om insatsers utformning och forskning om olika insatser visar varierande resultat.
Skolverkets (2014a; 2014b) allmänna råd om extra anpassningar i undervisningen och särskilt
stöd ger ramar för och exempel på vad extra anpassningar i undervisningen innebär liksom
utrymme för tolkningar i den vardagliga verksamheten. I detta utrymme ges speciallärares
perspektiv på vad kunskap är och hur lärande sker betydelse eftersom det påverkar vilka
ställningstaganden som görs inför och under genomförandet av en insats (Wenger, 1998). Att
utforma insatser är att skapa bättre förutsättningar för lärande vilket enligt Wenger (1998) är
att designa för lärande. Att designa för lärande är ett väsentligt men relativt outforskat område
(Wenger, 1998) och mycket aktuellt inom grundläggande taluppfattning (Mononen & Aunio,
2014; Liu-Trofimovsky, 2014). Därför är det intressant att undersöka vilka designer för
lärande i grundläggande taluppfattning speciallärare i matematik i grundskolans årskurs 1-3
använder eftersom det belyser det utrymme där styrdokument, teori, forskning och egna
perspektiv möts i den vardagliga verksamheten och framträder i form av tidiga insatser. Att
synliggöra ramverk designer grundas på bidrar till möjligheten att utvärdera och utveckla dem
(Wenger, 1998) och bidrar därigenom till att förebyggande arbete genom tidiga insatser i
undervisningen av speciallärare i matematik gör tillräcklig skillnad för elevers lärande.
7
8
Syfte
Syftet är att belysa vilka designer för lärande som speciallärare i matematik använder för att
möjliggöra lärande i grundläggande taluppfattning i grundskolans årskurs 1-3. Syftet är också
att åskådliggöra vad som ligger till grund för valet av design och vad som avgör att en design
har verkat tillräckligt mycket för elevers lärande.
Preciserade frågeställningar
 Vilka designer för lärande använder studiens deltagare, bestående av speciallärare i
matematik, för att möjliggöra lärande i grundläggande taluppfattning i grundskolans åk 1-3?
 Vad ligger till grund för dessa speciallärares val av design för lärande?
 Vad avgör att en design, enligt deltagarna, har verkat tillräckligt mycket för elevers lärande?
Definition av centrala begrepp
Design för lärande. Design för lärande är systematisk, planerad och reflekterad kontroll av tid
och rum för att möjliggöra lärande (Wenger, 1998). En design kräver aktiva
ställningstaganden inför och under genomförandet samt medverkan i genomförandet genom
insatser i undervisningen. För utförligare beskrivning se teoriavsnitt på sidan 13.
Grundläggande taluppfattning. Grundläggande taluppfattning innefattar enligt Andrews och
Sayers (2015) att känna igen siffersymboler och benämna dem, räkna systematiskt, vara
medveten om relationen mellan siffra och antal, jämföra antal, förstå olika representationer av
antal, uppskatta antal och objekt, utföra enkel addition och subtraktion samt kunna identifiera
talmönster (bilaga 2). Undervisningens innehåll i taluppfattning och tals användning i
grundskolans årskurs 1-3 beskrivs genom förmågor och kunskapskrav i Skolverkets (2011b)
kursplan i matematik (bilaga 3) och i Skolverkets (2014c) bedömningsmaterial (bilaga 4).
Matematisk litteracitet. Matematisk litteracitet är en elevs kapacitet att formulera, använda
och tolka matematik i olika kontexter i och utanför skolan. Genom att använda matematik i
och utanför skolans miljö har eleven möjlighet att förstå matematikens betydelse och göra
välgrundade bedömningar och beslut som samhällsmedborgare (OECD, 2013).
9
10
Tidigare forskning och teoretisk förankring
Nedan beskrivs forskning och teori om grundläggande taluppfattning och design för lärande,
vilka ställningstaganden speciallärare enligt Wenger (1998) behöver göra vid planering och
genomförande av en design samt perspektiv på hur vi kan avgöra om en design verkar
tillräckligt mycket för lärande.
Grundläggande taluppfattning
Aktuell forskning (bilaga 5) om elevers matematikutveckling under de första åren i formell
undervisning riktas ofta mot det matematiska området taluppfattning på grund av att graden
av framgång inom taluppfattning kan förutsäga graden av framgång under senare skolår
(Pedrotty Bryant, Bryant, Roberts, Vaughn, Hughes Pfannenstiel, Porterfield & Gersten,
2011; Holmes & Dowker, 2013; Praet & Desoete, 2014; Mononen & Aunio, 2014; Toll &
Van Luit, 2014; Liu-Trofimovsky, 2014; Dyson, Jordan, Beliakoff & Hassinger-Das, 2015;
Aunio & Räsänen, 2015). I synnerhet gäller det symbolisk och icke-symbolisk taluppfattning,
förståelse för matematiska samband, systematisk räkning och grundläggande aritmetik (Aunio
& Räsänen, 2015). Taluppfattning anses även vara en förutsättning för att hantera andra
matematiska områden (Karlsson & Kilborn, 2015). Men det är möjligt att taluppfattnings
position som bestämmande för elevers framtida utveckling i matematik inte stämmer på grund
av att till exempel mätning, statistik och geometri inte har varit i fokus för studier som
undersöker vad som kan förutsäga elevers kommande framgång i matematik (Aunio &
Räsänen, 2015). Enligt Andrews och Sayers (2015) är forskning om elevers grundläggande
taluppfattning för inriktad på elevers kompetens istället för på den undervisning elever möter.
Även Lunde (2011) ifrågasätter varför vi kartlägger elever och inte undervisning trots att vi
vet att den undervisning elever erbjuds kan vara avgörande för elevers utveckling av
taluppfattning. Andrews och Sayers (2015) anser att grundläggande taluppfattning är vagt
definierat och att det utgör ett hinder för lärare att ge elever tillgång till den undervisning som
krävs för att ge möjlighet att utveckla grundläggande taluppfattning. Den uteblivna
definitionen och forskningens inriktning mot elevers kompetens kan tolkas som att elever ses
som orsak till och ansvariga för bekymmer som uppstår vid mötet mellan undervisning och
elever (Bourdieu & Passeron, 2008). För att skapa möjligheter för elever att utveckla
taluppfattning i skolan har Andrews och Sayers (2015) formulerat en definition av
11
grundläggande taluppfattning som är tänkt att kunna användas i olika kulturella kontexter och
fungera som ett ramverk vid analyser av vilka möjligheter elever ges att utveckla
grundläggande taluppfattning i undervisningen. Ramverket är också tänkt att fungera som
stöd för lärare och speciallärare i att forma undervisning och bedömning under elevers första
år i formell undervisning. Ramverket består av åtta kategorier där varje kategoris innehåll
samt betydelse för elevers framtida matematikutveckling beskrivs. Enligt Andrews och Sayers
(2015) innefattar grundläggande taluppfattning att känna igen siffersymboler och benämna
dem, räkna systematiskt, vara medveten om relationen mellan siffra och antal, jämföra antal,
förstå olika representationer av antal, uppskatta antal och objekt, utföra enkel addition och
subtraktion samt kunna identifiera talmönster. De åtta kategorierna har var och en för sig visat
sig kunna förutsäga elevers framgång i senare skolår (Andrews & Sayers, 2015) men det är
ovanligt att en elev hamnar i bekymmer med samtliga kategorier (Homes & Dowker, 2013).
Därför går det inte att anta att en elev är i generella bekymmer i grundläggande taluppfattning
för att bekymmer är synliga inom en kategori. Även om kategorierna är åtskilda finns
samband mellan dem. Dessa samband är viktiga att uppmärksamma i undervisningen för att
erbjuda elever möjlighet att utveckla djup förståelse för tal (Andrews & Sayers, 2015).
Dessutom är det viktigt att arbeta med olika nivåer av matematikens representationsformer,
från konkret material till bilder och symboler, liksom med sambanden mellan dessa (Sterner,
2015). Ett effektivt sätt att arbeta med dessa samband i undervisningen kan vara att erbjuda
undersökande aktiviteter i par eller grupp, där elevers matematiska resonemang om
representationer och samband tillsammans med lärare möjliggör fördjupad grundläggande
taluppfattning (Sterner, 2015). Även om det tidigare kan ha funnits en föreställning om att
språk är mindre viktigt när det gäller taluppfattning har det visat sig att yngre elever lär de
flesta grundläggande matematiska begreppen genom samtal varför tillfällen till matematiska
samtal är en förutsättning för elevers utveckling av grundläggande taluppfattning (Dyson m.
fl. 2015). Detta är en viktig aspekt i synnerhet då det gäller elever som håller på att lära sig
svenska. Enligt Mononen och Aunio (2014) och Liu-Trofimovsky (2014) är design för
lärande inom taluppfattning ett efterfrågat men relativt outforskat område. Speciallärare och
lärare har upplevt att de designer forskare föreslagit är svåra att genomföra i den ordinarie
undervisningen (Ryan Spirakus, 2014) och omvänt har forskare upplevt att det är svårt att
genomföra forskning med tillförlitliga resultat i den vardagliga verksamheten (Mononen &
Aunio, 2014). Trots det är det angeläget att designer för lärande i grundläggande
taluppfattning fortsätter att utvecklas eftersom de insatser i undervisningen som genomförs
inte gör tillräcklig skillnad för eleverna (Lunde, 2011; Enoksson, 2014; Mitchell, 2015).
12
Design för lärande
Design för lärande definieras av Wenger (1998) som systematisk, planerad och reflekterad
kontroll av tid och rum för att möjliggöra lärande. Definitionen överensstämmer med
Selanders och Kress (2010) definition av design, men Selander och Kress (2010) skiljer
mellan design för lärande och design i lärande. Design i lärande inriktas mot elevens lärande
medan design för lärande omfattar lärarens planering av lektionsstruktur, resursfördelning och
utvärdering och även organisationen av lärande genom läromedel och annan utrustning som
kan
underlätta
lärande
(Selander
&
Kress,
2010).
I
en
sammanställning
av
undervisningsstrategier av Mitchell (2015) framgår att det kan vara svårt att avgränsa design
för och i lärande gentemot begreppet undervisningsstrategi. Men medan en undervisningsstrategi är en färdig modell som kan appliceras på undervisning (Mitchell, 2015) kräver en
design enligt Wenger (1998) aktiva ställningstaganden inför och under genomförandet. I
denna studie innefattar design för lärande både design i och design för lärande med betoning
på speciallärare i matematiks beslut före och under genomförande av designer som verkar för
lärande samt aktiva medverkan i genomförandet genom insatser i undervisningen. Enligt
Wenger (1998) kan lärande tas för givet. Att inte lära sig det förväntade är att lära sig något
annat istället. Det innebär att lärande sker ständigt och därför inte kan ses som en aktivitet
som börjar och slutar eller som avslutas när vi gör något annat. En central aspekt i lärande är
att vi är sociala varelser och lärande definieras av att det förändrar vem vi är och ger oss
möjlighet att delta i för oss meningsfulla sociala sammanhang (Wenger, 1998; Selander &
Kress, 2010). En design för lärande måste därför alltid i första hand beröra identitet och bara i
andra hand kompetens (Wenger, 1998). Vilket fokus speciallärare har blir synligt i de
ställningstaganden vi gör inför en designs genomförande och i de beslut vi tar under
genomförandets gång. Att vara fokuserad på undervisning kan medföra att undervisningen
genomförs trots att den inte når elever (Wenger, 1998; Bourdieu & Passeron, 2008) medan ett
fokus på lärande gör speciallärare uppmärksamma på att förändringar är nödvändiga när det
blir tydligt att undervisningen inte gör skillnad för elevers lärande inom avsett område.
Viktiga ställningstaganden när en design formuleras
Vid en design för lärande krävs ställningstaganden inom fyra motsatsförhållanden (Wenger,
1998). Ställningstagandena ger förförståelse för hur de två motpolerna i varje motsatsförhållande kan balanseras och vilka kompromisser som kan behövas göras under
genomförandet. Wengers (1998) beteckning på motsatsförhållandena visas inom parantes.
13
Det första motsatsförhållandet berör i hur hög grad undervisningen ska erbjuda aktivitet och
samarbete till skillnad från arbete i matematikboken eller med textuppgifter (participation/
reification). Enligt Wenger (1998) är alla relationer resurser för lärande och möjligheter till
samarbete grundläggande i undervisning. Matematikboken eller andra uppgifter som
dokumenterar användning av matematik kan vara positivt för lärande eftersom det underlättar
kommunikation mellan elever och lärare och synliggör elevers insatser, men utgör ett hinder
om det kräver ytterligare ansträngning för att göra arbetet med boken eller dokumentationen
begripligt för eleven.
Det andra motsatsförhållandet berör att balansera hur mycket av den planerade
undervisningen som ska genomföras och hur mycket vi ska ta tillvara på det som framträder i
undervisningen (designed/emergent). Eftersom det inte är möjligt att kontrollera vilka effekter
undervisningen har i förväg är det viktigt att vara förberedd på hur vi vill bemöta elevers
förhandling om undervisningssituationen (Wenger, 1998). I detta ligger enligt Wenger (1998)
att förhålla sig till att undervisning inte orsakar lärande utan är en resurs för lärande.
Det tredje motsatsförhållandet innebär att förhålla sig till träning för en specifik sak och
utbildning för förändring av identitet (local/global). I det ligger att förhålla sig till att skolans
undervisning ibland blir så självständig att den upphör att rikta sig mot något annat än sig
självt vilket medför att lärande blir lärande för skolan istället för något utöver det (Wenger,
1998). Det innebär att elevers erfarenheter av matematik i skolan måste kopplas ihop med
elevers erfarenheter utanför skolan.
Det
fjärde
motsatsförhållandet
berör
identitet
och
förhandling
(identification/
negotiability). Det innebär elevers möjlighet att förhandla om vad som är meningsfullt inom
designen för lärande. Designen kontrollerar och bestämmer vad som betyder något och vad
som betraktas som framgång och misslyckande (Wenger, 1998) och därför är det relevant att
tydliggöra vad som erkänns som och inte erkänns som lärande (Selander och Kress, 2010).
Genom fördjupade förhandlingar i vardagliga situationer skapas förutsättningar för elever att
skapa identiteter som engagerar sig i sitt eget lärande, vilket är en förutsättning för att det de
lär i skolan blir en del av dem. Enligt Wenger (1998) är det identiteten som bär med kunskap
till olika situationer och sammanhang.
14
Undervisningsstrategiers bakomliggande idéer
Undervisningsstrategier har olika underliggande idéer och riktningar (Mitchell, 2015).
Konstruktivism betonar lärande i sociala sammanhang och många idéer grundas i Vygotskys
(i Mitchell, 2015) tankar om proximala utvecklingszonen och stöttning. I detta perspektiv ses
relationer och verksamheter vi är engagerade i inom och utanför skolan som resurser för
lärande
(Wenger,
sammanhang
som
1998).
till
Konstruktivistiska
exempel
undervisningsstrategier
kamrathandledning,
betonar
samarbetsinriktat
sociala
lärande
och
undervisning i samverkan (Mitchell, 2015). Kamrathandledning grundas på Wengers (1998)
teori om lärande i sociala praktiker. Kamrathandledning sker ofta i par där en elev har rollen
som handledare och skapar en lärande situation för sin kamrat under lärarens uppsikt.
Strategin har visat sig ge goda resultat i synnerhet då det gäller repetition och social
interaktion, men kräver att elever får öva på hur och vad som ska återkopplas (Mitchell,
2015). Liu-Trofimovsky (2014) efterlyser forskning om i synnerhet kamrathandledning i
relation till taluppfattning på grund av att strategin gett goda resultat i andra områden, men
även mer forskning om samarbetsinriktat lärande. Samarbetsinriktat lärande bygger på
antagandet om att elever når ett högre resultat tillsammans än enskilt och att vi lär av varandra
(Vega & Hederich, 2015; Mitchell, 2015). I en studie av Vega och Hederich (2015) visade det
sig att strategin i synnerhet ger goda resultat i matematik vilket förklaras med att elever
genom samarbete ges möjlighet att arbeta inom den proximala utvecklingszonen. Att använda
strategier för samarbete kan vara ett sätt att uppmärksamma att samarbete är en resurs för
lärande men att det inte ska förväxlas med att lärande sker bara för att det finns möjlighet till
samarbete (Enoksson, 2014). Undervisning i samverkan är en strategi som bland annat riktas
mot speciallärares och lärares samarbete (Mitchell, 2015). Strategin motverkar isolering
mellan lärarprofessioner och erbjuder möjligheter till kollegialt samarbete och lärande. I
strategin ingår till exempel tvålärarsystem där lärare och speciallärare samarbetar i
klassrummet för att möta alla elever. Det betyder inte enligt Mitchell (2015) att specialläraren
har särskilt ansvar för undervisning som hamnar i bekymmer med att möta elever utan innebär
ett jämlikt ansvar för undervisningen mellan lärare och speciallärare. Tvålärarsystem kräver
planering och samarbete utanför undervisningen för att skapa enighet om lektionens mål och
struktur samt hur undervisningen ska utvecklas för att i högre utsträckning möta alla elever.
Undervisning i samverkan kan också innehålla handledning där speciallärarens roll är att
vägleda matematiklärare i undervisningsstrategier som är gynnsamma för elever som
undervisningen inte nått fram till och tillhandahålla undervisningsmaterial eller annat som
stärker läraren i att utveckla undervisningen (Mitchell, 2015). Handledning kan ge bra resultat
15
i synnerhet om handledningen riktas mot att förändra problemperspektiv till lösningsinriktade
perspektiv (Bergman och Blomqvist, 2012; Timperley, 2014; Mitchell, 2015). Men det finns
forskning som visar att handledning inte ger långsiktiga resultat, framför allt om handledaren
uppfattas som rådgivande och distanserad från vardagsnära undervisningssituationer
(Timperley, 2014). Det finns lite forskning om undervisning i samverkan vilket Mitchell
(2015) efterlyser. I synnerhet finns frågetecken när det gäller om samarbetsformen gör positiv
skillnad för elevers lärande, om speciallärare och lärare faktiskt samarbetar utanför
klassrummet för att förbättra undervisningen genom kollegialt lärande samt om
tvålärarsystemet används som ett jämlikt samarbete eller om en undervisar och en hjälper till
(Mitchell, 2015).
En annan riktning är kognitiva strategier som exempelvis att undervisa om olika sätt att
tänka och att ta kontroll över sitt eget lärande. Enligt Mitchell (2015) betonas vikten av att
elever bildar egna uppfattningar och skapar sitt eget lärande. Inom konstruktivistiska och
kognitiva inriktningar får neurovetenskap allt högre betydelse. Metakognitiva strategier som
att tänka framåt, tänka under arbetets gång och tänka tillbaka när arbetet är slutfört har visat
sig vara framgångsrikt för många elever. Men enligt Mitchell (2015) finns forskning i
matematik som tyder på att flertalet elever inte använder metakognitiva strategier i olika
matematiska sammanhang om undervisningen ges i ett allmänt sammanhang. Därför är det
nödvändigt att undervisa om strategin i olika matematiska områden. Undervisningsstrategier
som riktas mot att elever sätter mål, medverkar i att påverka undervisningsinnehåll för att nå
mål och värderar sin kunskapsutveckling har också visat sig ha positiva effekter för elevers
lärande.
En ytterligare riktning är behavioristiskt grundade undervisningsstrategier som
strukturerad undervisning, repetition och övning samt formativ bedömning (Mitchell, 2015).
Inom behaviorismen betonas undervisning och lärarens roll i att överföra kunskaper. Wenger
(1998) intar ett motsatt förhållande till undervisning och betonar att undervisning inte är en
orsak till lärande utan en resurs för lärande. Strukturerad undervisning innebär att följa ett
program med tidsbestämda uppgifter (Mitchell, 2015). Studier pekar på att strukturerad
undervisning i liten grupp eller enskilt verkar för elevers möjlighet att utveckla grundläggande
taluppfattning (Pedrotty Bryant m. fl. 2011; Holmes & Dowker, 2013; Toll & Van Luit, 2014;
Dyson m. fl. 2015; Somerville, Ayre, Tunbridge, Cole, Stollery & Sanders, 2015) men det
finns också studier som visar motsägande resultat (Mononen & Aunio, 2014). I strukturerad
undervisning har proceduren enligt Wenger (1998) en tendens att bli viktigare än elevers
16
lärande vilket i sin tur skapar en situation där elevers lärande och beteende uppfattas som
problematiskt. Det synliggörs i Pedrotty Bryants m. fl. (2011) studie där exempel på hantering
av elevers beteende genom positiv förstärkning ges. Att undervisningen inte förändras för att
bättre möta elever beror på att ett program anses behöva följas för att nå de resultat tidigare
forskning visat att programmet kan ge (Mononen & Aunio, 2014 Toll & Van Luit, 2014;
Somerville m. fl. 2015; Mitchell, 2015). Men enligt Liu-Trofimovsky (2014) är speciallärare
öppna
för
att
använda
professionellt
omdöme
i
att
förändra
strukturerade
undervisningsprogram om det förbättrar elevens situation och möjlighet att lära inom
taluppfattning. Strukturerad undervisning kompenserar för att det är svårt för speciallärare att
tolka och överföra vetenskapliga resultat om insatser i undervisningen till den vardagliga
verksamheten och kan tillgodose elevers rätt till att insatser genomförs utan fördröjning (Ryan
Spirakus, 2014; Mononen & Aunio, 2014). Strukturerad undervisning kan också bidra till att
grundläggande taluppfattning får den status strukturerad undervisning gett läsutveckling (LiuTrofimovsky, 2014). Eftersom strukturerad undervisning kan innebära att elever behöver
lämna ordinarie undervisning är det viktigt att överväga vilken betydelse den har för elevers
framsteg (Holmes & Dowker, 2013; Somerville m. fl. 2015). Enligt Liu-Trofimovsky (2014)
och Ryan Spirakus (2014) föredrar speciallärare insatser som genomförs inom den ordinarie
undervisningen. Anledningen anses beröra frågor om delaktighet (Ryan Spirakus, 2014) och
betydelsen för elever att få tillgång till undervisning som ger förberedelse för
omdömesgrundande uppgifter (Ryan Spirakus, 2014; Liu-Trofimovsky, 2014).
Det förekommer även skolomfattande strategier och samverkan mellan myndigheter
liksom strategier vars underliggande riktning inte lika tydligt kan bestämmas så som
användning av alternativa och teknologiska lärverktyg. Enligt Praet och Desoete (2014) kan
träning genom dataprogram påverka elevers resultat i grundläggande taluppfattning positivt.
De ser dataprogram som en resurs för lärande som kan användas tillsammans med kamrater i
klassrummet och därmed verka för delaktighet och socialt samspel. Enligt Liu-Trofimovsky
(2014) är forskning om teknologiska lärverktyg särskilt intressant inom grundläggande
taluppfattning eftersom användningen ännu inte är särskilt utbredd bland speciallärare men
forskningsresultaten positiva.
17
Övergripande kritik mot designer för lärande
Bakomliggande perspektiv kan informera om var en undervisningsstrategi kommer från men
inte något om hur den genomförs efter ställningstaganden före och i en design för lärande. Det
är viktigt att vara öppen för att använda den strategi som är mest fördelaktig för en specifik
elev vid en bestämd tidpunkt i en viss situation utifrån de förutsättningar som finns, vilket
innebär att inta ett pluralistiskt förhållningssätt där inte ett perspektiv kan sägas med säkerhet
vara överlägset ett annat (Wenger, 1998; Mitchell, 2015). Däremot är det grundläggande att
vara kritisk till perspektiv och strategier som tillåter att elever stängs ute och att lärare inte har
samma förväntningar på alla elever (Bourdieu och Passeron, 2008). Forskning har hittills inte
visat att elever som har rätt till insatser i undervisningen kräver en annan design för lärande än
vad andra elever gör vilket innebär att bra designer för lärande är bra för alla elever (Lunde,
2011; Mitchell, 2015). Inom taluppfattning är design för lärande för elever som har rätt till
insatser i undervisningen ett relevant men outforskat område (Mononen och Aunio, 2014;
Liu-Trofimovsky, 2014). Genom att formulera en design för lärande skapas ett ramverk att
ställa designen mot för att utvärdera om den verkar för lärande. Det innebär att vara mottaglig
för att designen lika gärna kan hindra lärande (Wenger, 1998) och att en utebliven förändring
av den kan leda till att elevers möjlighet till lärande fortsätter vara problematiskt även i
framtiden (Lunde, 2011; Bourdieu & Passeron, 2008).
Bedömning av om en design verkar för lärande
Det finns framför allt två perspektiv på vad som avgör om en design gör skillnad för elevers
lärande. Det ena perspektivet innebär att analysera elevens möjlighet att ta med sig och
använda kunskap i omvärlden (Foucault, 1980; Wenger, 1998; Bourdieu & Passeron, 2008)
och om eleven upplever att det deltagande kunskapen bidrar till är meningsfullt (Wenger,
1998). Perspektivet grundas på antagandet att utbildning i första hand berör elevers utveckling
av identitet och inom matematik berör det matematisk litteracitet. Matematisk litteracitet är en
elevs kapacitet att formulera, använda och tolka matematik i olika kontexter i och utanför
skolan (OECD, 2013). Genom att använda matematik i och utanför skolans miljö har eleven
möjlighet att förstå matematikens betydelse och göra välgrundade bedömningar och beslut
som samhällsmedborgare. Wenger (1998) beskriver inte hur en sådan analys kan göras. Ett
sätt kan kanske vara att använda kontinuerlig utvärdering där elever involveras i att utvärdera
sina insikter i och användning av matematik i vardagen (Skott, Hansen, Jess & Schou, 2010).
Kontinuerlig utvärdering av elevers lärande genom uppföljning och återkoppling har visat sig
18
vara ett effektivt sätt att använda bedömning som information om undervisningens effektivitet
samtidigt som det ger elever möjlighet att involveras i, följa och utvärdera sitt eget lärande
(Jönsson, 2013; Björklund Boistrup, 2013; Mitchell, 2015). Elevers medverkan kan till
exempel innebära att elever konstruerar uppgifter för andra elever. Det kan också innebära
elevböcker där elever noterar begrepp och matematiska regler och händelser i vardagen där
dessa förverkligas vilket blir en förteckning över elevens matematiska utveckling. Det andra
perspektivet mäter en designs effektivitet genom enkla tester (Wenger, 1998). Perspektivet
grundas på antagandet att utbildning berör träning av skicklighet (Wenger, 1998). Enkla test
av elevers utveckling av talfakta och nationella prov har en begränsad möjlighet att beskriva
om en design verkar för elevers lärande eftersom de endast belyser en liten del av vad
utbildning ska omfatta (Jönsson, 2013). Utvärdering av undervisning utifrån tester och
nationella prov kan vara riskfyllt eftersom det kan uppfattas som viktigare att undervisningen
riktas mot bra testresultat än mot elevers lärande (Lange & Meaney, 2014). Det finns också
studier som visar att tester som mäter grundläggande taluppfattning behöver uppdateras
eftersom de inte mäter det som aktuell forskning visar att taluppfattning innefattar och därför
ger missvisande resultat (Aunio & Räsänen, 2015). Men tester kan ha en positiv funktion om
de informerar lärare och speciallärare så att vi tydligare kan utveckla undervisningen mot att
möta alla elever (Jönsson, 2013).
Sammanfattning
Att ha grundläggande taluppfattning beskrivs i forskning som viktigt för elevers fortsatta
matematikutveckling (se till exempel Mononen & Aunio, 2014; Andrews & Sayers, 2015).
Att formulera och genomföra väl genomtänkta designer för lärande kan öka elevers möjlighet
att utveckla grundläggande taluppfattning. Design för lärande betonar speciallärares
ställningstaganden inför och under genomförandet av en design (Wenger, 1998), till skillnad
från att applicera en färdig undervisningsstrategi på undervisningen (Mitchell, 2015). För att
avgöra om en design verkar för lärande anser Wenger (1998) att analyser av om det lärande
som sker i skolan bidrar till matematisk litteracitet ska göras i första hand och av elevers
utveckling av faktakunskaper genom enkla test bara i andra hand.
19
20
Metod
Syftet är att belysa vilka designer för lärande som speciallärare i matematik använder för att
möjliggöra lärande i grundläggande taluppfattning i grundskolans årskurs 1-3. Syftet är också
att åskådliggöra vad som ligger till grund för valet av design och vad som avgör att en design
har verkat tillräckligt mycket för elevers lärande. Nedan beskrivs angreppssätt samt insamling
och bearbetning av data.
Konstruktivistisk grounded theory
Konstruktivistisk grounded theory innebär systematiska och samtidigt flexibla riktlinjer för att
samla in och analysera kvalitativa data (Charmaz, 2014). I konstruktivistisk grounded theory
samlas data in för att skapa en teori, istället för att göra anspråk på att representera en
population. Enligt Charmaz (2014) är angreppssättet användbart för att belysa variationer
inom ett område och för att skapa förståelse för ett fenomen utan att redan existerande teorier
styr eller skapar förantaganden. Att använda konstruktivistisk grounded theory innebär
förenklat att följa nio riktlinjer för att skapa en teori. Men enligt Charmaz (2014) går det att
använda konstruktivistisk grounded theory som angreppssätt även om syftet inte är att skapa
en teori. Då används de första fem riktlinjerna vilka enligt Charmaz (2014) är de viktigaste.
Dessa riktlinjer innebär att insamling av data och analys sker i samverkan, att analys riktas till
handlingar och processer snarare än teman och strukturer, att jämförande metoder används, att
data används för att utveckla nya begreppsliga kategorier samt att genom systematisk analys
av data utveckla abstrakta analytiska kategorier. Denna studie gör inte anspråk på att
presentera en teori, men att presentera abstrakta kategorier utifrån data.
Datainsamling genom halvstrukturerad intervju
Halvstrukturerad intervju valdes som datainsamlingsmetod för att få svar på studiens syfte. I
konstruktivistisk grounded theory används ofta intervju som metod för datainsamling
(Charmaz, 2014). Intervjun ses som ett riktat samtal som fokuserar på det som framträder
under intervjun. Enligt Charmaz (2014) ger intervjun forskaren möjlighet att kontrollera
samtalets riktning men ändå möjlighet att vara flexibel och fokusera på viktiga ämnen i
intervjun, vilket ökar möjligheterna att omedelbart ta till vara både på forskarens och
21
deltagarnas idéer och frågor. Enligt Charmaz (2014) kan intervjuer med fördel kombineras
med observationer och skrivna berättelser från deltagarna. Detta valdes bort i denna studie för
att anpassa studien till dess tidsram. Kritik mot intervju som datainsamlingsmetod riktas bland
annat mot att intervjuns innehåll inte nödvändigtvis överensstämmer med verkligheten
(Charmaz, 2014). Kritikerna anser att deltagarnas berättelser inte alltid överensstämmer med
vad de faktiskt har gjort, gör eller kommer att göra i framtiden. Enligt Charmaz (2014)
stämmer detta antagande. Intervjun är en konstruktion av forskaren och deltagaren, och
deltagarens bild är en konstruktion av verkligheten, inte en reproduktion av den.
Urvalsgrupp
Enligt Charmaz (2014) är det viktigt att välja deltagare som har direkt erfarenhet av det
studien avser att studera. Studiens syfte är att undersöka speciallärare i matematiks
utformning av insatser i den vardagliga verksamheten gällande taluppfattning och tals
användning i årskurs 1-3. Därför intervjuades utbildade speciallärare i matematikutveckling
som var verksamma i dessa årskurser. I studien ingick sju deltagare från fyra städer och orter.
Samtliga deltagare arbetade på olika arbetsplatser. Deltagare till studien söktes genom två
nätverk och kollegiala kontakter. Ett nätverk var ett alumninätverk för personer som gått
speciallärarprogrammet med inriktning mot matematikutveckling på Malmö högskola.
Missivbrevet (bilaga 6) mailades till högskolans ansvarige för alumninätverket som
vidarebefordrade missivbrevet till alumninätverkets deltagare via mail. I alumninätverket
ingick cirka femtio personer. Tre deltagare visade intresse av att delta och deltog i studien.
Deltagare söktes även genom det nätverk för matematikutveckling jag ingår i genom mitt
arbete samt genom kollegor. Genom nätverket fick jag namn på två personer och genom
kollegor fyra personer. Efter att missivbrevet mailats visade fyra personer intresse och deltog i
studien. Enligt Bourdieu (1999) har missivbrev inte bara en informativ funktion.
Missivbrevets innehåll och formuleringar påverkar mottagarnas uppfattning om studien,
studiens innehåll och den som genomför studien och kommer påverka intervjuns utformning
och innehåll. Därför var min avsikt att formulera missivbrevet tydligt så att deltagaren skulle
vara viss om att inget var dolt för att stärka studiens pålitlighet.
22
Genomförande
Intervjuer inom konstruktivistisk grounded theory innebär att följa upp det som framträder i
intervjuer vilket innebär att en intervjuguide både ska vara ett stöd för att rikta samtalet mot
studiens syfte och ge utrymme för att följa ämnen som inte var förväntade (Charmaz, 2014).
En intervjuguide formulerades för att ge intervjuerna en ram inom vilken samtalet kunde vara
öppet (bilaga 7). Detta säkerställde att samtliga intervjuer rörde sig inom områdena insatser
och egna perspektiv samt gav möjlighet att förbereda vilka formuleringar som skulle
användas. Enligt Bourdieu (1999) och Charmaz (2014) är en intervju ett styrt samtal. Enligt
Charmaz (2014) är intervjuguiden ett sätt att minska möjligheten att intervjufrågorna forserar
data i förantagna kategorier till exempel genom att forskaren prövar vilka frågor som för
undersökningen mot syftet och vilka ämnen som behöver ingå liksom vilka formuleringar och
frågor som bör strykas. En pilotintervju genomfördes i syfte att pröva frågornas gångbarhet.
Det medförde tillit till intervjuguiden och större trygghet i kommande intervjuer till exempel
då det gällde följdfrågor. Enligt Charmaz (2014) är det viktigt att vara påläst när det gäller
fältet som ska undersökas till exempel när det gäller vilka ord som är lämpliga. Under
intervjuerna användes ordet insatser istället för extra anpassningar i undervisningen och
särskilt stöd. Min intention med att välja ordet insatser var att minska risken för att intervjuns
innehåll skulle begränsas av styrdokuments beskrivning av vad extra anpassningar och särskilt
stöd kan vara. Ett ytterligare skäl var att jag ville öka fokus på deltagarnas egna tankar om och
handlingar för att öka elevers möjlighet att utveckla taluppfattning och minska fokus på
elevers behov och kompetens.
Intervjuerna genomfördes på deltagarnas arbetsplatser, där deltagarna valt avskilda
utrymmen. Efter en stund av informellt samtal, inleddes intervjuerna med information om att
intervjuerna behandlades enligt vetenskapsrådets forskningsetiska principer och en fråga om
samtycke till att intervjuerna spelades in på min privata mobiltelefon. Jag ville spela in
intervjuerna eftersom det gav möjlighet att ha full uppmärksamhet på deltagaren till exempel
genom att kunna ha ögonkontakt och följa viktiga detaljer i samtalet (Charmaz, 2014).
Samtliga deltagare medgav inspelning. Under intervjuerna noterade jag ibland viktiga
nyckelord att komma tillbaka till, vilket enligt Charmaz (2014) är en bra teknik så länge det
inte stör deltagaren. Det hände att noteringarna påverkade samtalet, därför gjordes det mycket
sparsamt.
23
Intervjuteknik
Intervjusituationen är en dialog där forskare och deltagare strävar efter att belysa varandra
(Bakhtin, 1986). Den formas av hur väl det sker (Charmaz, 2014) och av maktförhållanden
(Bakhtin, 1986; Bourdieu, 1999). I och med att en intervjusituation är ojämlik krävs en vilja
från forskaren att öka jämställdheten så mycket som möjligt (Bourdieu, 1999; Charmaz,
2014). I den här studien innebar det att jag använde aktivt lyssnande och frågor för att
klargöra, reda ut och uppmuntra. Det kunde till exempel vara att be deltagaren att berätta mer
och fråga hur deltagaren tänkte till skillnad från att fråga deltagaren varför, som kan uppfattas
som ifrågasättande (Charmaz, 2014). Ett ytterligare sätt att minska intervjuns obalans i
maktförhållanden är enligt Bourdieu (1999) och Charmaz (2014) att reducera frågor till tyst
väntan för att föra samtalet vidare och för att begränsa forskarens talutrymme och på så sätt
vidga deltagarens, vilket också användes medvetet under intervjusituationerna. Enligt
Charmaz (2014) öppnar det för deltagaren att vara expert på sitt liv. Under intervjun har
deltagaren möjlighet att konstruera sig själv. Men i det finns en risk att deltagaren
objektifierar sig själv och skapar en legitim och färdig bild av yrkesrollen (Bourdieu, 1999).
Därför är det viktigt att forskaren inte är för neutral utan fortsätter att ställa frågor och delta i
samtalet, för att inte dras in i en omedvetet överenskommen objektifierande konstruktion av
deltagaren. För att motverka en gemensam objektifiering hade jag alltid intervjuguiden
framme. Den uppmuntrade mig att utforska det som jag kunde uppleva som självklart.
Deltagarnas svar på följdfrågor eller uppmuntran att berätta vidare var ofta inte lika självklara
som jag trodde, vilket påverkade mig att delta mer aktivt i samtalen än vad jag tänkt. På
intervjuguiden noterade jag i efterhand följdfrågor som bidrog till att deltagaren berättade
utförligare, så att jag kunde ha med mig det till nästa intervju. Enligt Charmaz (2014) är det
ett sätt att arbeta som tillåter deltagarnas förhandling om intervjuprocessen.
Analys och bearbetning
I ett konstruktivistiskt perspektiv är forskaren en del av den värld som studeras, av de data
som samlas in och den analys som produceras (Charmaz, 2014). Det innebär att mina
förantaganden och värderingar format analysen. Därför är min avsikt att göra analysens
tillvägagångssätt öppet och på så sätt följa perspektivets praxis (Bourdieu, 1999; Charmaz,
2014).
24
Transkribering
Transkribering är en förändring av data och innebär i sig själv en tolkning (Bourdieu, 1999).
Forskarens uppgift vid transkriberingen är att göra tolkningen så liten som möjligt. Men
eftersom varje punkt och varje kommatecken är en tolkning innebär transkribering alltid en
reducering av data. Transkribering genomfördes samma dag vid fem intervjuer och dagen
efter vid två intervjuer för att i högsta möjliga grad minnas samtalet under
transkriberingstillfället. Om ett stycke var svårt att transkribera, återlyssnades stycket
omedelbart. Efter transkriberingen av hela intervjun lyssnades intervjun igenom en gång till
samtidigt som transkriberingen lästes för att göra korrigeringar. De flesta korrigeringar gällde
kommatering och punktsättning. Efter transkribering och utskrift och genomläsning av denna,
raderades intervjuerna för att säkerställa konfidentialitet.
Kodning
Enligt Charmaz (2014) är kodning ett sätt att definiera vad som händer i data. Tillsammans
bildar koder begrepp och kategorier och lyfter data till abstrakt analytisk nivå. Kodning sker i
flera steg och innebär att analysen hela tiden kontrolleras med och hålls nära data. Initial
kodning innebär att en kod sätts för varje rad eller varje stycke med ett visst innehåll som
beskriver vad segmentet handlar om (Charmaz, 2014). I initial kodning används ord och
uttryck direkt hämtade från data. Fokuserad kodning innebär att de mest signifikanta eller
frekventa initiala koderna sorteras. I den här studien har kodning genomförts på flera sätt.
Dels kodades varje intervju initialt rad för rad utifrån vad som hände i data. Rad-för-radkoderna för varje intervju fördes samman och jämfördes med övriga intervjuer för fokuserad
kodning. Genom denna kodning framträdde processer som manade till att återgå till data för
ny initial kodning. I denna fas av den initiala kodningen kodades endast en fokuserad kod från
den tidigare kodningen åt gången för utfyllnad och sortering av koden. Till exempel
genomfördes en initial kodning i alla intervjuer som endast berörde taluppfattning, en som
endast berörde samarbete, en som endast berörde undervisning i grupp och så vidare. De
initiala koderna i varje intervju sammanfördes med de andra intervjuerna för varje fokuserad
kod, jämfördes med varandra och sorterades. Genom sorteringen finjusterades kategorier och
underkategorier bildades. Efter kategorisering ställdes kategorierna och underkategorierna
mot varje intervju för att säkerställa att det fanns en överenstämmelse mellan intervjun och
koderna. Citat som bekräftade kategorins giltighet kopplades till kategorin. Citat finns med
för att låta resultatet belysa deltagarnas perspektiv och för att öka transparens mellan
25
deltagares yttranden och min tolkning. Enligt Bourdieu (1999) är det problematiskt att citera
deltagare eftersom det innebär att något som sades konfidentiellt görs officiellt. Men enligt
Bourdieu (1999) är det ännu viktigare att skydda deltagare från att bli feltolkade. Att använda
citat säkerställer kategoriers giltighet, bekräftar deras avgränsning och håller analysarbetet
nära data (Charmaz, 2014).
Teoretisk rimlighet, validitet och reliabilitet
Studien strävar efter att belysa variationer i deltagarnas insatser för att ge elever möjlighet att
utveckla taluppfattning och deltagarnas tankar kring det. I konstruktivistisk grounded theory
strävar forskaren efter teoretisk rimlighet vilket innebär att tillräckligt med data samlas in för
att undvika att missledande data får betydelse (Charmaz, 2014). Det innebär att forskaren
återvänder till deltagarna och eventuellt ytterligare deltagare för att fördjupa frågor kring de
mönster, begrepp och kategorier som framträtt i analysen av de inledande intervjuerna. På så
sätts stärks kategoriers rimlighet eftersom kategorierna blir kraftfulla och mer precisa i sin
avgränsning (Charmaz, 2014). De kategorier som framträdde i denna studies data har inte
kontrollerats mot fältet. Studien har i detta avseende låg teoretisk rimlighet. Studien gör
endast anspråk på att belysa en variation av empiriska möjligheter inom fältet.
Enligt Bourdieu (1999) finns alltid en asymmetri i intervjusituationen på grund av att det
inte finns någon tidigare förhandling om studiens syfte, intervjuns frågor och regler mellan
deltagaren och forskaren före intervjun. Asymmetrin ökar ju större skillnad det finns mellan
deltagaren och forskaren. I den här studien fanns social närhet mellan mig och deltagarna i det
att deltagarna har den utbildning som jag var i slutet av och arbetade på samma sorts
arbetsplats som jag gjorde. Enligt Bourdieu (1999) skapar social närhet en bra bas för
samhörighet och icke-våldslig kommunikation. Det innebär att det finns en delad diskurs, ett
gemensamt sammanhang och en gemensam språkram att förhandla och mötas inom. Det
innebär också att deltagaren i högre grad litar på att forskarens syfte med intervjun inte
kommer att minska intresset för att lyssna till deltagarens tankegångar, vilket innebär att
deltagaren inte riskerar att reduceras till att vara någon som studeras. Detta ökar därför
möjligheten att ställa frågor om känsliga och svåra områden (Bourdieu, 1999). Den sociala
närheten i denna studie ökar studiens validitet. Men enligt Bourdieu (1999) är social närhet
ingen garanti för studiens validitet trots att den jämnar ut asymmetrin. Om deltagaren och
forskaren står för nära varandra kommer deltagaren att berätta mindre tydligt på grund av
26
antagandet att forskaren vet vad deltagaren menar (Bourdieu, 1999). På samma sätt finns en
risk att forskaren gör antaganden om att veta vad deltagaren pratar om och därför bara är halvt
uppmärksam. Detta kan enligt Bourdieu (1999) motverkas genom att ställa frågor som
uppmuntrar
och
förtydligar.
Samtidigt
som
detta
gjordes
under
intervjun,
där
intervjuformuläret var till god hjälp för att föra samtalet framåt, var detta en del av intervjun
som kunde förbättras genom att träffa deltagarna vid fler tillfällen.
Min avsikt har varit att följa metodologiska anvisningar och beskriva intervjuteknik och
vad som kan påverka utformningen och innehållet i intervjusituationen noga. Men enligt
Bourdieu (1999) är det inte tillräckligt för att öka studiens reliabilitet. En studie är fortfarande
en konstruktion, en tolkning av den studerade världen, och inte en exakt bild av den
(Charmaz, 2014). I detta perspektiv skapas studiens reliabilitet enligt Bourdieu (1999) genom
att tydliggöra avsikter och tillvägagångssätt som använts. Därigenom ges läsaren möjlighet att
återanvända sättet studien konstruerades på och sättet studien förstods på som tillsammans
skapade det resultat som presenteras. Därför har jag försökt att öppet belysa centrala aspekter
av genomförande, bearbetning och analys av data.
Etik
Enligt Kvale och Brinkmann (2014) uppstår etiska frågor på makronivå vid forskning med
intervju som datainsamlingsmetod. Det innebär att sociala konsekvenser av den kunskap som
produceras behöver diskuteras i förhållande till hur kunskapen används. Enligt Kvale och
Brinkmann (2014) kan en studie påverka deltagarna genom att studien förs tillbaka till dem
eftersom det kan påverka deltagarnas tolkningar av sina egna praktiker. En studie kan också
påverka andras uppfattningar av verksamheten genom deltagarnas samtal med andra om den.
Eftersom en studie kan motivera samtal i större sammanhang är det enligt Kvale och
Brinkmann (2014) särskilt viktigt att forskaren är kritisk till valet av datainsamlingsmetod, sitt
sätt att intervjua och tolka samt att göra tolkningsarbetet transparent. Studiens deltagare
visade intresse för att läsa den färdiga texten, varför studien har möjlighet att påverka den
sociala kontext studien genomfördes inom. Detta motiverade mig att vara noggrann i att
beskriva genomförande och sätt att tolka materialet så att läsare har möjlighet att förstå hur
jag har förstått materialet. I vetenskapsrådets forskningsetiska principer för humanistisk och
samhällsvetenskaplig forskning (Vetenskapsrådet, 2002) finns fyra huvudkrav som riktlinjer
vid forskning. I studien hanterades informationskravet genom att informera deltagarna om
27
studiens syfte samt att deltagandet är frivilligt och att de när som helst kan avbryta sin
medverkan i missivbrevet. Deltagarnas möjlighet att avbryta sin medverkan informerades
också om vid intervjutillfället före intervjun inleddes. Samtyckeskravet som till exempel
innebär att deltagaren har rätt att avsluta deltagandet utan negativa efterföljder, informerades
tyvärr inte särskilt tydligt om. Konfidentialitetskravet innebär att uppgifter om personer som
deltar i studien förvaras och behandlas på ett sätt som säkerställer att deltagares identiteter
inte röjs. Förutom att personnamn och namn på arbetsplatser förvarades på säkert sätt,
kodades intervjuer med nummer för att inte ett visst dokument skulle kunna kopplas till ett
visst namn om detta ändå skulle röjas. Dessutom raderades de inspelade intervjuerna efter att
intervjuerna transkriberats och skrivits ut, för att säkerställa att inte någon av en
olyckshändelse skulle kunna lyssna på intervjuerna. Vid intervjutillfällena nämndes inte namn
eller plats under inspelningen, men ibland förekom annat innehåll som skulle kunna röja
deltagarens identitet. Denna typ av innehåll överfördes inte till de transkriberade intervjuerna.
För att möta nyttjandekravet informerades deltagarna i missivbrevet om att intervjuerna
endast kommer att användas för att genomföra den aktuella studien.
Sammanfattning
Studien genomfördes med grounded theory som angreppssätt. I studien deltog sju utbildade
speciallärare i matematik som var verksamma i grundskolans årskurs 1-3. Data samlades in
genom halvstrukturerade intervjuer. Data bearbetades genom kodning för att skapa kategorier
som kan belysa en möjlig variation på det studerade fältet.
28
Resultat och analys
Syftet är att belysa vilka designer för lärande som speciallärare i matematik använder för att
möjliggöra lärande i grundläggande taluppfattning i grundskolans årskurs 1-3. Syftet är också
att åskådliggöra vad som ligger till grund för valet av design och vad som avgör att en design
har verkat tillräckligt mycket för elevers lärande. Resultatet bygger på data från sju intervjuer
med verksamma och utbildade speciallärare i matematik. I resultatframställningen belyser
kategorierna en möjlig variation på det studerade fältet och presenteras i tre avsnitt enligt
figur 1.
Design för
lärande
Bedömning
av design
Egna
perspektiv
Figur 1. Översikt över resultatkapitlets huvudrubriker. Figuren visar även att design, egna
perspektiv och information från bedömning kontinuerligt påverkar varandra.
Design för lärande i grundläggande taluppfattning
I data framträder att deltagarna använder två designer för lärande. Återanvändning av samma
design bidrar enligt deltagarna till att designen utvecklas genom fortlöpande utvärdering och
uppföljning och att insatser kan komma igång utan fördröjning. Två deltagare använder endast
undervisning i samverkan medan fem deltagare använder båda designerna.
Undervisning i
samverkan
Design för
lärande
Undervisning i
grupp eller
individuellt
Figur 2a. Deltagarna använder två designer för lärande. Designernas innehåll presenteras i
underkategorier vilket visas i figur 2b och 2c. Figur 2d visar alla kategorier och
underkategorier i en figur (bilaga 8).
29
Undervisning i samverkan
I data framträder att samtliga deltagare använder undervisning i samverkan som design för
lärande i taluppfattning men i olika hög grad. Undervisning i samverkan sker främst genom
tvålärarsystem, samarbete och handledning. I undervisning i samverkan ingår även samverkan
genom dokument och anpassning av matematikboken.
Tvålärarsystem
Handledning
Undervisning i
samverkan
Samarbete
Samarbete
genom
dokument
Anpassning av
matematikbok
Figur 2b. Undervisning i samverkan har fem underkategorier.
Tvålärarsystem. Tvålärarsystemet innebär enligt data att speciallärare och lärare samarbetar
under ordinarie matematiklektioner under en begränsad period, kontinuerligt eller vid utvalda
matematiska områden. Deltagarnas vanligaste roll i tvålärarsystemet är att vara med i helklass
för att tillgodose uppmärksamhet som elever efterfrågar eller att erbjuda flexibla
grupperingar. Flexibla grupperingar innebär oftast att specialläraren en bit in i lektionen sätter
sig vid ett bord i klassrummet eller i ett grupprum i direkt anslutning till klassrummet dit
elever kan komma om de vill. Ibland finns en överenskommelse mellan elever och lärare om
vilka elever som ska delta i speciallärarens grupp. Även då är oftast andra elever också
välkomna att delta så länge specialläraren kan fokusera på den eller de eleverna där en
överenskommelse finns. Flexibla grupperingar erbjuder elever ökad möjlighet till samtal om
matematik, repetition och förberedelse för kommande undervisningsinnehåll. Enligt
deltagarna ger tvålärarsystemet elever möjlighet att vara en del av gemenskapen i klassen och
följa ordinarie undervisning. Genom tvålärarsystemet erbjuds elever även möjlighet att arbeta
självständigt i matematiska områden eller moment som de är säkra i och att få omedelbar
uppmärksamhet när det behövs. Tvålärarsystemet ger specialläraren möjlighet att få inblick i
30
ordinarie undervisning och att rikta insatser mot utveckling av undervisningen i matematik,
vilket en av deltagarna belyser i följande uttalande:
Jag ser ju att matematiksvårigheterna har uppstått i lärmiljön och inte hos eleven. Alltså kan jag
inte ta ut eleven och fixa till det, utan det är ju lärmiljön som måste ändras.
Deltagaren är en av de två som endast använder sig av undervisning i samverkan som design.
Enligt deltagarna påverkar också tvålärarsystemet samarbetet mellan lärare, speciallärare och
elever positivt och gör speciallärarens arbete omväxlande. Enligt ett par deltagare utgör
tvålärarsystemet ett sätt att möta styrdokuments krav på skyndsamma insatser inom ordinarie
undervisning. Kritik mot tvålärarsystemet riktas mot att det kan behöva kompletteras med
andra insatser för att undervisningen ska möta alla elever. Enligt fem deltagare är inte
tvålärarsystemet tillräckligt på grund av att det inte erbjuder elever att snabbt komma förbi ett
hinder inom taluppfattning och att en mer intensiv form av undervisning kan vara effektiv
under en period, vilket en av deltagarna beskriver i följande uttalande:
De forskningsunderlag som finns visar att om man under en kortare period intensivt jobbar med
det som är bekymmer så ger det bättre resultat än om man jobbar i ett klassrum allmänt med det
som…
Enligt deltagarna är det nödvändigt att det finns förtroende mellan speciallärare och lärare och
möjlighet att samtala om situationer som uppstår i samarbetet. Det har hänt att lärare uttryckt
att de inte är bekväma med att specialläraren finns med i klassrummet och att lärare visat lågt
intresse för att ingå i ett tvålärarsystem.
Handledning. I data framträder att fyra deltagare använder handledning som en del av
samverkan i undervisningen. Enligt deltagarna kan handledningens innehåll syfta till att öka
enskilda elevers möjlighet att delta aktivt i den ordinarie undervisningen, vilket en av
deltagarna pekar på i följande uttalande:
Så då är jag inne och observerar och hjälper till, och tittar lite hur läraren…och kanske ger lite
handledning till läraren, så ser man också.
Handledning kan också vara ett sätt att öka samsyn på undervisning i matematik på skolan
och kan ske genom handledning i grupp. Handledningens innehåll kan till exempel beröra
representationsnivåer, lektionsstrukturer, matematiska förmågor och lektionsinnehåll utifrån
en elevgrupps resultat på en diagnos eller screening. Enligt deltagarna fungerar handledning
bra när det gäller att utveckla undervisning i matematik men är svårt att få regelbunden tid till.
31
Samarbete. I data framträder att alla deltagare använder samarbete med lärare utanför
undervisningen som en del av undervisning i samverkan. Samarbetet innehåller ofta
lektionsplanering för att utveckla undervisningen. Till exempel planeras för arbete med olika
representationsnivåer och extra tydliga instruktioner. I data framträder att det kan vara svårt
att hitta tid att planera lektioner tillsammans med lärare vilket kräver flexibilitet och
kompetens av specialläraren.
Tyvärr så är det väl det jag känner att man hinner lite för lite av. Man skulle behöva sitta mer,
liksom. Det blir lite sådana här efter lektionerna om de har tid eller i korridoren eller något sådant
där. Ja, så det är… Är jag ute i klasser så har jag mindre koll på vad som ska hända.
Men enligt deltagarna kan behovet av att planera tillsammans med en lärare minska ju längre
samarbetet pågår.
Samarbete genom dokument. I data framträder att en deltagare använder dokument som
en del av samverkan i undervisningen. I dokumentet finns förslag på insatser som lärare
tillsammans med arbetslaget kan göra, vilket deltagaren lyfter fram i följande uttalande:
Utifrån den har vi gjort…förenklat för lärarna, så att de ska veta. För att…är det för svårt så gör
man det inte, och lärarna har för mycket att göra redan.
Förslagen har arbetats fram av skolans specialpedagogiska team. Dokumentet har medfört att
insatser kommer igång utan fördröjning och att lärare kan vara mer självständiga i arbetet med
att utveckla och utvärdera insatser i undervisningen.
Anpassning av matematikboken. Tre deltagare använder anpassning av matematikboken
som en del av samverkan i undervisningen. Syftet är att göra matematikbokens innehåll mer
tillgängligt för eleven och att komplettera den till exempel med laborativt material.
Matematikboken byts sällan ut även om innehållet inte passar eleven helt eftersom det kan
hindra elevens möjlighet att följa den ordinarie undervisningens innehåll, vilket en av
deltagarna pekar på i följande uttalande:
Ofta tar jag inte bort det läromedel eleven har utan jag kompletterar med någonting annat. /…/ Så
att jag lägger upp ett schema på vad den här eleven ska jobba med, i den boken den har där och i
mitt material. /…/ Men också framför allt att den har stor del av sin matte där, och jag vet att
många av genomgångarna kommer att vara utformade från den matteboken.
32
Undervisning i liten grupp eller individuellt
Fem deltagare använder undervisning i liten grupp eller individuellt som design för lärande,
utöver undervisning i samverkan som beskrivits ovan. I data framträder två underkategorier.
Strukturerad undervisning riktas mot att snabbt höja elevers kompetens i grundläggande
taluppfattning inom en bestämd tidsperiod. Flexibel undervisning riktas mot att kompensera
för att det finns skillnader mellan elevers och ordinarie undervisnings tempo.
Undervisning i
grupp eller
individuellt
Strukturerad
undervisning
Flexibel
undervisning
Figur 2c. Undervisning i grupp eller individuellt har två underkategorier.
Strukturerad undervisning. I data framträder att tre deltagare använder strukturerad
undervisning som design för lärande. Den strukturerade undervisningens syfte är att öka
elevers möjlighet att delta aktivt i ordinarie undervisning genom att snabbt utveckla elevens
taluppfattning, vilket en av deltagarna åskådliggör i följande uttalande:
Annars tycker jag att om man haft en intensiv, så ser man rätt snabba resultat. Men jag byter barn
ganska ofta, ’så nu har du fått en knuff, nu får du försöka inne i klassrummet!’.
Den strukturerade undervisningen kännetecknas av att deltagarna använder ett program för
strukturerad undervisning som ram för att säkerställa vetenskaplig grund, men att programmet
i sig inte följs strikt för att ge utrymme för elevers önskemål och samarbete mellan elever.
Strukturerad undervisning erbjuds oftast utöver ordinarie undervisning i matematik tre till fem
gånger i veckan under ett i förväg bestämt antal veckor. När deltagarna väljer att erbjuda
individuell strukturerad undervisning beror det ofta på en elevs möjlighet att fokusera på
undervisningens innehåll tillsammans med andra elever eller att det är ett önskemål från
eleven. I data framträder att strukturerad undervisning oftast genomförs i grupper om två till
tre elever. Enligt de tre deltagarna finns många fördelar med att genomföra undervisningen i
grupp, vilket en av deltagarna lyfter fram i följande uttalande:
Det finns ett utbyte mellan eleverna som är jättespännande just om man jobbar många tillsammans.
Att de kan faktiskt ge och ta av varandra. Och att ibland så förstår de varandra bättre än vad de
förstår mitt mattespråk, för de befinner sig på samma nivå.
33
Den strukturerade undervisningens innehåll formas efter elevers förförståelse i taluppfattning
och av det specialläraren lär sig om elever vid undervisningstillfällena. Ramen för innehållet
är att möta ett avgränsat område inom taluppfattning på ett varierat sätt. Innehållet i
strukturerad undervisning anpassas till vad som pågår i den ordinarie undervisningen, vilket
en av deltagarna beskriver i följande uttalande:
Men att man inte frikopplar det från…att det blir en egen isolerad ö. Utan att jag är involverad i
matematiken i klassen.
Den strukturerade undervisningen är ett sätt att påverka elevers möjlighet att delta aktivt i
elevens ordinarie matematikundervisning genom att öka elevers självförtroende i matematik,
vilket en av deltagarna belyser i följande uttalande:
Att väldigt mycket kring självförtroendet. Som att vara en som känner att jag kan inte och jag
fattar inte och jag vågar inte räcka upp handen och vågar inte svara på frågor. Till en tjej som gick
rak i ryggen och sa ’jag kan prova och jag testar’. Så att det var egentligen den största vinsten. En
större vinst än den matematiska skulle jag tycka så.
Flexibel undervisning i liten grupp eller individuellt. I data framträder att fem deltagare
använder flexibel undervisning i liten grupp eller individuellt som design för lärande. Flexibel
undervisning innebär att specialläraren erbjuder elever undervisning samtidigt som men oftast
utöver ordinarie undervisning i matematik en till flera gånger i veckan. Flexibel undervisning
kännetecknas av att det inte finns en fastställd tidsperiod och syftar till att kompensera för
skillnader i elevens och den ordinarie undervisningens tempo. Till exempel kan flexibel
undervisning ge elever möjlighet att arbeta med olika representationer av tal och få tid att lösa
matematiska problem. Men i synnerhet har förberedelse visat sig vara framgångsrikt när det
gäller taluppfattning.
Och det är fantastiskt vilken respons det har blivit, att få göra något lite innan. /…/ Och det är stor
skillnad på vad de vågar och hur mycket de tar för sig och hur mycket de känner att ’ja, men detta
bär, jag kan’ än om man kastar in dem i det direkt när de är tolv stycken som inte har provat.
Den flexibla undervisningen är också ett tillfälle för extra tydliga instruktioner, strategier för
att minnas och för att fokusera. Flexibel undervisning ges oftast i föränderliga grupper vilket
innebär att det finns en överenskommelse med vissa elever och att andra elever också får följa
med om de vill.
Kritik som framträder i data när det gäller undervisning i grupp eller enskilt. I data
framträder kritik från de två deltagare som inte använder undervisning i grupp eller enskilt
34
gällande att undervisning som sker utanför klassrummet inte bidrar till att den ordinarie
undervisningen utvecklas mot att möta alla elever, vilket en av deltagarna pekar på i följande
uttalande:
Utan det är ju lärmiljön som måste ändras. Så att eleven…annars kan ju jag hålla på att ta ut om
och om igen utan att det händer någonting. /…/ Vi har ju så otroligt många barn som inte når
målen. Och just därför kan vi inte plocka ut en och en. Utan vi måste göra insatser som ligger på
gruppnivå. Vi måste förbättra undervisningen för alla.
I den här studien förekommer det inte att någon speciallärare endast arbetar med undervisning
i grupp eller enskilt, utan att det sker i kombination med undervisning i samverkan. Kritik
riktas även mot undervisning i grupp eller enskilt som ges ofta och samtidigt som ordinarie
undervisning. Det framträder inte i denna studie att ofta förekommande undervisning i grupp
eller enskilt samtidigt som ordinarie undervisning i matematik förekommer. Det framträder
däremot i data att deltagare som använder undervisning i grupp eller enskilt fäster
uppmärksamhet på elevers attityd och känslor inför att lämna sin klass om undervisningen
sker på ordinarie skoltid för att säkerställa att undervisningen inte skapar eller stödjer en
negativ självbild.
Delanalys
Resultatet visar att samtliga sju deltagare använder undervisning i samverkan som design för
lärande i grundläggande taluppfattning. I undervisning i samverkan ingår till exempel
tvålärarsystemet, handledning och samarbete (Mitchell, 2015). Den här studien visar att
samarbetet kan underlättas genom dokument och att en del av samarbetet kan vara att främja
elevens medverkan i ordinarie undervisning genom att justera matematikbokens innehåll.
Resultatet visar också att fem deltagare dessutom använder undervisning i liten grupp och
individuellt i flexibla grupper och att tre av dessa deltagare även använder strukturerad
undervisning.
Resultatet visar att de deltagare som väljer att lägga mycket tid tillsammans med elever
tenderar att minska tid till att samarbeta med och handleda lärare. Resultatet visar också att
den deltagare som mest arbetar med handledning och samarbete minskar tid tillsammans med
elever. Undervisning i samverkans främsta vinst är att undervisningen utvecklas genom
kollegialt lärande mellan lärarprofessioner (Mitchell, 2015). Därför är det grundläggande i
strategin att inte tvålärarsystemet eller handledning och samarbete var för sig ses som
35
tillräckligt, eftersom det är kombinationen som ger utveckling. Ett tvålärarsystem som inte
kompletteras med samarbete eller handledning utanför lektionstid skapar ofta ojämlik
rollfördelning i klassrummet, där läraren ansvarar för den ordinarie undervisningen och
specialläraren ansvarar för tillfällen där den ordinarie undervisningen inte möter alla elever
vilket inte är att betrakta som utveckling av undervisning (Mitchell, 2015). I den här studien
belyser deltagarna ett annat perspektiv. De anser att den länk de utgör mellan elever och
undervisning är en väsentlig uppgift som elever efterfrågar och som ger möjlighet för elever
att utveckla trygghet och självförtroende i ordinarie undervisning. Genom att underlätta mötet
mellan eleven och undervisningen skapas ett utrymme där eleven har möjlighet att delta aktivt
och mer självständigt medverka i samarbeten. Att omvänt inte komplettera handledning och
samarbete med medverkan i undervisning kan underminera undervisningens utveckling på
grund av att handledningen inte ses som praktiknära av lärare (Timperley, 2014).
Att strukturerad undervisning betraktas som en effektiv design för att utveckla
taluppfattning speglas i forskningsresultat av till exempel Pedrotty Bryant m. fl. (2011),
Holmes och Dowker (2013), Toll m. fl. (2014), Somerville m. fl. (2015) och Dyson m. fl.
(2015). Endast Holmes och Dowker (2013) prövar individuell strukturerad undervisning.
Pedrotty Bryants (2011) studie visar att korta intensiva insatser kan halvera antalet elever som
riskerar att inte nå kunskapskraven och Somervilles m. fl. (2015) forskningsresultat föreslår
att elevers självförtroende och attityd till matematik förändras positivt vilket medför att elever
är mer delaktiga i till exempel samarbete i problemlösning i ordinarie undervisning. Detta
speglas även i denna studies resultat. Resultatet visar också att strukturerad undervisning kan
vara ett sätt att motverka att elever erbjuds insatser som obehövligt sträcker sig över lång tid,
vilket överensstämmer med Dysons m. fl. (2015) studie som visar att det kan räcka med korta
insatser för att elever ska öka självförtroende, förståelse och kompetens. För att strukturerad
undervisning ska vara hållbar krävs att den passar väl in i skolans övriga verksamheter (Toll
& Van Luit, 2014) och enligt Pedrotty Bryant (2011) är det fördelaktigt att schemat innehåller
tid för dessa insatser. I denna studie framgår att det går att hitta tider utanför ordinarie
undervisning i matematik men att strukturerad undervisning ibland läggs utanför skoltid.
Flexibel undervisning kan vara svår att spegla mot forskningsresultat på grund av dess
mångsidighet. Det finns studier som visar att undervisning i grupper där inte undervisningen
är lika intensiv som i strukturerad undervisning kan ge goda resultat för utveckling av
taluppfattning (Holmes & Dowker, 2013). Deltagare belyser att förberedelse inför kommande
undervisningsinnehåll påverkar elevers möjlighet att delta i ordinarie undervisning positivt.
36
Förberedelse förekommer både i flexibla grupper och i tvålärarsystemet. Att förberedelse ger
så tydlig framgång kan förklaras med att det gör det lättare för elever att använda sina
nuvarande kunskaper i en ny undervisningssituation. Genom att oro inte tillåts hindra elevers
lärande har de möjlighet att delta aktivt och pröva sig fram istället för att ge upp eller använda
gissningar som strategi (Holmes & Dowker, 2013).
Enligt Wenger (1998) är det viktigt att ifrågasätta det ramverk vi använder som design för
lärande eftersom designen också kan utgöra ett hinder för lärande. Samtliga deltagare betonar
elever som resurser för varandras lärande, till exempel genom samtal om olika sätt att tänka i
matematik. Att elever ses som resurser för varandras lärande reflekteras i att individuell
undervisning inte är vanligt och ges som skäl till att erbjuda undervisning i grupp eller att vara
kvar i klassrummet. Det speglas också i Ryan Spirakus (2014) och Liu-Trofimovskys (2014)
studier där elevers möjlighet att delta regelbundet i undervisning som förbereder för
bedömningsgrundande uppgifter och att vara delaktig i klassens sociala sammanhang betonas
som avgörande. I resultatet i denna studie framgår däremot inte att någon särskild strategi
används för att utveckla elevers samarbete vilket kan tyda på att det finns ett förgivettagande
om att samarbete i sig verkar för lärande (Enoksson, 2014). Vega & Hederich (2015) fann i
sin studie att samarbetsinriktat lärande ökar elevers lärande i matematik och enligt LiuTrofimovsky (2014) och Mitchell (2015) kan också kamrathandledning vara fördelaktigt. En
rimlig tolkning av varför strategier för elevsamarbete inte syns i resultatet kan vara att det inte
ingick som specifik fråga under intervjuerna.
Resultatet synliggör inte deltagarnas användning av teknologiska lärverktyg på grund av
att deltagarna inte belyser detta som ett val av design utan som en del av ordinarie
undervisning och undervisning i grupp eller individuellt. Det finns forskningsresultat som
visar att användning av teknologiska lärverktyg är en resurs för lärande i grundläggande
taluppfattning (Liu-Trofimovsky, 2014). En deltagare beskriver att ett webbaserat program
har varit positivt för elevers motivation och möjlighet till individualiserade uppgifter. Att
använda dataprogram eller appar kan vara ett sätt att erbjuda en omväxlande lärmiljö och
enligt Praets och Desoetes (2014) studie krävs bara några timmars arbete med ett dataprogram
som riktar sig mot taluppfattning för att stärka elevers kompetens. Resultatet i Praet och
Desoetes (2014) studie föreslår att elevers användning av dataprogram med fördel kan
användas i samarbete med andra elever för att undvika att dataprogram bara riktas mot
träning.
37
Fem deltagare visar ett pluralistiskt förhållningssätt till designer för lärande vilket innebär att
de drar nytta av flera perspektiv. Att möta alla elever i olika situationer kan kräva ett flexibelt
förhållningssätt och en öppenhet för en variation av ställningsstaganden (Wenger, 1998;
Sterner, 2015; Mitchell, 2015). Resultatet speglar att oberoende av om deltagarna använder
undervisning i samverkan, undervisning i grupp eller individuellt eller både och så förändrar
de ramar för hur det ska fungera. Det innebär att det inte är möjligt att förutsätta att de
forskningsresultat som finns kan förväntas gälla (Mononen & Aunio, 2014; Toll m. fl. 2014;
Somerville m. fl. 2015; Mitchell, 2015). Det innebär också att resultatet reflekterar att
deltagarna formar designer för lärande istället för att applicera undervisningsstrategier
(Wenger, 1998; Mitchell, 2014). Vilka perspektiv som påverkar deltagarnas val om designer
för lärande presenteras nedan.
Egna perspektiv som påverkar deltagarnas val av design
I data framträder att perspektiv på taluppfattning, lärande, kunskap samt andra perspektiv som
till exempel att taluppfattning kräver tidiga insatser påverkar hur en design för lärande
genomförs.
Perspektiv på
grundläggande
taluppfattning
Perspektiv på
lärande
Egna perspektiv
Perspektiv på
kunskap
Andra perspektiv
Figur 3a. Figuren visar att flera perspektiv påverkar valet av design för lärande. Varje
perspektiv har flera underkategorier vilket visas i en sammanställning i figur 3f (bilaga 9).
38
Perspektiv på grundläggande taluppfattning
I data framträder att sex av sju deltagare anser att deras arbete till störst del behövs inom det
matematiska området taluppfattning i årskurs 1-3.
Det är nog taluppfattningen där jag tycker det behövs mest. För att det är där som grunderna läggs.
Problemlösning framträder i data som ett annat viktigt område. Enligt en deltagare är
taluppfattning det näst största arbetsområdet och matematiskt språk och samtal det som kräver
större uppmärksamhet.
Här är det nog det matematiska språket. Eftersom så gott som alla barn här är tvåspråkiga. Så
förståelsen och att prata matematik.
I data framträder fem perspektiv som gör att speciallärares arbete riktas mot grundläggande
taluppfattning.
Perspektiv på
taluppfattning
Har betydelse för
andra matematiska
områden
Kunskapskrav är
höga
Kräver tidiga
insatser
Har låg prioritet
Påverkas av andra
bekymmer
Figur 3b. Figuren visar underkategorierna för perspektiv på taluppfattning.
Taluppfattning har betydelse för andra matematiska områden. I data framträder att
taluppfattning tillskrivs stor betydelse för framgång i andra matematiska områden, vilket en
av deltagarna belyser i följande uttalande:
Dels för att jag tror liksom att grundläggande för att kunna förstå alla de andra matematiska bitarna
är det avhängigt av att man har en taluppfattning som fungerar.
Kunskapskrav för taluppfattning är höga. I data framträder att centralt innehåll och
kunskapskrav för taluppfattning kräver mer undervisning än andra matematiska områden.
Vissa matematiska områden verkar enligt deltagarna förberedas mer i förskola och
förskoleklass, vilket en av deltagarna beskriver i följande uttalande:
För att få eleverna att nå målen i årskurs 3 måste vi lägga mycket tid på taluppfattning jämfört med
geometri. För den geometrin de ska kunna i årskurs 3 är många som kan från förskolan.
39
Taluppfattning kräver tidiga insatser. I data framträder att deltagarna vill rikta arbetet med
utveckling av grundläggande taluppfattning mot tidiga insatser redan i förskoleklassen och
eventuellt ännu tidigare. Tidiga insatser gör skillnad för elevers lärande, vilket en av
deltagarna åskådliggör i följande uttalande:
För innan var det nog mer att det är i fyran det började krisa. Men det hjälper ju att ge tidiga
insatser. /…/ Lärarna tycker att de märker skillnad på eleverna i klassrummet. Att de känner att de
framför allt att de får bättre självförtroende. Bättre självkänsla när det gäller matten.
Taluppfattning har låg prioritet. Enligt fyra deltagare har läsutveckling högre status än
taluppfattning i årskurs 1-3, vilket en av deltagarna pekar på i följande uttalande:
Vad gör vi i Sverige? Jo, vi gör ingenting. Men det är Reading Recovery och förberedande
läsundervisning och språklekar. Men i matematik väntar vi och ser.
Det händer att deltagare möter uppfattningen att bekymmer i taluppfattning växer bort med
tiden vilket leder till att elever inte får den uppmärksamhet de har rätt till. Att inte elever ges
tillräcklig uppmärksamhet tidigt kan enligt deltagarna innebära att elever utvecklar en negativ
inställning till matematik och lågt förtroende till sin förmåga att lära.
Taluppfattning påverkas av andra bekymmer. I data framträder att till exempel
arbetsminne och fokus påverkar elevers möjlighet att utveckla taluppfattning, vilket en av
deltagarna lyfter fram i följande uttalande:
Man tycker att de kan jättemycket och så nästa dag kan de inte, så det är svårt att göra en
avvägning.
Perspektiv på lärande i grundläggande taluppfattning
I data framträder sju faktorer i undervisningen som deltagarna anser möjliggöra eller hindra
lärande i grundläggande taluppfattning.
Perspektiv på lärande i
grundläggande
taluppfattning
Trygghet
Självförtroende och
inställning
Elevers inflytande
Samarbete och samtal
Samlad undervisning
och variation
Representationsnivåer
Tempo
Figur 3c. Sju perspektiv på vad som utgör möjligheter och hinder för lärande i
grundläggande taluppfattning.
40
Trygghet. I data framträder att elevers trygghet påverkar elevers möjlighet att utveckla
taluppfattning. Enligt deltagarna kan elevers trygghet påverkas av hemförhållanden och svåra
livshändelser. Trygghet påverkas enligt deltagarna även av relationer med elever och
pedagoger på skolan. Vikten av att utveckla trygghet i klassrummet betonas eftersom ett
negativt klassrumsklimat kan hindra elevers lärande, vilket en av deltagarna belyser i följande
uttalande:
Det påverkar om du inte är trygg i klassrummet. Om det inte är en öppen klassrumsmiljö där det är
okej att ställa frågor. Att det är okej att säga att ’Det här förstår jag inte, kan vi ta det en gång till?’
Eller att det är en miljö där man blir skrattad åt, eller får hånfulla blickar eller så.
Lärarens sätt att bemöta elever framträder i data som viktig för elevers trygghet. Lärare som
förmedlar frustration över att elever inte förstår trots upprepade förklaringar kan utgöra ett
hinder för elevers lärande och bidra till att elever upplever undervisningen som tvång.
Trygghet för elever kan därför innebära att få omedelbar uppmärksamhet i klassrummet för att
våga pröva sina tankar i matematik, vilket en av deltagarna beskriver i följande uttalande:
Och att det finns någon, många elever uttrycker det här att de vill ha någon nära. /…/ Alltså de är
liksom oroliga i att prova själv, det blir en sån här brygga innan man vågar prova själv.
Ytterligare en aspekt som är av betydelse för elevers upplevelse av trygghet kan vara struktur
på skoldag och lektionsstrukturer. Enligt deltagarna bidrar strukturers regelbundenhet till att
elever tillåts ha förförståelse för vad som förväntas av dem.
Självförtroende och inställning till lärande. I data framträder att elevers självförtroende i
matematik har betydelse för elevers möjlighet att utveckla taluppfattning. Deltagarna betonar
att det är nödvändigt att undervisningen möter elever för att upprätthålla elevers
självförtroende i synnerhet för elever som upplever att avståndet mellan egen förförståelse
och undervisningen är stort.
Någonting som jag förstår, det är när de inte förstår. Alltså, och lusten försvinner. Och att man inte
får känna att…man känner sig dålig.
Elevers utveckling av taluppfattning påverkas enligt en deltagare även av elevers inställning
till hur vi lär. Elever som uppfattar det som att andra elever lär sig utan att anstränga sig kan
ha nytta av samtal om lärande med andra elever, vilket deltagaren belyser i följande uttalande:
För att det kan finnas sådana uppfattningar att vissa bara kan. Men de kanske inte bara kan utan de
har tränat sig till det. Och det kan vara skönt för de som inte kan att höra.
41
Elevers inflytande. I data framträder att undervisning där övergripande mål, närliggande mål
och elevers framsteg synliggörs påverkar elevers möjlighet att utveckla taluppfattning, vilket
en av deltagarna pekar på i följande uttalande:
Och att de ser att ’ja men så här mycket bedöms man kunna i trean, och jag är här, jag kan.’ Så för
barnens skull är det också viktigt.
Även möjlighet att utöva inflytande på undervisningens innehåll eller aktiviteter betonas.
Elevers involvering i bedömning sker till exempel genom att elever får se anonymiserade
resultat och föreslå undervisningsinnehåll, skapa bedömningsuppgifter och genom att föra
anteckningar i skrivböcker.
Då skriver vi in det i den här boken, så vi känner att då har vi uppfyllt det och det målet. Så det är
jätteskönt. Och man vet ju ungefär innan att det och det ska vi lära oss, det är det vi ska kunna och
jobba med nu. Så det är mycket det här samtalet också.
Att samband mellan framsteg och mål förtydligas genom boken medför att elevers möjlighet
att vara delaktiga i beslut kring kommande insatser ökar. Boken används också till
reflekterande frågor.
Samarbete och samtal. Samarbete och samtal om matematik beskrivs som en
förutsättning för lärande av deltagarna. Särskilt elever betonas som resurser för varandras
lärande, vilket en av deltagarna beskriver i följande uttalande:
Men jag tror elever lär bättre av varandra för de är…de är närmre varandra och mer öppna för att
tänka utanför boxen.
Enligt
deltagarna
är
enskilt
arbete
ett
hinder för
lärande om
det
dominerar
undervisningssituationer eftersom elever är utelämnade till egna förklaringar och
tillvägagångssätt vilket kan innebära att missförstånd befästs.
Samlad undervisning och variation inom ett matematiskt område. Enligt deltagarna kan
det vara svårt för elever att få överblick över matematikundervisningens innehåll. Deltagarna
föreslår undervisning som stannar upp vid ett begrepp och varierar undervisningen kring det
så att elever både utmanas och utvecklar förmåga att se begreppet ur olika perspektiv innan
undervisningen går vidare, vilket en av deltagarna belyser i följande uttalande:
Sen, tittar man på matten specifikt så som ämne, tror jag på just att man varierar undervisningen.
Att man varierar undervisningen, att kunna se ett begrepp från olika synvinklar.
42
Representationsnivåer. I data framträder att deltagarna anser att möjligheten att delta i
undervisning som erbjuder arbete med olika representationer på olika nivåer påverkar elevers
möjlighet att utveckla taluppfattning. Undervisningen behöver även belysa samband mellan
representationsnivåer, vilket en av deltagarna lyfter fram i följande uttalande:
Och att de inte kanske jobbat tillräckligt mycket praktiskt. Eller så har man jobbat mycket
praktiskt, men så har man inte översatt det till det abstrakta.
Enligt deltagarna är det också viktigt att elever har möjlighet att utveckla självständighet i att
använda olika representationer för att lösa uppgifter.
Tempo. I data framträder att undervisningens tempo behöver möta elever för att ge
möjlighet att utveckla grundläggande taluppfattning. Ett för högt tempo minskar elevers
möjlighet att repetera, befästa och dra slutsatser. Om nivån höjs eller ett nytt matematiskt
område påbörjas innan eleven har möjlighet att delta självständigt i undervisningen fördröjs
också insatsers avslut, vilket en av deltagarna pekar på i följande uttalande:
Så kommer det nya moment och så är det också svårt, och så hänger det med liksom hela vägen.
Att ge elever tillräckligt med tid kan enligt deltagarna till exempel utveckla elevers möjlighet
att resonera och pröva sig fram.
Perspektiv på kunskap i matematik
I data framträder att deltagarna i stort sett har ett samstämmigt perspektiv på kunskap.
Perspektiv på
kunskap i
matematik
Matematisk
litteracitet
Figur 3d. Figuren visar det perspektiv på kunskap som framträder i data.
Matematisk litteracitet. I data framträder att deltagarnas perspektiv på kunskap riktas mot
matematisk litteracitet. Enligt deltagarna är kunskap djup förståelse vilket innebär att elever
ser samband inom matematik, mellan skolmatematik och matematik i vardagen och att kunna
43
samtala om och samarbeta i matematik. Genom att elever ser sambanden kan kunskaper i
matematik bidra till delaktighet i samhället och att elever klarar sig självständigt i omvärlden.
Det är när jag har kunskap för att lyckas med det jag behöver för att klara mig i livet. Både socialt
och kunskapsmässigt. Jag behöver de redskapen så att jag kan befinna mig i grupp och hantera min
verklighet så att den fungerar.
Enligt deltagarna är det däremot svårt att få skolmatematik och elevers vardag att mötas och
det är sällan matematik ingår i ämnesövergripande arbeten mer än i små moment, vilket en av
deltagarna belyser i följande uttalande:
Tyvärr kommer man kanske inte åt det så mycket. Vi försöker ta in det här liksom matematiken i
vardagen och i andra ämnen. Men det blir ofta bara små liksom stöd eller punktinsatser. Så ska jag
vara självkritisk så når vi inte riktigt dit.
Enligt en deltagare kan arbete mot matematisk litteracitet leda till att utbildning vidgar elevers
syn på delaktighet i samhället eftersom de kan söka sig till andra utbildningar och skolor än
vad som är tradition i området skolan ligger i, vilket deltagaren beskriver i följande uttalande:
De ser att de kan lära sig, att kunskap är häftigt /…/ De blir elever som kan gå till sin nya rektor
och kräver att ’jag vill ha bättre undervisning’. /…/ De får någon form av framtidsvision.
Enligt deltagaren är en viktig del i en design för lärande att utveckla elevers möjlighet att
själva äga sitt lärande. Det kan vara ett sätt att väga upp att det kan vara svårt att få skolans
undervisning i matematik att nå ut i elevers vardag eller till andra ämnen.
Andra perspektiv som är betydelsefulla vid val av design
Tre ytterligare faktorer framträder som betydelsefulla för deltagarna vid val av design.
Andra perspektiv
Elevers önskemål och
lärares situation
Forskning, teori och
erfarenhet
Ökat fokus på utveckling
av undervisning och
minskat fokuks på elevers
kompetens
Figur 3e. Figuren visar de tre andra perspektiv som påverkar deltagarnas val av design.
44
Elevers önskemål och lärares situation. Deltagarna låter i synnerhet elever men också lärare
påverka vilken design som används och hur den justeras för att passa både medverkande och
den situation läraren upplever i klassrummet.
Det var väl eleverna som styrde det ska jag väl säga. Dels för att det i den klassen jag pratar om
finns fler elever som behöver lugn och ro. Det är lättare att jobba i halvklass än i helklass, så inte
att jag har en pyttegrupp och klassläraren har tjugotre, det går inte bra. Så det var det ena. Sen har
jag de här eleverna som jag då har, som trivs bättre i klassen och tycker att det är jobbigt att gå
ifrån. Och då tycker jag, att då är det bättre att jag jobbar i klassen. Så det har faktiskt varit
eleverna som styr.
Forskning, teorier och erfarenhet. Enligt samtliga deltagare påverkar forskning, teori och
egen erfarenhet av hur olika designer har verkat för elevers lärande deras val av design. Även
om både elevers önskemål och lärares situation har betydelse kan egna perspektiv enligt två
deltagare leda till att det ibland krävs att inte vara flexibel för att förändra en skolas tradition
kring hur speciallärare arbetar, vilket en av deltagarna åskådliggör i följande uttalande:
Men dels så har jag varit väldigt tydlig hela tiden med att inte lyfta ut och att inte göra något
undantag. Jag har mina speckollegor här som tycker att ’ja, men någon gång kan man och för att
möta läraren så kan vi göra det’. Men då känner jag att då bryter jag mot min princip. Och börjar
jag tulla på det så är risken att det blir mer och mer. Plus att då, då står jag ju inte riktigt för det jag
säger.
Ökat fokus på utveckling av undervisning och minskat fokus på elevers kompetens.
Deltagarna strävar efter att utveckla arbetet med att förbättra ordinarie undervisning i
matematik och stegvis minska fokus på elevers kompetens, vilket en av deltagarna belyser i
följande uttalande:
De barn som befinner sig i matematiksvårigheter, de gör ofta det på grund av dålig eller
felanpassad undervisning. Jag tror de flesta elever kan om de får möjlighet och rätt förutsättningar.
Enligt en deltagare kan det innebära att ge lärare i matematik möjlighet att utvärdera den egna
undervisningen utifrån bestämda aspekter. Enligt tre deltagare kan det innebära att bättre möta
elevers olika förförståelse för taluppfattning i förskoleklassen eller tidigare genom att till
exempel erbjuda former av strukturerad undervisning och serier av lärande aktiviteter. För en
deltagare handlar det om att förbättra det nuvarande arbetet inom undervisning i samverkan
och för två deltagare att utöka arbetet med undervisning i samverkan.
45
Taluppfattning påverkar inte val av design för lärande
Enligt deltagarna är grundläggande taluppfattning inte bestämmande för vilken design de
väljer för sina insatser, vilket en av deltagarna beskriver i följande uttalande:
Så jag tror inte egentligen att upplägget hade sett annorlunda ut. Bara ett annat område i
matematiken, det tror jag faktiskt inte. I och med att eleverna har efterfrågat just den här hjälpen,
så att säga, så gäller den nog alla områden.
Faktorer som inte ingår i denna studie
Det finns naturligtvis många faktorer som inte undersökts i denna studie. Faktorer som valts
bort är till exempel yttre strukturer som byggnader, schema, hur resurser är fördelade i
klasserna, antal elever i varje klass och för varje pedagog samt om specialläraren arbetar heleller halvtid som speciallärare i matematik och liknande. Att dessa faktorer valdes bort beror
inte på att jag inte tillgodoräknar deras betydelse, utan för att avgränsa studiens område.
Delanalys
Resultatet visar att taluppfattning är ett prioriterat arbetsområde för deltagarna. De belyser att
elevers taluppfattning påverkar elevers framgång i matematik vilket speglas i litteratur och
forskning (Pedrotty Bryant m. fl. 2011; Holmes & Dowker, 2013; Praet & Desoete, 2014;
Mononen & Aunio, 2014; Toll & Van Luit, 2014; Liu-Trofimovsky, 2014; Dyson m. fl. 2015;
Aunio & Räsänen, 2015; Karlsson & Kilborn, 2015). Deltagarna uttrycker att tidigare insatser
för att förebygga att bekymmer uppstår är väsentligt i grundläggande taluppfattning. En
deltagare har provat att arbeta med förebyggande aktiviteter i förskoleklass tidigare och
upplevde det positivt. Flera deltagare kartlägger elever i förskoleklass för att säkerställa att
insatser är förberedda så att de kan påbörjas omgående i årskurs 1 om det fortfarande behövs.
En deltagare föreslår att tidiga insatser kan innebära insatser i förskoleklass men också att det
kan vara fördelaktigt att även förskolor får del av speciallärares insatser i taluppfattning. Det
finns studier om hur förskola kan erbjuda en rik lärmiljö som utvecklar barns taluppfattning
till exempel genom dataspel (Praet & Desoete, 2014) och genom taluppfattningsriktade
aktiviteter i grupper (Dyson m. fl. 2015). Insatser i förskoleklass på gruppnivå har visat goda
resultat både kortsiktigt och långsiktigt. Sterner (2015) har genomfört studier om utveckling
av strukturerad undervisning till helklass, där elevers förståelse av tal och resonemang om
representationer är i fokus. Studien visar att elevers utveckling av taluppfattning fortfarande
46
syns nio månader efter insatsen och därmed har konsekvenser för elevers delaktighet i
undervisningen i matematik i årskurs 1. I den här studiens resultat framgår att deltagarna
betonar elevers möjlighet till arbete med olika representationsnivåer, det vill säga från konkret
till representativt till abstrakt, och förståelse för samband mellan dessa för att utveckla
taluppfattning. Det reflekteras i Sterners (2015) studie som visar att arbete med
representationsnivåer i samarbete med andra elever kan vara fördelaktigt för elevers förmåga
att resonera om dessa samband. Sterners (2015) studie är av betydelse eftersom deltagarna
betonar att möjlighet till samarbete i undervisningen är väsentligt för utveckling av
taluppfattning och för att undvika att undervisning i taluppfattning enbart handlar om träning.
Resultatet i den här studien visar också att deltagarna strävar efter att elevers utveckling av
taluppfattning i längden ska främja matematisk litteracitet. Matematisk litteracitet innebär att
kunna använda matematik i vardagen och att ta välgrundade beslut i samhället (OECD, 2013).
Det är bara möjligt om matematik ingår i en elevs identitet eftersom det är identiteten som för
med sig det vi vet till olika miljöer (Wenger, 1998). I resultatet synliggörs att deltagarna inte
är involverade i arbetet med att föra in matematiken i olika kontexter eller att använda elevers
olika verksamheter i skolan och på fritiden som ett innehåll i matematiken. Enligt Wenger
(1998) är detta essentiellt för elevers engagemang och identitetsutveckling och kan tyda på ett
ställningstagande där undervisning inte riktas mot något utöver skolan, vilket kan medföra att
elever inte ser samband mellan skolmatematiken och den matematik de använder och behöver
använda i samhället (Wenger, 1998). Däremot betonar deltagarna betydelsen av att använda
elever som resurser för varandras lärande vilket bidrar till utveckling av identitet och kan ses
som en del av arbetet mot matematisk litteracitet (Wenger, 1998).
I resultatet framgår även att trygghet och självförtroende liksom elevers tankar om hur vi
lär har betydelse för elevers utveckling av taluppfattning vilket reflekteras i forskning
(Holmes & Dowker, 2013). Samtidigt stärker utveckling av taluppfattning självkänsla och ger
en positiv attityd till matematikämnet (Somerville m. fl. 2015). Att utveckla taluppfattning
och därmed trygghet möts bland annat genom att deltagare agerar som länk mellan elever och
ordinarie undervisning samt stödjer fasta strukturer och rutiner för elevers skoldagar och
lektioner. Självförtroende relateras tydligare till avstånd mellan elevers förförståelse och
ordinarie undervisning än vad trygghet gör. Deltagarna möter självförtroende med att
synliggöra framsteg och betona vikten av elevers delaktighet i att sätta mål och utvärdera
dessa. Tre deltagare anser att en del av att undvika elevers möte med avstånd i undervisningen
är att snabbt höja elevers kompetens i taluppfattning genom strukturerad undervisning vilket
47
reflekteras i forskning som belyser att insatser ska tillgodoses före bekymmer uppstår (Praet
& Desoete, 2014). Det framgår också i resultatet att ordinarie undervisning behöver utvecklas
för att möta alla elevers tempo. Att undervisningen samlas kring ett begrepp eller matematiskt
område och varieras kring detta kan enligt deltagarna vara ett sätt, eftersom elever erbjuds
djupare förståelse istället för ytlig förståelse i en mängd områden. Detta reflekterar ett
ställningstagande för att undervisningen behöver erbjuda tillfällen att förändra identiteter mer
än erbjuda träning för kompetens (Wenger, 1998) och enligt Enoksson (2014) har varierad
undervisning om ett begrepp visat sig vara förmånligt för elever som har rätt till insatser i
undervisningen. Ställningstagandet reflekteras även i Pedrotty Bryants m. fl. (2011) studie
som visar att elever behöver ges tillräckligt med tid för att de ska utveckla bestående
förståelse för matematiska begrepp. Till sist framgår även att egna perspektiv och tolkningar
av forskning och teorier har stor betydelse för ställningstaganden inför och under en design
för lärande och att dessa kan vara viktigare än till exempel kollegors önskemål. Resultatet
visar också att deltagarna har gemensamt perspektiv på vilken riktning deras framtida arbete
ska ha. Deras arbete riktas mot förebyggande arbete genom tidiga insatser, utveckling av
ordinarie undervisning och därmed minskat fokus på elevers kompetens. Resultatet föreslår
att även om perspektivet är gemensamt är gestaltningen av insatserna genom
ställningstaganden vid val inför och under genomförande av design för lärande varierande.
Bedömning av om designer gör tillräcklig skillnad för elevers lärande
I data framträder att deltagarna använder tre sätt för att avgöra om en insats gjort tillräckligt
stor skillnad för elever. Det finns skillnader i hur avslut hanteras av deltagarna beroende på
design och elevers undervisningssituation.
Uppmärksamhet
på möjlighet att
delta
Bedömning av
designers
effektivitet
Elevers
kontinuerliga
utvärdering
Tester
Figur 4. Figuren åskådliggör de tre olika sätt deltagarna använder för att få information om
en designers effektivitet, det vill säga om designerna verkar för elevers lärande.
48
Uppmärksamhet på elevers möjlighet att delta. Enligt deltagarna är elevers möjlighet att delta
aktivt i den ordinarie matematikundervisningen avgörande för om en design gjort tillräcklig
skillnad för elever både då det gäller kompetens och social delaktighet, vilket en av deltagarna
beskriver i följande uttalande:
Det är i samtal och i arbetet med…i olika typer av uppgifter. Ofta är det resonemanget, hur de
resonerar kring problemlösning eller taluppfattningsproblematik.
Kontinuerliga observationer vid lektionstillfällen liksom elevers kontinuerliga utvärdering av
eget arbete ger relevant information. Även elevers självförtroende har betydelse för om
deltagarna avgör att en insats har gjort tillräckligt stor skillnad eftersom självförtroendet
påverkar elevers delaktighet i den ordinarie matematikundervisningen.
Elevers kontinuerliga utvärdering eller strategier för att lösa problem i text eller bild.
Genom elevers utvärdering av mål de varit delaktiga i att formulera synliggörs elevers
tolkning av sina framsteg vilket informerar specialläraren om fortsatt arbete eller möjlighet att
avsluta insatsen. Även elevers sätt att lösa matematiska problem representerat genom text
eller genom att elever ritat kan ge tydlig information om framsteg.
Tester. Enkla kontroller av utveckling av talfakta kan ske varje eller varannan vecka i
ordinarie undervisning, medan screening av ett vidare taluppfattningsområde kan ske en till
fyra gånger om året och vid behov. Deltagarna använder sig av den information som tester
och diagnoser i klassrummet ger och ser det oftast inte nödvändigt att samla ytterligare
information i synnerhet eftersom de ofta är delaktiga i genomförande eller analys av resultat.
Tester kan också utgöra en objektiv motvikt till speciallärarens uppfattning om elevers
lärande, vilket en av deltagarna åskådliggör i följande uttalande:
Att det finns ett mätinstrument som är lika för alla barn. Inte min privata uppfattning om att så här
fungerar det. Även om det ofta stämmer överens min uppfattning och screeningen. Så vill jag ändå
ha någon formell…ja. För min skull och för barnens skull.
Även resultat i nationella prov i årskurs 3 har betydelse för att avgöra om insatser gjort
tillräcklig skillnad. Tre deltagare använder inte regelbunden screening på grund av att
materialen som finns tillgängliga inte erbjuder det de efterfrågar eller på grund av att
screening inte prioriteras på arbetsplatsen.
49
Insatsers avslut
I data framträder att tidsbestämda insatser avslutas. En tidsbestämd insats kan vara en insats
som riktas mot ett specifikt område inom taluppfattning där klassläraren efterfrågat samarbete
under en period. En tidsbestämd insats kan också vara strukturerad undervisning där antalet
veckor är bestämt i förväg. Övriga insatser avslutas inte lika tydligt. Enligt deltagarna kan de
ta ett steg tillbaka eller hantera insatser som mer eller mindre aktiva, vilket en av deltagarna
belyser i följande uttalande:
Men matten är ju lite… Det är mer liksom diffust där. Det är svårare. Jag känner nog att jag har de
här eleverna hela vägen. Det är nästan ingen jag släpper.
En anledning är enligt deltagarna att den ordinarie undervisningens tempo inte möter alla
elever. Även elevers möjlighet att minnas påverkar enligt deltagarna hur frekvent repetition
behövs vilket påverkar möjligheten att helt avsluta en insats. Ytterligare en orsak kan enligt
deltagarna vara att insatser inte verkar tillräckligt mycket för elevers lärande.
Delanalys
I resultatet synliggörs att deltagarna använder sig av flera sätt för att avgöra om en insats gjort
tillräcklig skillnad. Dels används tester som ett sätt att snabbt få objektiv information om ett
begränsat område i elevens utveckling av grundläggande taluppfattning. Dels används elevers
produktion av utvärderande texter eller bilder som visar på matematiska resonemang.
Dessutom används observation av elevers självförtroende och aktiva deltagande i ordinarie
undervisning. Deltagarnas användning av information ur olika perspektiv överensstämmer
med litteratur och forskning i det att enkla test inte kan säga mycket om insatsen fört eleven
närmare utbildningens mål utan bara om kompentensen höjts inom ett begränsat område
(Jönsson, 2013). Det överensstämmer även i att självförtroende och attityder påverkar elevers
lärande (Holmes & Dowker, 2013; Somerville m. fl. 2015) och därför är av betydelse att vara
uppmärksam på. Tre deltagare använder inte tester särskilt mycket på grund av att de inte är
nöjda med det utbud som finns. Det överensstämmer med Räsänens och Aunios (2015) studie
som belyser att tester för grundläggande taluppfattning inte är uppdaterade enligt aktuell
forskning och därför har begränsad användbarhet. Nationella prov i årskurs 3 har betydelse
för deltagarnas värdering av insatsers effektivitet. Lange och Meaney (2014) är kritiska till att
använda nationella prov som mätning av undervisnings effektivitet eftersom det riktar
undervisning mot lärande för skolan istället för lärande för delaktighet i samhället. De
50
efterlyser i så fall en diskussion om vilken matematik elever behöver lära sig i förhållande till
testets innehåll. Deltagarna använder kontinuerlig utvärdering av elevers resonemang och
matematiska tillvägagångssätt som underlag liksom elevers utvärdering av mål de medverkat i
att formulera, vilket enligt Jönsson (2013) och Mitchell (2015) är effektiva sätt att utvärdera
undervisningens effektivitet. Deltagarnas ställningstagande att inte enbart använda enkla
tester för utvärdering visar på ett ställningstagande där elever ges möjlighet att förhandla om
vad som är meningsfullt i undervisningen (Wenger, 1998). Resultatet i den här studien
överensstämmer inte med resultatet i Liu-Trofimovskys (2014) studie där testning upptog så
stor del av speciallärares uppdrag att deras tid för att genomföra insatser var mycket
begränsade. Denna studies resultat överensstämmer inte heller med att insatsers effektivitet
ska mätas genom en analys av elevers möjlighet att ta med sig kunskap i omvärlden
(Foucault, 1980; Wenger, 1998; Bourdieu & Passeron, 2008). Det är osäkert hur en sådan
analys kan göras och vad den behöver innehålla för att ge ett tillförlitligt resultat.
Bortsett från strukturerad undervisning och kortsiktiga insatser kring ett begränsat
matematiskt område avslutas inte insatser, utan beskrivs av deltagarna som mer eller mindre
aktiva. Det kan tolkas som att de designer för lärande som används inte är tillräckligt
effektiva, eftersom de i så fall skulle kunna avslutas. Det skulle också kunna tyda på att fokus
riktas mot undervisning mer än lärande, vilket kan resultera i att undervisningen inte
utvecklas trots att den inte möter elever (Bourdieu & Passeron, 2008). Ett alternativ är också
att insatsen hålls öppen för att skyndsamt kunna göra insatser i ordinarie undervisning men
också att lika skyndsamt ge elever utrymme för självständighet i den ordinarie undervisningen
så fort eleverna visar möjlighet till det. Detta perspektiv är synligt i synnerhet i
tvålärarsystemet i denna studie. Det gör att insatsen är svår att utvärdera vilket reflekteras i att
det finns få studier om hur effektivt tvålärarsystemet är för elevers lärande (Mitchell, 2008).
Sammanfattning
Resultatet visar att deltagarna använder sig av två designer för lärande. Dels undervisning i
samverkan där tvålärarsystem, handledning och samarbete ingår och dels undervisning i
grupp eller enskilt. I resultatet framgår att deltagarna använder professionellt omdöme för att
förändra undervisningsstrategier för att förbättra elevers situation och lärande vilket
överensstämmer med en studie om speciallärares beslut om insatser av Liu-Trofimovsky
(2014). Att inte följa en strategi så som den är prövad innebär att de resultat forskning visar
51
om strategins påverkan på elevers lärande inte kan förväntas gälla (Mitchell, 2015). Resultatet
visar också att deltagarnas perspektiv på grundläggande taluppfattning, lärande i
grundläggande taluppfattning, kunskap, elevers önskemål, lärares situation, forskning, teorier
och egen erfarenhet speglar hur insatsen genomförs och vad den innehåller. Deltagarna
betonar bland annat elevers trygghet och självförtroende, varierad undervisning kring ett
begrepp och undervisning som innehåller olika representationsnivåer samt att undervisningen
i
matematik
riktas
mot
matematisk
litteracitet.
I
resultatet
speglas
deltagarnas
ställningstagande för matematisk litteracitet bland annat i betoning på elever som resurser för
lärande och möjlighet till att förhandla under designers genomförande om innehåll och
aktiviteter. Däremot reflekteras matematisk litteracitet inte i att deltagarna arbetar med att
bilda länkar mellan skolmatematik och elevers fritid. Det kan bero på att denna studie riktas
mot grundläggande taluppfattning och inte mot matematiska förmågor. Resultatet visar på att
deltagarna vill rikta sitt arbete mot utveckling av ordinarie undervisning mer än mot elevers
kompetens och arbeta förebyggande genom tidiga insatser. Resultatet visar dessutom att
deltagarna använder observation av elevers självförtroende och delaktighet i ordinarie
undervisning, kontinuerlig utvärdering och tester för att avgöra om en insats gjort tillräcklig
skillnad för elever. Att inte bara använda elevers kompetens som mått på en designs framgång
visar på ett ställningstagande om att elevers möjlighet att utveckla lärande identiteter betonas
(Wenger, 1998). Det är bara strukturerad undervisning och avgränsade insatser som avslutas
tydligt. Övriga insatser beskrivs av deltagarna som mer eller mindre aktiva. Det innebär att
elever skyndsamt kan få tillgång till insatser men kan också medföra att insatsers effektivitet
är svåra att utvärdera.
52
Diskussion
Studiens syfte är att belysa vilka designer för lärande som speciallärare i matematik använder
för att möjliggöra lärande i grundläggande taluppfattning i grundskolans årskurs 1-3. Syftet är
också att åskådliggöra vad som ligger till grund för valet av design och vad som avgör att en
design har verkat tillräckligt mycket för elevers lärande. Nedan diskuteras resultat, metod och
implikationer studien kan ha för det specialpedagogiska fältet.
Resultatdiskussion
I den här studien belyser deltagarna att de inte använder färdiga undervisningsstrategier utan
gör ställningstaganden utifrån egna perspektiv. Utifrån Wengers (1998) teori om
ställningstaganden är det nödvändigt för att fokusera på lärande och inte på undervisning,
eftersom ett fokus på undervisning tillåter att undervisningen fortsätter trots att den inte möter
alla elever. Ur detta perspektiv framträder frågan hur speciallärare ska förhålla sig till
skollagens (2010:800, bilaga 1) krav på att utbildning ska vila på vetenskaplig grund.
Strukturerad undervisning är den enda designen i den här studien som grundas på
forskningsresultat om just grundläggande taluppfattning. Men eftersom modellerna för den
strukturerade undervisningen inte följs kan de forskningsresultat som finns inte förväntas
gälla (Mononen & Aunio, 2014; Toll & Van Luit, 2014; Somerville m. fl. 2015; Mitchell,
2015). Deltagarna möter kravet på vetenskaplig grund genom att inom designen arbeta med
innehåll som visat sig vara framgångsrikt som till exempel varierad undervisning kring ett
matematiskt begrepp (Enoksson, 2014) och med representationsnivåer och samband mellan
dessa (Sterner, 2015). Liu-Trofimovsky (2014) och Mononen och Aunio (2014) anser att det
behövs forskning om designer för lärande i grundläggande taluppfattning eftersom de
designer som nu används inte är tillräckligt effektiva för elevers lärande. Detta speglas till viss
del i den här studien då deltagarna beskriver att insatser sällan avslutas helt, vilket antyder att
insatserna inte varit tillräckligt effektiva för elevers lärande trots att designerna utvecklats av
deltagarna för att bättre möta elever.
Under intervjuerna framgick att de två designerna kräver olika sorts ställningstaganden av
speciallärarna. Vid valet att undervisa i grupp eller individuellt betonas hänsyn till elevers
inställning till undervisningen och känslor inför tillfällena för att speciallärarna vill försäkra
53
sig om att inte skapa eller stödja en negativ självbild. Vid strukturerad undervisning
synliggörs ställningstaganden om att använda program för undervisning som prövats
vetenskapligt. Deltagare som använder undervisning i liten grupp eller individuellt uttrycker
ett kritiskt förhållningssätt till designen. Att undervisa utanför ordinarie undervisning har
bland annat kritiserats av skolverket (2011a) eftersom elever hindras delta regelbundet i
omdömesgrundande undervisning. Detta speglas inte i den här studien eftersom undervisning
i grupp eller enskilt sällan genomförs samtidigt som ordinarie undervisning i matematik.
Deltagare som inte använder sig av undervisning i grupp eller enskilt utan endast
undervisning i samverkan synliggör istället ställningstagande mot en förväntan från lärare på
speciallärarens yrkesroll som innebär att undervisa i grupp eller enskilt och att förändringen
av bilden av yrkesrollen har tagit tid. Däremot verkar undervisning i samverkan inte kräva
ställningstaganden kring elevers inställning till designen på samma sätt som undervisning i
grupp eller enskilt gör eller ett kritiskt förhållningssätt till designen i sig. Det finns också
skillnad i deltagarnas förhållningssätt till om designernas tillräcklighet. Undervisning i
samverkan ses som tillräckligt av två deltagare, medan fem anser att designen inte är
tillräcklig för elevers lärande. Ingen deltagare anser att undervisning i grupp eller enskilt är en
design som speciallärare uteslutande kan använda sig av, men fem deltagare ser den som en
möjlighet i kombination med undervisning i samverkan. Det föreslår att det inte är möjligt att
helt utesluta någon design i alla sammanhang vilket reflekteras i texter av Wenger (1998) och
Mitchell (2015).
Speciallärarna i den här studien vill arbeta mot att utveckla undervisning och på så vis
minska fokus på elevers kompetens. En deltagare planerar att strukturera sitt arbete med
lärares utvärdering av sin undervisning som grund. För att kunna erbjuda elever ett
grundläggande innehåll i matematikundervisningen behövs tydlighet i vad som är essentiellt
innehåll i olika matematiska områden. Därför krävs tydliga definitioner att planera den
ordinarie undervisningen utifrån (Andrews & Sayers, 2015). Genom dessa definitioner är
undervisningen möjlig att utvärdera för att undersöka om den erbjudit eleverna det innehåll
som krävs. Vi vet att undervisning är en viktig resurs för lärande och därför är det i första
hand den som behöver kartläggas (Lunde, 2011). För speciallärare kan det vara viktigt att inte
bara vara engagerade i att utvärdera ordinarie undervisning utan även egna insatser. Därför är
det grundläggande att ha synliga ramverk för de designer vi använder för att de ska kunna
ifrågasättas, utvärderas och förbättras (Wenger, 1998). De ställningstaganden Wenger (1998)
formulerat kan vara ett sätt att förhålla sig till en vald design. Ett annat sätt är att överväga om
54
elevers styrkeförhållanden förändras (Bourdieu & Passeron, 2008). Deltagarna är
uppmärksamma på elevers delaktighet i ordinarie undervisning för att mäta om en design gör
tillräcklig skillnad för elevens lärande. Men för speciallärare i matematik kan det vara viktigt
att se utbildning i matematik i ett vidare område och arbeta mot att undersöka insatsers
påverkan på elevers möjlighet att delta i samhället. Lange och Meaney (2014) belyser att
nationella prov kan påverka att undervisningen inriktas mot att förbättra elevers provresultat,
vilket inte är synonymt med att rikta elever mot delaktighet i samhället som i matematik
anknyter till matematisk litteracitet. Om speciallärares mätning av en designs effektivitet
endast riktas mot delaktighet i ordinarie undervisning och inte samtidigt delaktighet i
samhället kan det finnas en risk för att designer för lärande reduceras till designer för
skolgång. Att hitta sätt att motivera och undersöka elevers användning av matematik utanför
undervisning i matematik kan därför vara en viktig del i speciallärares uppdrag.
Speciallärarna i den här studien betonar vikten av förebyggande arbete genom tidiga
insatser för att erbjuda elever goda möjligheter att utveckla grundläggande taluppfattning.
Flera deltagare har varit eller är på något sätt involverade i kartläggning i förskoleklassen för
att vara förberedda på insatser i årskurs 1 eller förberedande insatser genom aktiviteter i
undervisning som berörde taluppfattning. En deltagare beskriver att tidiga insatser gör
skillnad för elever och att lärarna uppmärksammat att elever har bättre självförtroende i att
använda matematik i mellanstadiet. I Sterners (2015) studie synliggörs att tidiga insatser är av
stor betydelse. Strukturerad undervisning som vanligen förekommer i små grupper flyttades in
i klassrummet och anpassades för att ge utrymme för arbete i par och grupp. Studien
inriktades mot resonemang om representationer och sambanden mellan deras olika nivåer.
Sterners (2015) studie involverade lärare i kollegialt lärande. Studiens resultat är positivt för
elevers taluppfattning och visar att insatser för elevers lärande i grundläggande taluppfattning
i förskoleklass har konsekvenser för elevers delaktighet och lärande i årskurs 1. Studien visar
ett sätt att kombinera tvålärarsystemet och samarbete mellan lärarprofessioner med
undervisningsstrategier som har vetenskaplig grund. Det finns flera studier som visar positiva
resultat vid tidiga insatser, till exempel Toll och Van Luit (2014), Praet och Desoete (2014)
och Dyson m. fl. (2015). Att förebygga att bekymmer uppstår i mötet mellan undervisning
och elever när det gäller grundläggande taluppfattning genom undervisningsstrukturer och rik
lärmiljö (Praet & Desoete, 2014) kan vara en av speciallärares viktigaste uppgifter.
55
Specialpedagogiska implikationer
Wengers (1998) teori om lärande innebär att lärande sker ständigt. Om vi inte lär det avsedda
lär vi något annat istället. Därför är tidiga insatser särskilt viktigt i speciallärares arbete med
förebyggande åtgärder för att hindra att lärande som leder till att elever misstror sin egen
förmåga att lära och använda matematik sker. Enligt skollagens (2010:800, se bilaga 1) andra
kapitel ska speciallärare främst arbeta förebyggande. I den här studien har deltagarna
förtydligat att de finner stöd för att tidiga insatser i taluppfattning ger resultat som inte bara är
tydliga i matematisk kompetens utan också i elevers självförtroende och tilltro till att använda
matematik. Detta stöds av forskning (Praet & Desoete, 2014; Dyson m. fl. 2015; Sterner,
2015) som undersökt insatsers möjlighet att påverka elevers lärande i grundläggande
taluppfattning. Tidiga insatser är ett sätt för skolan att ta tillvara på kunskapen om att elever
kommer till skolan med olika förförståelse för taluppfattning istället för att vänta på
förutsägbara skillnader i resultat (Bourdieu & Passeron, 2008). De kan också vara ett sätt att
förebygga att speciallärares arbete har reaktiv utformning och riktas mot att ansvara för
undervisning som inte möter elever. Utöver tidiga insatser i taluppfattning som i synnerhet
behöver riktas mot förskoleklass till årskurs 2, kan det vara intressant att skapa ett samarbete
med förskollärare i närliggande förskolor. Det är berikande med samarbete mellan
lärarprofessioner och att tillsammans utveckla lärmiljöer som stärker taluppfattning i våra
olika verksamheter kan främja elevers möjlighet att nå kunskapskraven i matematik och
utveckla matematisk litteracitet.
Att arbeta förebyggande kan ses som att låta en alternativ process växa fram (Wenger,
1998). I studien framträder tankar om att utvärdera undervisning vilket speglas i att Lunde
(2011) anser att det är undervisning som behöver kartläggas för att undanröja hinder och
möjliggöra lärande. I taluppfattning erbjuder Andrews och Sayers (2015) ett ramverk att
analysera undervisning utifrån genom en definition av taluppfattning. Att utveckla ramverk
som informerar och stödjer lärare om nödvändigt innehåll i undervisningen i olika årskurser
kan vara en del av speciallärares arbete. Dessa ramverk kan även användas som
utvärderingsverktyg (Andrews & Sayers, 2015). En del av utvecklingen av dessa ramverk kan
vara att i samarbete med lärare planera, genomföra och utveckla serier av lektioner som
fungerar väl för elevers lärande. En del av det arbetet kan riktas mot hur vi kan
uppmärksamma och främja elevers användning av matematik på sin fritid och använda det
som information om vad undervisningen kan innehålla och vilka kontexter som är
motiverande för elever att undersöka matematik i. För att skapa designer för lärande krävs
56
ramar att förhålla sig till. En sådan ram kan till exempel vara att använda de
motsatsförhållanden som Wenger (1998) formulerat som synliggör om vi rör oss mot att
träna kompetens eller skapa förutsättningar för elever att engagera sig i sitt eget lärande i ett
område som sträcker sig utöver skolans verksamhet. Ett sådant ramverk kan vara viktigt att ha
som analysverktyg för att utvärdera egna insatser och inte bara ordinarie undervisning.
Eftersom det inte finns särskilt mycket forskning om design för lärande i grundläggande
taluppfattning är det svårt för speciallärare i matematik att ta beslut om design på vetenskaplig
grund. Därför är det viktigt att arbeta utifrån beprövad erfarenhet. Att systematiskt samla egna
erfarenheter från insatser i undervisningen för att möjliggöra elevers lärande och att dela de
erfarenheterna genom kollegialt lärande med andra speciallärare i matematik kan vara
avgörande för designers utveckling och därmed elevers möjlighet till lärande i grundläggande
taluppfattning. Därför kan delaktighet i nätverk för kollegialt lärande för speciallärare i
matematik vara grundläggande för att utveckla insatserna i den egna verksamheten.
Metoddiskussion
Studien genomfördes med konstruktivistisk grounded theory som angreppssätt och data
samlades in genom halvstrukturerad intervju. Intervjuerna bearbetades genom kodning för att
skapa kategorier. Kodning och kategorier bidrog till att lyfta data till abstrakt analytisk nivå
och kontrollerades sedan mot data. Citat kopplades till kategorier för att bekräfta
kategoriernas giltighet och öka tranparens mellan deltagarens yttranden och min tolkning. Det
var ibland bekymmersamt att hitta för läsaren belysande citat, eftersom yttranden som
bekräftade en kategori var splittrade på flera ställen i intervjuerna och benämnda med
allmänna ord. Jag har valt att använda citat som genom deltagarens ordval tydligt bekräftar att
citatet hör till den kategori där det är placerat för att ge transparensen äkthet. Kodning
medförde att materialet blev stort och tidskrävande att överblicka och hantera. Ibland var det
svårt att hitta tillbaka till de meningsfulla samtal som jag varit med om tillsammans med
deltagarna och det kunde ibland kännas som om de gick förlorade i mängden data. I en studie
som denna som inte prövar någon hypotes utan strävar efter att belysa, ska intressanta
aspekter som framträder i data följas upp och analyseras (Kvale & Brinkmann, 2014:
Charmaz, 2014). Samtidigt som metoden fungerade bra för att få svar på studiens frågor tror
jag att metoden i synnerhet fungerar väl vid smalare frågeställningar. Charmaz (2014) pekar
på möjligheten att balansera öppenhet för vad som framträder i data med medvetenhet om
57
begrepp och perspektiv som hålls i bakgrunden tills de blir relevanta i analysen. Kanske kan
sådana begrepp och perspektiv utgöra en inledande struktur för att hantera data på ett effektivt
sätt. Om den här studien ses som en början på en större studie, vars främsta syfte är att ge en
förståelse för en möjlig variation på fältet, kan urvalsgruppen som bestod av sju speciallärare i
matematik utgöra ett tillräckligt stort antal. För ett syfte som strävar efter att belysa en
variation med mättade kategorier är urvalsgruppen för liten.
I konstruktivistisk grounded theory återvänder forskaren till deltagarna, och eventuellt
också till andra deltagare, efter att ha analyserat data från de första intervjuerna. Syftet är till
exempel att fördjupa och fylla ut data. Det gör att den analytiska nivån blir mer avancerad och
att kategorierna mättas (Charmaz, 2014). I den här studien var det inte möjligt på grund av
studiens tidsram vilket begränsar resultatets teoretiska rimlighet. Det hade varit intressant att
återvända och fördjupa frågorna. Det hade också gett deltagares förhandling om
intervjuprocessen utrymme, till exempel genom att formulera vilka frågor som behöver ställas
när det gäller design för lärande i grundläggande taluppfattning. Det hade också varit
intressant att vidga urvalsgruppen för att undersöka om det finns fler variationer i deltagares
arbete med designer för lärande i grundläggande taluppfattning.
Kanske hade ett webbaserat frågeformulär kunnat ge en överblick över variationer på
fältet och gjort intervjuerna mer fokuserade. Liu-Trofimovsky (2014) använde det i sin studie
om speciallärares verksamheter i grundläggande taluppfattning men fick högt bortfall. Därför
är det inte säkert att ett frågeformulär gett tillförlitlig information, men det skulle kunna ha
varit ett sätt att precisera frågeställningarna mer och formulera intervjuer med djup kring få
frågor istället för bredd.
Förslag på fortsatt forskning
Att använda varandra som resurser för lärande som kollegor grundas på tanken att lärande
sker i sociala sammanhang (Wenger, 1998). Det är intressant att det i litteraturen betonas
kollegialt lärande mellan lärare samt elever som resurser för varandra. I den här studien
belyser deltagarna att elever utgör en resurs för speciallärares lärande. Därför är det intressant
att fortsätta den här studien med att undersöka elevers perspektiv på speciallärares insatser.
Enligt Bourdieu och Passeron (2008) är det inte ett frivilligt val att låta sig fostras. Det
innebär att även om elever har en positiv inställning till de insatser som genomförs under
tiden de genomförs går det inte att bestämma om insatsen är positiv för eleverna eftersom de i
58
grunden inte har ett val i en obligatorisk skolgång. Gymnasieelevers insikter om speciallärares
insatser för att ge elever möjlighet till lärande i grundskolan kan ge viktig information om
speciallärares fortsatta arbete. Trots Bourdieu och Passerons (2008) uppfattning kan även
yngre elevers uppfattning vara till hjälp i utvecklingen av effektiva designer för lärande i
grundläggande taluppfattning, men med deras begränsade frihet att välja i beaktande.
Taluppfattning har en betydande position bland matematiska områden för speciallärarna i
den här studien. Men det finns inte tillräckligt med forskning om designer för lärande i
grundläggande taluppfattning utöver strukturerad undervisning i små grupper eller
individuellt. Enligt Liu-Trofimovsky (2014) och Mitchell (2015) har kamrathandledning och
samarbetsinriktat lärande gett bra resultat i andra arbetsområden. Att utforska hur det kan
fungera på gruppnivå i förskoleklass och i årskurs 1-3 kan vara ett viktigt bidrag för att stödja
speciallärares förebyggande arbete.
Matematisk litteracitet innebär att kunna tolka och använda matematik i olika miljöer och
situationer (OECD, 2013). Elevers möjlighet att använda matematik utanför skolans
verksamhet kan informera speciallärare om hur undervisningen behöver utvecklas för att inte
riktas mot lärande för skolgång. Därför behövs forskning om hur analyser av elevers
användning av matematik på sin fritid kan genomföras och på vilket sätt analyserna kan
förändra undervisning i matematik.
Ett sista förslag på fortsatt forskning är att undersöka vilka frågor verksamma
speciallärare i matematik anser behövs ställas när det gäller design för lärande i
grundläggande taluppfattning och utgå från dessa frågor i fortsatt forskning. Det är ett sätt att
få forskning och speciallärares verksamhet att mötas och kan bidra till utveckling av insatser
som gör tillräcklig skillnad för elevers lärande.
59
60
Referenser
Andrews, Paul & Sayers, Judy (2015). Identifying opportunities for grade one children to
acquire foundational number sense: developing a framework for cross cultural classroom
analyses. Early Childhood Education Journal, (43), ss. 257-267.
Aunio, Pirjo & Räsänen, Pekka (2015). Core numerical skills for learning mathematics in
children aged five to eight years – a working model for educators. European Early
Childhood Education Research Journal, ss. 1-21.
Bakhtin, Mikhail (1986). Speech genres and other late essays. Austin: University of Texas
press.
Bergman, Susanne & Blomqvist, Camilla (2012). Uppskattande samtalskonst. Om att skapa
möjligheter i samtalets värld. Lund: Studentlitteratur.
Björklund Boistrup, Lisa (2013). Bedömning i matematik pågår! Återkoppling för elevers
engagemang och lärande. Stockholm: Liber.
Bourdieu, Pierre (1999). The weight of the world. Social suffering in contemporary society.
Cambridge: Polity press.
Bourdieu, Pierre & Passeron, Jean-Claude (2008). Reproduktionen. Lund: Arkiv förlag.
Charmaz, Kathy (2014). Constructing grounded theory. London: Sage Publishing.
Dyson, Nancy; Jordan, Nancy; Beliakoff, Amber & Hassinger-Das, Brenna (2015). A
kindergarten number-sense intervention with contrasting practice conditions for lowachieving children. Journal for Research in Mathematics Education, (46) (3), ss. 331-370.
Enoksson, Margareta (2014). Innehåll i behov av särskilt stöd. Erfarenheter från
lesson/learningstudies i matematik. (Matematikdidaktiska texter, del 5). Stockholm:
Stockholms universitet.
Foucault, Michel (1980). Power/Knowledge. New York: Vintage Books.
Holmes, Wayne & Dowker, Anne (2013). Catch up numeracy: a targeted intervention for
children who are low-attaining in mathematics. Research in Mathematics Education, (15)
(3), ss.249-265.
61
Jönsson, Anders (2013). Lärande bedömning. Malmö: Gleerups.
Karlsson, Natalia & Kilborn, Wiggo (2015). Matematikdidaktik i praktiken. Att undervisa i
årskurs 1-6. Malmö: Gleerups utbildning.
Kvale, Steinar & Brinkmann, Svend (2014). Den kvalitativa forskningsintervjun. Lund:
Studentlitteratur.
Lange, Troels & Meaney, Tamsin (2014). It´s just as well kids don´t vote: the positioning of
children through public discourse around national testing. Mathematics Education
Research Journal, (26), ss. 377-397.
Liu-Trofimovsky, Jia (2014). School psychologists´ early numeracy training and practices.
Albany: University at Albany.
Lunde, Olav (2011). När siffrorna skapar kaos – matematiksvårigheter ur ett
specialpedagogiskt perspektiv. Stockholm: Liber.
Mitchell, David (2015). Inkludering i skolan. Undervisningsstrategier som fungerar.
Stockholm: Natur & Kultur.
Mononen, Riikka & Aunio, Pirjo (2014). A mathematics intervention for low-performing
Finnish second graders: findings from a pilot study. European Journal of Special Needs
Education, (29) (4), ss. 457-473.
OECD (2013). PISA 2012 Assessment and analytical framework: Mathematics, Reading,
Science, Problemsolving and Financial Literacy. OECD Publishing. Hämtat 2 april 2016,
från
http://www.oecd.org/pisa/pisaproducts/PISA%202012%20framework%20e-
book_final.pdf
Pedrotty Bryant, Diane; Bryant, Brian; Roberts, Greg; Vaughn, Sharon; Hughes Pfannenstiel,
Kathleen; Porterfield, Jennifer & Gersten, Russell (2011). Early numeracy intervention
program for first-grade students with mathematics difficulties. Exceptional Children, (78)
(1), ss. 7-23.
Praet, Magda & Desoete, Annemie (2014). Enhancing young children´s arithmetic skills
through non-intensive, computerised kindergarten interventions: A randomised controlled
study. Teaching and Teacher Education, (39), ss. 56-65.
62
Regeringens
kommittédirektiv
2015:65
(2015).
Hämtat
23
april
2016,
från
http://www.regeringen.se/rattsdokument/kommittedirektiv/2015/06/dir.-201565/
Ryan Spirakus, Kathleen (2014). Decisions, decisions: a qualitative study of intervention
selection by special education teachers. River Forest: Concordia University Chicago.
Selander, Staffan & Kress, Gunther (2010). Design för lärande – ett multimodalt perspektiv.
Stockholm: Nordstedts förlag.
Skollagen (2010:800). Hämtat 23 april 2016, från https://www.riksdagen.se/sv/DokumentLagar/Lagar/Svenskforfattningssamling/Skollag-2010800_sfs-2010-800/
Skolverket (2011a). Särskilt stöd i grundskolan. En sammanställning av senare års forskning
och
utvärdering.
Hämtat
23
april
2016,
från
http://www.skolverket.se/om-
skolverket/publikationer/visa-enskildpublikation?_xurl_=http%3A%2F%2Fwww5.skolverket.se%2Fwtpub%2Fws%2Fskolbok
%2Fwpubext%2Ftrycksak%2FRecord%3Fk%3D1787
Skolverket (2011b). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011.
Hämtat
23
april
2016,
från
http://www.skolverket.se/laroplaner-amnen-och-
kurser/grundskoleutbildning/grundskola/matematik
Skolverket (2014a). Arbete med extra anpassningar, särskilt stöd och åtgärdsprogram.
(Skolverkets
allmänna
råd
med
kommentarer).
Hämtat
23
april
2016,
från
http://www.skolverket.se/regelverk/allmanna-rad/extra-anpassningar-1.196156
Skolverket (2014b). Stödinsatser i utbildningen – om ledning och stimulans, extra
anpassningar och särskilt stöd. Hämtat 23 april 2016, från http://www.skolverket.se/omskolverket/publikationer/visa-enskildpublikation?_xurl_=http%3A%2F%2Fwww5.skolverket.se%2Fwtpub%2Fws%2Fskolbok
%2Fwpubext%2Ftrycksak%2FRecord%3Fk%3D3362
Skolverket (2014c). Bedömning för lärande i matematik för årskurs 1-9. Hämtat 23 april
2016, från
http://www.skolverket.se/bedomning/bedomning/bedomningsstod/matematik/for-larande1.196206
63
Skott, Jeppe; Hansen, Hans Christian; Jess, Kristine & Schou, John (2010). Matematik för
lärare. (Y grundbok band 2). Malmö: Gleerups.
Somerville, Ros; Ayre, Kate: Tunbridge, Daniel; Cole, Katy: Stollery, Richard & Sanders,
Mary (2015). Firm foundations: the effectiveness of an educational psychologist developed
intervention targeting early numeracy skills. Educational Psychology in Practice, (31) (3),
ss. 265-278.
Sterner, Görel (2015). Tal, resonemang och representationer – en interventionsstudie i
matematik i förskoleklass. Göteborg: Göteborgs universitet.
Timperley,
Helen
(2014).
Det
professionella
lärandets
inneboende
kraft.
Lund:
Studentlitteratur.
Toll, Sylke & Van Luit, Johannes (2014). Effects of remedial numeracy instruction
throughout kindergarten starting at different ages: Evidence from a large-scale longitudinal
study. Learning and Instruction, (33), ss. 39-49.
Vega, Mary Luz & Hederich, Christian (2015). The impact of a cooperative learning program
on the academic achievement in mathematics and language in fourth grade students and its
relation to cognitive style. New Approaches in Educational Research, (4) (2), ss. 84-90.
Vetenskapsrådet
(2002).
Forskningsetiska
principer.
Hämtat
2
april
2016,
från
http://www.codex.vr.se/texts/HSFR.pdf
Wenger, Etienne (1998). Communities of practice. Learning, meaning, and identity.
Cambridge: Cambridge university press.
64
Bilaga 1
Utdrag ur Skollagen (2010:800).
Kapitel 1. Utformningen av utbildningen
5§ Utbildningen ska vila på vetenskaplig grund och beprövad erfarenhet. (Observera att detta
är ett utsnitt ur 5§.)
Kapitel 2. Huvudmän och ansvarsfördelning
25§ Elevhälsan ska främst vara förebyggande och hälsofrämjande. Elevernas utveckling mot
utbildningens mål ska stödjas. (Observera att detta är ett utsnitt ur 25§.)
Kapitel 3. Stöd i form av extra anpassningar
5a§ Om det inom ramen för undervisningen eller genom resultatet på ett nationellt prov,
uppgifter från lärare, övrig skolpersonal, en elev eller en elevs vårdnadshavare eller på annat
sätt framkommer att det kan befaras att en elev inte kommer att nå de kunskapskrav som
minst ska uppnås, ska eleven skyndsamt ges stöd i form av extra anpassningar inom ramen för
den ordinarie undervisningen, såvida inte annat följer av 8 §. Lag (2014:456).
65
Bilaga 2
Nedan presenteras Andrews och Sayers (2015) definition av grundläggande taluppfattning,
det vill säga Foundational Number Sense (FONS). De åtta kategorierna är avgränsade men
inte orelaterade till varandra. I varje kategori refererar Andrews och Sayers (2015) till tidigare
studier av andra författare. För dessa referenser hänvisas till Andrews och Sayers (2015)
artikel.
Number Recognition. FONS-aware children recognise number symbols and know associated
vocabulary and meaning. They can identify a particular number symbol from a collection of
number symbols and name a number when shown that symbol. Children who experience
difficulty with number recognition tend to experience later mathematical problems,
particularly with subitising. Alternatively, children who are able to recognise numbers are
more able to manage multi-digit arithmetic than those who cannot. Importantly, such skills are
better predictors of later mathematics achievement than either general measures of
intelligence or earlier achievement scores, effects lasting as late as adolescence.
Systematic Counting. FONS involves systematic counting and includes notions of ordinality
and cardinality. It entails counting to twenty and back or counting upwards and backwards
from an arbitrary starting point, knowing that each number occupies a fixed position in the
sequence of all numbers. Counting skills underpin arithmetical competence in general and
mental arithmetical competence in particular.
Awareness of the Relationship Between Number and Quantity. FONS includes an awareness
of the relationship between number and quantity. In particular, children understand not only
the one-to-one correspondence between a number´s name and the quantity it represents but
also that the last number in a count represents the total number of objects. Significantly, the
correspondence between a number´s name or symbol and the quantity represented is,
essentially, a human invention requiring instruction. Children who have difficulty with this
mapping process tend to experience later mathematical difficulties.
66
Quantity Discrimination. FONS includes awareness of magnitude and of comparisons
between different magnitudes and deploys language like bigger than or smaller than. Children
understand that eight represents a quantity that is bigger than six but smaller than ten. In
particular, children who are magnitude aware have moved beyond counting as a memorized
list and a mechanical routine, without attaching any sense of numerical magnitudes to the
words. Moreover, magnitude awareness has been shown to be a predictor, irrespective of
ability or age, of more general mathematical achievement.
An Understanding of Different Representations of Number. FONS incorporates an
understanding that numbers can be represented differently and that these act as different
points of reference. The better students understand a number line, for example, the higher
their later arithmetical achievement. The better a child understands a partition as a
representation of a number, the better developed is that child´s later understanding of
numerical structures and arithmetical skills. The more competent a child is with regard to the
use of fingers in both counting and early arithmetic, skills that can be taught effectively, the
more competent that child is in later years. Significantly, the use of finger strategies increases
as socio-economic status increases, justifying targeted interventions. The use of
manipulatives, particularly linking blocks, facilitates counting and the identification of errors.
Thus, the better the connections between different representations the more likely a child is to
become arithmetically competent.
Estimation. FONS aware children are able to estimate, whether it be the size of a set or an
object. Estimation involves moving between representations of number; for example, placing
a number on an empty number line. Estimation is thought to be a key determinant of later
arithmetical competence, particularly in respect of novel situations.
Simple Arithmetic Competence. A FONS aware child will be able to perform simple
arithmetical operations; skills which underpin arithmetical and mathematical fluency. Indeed,
simple arithmetical competence, or the transformation of small sets through addition and
subtraction, has been found to be a stronger predictor of later mathematical success than
measures of general intelligence. However, drawing on their experiences of combining
67
physical objects, children´s ability to solve non-verbal problems develops before the ability to
solve comparable word problems.
Awareness of Number Patterns. FONS includes awareness of number patterns and, in
particular, being able to identify a missing number. Such skills reinforce the skills of counting
and facilitate later arithmetical operations. Importantly, failure to identify a missing number in
a sequence is one of the strongest indicators of later mathematical difficulties.
68
Bilaga 3
Förmågor och kunskapskrav i årskurs 1-3 enligt kursplanen i matematik (Skolverket, 2011b).
Förmågor är kursiverade.
Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges
förutsättningar att utveckla sin förmåga att

formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och
metoder,
Kunskapskrav: Eleven kan lösa enkla problem i elevnära situationer genom att välja och
använda någon strategi med viss anpassning till problemets karaktär. Eleven beskriver
tillvägagångssätt och ger enkla omdömen om resultatens rimlighet.

använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp,
Kunskapskrav: Eleven har grundläggande kunskaper om matematiska begrepp och visar det
genom att använda dem i vanligt förekommande sammanhang på ett i huvudsak fungerande
sätt. Eleven kan beskriva begreppens egenskaper med hjälp av symboler och konkret material
eller bilder. Eleven kan även ge exempel på hur några begrepp relaterar till varandra. Eleven
har grundläggande kunskaper om naturliga tal och kan visa det genom att beskriva tals
inbördes relation samt genom att dela upp tal. Eleven visar grundläggande kunskaper om tal i
bråkform genom att dela upp helheter i olika antal delar samt jämföra och namnge delarna
som enkla bråk. Dessutom kan eleven använda grundläggande geometriska begrepp och
vanliga lägesord för att beskriva geometriska objekts egenskaper, läge och inbördes relationer.
Eleven kan även använda och ge exempel på enkla proportionella samband i elevnära
situationer.

välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa
rutinuppgifter,
Kunskapskrav: Eleven kan välja och använda i huvudsak fungerande matematiska metoder
69
med viss anpassning till sammanhanget för att göra enkla beräkningar med naturliga tal och
lösa enkla rutinuppgifter med tillfredsställande resultat. Eleven kan använda huvudräkning för
att genomföra beräkningar med de fyra räknesätten när talen och svaren ligger inom
heltalsområdet 0–20, samt för beräkningar av enkla tal i ett utvidgat talområde. Vid addition
och subtraktion kan eleven välja och använda skriftliga räknemetoder med tillfredsställande
resultat när talen och svaren ligger inom heltalsområdet 0–200. Eleven kan hantera enkla
matematiska likheter och använder då likhetstecknet på ett fungerande sätt. Eleven kan även
avbilda och, utifrån instruktioner, konstruera enkla geometriska objekt. Eleven kan göra enkla
mätningar, jämförelser och uppskattningar av längder, massor, volymer och tider och
använder vanliga måttenheter för att uttrycka resultatet.

föra och följa matematiska resonemang, och
Kunskapskrav: Eleven kan föra och följa matematiska resonemang om val av metoder och
räknesätt samt om resultats rimlighet, slumpmässiga händelser, geometriska mönster och
mönster i talföljder genom att ställa och besvara frågor som i huvudsak hör till ämnet.

använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra
för frågeställningar, beräkningar och slutsatser.
Kunskapskrav: Eleven kan beskriva och samtala om tillvägagångssätt på ett i huvudsak
fungerande sätt och använder då konkret material, bilder, symboler och andra matematiska
uttrycksformer med viss anpassning till sammanhanget. Eleven kan dessutom vid olika slag
av undersökningar i välkända situationer avläsa och skapa enkla tabeller och diagram för att
sortera och redovisa resultat.
70
Bilaga 4
I kursplanens centrala innehåll för taluppfattning och tals användning för grundskolans
årskurs 1-3 anges i sju punkter vad som ska behandlas i undervisningen. Dessa presenteras
nedan i rutor. Nedanför rutorna finns samtliga bedömningspunkter för taluppfattning och tals
användning i årskurs 1-3 i skolverkets material Bedömning för lärande (Skolverket, 2014c).

Naturliga tal och deras egenskaper samt hur talen kan delas upp och hur de kan
användas för att ange antal och ordning.

Naturliga tal och enkla tal i bråkform och deras användning i vardagliga situationer.
Bedömningen fokuserar i vilken grad eleven använder, visar och uttrycker kunskaper om:
o Vilket tal som kommer före och efter ett visst naturligt tal och att addition med 1
genererar nästa naturliga tal i talraden.
o Ordningstalen t ex första, femte, trettioförsta.
o Att ett tal kan delas upp på olika sätt t ex 7-, 10- och 17-kamrater (detta kan ske i
handling, med konkret material, med bild eller i huvudet).
o Att antal föremål kan grupperas på olika sätt t ex tiogrupper, femgrupper.
Bedömningen fokuserar även hur väl eleven:
o Använder ord som har med antal att göra, t ex många, färre än, skillnad.
o Uppfattar antal (färre än 10) utan att behöva räkna föremålen ett och ett.
o Behärskar räknesekvensen i olika steg uppåt och neråt från olika naturliga tal t ex tvåhopp, tio-hopp, hundra-hopp.
o Storleksordnar naturliga tal.
o Gör rimliga uppskattningar när det gäller större antal.
o Delar upp tal i både termer och faktorer t ex 16 = 10 + 6 ; 8 = 2 . 4
o Jämför och storleksordnar enkla bråk i huvudet, med bild eller med handling t ex delar
ett papper i tredjedelar och fjärdedelar.
o Placerar naturliga tal på tallinjen t ex 3; 17; 82.
o Skiljer på jämna och udda tal.
o Använder naturliga tal och enkla tal i bråkform i vardagliga situationer.
71
o Redovisar sina tankar om naturliga tal och antal med olika uttrycksformer t ex i
handling, med konkret material, bilder, ord och/eller matematiska symboler.
o Ställer och besvarar frågor om naturliga tal och antal.
Mer om tal i bråkform finns under rubriken Att uttrycka och använda tal.

Del av helhet och del av antal. Hur delarna kan benämnas och uttryckas som enkla
bråk samt hur enkla bråk förhåller sig till naturliga tal.
Bedömningen fokuserar i vilken grad eleven använder, visar och uttrycker kunskaper om:
o Enkla bråk t ex en halv, en tredjedel, tre fjärdedelar.
o Att om man delar en helhet i t ex fjärdedelar så måste alla fjärdedelar vara lika stora.
3
o Att ett naturligt tal kan skrivas som bråk t ex 1 = 3
o Att en fjärdedel av en helhet kan vara större än en halv om helheterna är olika t ex att
en fjärdedels chokladkaka kan vara större än en halv chokladkaka.
Bedömningen fokuserar även hur väl eleven:
o Använder hälften/dubbelt som del av helhet (”hälften av kakan”) eller som del av antal
(”jag har dubbelt så många byggbitar som hon har”).
o Känner igen, säger och skriver naturliga tal samt enkla bråk tex femton, en fjärdedel,
trehundrafem.
o Redovisar sina tankar om tal och enkla bråk med olika uttrycksformer t ex i handling,
med konkret material, bilder, ord och/eller matematiska symboler.
o Ställer och besvarar frågor om tal och enkla bråk.

Hur positionssystemet kan användas för att beskriva naturliga tal. Symboler för tal
och symbolernas utveckling i några olika kulturer genom historien.
Bedömningen fokuserar i vilken grad eleven använder, visar och uttrycker kunskaper om:
o Tiotal, hundratal, tusental osv och att siffrans position avgör värdet t ex att tvåan i 23
betyder 2 gånger 10.
o Siffrors platsvärde i tiobassystemet t ex att 435 = 400+30+5.
o Betydelsen av siffran 0 i ett tal och talet 0.
72
o Ett tals storlek, t ex att 70 är tio gånger större än 7.
o Hur man i olika kulturer genom historien använt olika föremål eller tecken för att
representera ental, tiotal, hundratal, tusental osv innan nollan infördes.
Bedömningen fokuserar även hur väl eleven:
o Redovisar sina tankar om positionssystemet med olika uttrycksformer t ex i handling,
med konkret material, bilder, ord och/eller matematiska symboler.
o Ställer och besvarar frågor om positionssystemet.

De fyra räknesättens egenskaper och samband samt användning i olika situationer.

Centrala metoder för beräkningar med naturliga tal, vid huvudräkning och
överslagsräkning och vid beräkningar med skriftliga metoder och miniräknare.
Metodernas användning i olika situationer.

Rimlighetsbedömning vid enkla beräkningar och uppskattningar.
Bedömningen fokuserar i vilken grad eleven använder, visar och uttrycker kunskaper om:
o De fyra räknesätten och i vilka situationer som de kan användas.
o Sambanden mellan de olika räknesätten t ex att upprepad addition 5+5+5 är samma
sak som multiplikationen 3 . 5.
o Att ett tal kan skrivas som olika matematiska uttryck där olika räknesätt kan finnas
representerade t ex 4+5 = 10-1 = 3 . 3.
o Likhetstecknets och olikhetstecknens betydelse (mer om detta finns under
kunskapsområdet algebra).
o Addition som ökning och lägga samman, subtraktion som skillnad och minskning, att
beräkningar i ett talområde kan utnyttjas i ett utökat talområde t ex att om 3+4 = 7 så
är 33+4 = 37.
Bedömningen fokuserar även hur väl eleven:
o Använder utvecklingsbara metoder för att utföra beräkningar med naturliga tal vid
huvudräkning och överslagsräkning.
o Använder skriftliga och fungerande metoder för att utföra beräkningar med naturliga
tal.
o Väljer och använder relevant räknesätt i olika situationer.
73
o Tolkar vad ett matematiskt uttryck kan innebära och kan skriva en räknehändelse till
ett uttryck där olika räknesätt finns representerade t ex 3 . 5 = 15; 15-7 = 8.
o Tillämpar de grundläggande räknelagarna t ex att 2+15 = 15+2.
o Bedömer om resultatet är rimligt vid huvudräkning och enkla beräkningar med
skriftliga räknemetoder.
o Använder miniräknaren för att utföra beräkningar med naturliga tal.
o Redovisar med olika uttrycksformer t ex i handling, med konkret material, bilder, ord
och/eller matematiska symboler.
74
Bilaga 5
Vid sökning av artiklar och avhandlingar är urvalet begränsat genom att endast använda texter
publicerade 2011 eller senare. Begränsningar har även gjorts genom att avgränsa till peerreviewed när det gäller artiklar.
Vid fortsatt urval har begränsningar gjorts till förmån för artiklar som enbart riktar sig
mot grundläggande taluppfattning och där studien berör elever i åldern 5 – 10 år. Artiklar och
avhandlingar som enbart syftar till att pröva ett visst material i förhållande till taluppfattning
har valts bort liksom de som endast behandlar ett specifikt område av taluppfattning som till
exempel subitisering eller diskriminering av kvantiteter. Dessutom valdes artiklar som
fokuserar på diagnosen dyskalkuli valts bort eftersom det inte finns bevis för att elever som
har rätt till insatser i undervisningen behöver en annan design för lärande än vad andra elever
gör (Lunde, 2011; Mitchell, 2015). När flera artiklar liknat varandra i innehåll har den senast
publicerade artikeln valts. I urvalet har även hänsyn till internationell spridning tagits, liksom
till att få en representation av olika publikationer samt olika författare. Flera artiklar och
avhandlingar har hittats genom att söka på författare som andra författare refererat till.
Särskild vikt har lagts vid författare som refereras till i mer än en artikel. En ytterligare
sökning har gjorts genom att läsa innehållsförteckningen i alla Journal for research in
mathematics education år 2011-2015. Andra artiklar har jag hittat genom att söka på
nyckelord. Exempel på sökord som använts vid sökning av artiklar och avhandlingar på
summon på Malmö högskolas biblioteks webbsida (http://mah.se/bibliotek): number sense,
foundational number sense, early numeracy, innate numerosity, number sense development,
core numerical skills, number sense intervention, early numeracy intervention, peer tutoring
in math och cooperative learning in mathematics.
75
Bilaga 6
Missivbrev
En studie om speciallärare i matematiks utformning av insatser för att ge elever i
grundskolans åk 1-3 möjlighet att nå kunskapskraven i matematik när det gäller
grundläggande taluppfattning.
Hej!
I januari börjar jag sista terminen på programmet för speciallärare i matematikutveckling vid
Malmö högskola och ska skriva mitt examensarbete. Jag intresserar mig för speciallärare i
matematiks utformning av insatser för att ge elever i grundskolans åk 1-3 möjlighet att nå
kunskapskraven i matematik när det gäller grundläggande taluppfattning. God grundläggande
taluppfattning beskrivs ofta som väsentlig för elevers fortsatta matematikutveckling i texter
om matematikundervisning i grundskolans första årskurser. När elever visar resultat i
taluppfattning som innebär rätt till extra anpassningar och/eller särskilt stöd ska eleven
skyndsamt ges stöd enligt skollagen 3 kap 5§. Samtidigt finns få riktlinjer om stödets
utformning och forskning om olika insatser visar varierande resultat. Syftet är att undersöka
speciallärare i matematiks utformning av insatser i den vardagliga verksamheten när det gäller
grundläggande taluppfattning. Jag intresserar mig för insatsernas utformning, vad som ligger
till grund för den utformning som väljs och vad som avgör om en insats utgör en tillräcklig
skillnad för elevens kunskapsutveckling.
Därför vill jag intervjua speciallärare i matematik som är verksamma i grundskolans åk 13. Intervjun tar ca 45-60 minuter. Jag kommer gärna till din arbetsplats. Vid intervjun tar jag
hänsyn till Vetenskapsrådets forskningsetiska principer. Det innebär att deltagandet är
frivilligt och att du när som helst kan avbryta din medverkan. Intervjun behandlas
konfidentiellt, vilket till exempel innebär att varken ditt namn, skolans namn eller staden du
arbetar i nämns. Intervjun används endast i forskningssyfte för detta examensarbete.
Kan du tänka dig att delta? Maila mig på denna mailadress: [email protected] eller
ring/sms:a min mobil: xxx xxxxxxx.
Hälsningar Sofia Strand, Speciallärarprogrammet i matematikutveckling vid Malmö högskola
76
Bilaga 7
Intervjuguide
Information om anonymisering, till exempel om hur ljudinspelning och transkribering
behandlas, och att intervjun behandlas konfidentiellt.
Bakgrundsfrågor
Hur länge har du arbetat som speciallärare i matematik? I vilka årskurser? Hur länge har du
arbetat som lärare i matematik? I vilka årskurser?
Berätta i vilket matematiskt område du upplever att ditt arbete behövs mest på skolan? Varför
är det så, tänker du?
När jag läser om taluppfattning märker jag att det finns lite olika tolkningar av vad
grundläggande taluppfattning är. Vilken är din uppfattning om vad grundläggande
taluppfattning är?
Inledande frågor
Beskriv den insats du senast valde för att möjliggöra för en elev att utveckla taluppfattning.
Vad gjorde att du beslutade att genomföra en insats? Vad var det som gjorde att du utformade
insatsen på det sättet? Ändrade du insatsens utformning medan den pågick? Varför? Vad
gjorde att du avslutade insatsen? Gjorde insatsen någon skillnad för elevens möjlighet att nå
kunskapskraven? På andra sätt?
Tematiserade frågor
Insatser: före
Berätta mer om vilka faktorer som gör att du bestämmer dig för att genomföra en insats.
Beskriv vilka faktorer du väger in/som påverkar när du utformar insatser. Var får du idéer till
insatsers utformning?
77
Insatser: undertiden
Berätta mer om vad som skulle göra att du ändrar en insats utformning. Vad får dig att hålla
kvar vid en insats utformning? Skulle utformningen se annorlunda ut om det inte handlade om
taluppfattning?
Insatser: avslut och efter
Beskriv om vad som gör att du avslutar en insats. Berätta mer om hur du avgör att en insats
har gjort skillnad för elevens möjlighet att nå kunskapskraven i matematik. Beskriv om och i
så fall på vilket sätt du tänker att insatser kan göra skillnad för elever på andra sätt.
Egna perspektiv
När du tänker på hur lärande sker, vad tänker du då?
När du tänker på när lärande inte sker, hur tänker du då?
När du tänker på vad kunskap är, vad tänker du då?
På vilket sätt överensstämmer dina insatser med ditt sätt att se på lärande och kunskap? På
vilket sätt överensstämmer de inte?
Om du fick bestämma gällande insatser, vad skulle du göra då?
Avslutande frågor
Är det något mer du vill ta upp innan vi avslutar intervjun?
Tack för att du tog dig tid att prata med mig. Det har varit värdefullt och lärorikt.
Vill du att jag mailar dig det färdiga examensarbetet när det är godkänt?
78
Bilaga 8
Tvålärarsystem
Handledning
Undervisning i
samverkan
Samarbete
Samarbete
genom
dokument
Design för
lärande
Anpassning av
matematikbok
Undervisning i
grupp eller
individuellt
Strukturerad
undervisning
Flexibel
undervisning
Figur 2d. Deltagarna använder två designer för lärande. I figuren visas de båda designernas
innehåll som alla har egna underrubriker i textavsnittet som börjar på sidan 29.
79
Har betydelse för
andra matematiska
områden
Bilaga 9
Kunskapskrav är
höga
Perspektiv på
grundläggande
taluppfattning
Kräver tidiga
insatser
Har låg prioritet
Påverkas av andra
bekymmer
Trygghet
Självförtroende och
inställning
Elevinflytande
Egna perspektiv
Perspektiv på
lärande
Samarbete och
samtal
Samlad
undervisning och
variation
Representationsnivåer
Tempo
Perspektiv på
kunskap
Matematisk
litteracitet
Elevers önskemål
och lärares situation
Andra perspektiv
Forskning, teori och
erfarenhet
Inriktning på
utveckling av
undervisning
Figur 3f. Deltagarnas val av design påverkas av egna perspektiv. Däremot påverkas val av
design inte av att det handlar om grundläggande taluppfattning.
80