Inlämningsuppgift:: Grunder

c Mikael Forsberg
13 oktober 2014
Inlämningsuppgift:: Grunder
Allmänna Instruktioner ::Ni får gärna använda Mathematica i de delar där det verkar
vettigt, t.ex. när det gäller att plotta grafer och nivåkurvor. Ni lämnar in era lösningar genom att
skicka dem i ett gammaldags brev. Min adress ::
Mikael Forsberg
Surbrunnsgatan 40
11348 Stockholm
Jag tar inte emot uppgifterna elektroniskt eftersom jag av tidigare erfarenhet vet att det genererar
en mängd frustrerande extra arbete för mig. Bifogar ni ett frankerat kuvert med er adress så skickar
jag tillbaka uppgifterna när jag rättat dem.
Deadline 13 oktober 2014 (Poststämpel gäller)
Uppgifter ::
1 :: Skissa grafen till funktionen och nivåkurvorna z = k till funktionen z =
k = 0, 1, 2, 3, 4.
q
x+y
x−y
för nivåvärdena
2 :: Skissa nivåytan f (x, y, z) = k till funktionen f (x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 då k = 0.
3 :: Beräkna första ordningens partialderivator till funktionen f (x, y) = y −3/2 arctan x/y
2
2
4 :: Beräkna andra ordningens partialderivator till funktionen f (x, y) = xx2 −y
+y 2
5 :: Visa att funktionen f (x, y) = arctan x22xy
är harmonisk, dvs uppfyller Laplace ekvation
−y 2
∂2f
∂2f
+ 2 =0
2
∂x
∂y
6 :: Använd kedjeregeln för att beräkna
∂z
∂u
z = cos x sin y,
och
∂z
∂v ,
där
x = u − v,
y = u2 + v 2
7 :: Beräkna tangentplanet till ytan x2 y − 4z 2 = −7 i punkten p = (−3, 1, −2).
8 :: Temperaturen (i ◦ C) i en punkt (x, y) i en metallplåt som sammanfaller med xy-planet ges
av funktionen
xy
T (x, y) =
1 + x2 + y 2
a.) Beräkna hur mycket temperaturen ökar i punkten p = (1, 1) om man rör sig i riktningen
v = (2, −1)
b.) En myra som befinner sig i punkten p tycker att det är för varm och önskar röra sig i den
riktning där temperaturen minskar snabbast. Beräkna en enhetsvektor i den riktningen.
1
c Mikael Forsberg
13 oktober 2014
Lösningar ::
Uppgift 1:
Denna uppgift gör man enklast i Mathematica:
4
2
0
-2
-4
-4
-2
0
2
4
Figur 1: Grafen (med nivåkurvor) och de önskade nivåkurvorna till vår rotfunktion
Uppgift 2
Figur 2: Nivåytan x2 + y 2 − z 2 = k
(k = 0 i grönt och k = 10 som den blå yttre skuggan samt k = −8 som den inre ”skålen”)
2
c Mikael Forsberg
13 oktober 2014
Uppgift 3
Partialderivatorna till f (x, y) = y −3/2 arctan x/y blir
∂f
1
= √
∂x
y (x2 + y 2 )
och


−1 x 
 − x22xy
−
3
tan
2
+y
y
∂f
=

∂y
2y 5/2

Uppgift 4
Partialderivatorna till f (x, y) =
x2 −y 2
x2 +y 2
blir
2x x2 + y 2
4xy 2
∂f
2x
−
=
−
= 2
2
2
∂x
x − y2
(x2 − y 2 )
(x2 − y 2 )
och
2y x2 + y 2
2y
∂f
4x2 y
+ 2
=
=
2
2
2
∂y
x −y
(x2 − y 2 )
(x2 − y 2 )
Andraderivatorna blir
4 3x2 y 2 + y 4
8x2 x2 + y 2
2 x2 + y 2
8x2
2
∂2f
−
=
3
2 + x2 − y 2 −
2 =
3
∂x2
(x2 − y 2 )
(x2 − y 2 )
(x2 − y 2 )
(x2 − y 2 )
8xy x2 + y 2
∂2f
=−
3
∂x∂y
(x2 − y 2 )
8y 2 x2 + y 2
2 x2 + y 2
4 x4 + 3x2 y 2
8y 2
2
∂2f
=
+
3
2 +
2 + x2 − y 2 =
3
∂y 2
(x2 − y 2 )
(x2 − y 2 )
(x2 − y 2 )
(x2 − y 2 )
Uppgift 5
För att visa att f (x, y) = arctan
dade andraderivator:
Förstaderivatorna:
2xy
x2 −y 2
är harmonisk så behöver vi beräkna funktinoens oblan-
∂f
2y
=− 2
∂x
x + y2
∂f
2x
= 2
∂y
x + y2
Sedan andraderivatorna
∂2f
4xy
=
2
∂x2
(x2 + y 2 )
∂2f
4xy
=−
2
2
∂y 2
(x + y 2 )
Nu kollar vi om Laplace ekvation är uppfylld ::
∂2f
∂2f
4xy
4xy
+
=
−
2
2 = 0,
2
2
2
2
2
∂x
∂y
(x + y )
(x + y 2 )
|
{z
}
uppenbart =0
vilket den tydligen är...
3
c Mikael Forsberg
13 oktober 2014
Uppgift 6 ::
Kedjeregeln ger
∂z
∂z ∂x ∂z ∂y
=
+
= − sin(u − v) sin u2 + v 2 + 2u cos(u − v) cos u2 + v 2
∂u
∂x ∂u ∂y ∂u
∂z ∂x ∂z ∂y
∂z
=
+
= sin(u − v) sin u2 + v 2 + 2v cos(u − v) cos u2 + v 2
∂v
∂x ∂v
∂y ∂v
Uppgift 7 ::
Idén i denna uppgift är att vår yta är en nivåyta till funktionen f (x, y, z) = x2 y − 4z 2 och att gradienten till denna funktion ger oss en vektor som är vinkelrät mot ytan. Denna gradientvektor blir
därför normalvektor för tangentplanet. Vi börjar med att beräkna gradientvektorn i den aktuella
punkten:
∇f = (2xy, x2 , −8z)
I punkten p = (−3, 1, −2) så får vi nu gradientvektorn
∇f |p = (−6, 9, 16)
som alltså är normalvektor till tangentplanet i punkten p.
Ett plan ges av ekvationen ax + by + cz = d där n = (a, b, c) är en normalvektor i planet och d
bestäms av att planet ska gå genom en viss punkt. I vårt fall har vi n = (−6, 9, 16) vilket ger oss
ekvationen
−6x + 9y + 16z = d
Vår punkt p ska ligga i planet och måste därför uppfylla ekvationen. Sätter vi in punkten kan vi
alltså bestämma d ::
(−6) · (−3) + 9 · 1 + 16 · (−2) = d
Tangentplanet till ytan i punkten p har alltså ekvationen
−6x + 9y + 16z = −5
4
⇒
d = −5
c Mikael Forsberg
13 oktober 2014
Uppgift 8
a .) Temperaturökningen i en punkt i en viss riktning kan bestämmas mha skalärprodukten av
gradientvektorn och en enhetsvektor i den aktuella riktningen. Vi beräknar först gradientvektorn
i punkten p = (1, 1):
!
y −x2 + y 2 + 1 x x2 − y 2 + 1 1 1
1
∇T |p =
= ( , ) = (1, 1)
2 ,
2
2
2
2
2
9 9
9
(x + y + 1)
(x + y + 1)
p
Vi behöver nu en enhetsvektor ev i riktningen v = (2, −1). Denna får vi med normering:
ev =
v
(2, −1)
= √
||v||
5
Slutligen så får vi temperaturökningen i p i riktningen v som
∇T |p • ev =
(2, −1)
1
1
(1, 1) • √
= √
9
5
9 5
B.) Myran som vill krypa i den riktning där temperaturen minskar snabbast bör helst röra sig i den
motsatta gradientriktningen, dvs i riktingen −∇T |p = − 19 (1, 1). En enhetsvektor i den riktningen
blir
1
−∇T |p
= − √ (1, 1)
|| − ∇T |p ||
2
5