Fördjupning år 7

Lösningsförslag Fördjupning år 7 - Matematik
SDe
Observera att det här är en samling av lösningsförslag. Många uppgifter kan lösas på annat sätt än det sätt jag presenterar här. Det jag har
försökt är att hålla mig till en kvalitativ och tydlig redovisning och det är det som ni också ska sträva efter då ni själva ska lösa uppgifter.
1.
𝟏𝟗𝟖𝟎𝟎 = 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑 ∙ 𝟑 ∙ 𝟓 ∙ 𝟓 ∙ 𝟏𝟏
Man kommer fram till det genom att skapa ett faktorträd.
19800
198
99
33
2
50
3
11
2.
100
2
2
25
3
5
5
a) Eftersom AB = AC är vinklarna B och C lika stora.
Vinkeln x är en yttervinkel.
Yttervinkelsatsen säger att yttervinkeln är lika stor som de två motstående vinklarna inuti triangeln.
𝒙 = 𝟑𝟎° + 𝟑𝟎° = 𝟔𝟎°
b) Eftersom CA = CB är vinklarna A och B lika stora.
Den tredje vinkeln, kallar den för C, i triangeln ABC är en yttervinkel till triangeln CDE.
Vinkeln C = 60° + 40° = 100°
Vinkelsumman i en triangel är 180°.
𝑥 + 𝑥 + 100° = 180°
2𝑥 = 80°
𝒙 = 𝟒𝟎°
3.
Att triangeln XYZ är en liksidig triangel ger att vinkeln XYZ är
180°
3
= 60°.
Vinkelsumman i en triangel är 180°.
Vinkeln YXP = 𝟏𝟖𝟎° − 𝟔𝟎° − 𝟑𝟔° = 𝟖𝟒°
4.
Triangeln ABD är likbent med en toppvinkel ABD på 36°.
Det ger att basvinklarna BAD och BDA är
180°−36°
2
= 72° vardera.
Triangeln BDC är också en likbent triangel vars toppvinkel BDC är en sidovinkel till vinkeln BDA.
Sidovinklar är tillsammans 180°, vilket ger att vinkeln BDC = 180° − 72° = 108°
Vinkeln BCD =
5.
𝟏𝟖𝟎°−𝟏𝟎𝟖°
𝟐
= 𝟑𝟔°
∧BEC ligger i triangeln BEC och vinkelsumman i en triangel är 180°.
∧BEC = 𝟏𝟖𝟎° − 𝟗𝟎° − 𝟒𝟑° = 𝟒𝟕°
∧BFE = ∧CFD = 94° eftersom de är vertikalvinklar
Då kan jag räkna ut ∧EBF i triangeln BEF…
∧EBF = 180° − 94° − 47° = 39°
Genom att nu använda triangeln ABD kan jag räkna ut ∧ADB = 𝟏𝟖𝟎° − 𝟔𝟖° − 𝟑𝟗° = 𝟕𝟑°
6.
Triangeln ACY är likbent med en toppvinkel CAY på 54°.
Det ger att ∧CYA =
𝟏𝟖𝟎°−𝟓𝟒°
𝟐
= 𝟔𝟑°.
Triangeln ABX är likbent med en toppvinkel AXB på 62°.
Det ger att ∧BAX = ∧ABX =
180°−62°
2
= 59°.
Genom att använda triangeln ABC kan jag räkna ut ∧ABC = 180° − 90° − 54° = 36°
∧ 𝐂𝐁𝐗 =∧ 𝐀𝐁𝐂 +∧ 𝐀𝐁𝐗 = 𝟑𝟔° + 𝟓𝟗° = 𝟗𝟓°
Lösningsförslag Fördjupning år 7 - Matematik
7.
I en parallellogram ∧ ABC +∧ BCA = 180°.
Det ger att ∧ 𝐀𝐁𝐃 = 𝟏𝟖𝟎° − 𝟗𝟖° − 𝟓𝟎° = 𝟑𝟐°
I en parallellogram är ∧ BAD =∧ BCD = 50°.
Eftersom triangeln ADX är likbent är ∧ DAX =∧ AXD = 50°
Det ger att ∧ 𝐀𝐃𝐗 = 𝟏𝟖𝟎° − 𝟐 ∙ 𝟓𝟎° = 𝟖𝟎°
För uppgift 8-11….
En del av en cirkelns omkrets kallas för båge.
Omkretsen för en hel cirkel = π·d där π = 3,14
8.
A)
Figur a’s omkrets består av
-
två lika stora halvcirkelbågar som tillsammans bildar en hel cirkels omkrets med diametern 10 cm
-
en större kvartscirkelbåge med diametern: 2 ∙ 𝑟 = 2 ∙ 10 = 20 𝑐𝑚
Omkretsen för de två halvcirkelbågarna: π·10 = 31,4 cm
Omkretsen för kvartscirkelbågen:
𝜋∙𝑑
4
=
𝜋∙20
62,8
=
4
4
= 15,7 𝑐𝑚
Hela omkretsen på figur a: 31,4 + 15,7 = 47,1 cm ≈ 47 cm
Figur b’s omkrets består av
-
en mindre halvcirkelbåge med diametern 8 cm
-
en större halvcirkelbåge med diametern 8+2+2=12 cm
-
två lika långa raksträckor á 2 cm
Omkretsen för den mindre halvcirkelbågen:
Omkretsen för den mindre halvcirkelbågen:
𝜋∙8
2
= 12,56 𝑐𝑚
𝜋∙12
2
= 18,84 𝑐𝑚
Hela omkretsen på figur b: 12,56 + 18,84 + 2 + 2 = 35,4 cm ≈ 35 cm
B)
Figur b är kortare än a med: 47,1 – 35,4 = 11,7 cm
skillnaden
det man jämför mot
9.
A)
=
11,7
47,1
≈ 𝟐𝟓% 𝐤𝐨𝐫𝐭𝐚𝐫𝐞
Figur a’s omkrets består av
-
en mindre kvartscirkelbåge med diametern: 2 ∙ 4 = 8 𝑐𝑚
-
en större kvartscirkelbåge med diametern: 2 ∙ (4 + 2) = 12 𝑐𝑚
-
två lika långa raksträckor á 2 cm
Omkretsen för den mindre kvartscirkelbågen:
Omkretsen för den mindre kvartscirkelbågen:
𝜋∙8
4
= 6,28 𝑐𝑚
𝜋∙12
4
= 9,42 𝑐𝑚
Hela omkretsen på figur a: 6,28 + 9,42 + 2 + 2 = 19,7 cm ≈ 20 cm
Figur b’s omkrets består av
-
en halvcirkelbåge med diametern 4 cm
-
en kvartscirkelbåge med diametern: 2 ∙ 4 = 8 𝑐𝑚
-
en raksträcka som är 4 cm
Omkretsen för halvcirkelbågen:
𝜋∙4
2
Omkretsen för kvartscirkelbågen:
= 6,28 𝑐𝑚
𝜋∙𝑑
4
=
𝜋∙12
4
= 9,42 𝑐𝑚
Hela omkretsen på figur b: 6,28 + 9,42 + 4 + 4 = 23,7 cm ≈ 24 cm
B)
Figur b är längre än a med: 23,7 – 19,7 = 4 cm
skillnaden
det man jämför mot
=
4
19,7
≈ 𝟐𝟎% 𝐥ä𝐧𝐠𝐫𝐞
SDe
Lösningsförslag Fördjupning år 7 - Matematik
10.
SDe
Figur a’s omkrets består av
A)
-
en mindre halvcirkelbåge med diametern: 12 𝑐𝑚
-
en större halvcirkelbåge med diametern: 2 ∙ 12, = 24 𝑐𝑚
-
en raksträcka på 12 cm
Omkretsen för den mindre halvcirkelbågen:
Omkretsen för den större halvcirkelbågen:
𝜋∙12
2
𝜋∙24
2
= 18,84 𝑐𝑚
= 37,68 𝑐𝑚
Hela omkretsen på figur a: 18,84 + 37,68 + 12 = 68,52 cm ≈ 69 cm
Figur b’s omkrets består av
-
två mindre halvcirkelbågar som tillsammans bildar en hel cirkel med diametern 5 cm
-
en större halvcirkelbåge med diametern 5+5=10 cm
Omkretsen för de två mindre halvcirkelbågarna: 𝜋 ∙ 5 = 15,7 𝑐𝑚
Omkretsen för den större halvcirkelbågen:
𝜋∙10
2
= 15,7 𝑐𝑚
Hela omkretsen på figur b: 15,7 + 15,7 = 31,4 cm ≈ 31 cm
Figur b är kortare än a med: 68,52 – 31,4 = 37,12 cm
B)
skillnaden
det man jämför mot
11.
=
37,12
68,52
≈ 𝟓𝟒% 𝐤𝐨𝐫𝐭𝐚𝐫𝐞
Figur a’s omkrets består av fyra lika stora kvartscirkelbågar som tillsammans bildar en hel cirkel med diametern 7+7=14 cm
A)
Hela omkretsen på figur a: 𝝅 ∙ 𝟏𝟒 = 𝟒𝟑, 𝟗𝟔 𝐜𝐦 ≈ 44 cm
Figur b’s omkrets består av fyra lika stora kvartscirkelbågar som tillsammans bildar en hel cirkel med diametern 10+10=20 cm
Hela omkretsen på figur b: 𝝅 ∙ 𝟐𝟎 = 𝟔𝟐, 𝟖 𝐜𝐦 ≈ 63 cm
Figur b är längre än a med: 62,8 – 43,96 = 18,84 cm
B)
skillnaden
det man jämför mot
12.
a)
3
4
av 200 𝑙 =
=
3∙200
4
18,84
62,8
= 𝟑𝟎% 𝐥ä𝐧𝐠𝐫𝐞
= 150 𝑙
Oljans vikt = 150,5 – 27,5 = 123 kg
1 l olja väger
b)
4
5
av 200 𝑙 =
𝟏𝟐𝟑 𝒌𝒈
𝟏𝟓𝟎 𝒍
4∙200
5
= 𝟎, 𝟖𝟐 𝒌𝒈
= 160 𝑙
Oljan väger: 0,82 ∙ 160 𝑘𝑔 = 131,2 𝑘𝑔
Fatet med olja väger: 27,5 + 131,2 = 158,7 kg
13.
Axel målar med en hastighet på
1
5
staket/h. Paul målar med en hastighet på
1
6
staket/h.
Tiden det tar för båda att tillsammans måla staketet kallar jag för t. Och tillsammans ska de måla 1 staket, dvs totala sträckan som ska
målas är 1.
Sträcka = hastighet  tid
1
Axels sträcka = ∙ 𝑡
5
1
Pauls sträcka = ∙ 𝑡
6
Då kan man ställa upp en ekvation: Axels sträcka + Pauls sträcka = totala sträckan av staketet = 1
1
1
∙𝑡+ ∙𝑡 =1
5
6
6
5
∙𝑡+
∙𝑡 = 1
30
30
11
∙𝑡 =1
30
𝑡=
30
11
=2
9
11
h
9
11
av 60 min =
9
11
∙ 60 ≈ 49 min
Svar: Det tar dem ca 2 h och 49 min att måla staketet tillsammans.
Lösningsförslag Fördjupning år 7 - Matematik
14.
Mellan A och C är det 80 – 35 = 45
2
5
2
av 45 = ∙ 45 = 18
5
Mellan 0 och B är det 35 + 18 = 53, alltså motsvarar B talet 35.
15.
Sandra hade betalat en andel, Lina betalade två andelar och Kendra betalade sex andelar. Tillsammans blir det nio andelar.
Sandra:
Lina:
2
9
1
1
av 2170 kr = ∙ 2170 ≈ 241 kr
9
9
2
av 2170 kr = ∙ 2170 ≈ 482 kr
Kendra:
9
6
9
6
av 2170 kr = ∙ 2170 ≈ 1447 kr
9
Svar: Sandra fick 241 kr, Lina 482 kr och Kendra 1447 kr.
16.
Spottstriten: 6 mm = 0,6 cm
Linus är
180
0,6
= 300 gånger längre än spottstriten. Vilket innebär att han då borde hoppa 300 gånger högre också.
300  6 dm = 1800 dm = 180 m
Svar: Linus borde då hoppa 180 m högt.
17.
Totalt per dygn: 28  0,002 kg = 0,056 kg
5
0,056
≈ 89 dygn
Svar: Det skulle ta ca 89 dygn.
18.
1 cigarett: 20 mg = 0,02 g tjära
20 cigaretter per dag: 0,02  20 = 0,4 g tjära
1 år = 365 dagar
Tjära under ett år: 0,4 g  365 = 146 g
Svar: Hon fick i sig ungefär 150 g tjära under ett år.
19.
250 ml/min = 0,25 l/min
8 h = 8  60 min = 480 min
0,25  480 = 120 l
Svar: Kroppen behöver 120 l syrgas medan jag sover.
20.
8 min = 8  60 s = 480 s
480 + 20 = 500 s
300 000 000 m/s = 300 000 km/s
𝑠 = 𝑣 ∙ 𝑡 = 300000 ∙ 500 = 150000000 𝑘𝑚
Svar: Mellan solen och jorden är det ca 150 miljoner km.
21.
80 km = 8 mil
340 m/s = 0,034 mil/s
3 h + 57 min = 3  3600 s + 57  60 s = 14220 s
𝑠 = 𝑣 ∙ 𝑡 = 0,034 ∙ 14220 = 483,48 𝑚𝑖𝑙
Svar: Byn låg ca 480 mil bort.
SDe
Lösningsförslag Fördjupning år 7 - Matematik
22.
SDe
59,5 mil = 595 km
𝑡=
𝑠 595
=
= 42,5 ℎ
𝑣
14
42,5 ℎ
= 3 𝑑𝑎𝑔𝑎𝑟 6,5 ℎ
12 ℎ/𝑑𝑎𝑔
De startar vandringen kl. 8:00 en onsdag och vandrar i 3 dagar och 6,5 h.
De är framme samma vecka lördag kl. 14:30.
Svar: Ja, de hinner och har t o m några timmar tillgodo.
23.
Barbiedockans längd är
30
150
Barbie’s fötter ska då vara
=
1
5
1
5
av Stinas längd.
av 22 𝑐𝑚 =
22
5
= 4,4 𝑐𝑚
Svar: Barbie’s fötter borde ha varit 4,4 cm långa.
24.
18K innebär
Av
18
24
=
3
4
guld och resten koppar, dvs
1
koppar
4
3
av legeringen är 30 𝑔 rent guld
4
1
30 𝑔
av legeringen koppar vilket är
= 10 𝑔 koppar
4
3
Då är
Svar: Han ska blanda i 10 g koppar.
25.
18
24
=
3
4
rent guld
3
3
av 36 𝑔 = ∙ 36 = 27 𝑔
4
4
Svar: Guldarmbandet innehåller 27 g rent guld.
26.
18
24
3
4
=
3
4
15
rent guld
24
3
5
4
8
av 50 𝑔 = ∙ 50 = 37,5 𝑔
=
5
8
rent guld
5
av 60 𝑔 = ∙ 60 = 37,5 𝑔
8
Svar: Båda innehåller lika mycket rent guld.
27.
18
24
a)
=
3
4
14
rent guld
Rent guld:
24
7
12
av 120 𝑔 =
7
12
=
7
12
rent guld
∙ 120 = 70 𝑔
Koppar: 120 – 70 = 50 g
b)
Av
3
4
Då är
av legeringen är 70 𝑔 rent guld
1
70 𝑔
av legeringen koppar vilket är
≈ 23 𝑔 koppar
4
3
70 + 23 = 103 g
Svar: Det väger 103 g.
28.
50% = 1/2
a)
b)
c)
d)
16
2
16
2
16
2
16
2
=8
8
=8
8
=8
8
=8
8
2
2
2
2
=4
4
16
= 0,25 = 25 %
=4
8 + 4 = 12
=4
4
=4
4
2
2
=2
=2
12
16
Svar: 25 % medlemmar.
= 0,75 = 75 %
4+2=6
2
16
6
16
Svar: 75 % medlemmar.
= 0,375 = 37,5 %
= 0,125 = 12,5 %
Svar: 37,5 % medlemmar.
Svar: 12,5 % medlemmar.
Lösningsförslag Fördjupning år 7 - Matematik
29.
30.
a)
𝑓𝑓1 = 1 − 0,25 = 0,75
𝑓𝑓2 = 1 − 0,2 = 0,8
SDe
𝑓𝑓3 = 1 − 0,15 = 0,85
Pris efter 3 år: 238000 ∙ 0,75 ∙ 0,8 ∙ 0,85 = 121380 𝑘𝑟
Svar: Bilen är nu värd 121 380 kr.
b)
𝑓𝑓𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 0,75 ∙ 0,8 ∙ 0,85 = 0,51
Svar: Priset hade sjunkit med 49 %.
a)
𝑓𝑓1 = 1 + 0,25 = 1,25
100 % − 51 % = 49 %
𝑓𝑓2 = 1 + 0,2 = 1,2
𝑓𝑓𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 1,25 ∙ 1,2 ∙ 1,1 = 1,65
b)
𝑓𝑓3 = 1 + 0,1 = 1,1
165 % − 100 % = 65 %
Svar: Timlönen har ökat med 65 %.
Timlönen efter höjningar: 95 ∙ 1,65 = 156,75 𝑘𝑟
Timlönen ska nu sänkas till 95 kr vilket blir den nya timlönen.
𝑓𝑓 =
𝑛𝑦𝑎 𝑡𝑖𝑚𝑙ö𝑛𝑒𝑛
=
𝑔𝑎𝑚𝑙𝑎 𝑡𝑖𝑚𝑙ö𝑛𝑒𝑛
95
156,75
≈ 0,61
100 % − 61 % = 39%
Svar: Hennes timlön måste sänkas med ca 39 % om den åter skulle bli 95 kr.
31.
Deans nya månadslön:
272760
12
= 22730 𝑘𝑟
𝑓𝑓 = 1 + 0,025 = 1,025
Deans gamla månadslön = x kr
𝑥 ∙ 1,025 + 180 = 22730
𝑥 ∙ 1,025 = 22370
𝑥 ≈ 21824,39
𝑓𝑓 =
𝑛𝑦 𝑚å𝑛𝑎𝑑𝑠𝑙ö𝑛
22730
=
≈ 1,041
𝑔𝑎𝑚𝑚𝑎𝑙 𝑚å𝑛𝑎𝑑𝑠𝑙ö𝑛 21824,39
104,1 % − 100 % = 4,1 %
Svar: Deans lön ökade med 4,1 %.
32.
a)
2 + 3 + 8 + 5 + 6 + 4 + 2 = 30 st medlemmar
b)
Att medlemmen är 17 år gammal.
c)
Den totala åldern på alla medlemmar tillsammans: 15 ∙ 2 + 16 ∙ 3 + 17 ∙ 8 + 18 ∙ 5 + 19 ∙ 6 + 20 ∙ 4 + 21 ∙ 2 = 620
medelåldern =
d)
𝟔𝟐𝟎
𝟑𝟎
≈ 𝟐𝟏 år
Ta bort lika många medlemmar i slutet som i början av diagrammet tills du hittar de två medlemmar som är i mitten…
De i mitten är 18 år båda två. Det ger att medianen är 18 år.
33.
a)
Svaret ska ligga runt 40%...
b)
Medelpunktsvinkeln på cirkelsektorn ”hund” är 143.
Andel i procent som valde hund:
c)
𝒅𝒆𝒍𝒆𝒏
𝒉𝒆𝒍𝒂
=
𝟏𝟒𝟑
𝟑𝟔𝟎
≈ 𝟒𝟎 %
Medelpunktsvinkeln på cirkelsektorn ”fåglar” är 59.
Andel i procent som valde fåglar:
𝒅𝒆𝒍𝒆𝒏
𝒉𝒆𝒍𝒂
=
𝟓𝟗
𝟑𝟔𝟎
≈ 𝟏𝟔, 𝟒 %
16,4 % av 8780 ungdomar = 0,164 ∙ 8780 ≈ 1440 𝑠𝑡
Svar: Ca 1440 st ungdomar valde våglar.
34.
Totalt är de 28 värdena värda: 28 ∙ 80 = 2240
Antal värden efter tillägg: 28 + 2 = 30
Totalt värde av de 30 värdena: 2240 + 50 + 60 = 2350
Nytt medelvärde:
𝟐𝟑𝟓𝟎
𝟑𝟎
≈ 𝟕𝟖
En hel cirkel är 360.
En hel cirkel är 360.
Lösningsförslag Fördjupning år 7 - Matematik
35.
Anta att värdena är:
a
b
c
d
e
f
SDe
g
Då skulle medianen vara d = 26
Eftersom typvärdet är 26 så måste det finnas minst två stycken värden som är 26.
Eftersom medelvärdet är lågt väljer jag att de tre sista värden alla är 26, dvs
e = f = g = 26
De sju värdena tillsammans är värda: 20 ∙ 7 = 140
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 + 𝑓 + 𝑔 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 26 + 26 + 26 + 26 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 104 = 140
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 36
Eftersom jag ordnade det så att det fanns 4 st 26:or så är typvärdet garderat och då kan de tre första värdena vara lika stora utan att
ändra typvärdet…
𝑎=𝑏=𝑐=
36
= 12
3
Svar: Värdena skulle kunna vara 12, 12, 12, 26, 26, 26, 26.
36.
Totalt värde av fem tal: 5 ∙ 6 = 30
Anta att talet som tas bort är x.
Totalt värde av fyra tal kan man bestämma på två sätt:
30 – x
eller
4 ∙ 7 = 28
30 − 𝑥 = 28
x=2
Svar: Talet som togs bort är 2.
75
14 ∙ 5 −
38.
3,5 ∙ 14,2 +
39.
Här kan man lätt glömma att man också betalar pant för de läsk man köper…
2
+ 0,5 ∙ 20 − 0,4 ∙ 30 +
5,6
37.
2,5
0,5
8
= 70 − 37,5 + 10 − 12 + 0,7 = 𝟑𝟏, 𝟐
− (0,8 + 2,4) ∙ 2 = 49,7 + 5 − 3,2 ∙ 2 = 49,7 + 5 − 6,4 = 𝟒𝟖, 𝟑
Uttrycket blir: 15𝑥 + 15𝑦 − 9𝑦 = 𝟏𝟓𝒙 + 𝟔𝒚
40.
a)
Antalet mynt han har tillsammans.
b)
Värdet av hans enkronor, femkronor och tiokronor tillsammans.
c)
Han sorterar sina mynt i två högar, en med bara tiokronor och den andra med både enkronor och femkronor.
Nu kollar han skillnaden i värde mellan de två högarna.
41.
a)
b)
(20 − 40 + 20) ∙ (10 + 20) = 0 ∙ 30 = 𝟎
20−20+10−10+40
40
42.
43.
=
40
40
=𝟏
𝑋
𝑋
𝑋
𝑌
𝑌
𝑌
𝑍
𝑍
𝑍
𝑋
𝑌
𝑍
𝑋
𝑌
𝑍
𝑋
𝑌
𝑍
Adam: x
Britney: (x + 5)
Christina: (x + 5 + 7) = (x + 12)
David: (x + 12 – 12) = x
Esra: 2x
Filippa: 6x
Gianni: 3x
Hannibal: 1,5x
a)
Svar: Nej.
b)
Hannibal: 4 ∙ 1,5𝑥 = 6𝑥
c)
Svar: Nej.
d)
2𝑥 − 𝑥 = 𝑥
e)
2𝑥 + 3𝑥 = 5𝑥
Svar: Nej.
f)
6𝑥 − 3𝑥 = 3𝑥
Svar: Ja.
Esra: 3 ∙ 2𝑥 = 6𝑥
Svar: Ja.
Svar: Ja.
Lösningsförslag Fördjupning år 7 - Matematik
44.
a) (𝑥 + 𝑥) = 2𝑥 = 6
=3
(𝑥 + 𝑦) = (3 + 𝑦) = 5
𝑦=2
b) (𝑥 + 𝑥) = 2𝑥 = 20
= 10
(𝑦 − 𝑥) = (𝑦 − 10) = 20
45.
a) (𝑥 + 𝑥) = 2𝑥 = 8
𝑦
𝑥
𝑦
= =8
Svar: x = 3 och y = 2
𝑦 = 30
Svar: x = 10 och y = 30
=4
𝑦 = 32
4
Svar: x = 4 och y = 32
b) (𝑥 + 𝑥) = 2𝑥 = 32
= 16
𝑥 ∙ 𝑦 = 16 ∙ 𝑦 = 32
𝑦=2
Svar: x = 16 och y = 2
Det finns en enkel metod att lösa uppgifter av typ 46-49, men den har jag inte visat er än.
Ni kan antingen pröva er fram eller se om ni förstår hur jag gör.
46.
a) (𝑥 + 𝑦) = 20
= 20 − 𝑦
(𝑥 − 𝑦) = 20 − 𝑦 − 𝑦 = 20 − 2𝑦 = 10
2𝑦 = 10
𝑥 = 20 − 𝑦 = 20 − 5 = 15
b) (𝑥 + 𝑦) = 3𝑦 + 𝑦 = 4𝑦 = 20
Svar: x = 15 och y = 5
=5
𝑥 = 3𝑦 = 3 ∙ 5 = 15
47.
a) (𝑥 − 𝑦) = 5𝑦 − 𝑦 = 4𝑦 = 20
Svar: x = 15 och y = 5
=5
𝑥 = 5𝑦 = 5 ∙ 5 = 25
𝑥
b) (𝑥 − 𝑦) = 𝑥 − = 𝑥 − 0,5𝑥 = 0,5𝑥 = 20
2
𝑥
40
2
2
𝑦= =
48.
= 20
a) Det finns 18 fler pojkar än flickor.
c) (𝑥 − 𝑦) = 2𝑦 − 𝑦 = 𝑦 = 18
x = 2𝑦 = 2 ∙ 18 = 36
Svar: Det var 18 flickor och 36 pojkar i lägret.
a) 73 = 2𝑧 + 𝑦
𝑦 = 73 − 2𝑧
39 = 𝑧 + 3𝑦 = 𝑧 + 3 ∙ 73 − 3 ∙ 2𝑧
39 = 219 − 5𝑧
5𝑧 = 180
𝑧 = 36
𝑦 = 73 − 2𝑧 = 73 − 2 ∙ 36 = 73 − 72 = 1
19 = 3𝑥 + 𝑦
19 = 3𝑥 + 1
3𝑥 = 18
Svar: x = 25 och y = 5
= 40
Svar: x = 40 och y = 20
b) Pojkarna är dubbelt så många som flickorna.
49.
𝑦=5
𝑥=6
Svar: x = 6, y = 1 och z = 36.
SDe
Lösningsförslag Fördjupning år 7 - Matematik
SDe
b) 𝟐𝟓 = 𝒙 + 𝒙 + 𝒙 + 𝒙 + 𝟏
𝟏𝟎𝟎 = 𝒛 + 𝒛 + 𝒙 + 𝒙 + 𝒙 + 𝒙 + 𝒚 + 𝒚 + 𝒚 + 𝒚
50.
a) 8𝑥 − 3 = 5𝑥 − 3
3𝑥 − 3 = −3
3𝑥 = 0
𝒙=𝟎
b) 𝑥 + 12 = 4𝑥 − 1
12 = 3𝑥 − 1
3𝑥 = 11
𝒙=
51.
𝟑
𝑥 + 3𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 + 2𝑥 + 4𝑥 = 65
A)
C)
12𝑥 = 36
𝒙 = 𝟏𝟑 𝒄𝒎
𝒙 = 𝟑 𝒄𝒎
D)
20𝑥 = 60
𝒙 = 𝟒 𝒄𝒎
𝒙 = 𝟑 𝒄𝒎
Antag att
Esra = 2x år
Gianni = 3x år
2𝑥 + 6𝑥 + 3𝑥 = 99
11𝑥 = 99
𝑥 = 11
Esra: 2𝑥 = 2 ∙ 11 = 22 å𝑟
Filippa: 6𝑥 = 6 ∙ 11 = 66 å𝑟
Gianni: 3𝑥 = 3 ∙ 11 = 33 å𝑟
Svar: Esra är 22 år, Filippa är 66 år och Gianni är 33 år.
Antag att
Adam = x år
Esra = 2x år
Christina = (x + 12) år
2𝑥 = 𝑥 + 12
𝑥 = 12
Svar: När Adam är 12 år gammal.
54.
5𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 + 3𝑥 + 2𝑥 + 5𝑥 = 60
12𝑥 = 48
Filippa = 6x år
53.
2𝑥 + 4𝑥 + 2𝑥 + 4𝑥 = 36
13𝑥 = 65
3𝑥 + 5𝑥 + 4𝑥 = 48
B)
52.
𝟏𝟏
Figuren är ett antagande (obs! ej skalenlig)
6x
2x
x
2𝑥 + 6𝑥 + 𝑥 = 180°
9𝑥 = 180°
𝑥 = 20°
2𝑥 = 2 ∙ 20° = 40°
Svar: De tre vinklarna är 20, 40 och 120.
6𝑥 = 6 ∙ 20° = 120°
Lösningsförslag Fördjupning år 7 - Matematik
55.
Antag att de får… Tony = x kr
Conny = 2x kr
Jonny = 4x kr
𝑥 + 2𝑥 + 4𝑥 = 210
7𝑥 = 210
𝑥 = 30 𝑘𝑟
2𝑥 = 2 ∙ 30 = 60 𝑘𝑟
4𝑥 = 4 ∙ 30 = 120 𝑘𝑟
Svar: Tony får 30 kr, Conny 60 kr och Jonny 120 kr.
56.
Antag att de kostar…
CD = x kr
DVD = 7x kr
3 ∙ 𝑥 + 7𝑥 = 220
10𝑥 = 220
𝑥 = 22 𝑘𝑟
Svar: En CD kostade 22 kr.
57.
Antag att gamla priset = x kr
Höjning med
2
5
= 40 %
ger 𝑓𝑓 = 1 + 0,4 = 1,4
Nya priset = 550 kr
1,4 ∙ 𝑥 = 550
𝑥=
550
1,4
≈ 390 𝑘𝑟
Svar: De kostade 390 kr före höjningen.
58.
Antag att gamla priset = x kr
Sänkning med 37 %
ger 𝑓𝑓 = 1 − 0,37 = 0,63
Nya priset = 3450 kr
0,63 ∙ 𝑥 = 3450
𝑥=
3450
0,63
≈ 5480 𝑘𝑟
Svar: Den kostade förut 5480 kr.
59.
Antag att antalet….
enkronor = x st
femkronor = 2x st
tiokronor = (2x + 5) st
Värdet av vardera mynt…
enkronor = x kr
femkronor = 5 ∙ 2𝑥 = 10𝑥 𝑘𝑟
tiokronor = (10 ∙ 2𝑥 + 10 ∙ 5) = (20𝑥 + 50) 𝑘𝑟
𝑥 + 10𝑥 + 20𝑥 + 50 = 515
31𝑥 + 50 = 515
31𝑥 = 465
𝑥 = 15 𝑠𝑡
2𝑥 = 2 ∙ 15 = 30 𝑠𝑡
2𝑥 + 5 = 30 + 5 = 35 𝑠𝑡
Svar: Han hade 15 st enkronor, 30 st femkronor och 35 st tiokronor.
SDe
Lösningsförslag Fördjupning år 7 - Matematik
60.
SDe
Antag att gamla priset = x kr
Sänkning först med 15 %
som ger 𝑓𝑓 = 1 − 0,15 = 0,85
och sänktes sedan med ytterligare 85 kr
Nya priset = 3995 kr
0,85 ∙ 𝑥 − 85 = 3995
0,85𝑥 = 4080
𝑥 = 4800
Svar: Den kostade från början 4 800 kr.
61.
a)
Figur 4
b)
62.
Figur 5
Figurens nummer
1
2
3
4
5
10
20
50
Antal stickor
4
8
12
16
20
40
80
200
c)
Värdet ökar hela tiden med 4 till nästkommande figur. Det betyder att jag ska ta figurens nummer och multiplicera det med 4.
Har redan fyllt i svaren i värdetabellen ovan…
d)
𝑺= 𝒏∙𝟒
a)
Figur 4
b)
d)
d)
Figur 5
Figurens nummer
1
2
3
4
5
Antal stickor
5
9
13
17
21
10
20
50
Värdet ökar hela tiden med 4 till nästkommande figur. Det betyder att jag ska ta figurens nummer och multiplicera det med 4.
Men då saknas hela tiden 1, därför adderar jag med 1 efter att jag multiplicerat med 4.
Har redan fyllt i svaren i värdetabellen ovan…
𝑺=𝒏∙𝟒+𝟏
63.
𝑺=𝒏∙𝟑+𝟏
64.
𝑺=𝒏∙𝟓+𝟐
65.
𝑺=𝒏∙𝟓+𝟏
66.
𝑺=𝒏∙𝟑+𝟐
67.
𝑺=𝒏∙𝒏+𝒏∙𝟑−𝟑
(Kan också skrivas som 𝑺 = 𝒏𝟐 + 𝟑𝒏 − 𝟑.)