Komplexa tal

1
Komplexa tal
De komplexa talen används när man behandlar växelström inom elektroniken. Imaginära enheten betecknas i elektroniken med j (i, som används i matematiken, är ju
upptaget av strömmen). Den definieras av
j2 = −1
Ett imaginärt tal är en produkt av den imaginära enheten och ett reellt tal, t.ex. j2.
Ett komplext tal är en summa av ett reellt och ett imaginärt tal. Om a och b är
reella tal är ja ett imaginärt tal och

z = a + jb
ett komplext tal



Re{z} = a
realdelen av z

Im{z} = b
imaginärdelen av z


√

2
2
|z| = a + b absolutbeloppet av z
y
P
b
z
θ
a
x
I det komplexa talplanet kallas x−axeln den reella axeln och y−axeln den imaginära axeln. Ett komplext tal z = a + jb avbildas då i punkten P = (a, b). Absolutbeloppet av z är enligt Pytagoras sats längden av vektorn från origo till P . Om vi
inför vinkeln θ ser vi att
a = |z| cos θ
b = |z| sin θ
z = |z|(cos θ + j sin θ)
(0.1)
Vinkeln θ kallas för argumentet av z och betecknas arg{z} = θ. Den är vald att
ligga i intervallet −π < θ ≤ π 1 . Från figuren ser vi att tan θ = b/a. Genom att
invertera denna relation får vi ett explicit uttryck för θ. Om a ≥ 0 ges θ av
arg{z} = θ = arctan(b/a)
1
(0.2)
Man kan alltid lägga till en multipel av 2π till θ och fortfarande uppfylla relationerna i (0.1)
2
I viss literatur används beteckningen tan−1 för arcus tangens. Om a ≤ 0 ges θ av (i
radianer2 )
(
π − arctan(b/|a|), om b ≥ 0
(0.3)
arg{z} = θ =
−π − arctan(b/|a|) = −π + arctan(|b|/|a|), om b ≤ 0
Anledningen är att funktionen arctan endast ger värden mellan −π/2 och π/2. I
elektronikkursen kommer vi alltid se till att a ≥ 0 när vi skall skriva ett komplext
tal på komplex form. Därmed kan vi alltid använda ekvation (0.2) och slipper att
använda ekvation (0.3).
Komplexkonjugat
Komplexkonjugering innebär att man byter tecken på imaginärdelen av det komplexa talet. Komplexkonjugatet av z betecknas3 z ∗
z = a + jb
z ∗ = a − jb
Det är enkelt att se att
z ∗ z = zz ∗ = a2 + b2 = |z|2
Detta kan vi utnyttja när vi bestämmer real- och imaginärdelen av 1/z
1
z∗
z∗
a − jb
= ∗ = 2 = 2
z
z z
|z|
a + b2
Därmed fås
a
1
= 2
Re
z
a + b2
1
b
Im
=− 2
z
a + b2
Polär form av ett komplext tal
Skrivsättet z = a+jb kallas för rektangulär form. Genom att jämföra potensserieutvecklingarna av sin θ, cos θ och ejθ kan man visa att (detta gås igenom i matten)
ejθ = cos θ + j sin θ
Från ekvation (0.1) ser vi att vi kan skriva ett komplext tal z = a + jb på formen
z = |z|(cos θ + j sin θ) = |z|ejθ = |z|ejarg{z}
2
Vi mäter oftast vinklar i radianer.
Relationen mellan grader och radianer är
radianer=π·grader/180
3
i viss litteratur betecknas komplexkonjugatet z̄.
3
Denna representation av z kallas för den polära formen av z. Vi ser också att
z ∗ = |z|e−jarg{z}
1
e−jarg{z}
1
=
=
z
|z|ejarg{z}
|z|
Exempel Låt z1 = a1 + jb1 och z2 = a2 + jb2 vara två komplexa tal med a1 > 0 och
a2 > 0. Då gälller
q
q
jarg{z1 }
jarg{z2 }
2
2 j arctan (b1 /a1 )
a22 + b22 ej arctan (b2 /a2 )
z1 z2 = |z1 |e
|z2 |e
= a1 + b1 e
q
= (a21 + b21 )(a22 + b22 )ej(arctan (b1 /a1 )+arctan (b2 /a2 ))
p
z1
a21 + b21 j(arctan (b1 /a1 )−arctan (b2 /a2 ))
p
e
=
z2
a22 + b22
Komplex representation av tidsharmoniska storheter
I växelströmsläran används komplexa representationer av de tidsharmoniska strömmarna
och spänningarna. En tidsharmonisk ström kan allmänt skrivas
i(t) = I0 cos(ωt + φ)
Här är ω vinkelfrekvensen, vilken mäts i radianer per sekund och är relaterad till den
vanliga frekvensen f via ω = 2πf . Strömmens amplitud är I0 och dess fas relativt
cos(ωt) är φ. Den komplexa representationen av i(t) är
I = I0 ejφ
Den komplexa strömmen I innehåller information om amplitud och fas eftersom
|I| = I0 = amplitud
arg{I} = φ = fas relativt cos(ωt)
Om vi känner den komplexa strömmen I, får vi den verkliga tidsberoende strömmen
i(t) genom regeln
i(t) = Re{Iejωt }
Ett snabbare sätt att transformera från I till i(t) är att bestämma absolutbeloppet
|I| och argumentet φ = arg{I} av I, och direkt skriva upp i(t) som i(t) = |I| cos(ωt+
φ).
När fasen mäts relativt cos ωt säger vi att cos ωt är riktfas och att vi använder
realdelskonventionen för att transformera mellan tids- och frekvensplan. Om en
tidsharmonisk ström eller spänning skrivs som en sinusfunktion kan det vara praktiskt att mäta alla faser relativt sin(ωt) och därmed använda sin ωt som riktfas. Vi
använder då imaginärdelskonventionen för att transformera mellan tids- och frekvensplan. Den komplexa representationen av
v(t) = V0 sin(ωt + φ)
4
kan då skrivas
V = V0 ejφ
För att komma tillbaks till den tidsberoende spänningen kan vi antingen utnyttja
regeln
v(t) = Im{V ejωt }
eller så bestämmer vi absolutbeloppet |V | och argumentet φ = arg{V } av V och
skriver direkt upp v(t) som v(t) = |V | sin(ωt + φ).
Kommentarer
De tidsharmoniska spänningarna och strömmarna uppfyller differentialekvationer
vilka kan vara komplicerade att lösa. De komplexa spänningarna och strömmarna
uppfyller i stället algebraiska ekvationer, vilka oftast är enkla att lösa. När man
använder de tidsberoende storheterna brukar man säga att man är i tidsplanet
medan man är i frekvensplanet när de komplexa storeheterna används. Vi kommer
att utnyttja frekvensplanet betydligt mer än tidsplanet i växelströmsläran.
Hambley använder ett förkortat
talen på polär form.
√ skrivsätt för de komplexa
√
Han skriver t.ex. z = 1 + j = 2ejπ/4 på formen z = 2∠45◦ och mer allmänt
Z = |Z|∠arg{Z} där vinkeln arg{Z} skrivs i grader. Hambleys skrivsätt har fördelen
att det refererar till det komplexa talplanet.
Problem
1
Skriv följande komplexa tal på rektangulär form z = a + jb:
a) (1 + j4)(3 − j5)
b) j(2 − j3)
1 − j2
j
3 + j4
d)
j(2 − j2)
c)
e) (3 + j)ejπ
f) e−jπ/3
g) (1 − j)ejπ/4
h) jejπ/2
i) jj
5
2
Skriv följande komplexa tal på polär form. Rita in dem i komplexa talplanet för att
kontrollera att argumentet och absolutbeloppet som du bestämt är rimliga:
a) 1 + j
b) 1 − j
c) j
d)
1
j
e) j(1 − j)
f)
1−j
1+j
3
I denna uppgift betecknar R resistans, C kapacitans, ω vinkelfrekvens och L induktans. Skriv följande komplexa tal på polär form:
a) R + jωL
1
jωC
R + jωL
c)
R + 1/(jωC)
b) R +
4
Bestäm med realdelskonventionen den komplexa spänningen i följande fall
a) v(t) = V0 cos(ωt + π/4)
b) v(t) = V0 sin(ωt)
5
Bestäm med imaginärdelskonventionen den komplexa strömmen i följande fall
a) i(t) = I0 sin(ωt + π/4)
b) i(t) = I0 sin(ωt + π/3) + I0 sin(ωt)
6
6
Vinkelfrekvensen är ω, cos ωt är riktfas och V0 är reell. Bestäm den tidsberoende
spänningen v(t) om den komplexa spänningen är
a) V = V0 (1 + j)
b) V = jV0
R
R + jωL
R + jωL
d) V = V0
j(R + 1/(jωC))
c) V = V0
Svar till problemen
1: a) 23 + j7
f)
2: a)
f)
3: a)
c)
√
1−j 3
2
√
b) 3 + j2
g)
2ejπ/4
√
2
b)
c) −2 − j
h) −1
√
2e−jπ/4
d)
7+j
4
e) −3 − j
i) e−π/2 ty jj = (ejπ/2 )j = ejjπ/2 = e−π/2
c) ejπ/2
d) e−jπ/2
e)
√
2ejπ/4
e−jπ/4
1−j
= jπ/4 = e−jπ/4 e−jπ/4 = e−jπ/2
1+j
e
p
s
R2 + (ωL)2 ej arctan(ωL/R)
p
R2 + 1/(ωC)2e−j arctan(1/(ωRC))
R2 + (ωL)2 j(arctan(ωL/R)+arctan(1/(ωRC))
e
R2 + 1/(ωC)2
4: a) V = V0 ejπ/4
jπ/4
5: a) I0 e
√
b)
1+j
= I0 √
2
b) V0 e−jπ/2 (använd sin ωt = cos(ωt − π/2))
jπ/3
b) I0 (e
+ 1) = I0
3
2
+
√ j 23
√
√
= I0 3ej arctan(1/ 3)
2V0 cos(ωt+π/4) b) V0 cos(ωt+π/2) c) V0 √ 2 R 2 cos(ωt−arctan(ωL/R))
R +(ωL)
√ 2
R +(ωL)2
d) V0 √ 2
cos(ωt + arctan(ωL/R) + arctan(1/(ωCR)) − π/2)
2
6: a)
R +(1/ωC)
eller alternativt
√ 2
R +(ωL)2
V0 √ 2
cos(ωt + arctan(ωL/R) − arctan(ωCR))
2
R +(1/ωC)