UPPSALA UNIVERSITET
MATEMATISKA INSTITUTIONEN
Pepe Winkler
Ordinära differentialekvationer
Civilingenjörsprogrammen
En uppgift
Ett obduktionsrum hålls vid konstant temperatur 5◦ C. En tidig morgon pågår obduktion
av ett mordoffer, då en bov bryter sig in, skjuter obducenten och bortför det andra liket.
Klockan 1000 anländer en assistent och upptäcker obducentens lik, som då har temperaturen av 23◦ C. Kl. 1200 har temperaturen gått ned till 18.5◦ C. När blev obducenten
skjuten? (Vi antar att han hade normal kroppstemperatur, 37◦ C, då han var i livet.)
Newtons avsvalningslag säger att en kropp med temperaturen T , som placeras i en omgivning
som håller temperaturen T0 (< T ) , kommer att svalna på så vis att temperaturen minskar
med en hastighet som är proportionell mot temperaturdifferansen T − T0 .
Lösning:
Låt t vara antalet timmar efter kl. 1000 . Låt T (t) vara obducentens temperatur efter
dT
t timmar. Enligt Newtons lag gäller att
= k(T − T0 ) , där k är proportionalitets
dt
dT
konstant och T0 = 5◦ C. Differentialekvationen
= k(T − 5) är en separabel ekvation.
dt
Vi vill lösa ekvationen
T (0) = 23◦ C och T (2) = 18.5◦ C.
Z med begynnelsevillkoren
Z
dT
dT
= k(T − 5) ⇔
= k dt ⇔ ln(T − 5) = kt + C ⇔
dt
T −5
T − 5 = Aekt ⇔ T (t) = 5 + Aekt , där k , C och A är konstanter.
Ur det första begynnelsevillkoret får vi 23 = 5 + Ae0 ⇔ A = 18 . Det andra begynnel1 13.5
sevillkoret ger 18.5 = 5 + 18e2k ⇔ 13.5 = 18e2k ⇔ ln
= k ⇔ k ≈ −0.144 . Alltså
2
18
T (t) = 5 + 18e−0.144t . Vi söker nu t sådant att T (t) = 37 , dvs. 37 = 5 + 18e−0.144t ⇔
1
32
t=
ln
=≈ −4 .
−0.144 18
Svar:
Obducenten blev skjuten 4 timmar före kl. 1000 , dvs. klockan var 600 .
