LÖSNINGSFÖRSLAG
k 2 (1 i) k (2 3i) 3 6i
6062. z
6066. a) (1 i) 2 . Vi tillämpar kvadreringsregeln:
z k 2 k 2i 2k 3ki 3 6i
Vi skriver alla reella termer först och sedan de imaginära
termerna. z k 2 2k 3 (k 2 3k 6)i
Om detta tal skall vara rent imaginärt gäller att
k 2 2k 3 0
(1 i)2 12 2i i2 1 2i 1 2i
b) (2 i)(2 i) . Vi tillämpar konjugatregeln:
(2 i)(2 i)
4 1 5
c) (3 4i)2 . Vi tillämpar kvadreringsregeln:
(3 4i)2
k 1 12 3 1 4 1 2
k1 = 1 + 2 = 3 och k2 = 1 – 2 = –1
k = 3 ger att
z 32 (1 i) 3(2 3i) 3 6i
9 9i 6 9i 3 6i
6i
k = –1 ger att
z ( 1)2 (1 i) 1 (2 3i) 3 6i
1 i 2 3i 3 6i
2i
22 i 2
5 2i
3
d)
32
24i (4i)2
2
(5 2i)2
9
25 20i 4i2
9
Svar. a)
9 24i 16
52 20i (2i) 2
9
25 20i 4
9
2i b) 5 c)
7 24i
21 20i
9
7 24i d)
21 20i
9
Svar: k = 3 ger z = –6i och k = –1 ger z = –2i
6063. z
x
yi
z
x
6067. a) 2(5 2i)(1 2i) 2(5 10i 2i 4i 2 )
2(5 10i 2i 4) 2(9 8i) 18 16i
yi
b) i(4 i)(3 i)
b) z z x yi ( x yi) 2 yi
Ekvationen kan således skrivas
(z
z )2
y2
4
(2 yi)2
4 y 2i 2
i(12 4i 3i i 2 )
4 y2
16
z
y
2
x 2i , x kan väljas godtyckligt reellt.
z
x 2i, x reellt
b) 2i(1 i)
5i 1
2i 2i 2
i
3i2
3
(2 3i) i
i
2
2
2
d) 0,5i 12i 6i2
6
3
i
2
c)
c) (3 4i)(2 3i)
2 i 2i i 2
3 6i i
1 13i
(1
2i(4 12i 9)
24 10i
i)2
22
2
(1 i) (1 i)
(12 i 2 ) 2
4 (Vi har tillämpat konjugatregeln.)
6068. z
24 10i
d) 4
(5 i)(2 i) i(1 i)
4
6
3 6i i 2 5 5i
12i2
6 9i 8i 12 18 i
2
i 5 6 i (i 5)(6 i) 6i i 30 5i
d)
3
2
6
6
6i 1 30 5i
29 11i
6
6
Svar: a) 1 3i b) 5 5i c) 18 i d)
1 13i c)
10 5i 2i i2 i i2 10 4i
Re z Re(10 4i) 10 , Im z Im(10 4i)
2 i 2i 1 1 3i
2i 2
6 9i 8i
Svar: a) 18 16i b)
3
i d)
2
1 5i b) 2 2i c)
b) (3 i)(1 2i)
13i 1
1 5i
2 2i
6065. a) (1 i)(2 i)
i)2
(1 1)2
5i i 2
i(12 i 1)
c) 2i(2 3i)2 2i(22 12i 9i2 )
2i(4 12i 9) 2i( 5 12i)
10i 24i2
2i 2
Svar: a)
i2
=i(13 i) 13i
d) (1
6064. a) i(5 i)
i(12 4i 3i i 2 )
29 11i
6
Svar: Re z = 10; Im z = 4
6069. a) z
3 2i
z
3 2i
(3 2i)(3 2i) 32 (2i)2
b) z 1 2i z 1 2i
zz
9 4i 2
zz (1 2i)(1 2i) 12 (2i)2 1 4i 2
c) z 3 z 3 zz 3 3 9
d) z
i
2
z
i
, zz
2
Svar: a) 13 b) 5 c) 9 d)
i
2
i
2
1
4
© Gennow, Gustafsson, Silborn och Gleerups Utbildning AB
Detta material ingår som en del i Exponent lärarmaterial
Materialet får skrivas ut, kopieras och användas under giltig licenstid
6. Komplexa tal
9 4 13
1 4 5
i2
4
1
4
LÖSNINGSFÖRSLAG
6070. a) z
4 20i 2i 10
6 22i
( 6)2 ( 22)2
z
b) z
(1 3i) 2i
z
( 6)2 22
d) z w z w
Sätt z a bi och w c di
4 20i 2i 10i 2
(4 2i)(1 5i)
36 484
2i 6i 2
2i 6
z w (a bi)(c di) ac adi bci bdi2
(ac bd ) (ad bc)i
520
6 2i
z w (ac bd ) (ad bc)i
36 4
40
6074. z
b)
i4
c) i5
i2
( 1) i
i2
x2
9 y2
25
2) n
in
in
1k
z
(i 4 )k i 1k i 1 i
i
(i4 )k i 2 1k ( 1) 1 ( 1)
4k 3 , där k är ett positivt heltal.
3
1
(i4 )k i2 i 1k ( 1) i 1 ( 1) i
i
Svar: a) –i b) 1 c) i d) se ovan
6073. z
2
2x
x2
y2
y2
x2
y2
25 50
2
6
32
16
x2
x2
x
y2
y
25
4
2 yi 10i
y2
y
x2 52
25
x
3
5
50
5
z1 3 4i
z 5 5i
b) 1
z2 3 4i
z2
5 5i
3 i w 1 2i
a) z w (3 i)(1 2i)
3 6i i 2i 2
3 6i i 2 5 5i
b) z w (3 i)(1 2i)
x
yi
a) iz 3 4i
i(x yi) 3 4i
4k 2 , där k är ett positivt heltal.
i 4k
2
x2
6075. z
1
i 4k 2
4) n
in
1
y2
yi)
i
4k 1 , där k är ett positivt heltal.
i 4k
3) n
(i 4 )k
yi ( x
z1 3 4i
z2 3 4i
b) z z x yi ( x yi)
Svar:
d) , i är ett positivt tal.
Det finns fyra möjligheter:
1) n 4k , där k är ett positivt heltal.
i 4k
x
2
z
i
in
in
yi
z1 5 5i
z2
5 5i
( 1) ( 1) 1
i4 i 1 i
x
a) z z
Svar: a) 4:e b) 3:e c) 1:a d) 1:a
i2 i
z w,
(ac bd ) (ad bc)i
vilket skulle visas.
6071. a) Talet z
2 3i ligger i 3:e kvadranten.
Multiplikation med ”i” innebär en vridning 90o moturs.
Vi får då ett tal i 4:e kvadranten.
b) Talet z 3 i . Talet z 3 i ligger i 4:e kvadranten.
Multiplikation med ”–i” innebär en vridning 90o medurs.
Vi får då ett tal i 3:e kvadranten.
3 2i
3 2i
c) Talet . z
. Talet . z
ligger i 1:a
5
5
kvadranten.
d) Talet z i 3 . z 3 i ligger i 4:e kvadranten.
Multiplikation med ”i” innebär en vridning 90o moturs.
Vi får då ett tal i 1:a kvadranten.
6072. a) i3
ac adi bci bdi 2
z w (a bi)(c di)
Svar: a) 520 b) 40
(ac bd ) (ad bc)i
3 6i i 2i 2
xi yi 2 3 4i
xi y 3 4i
Vi jämför realdelar och imaginärdelar i de båda leden.
y 3
y
3
x 4
z 4 3i
b) z i z iz z
( x yi) i ( x yi) i ( x yi) ( x yi)
x
x
x
y
z
yi xi
yi xi
y
y
x
x xi
Svar: a) z
i2 y xi i2 y x yi
y xi y x yi
x
x(1 i) , x är ett reellt tal.
4 3i b) z
x(1 i), x är ett reellt tal
3 6i i 2 5 5i
c) z w 5 5i 5 5i
6076. Se lösning i lärobokens facit,
© Gennow, Gustafsson, Silborn och Gleerups Utbildning AB
Detta material ingår som en del i Exponent lärarmaterial
Materialet får skrivas ut, kopieras och användas under giltig licenstid
6. Komplexa tal
