Vi söker alla komplexa tal z på formen a + bi som uppfyller √ z2 = 1 + i · 2 2 Eftersom vi inte känner dessa z skriver vi z = x + iy där x och y är hittills okända REELLA tal. Då måste vi först räkna ut z 2 = (x + iy)2 1. Bestäm (x + iy)2 dvs utveckla kvadraten av x + iy. Svaret blir x2 − y 2 + i · 2xy eftersom (x + iy)2 = x2 + i2 y 2 + 2ixy = x2 − y 2 + i · 2xy. Nu ska x2 − y 2 + i · 2xy vara lika med 2. Vad måste då x2 − y 2 och 2xy vara? √ 1 + i · 2 2. Svaret blir att √ x2 − y 2 = 1 och 2xy = 2 2 eftersom två komplexa tal är lika om och endast om realdelarna respektive imaginärdelarna är lika. Vi har alltså ett ekvationssystem för att bestämma x och y. Nu ska vi försöka lösa x och y ur ekvationssystemet. Detta görs √ med en lämplig substitution. Det enklaste är att lösa ut y i den andra ekvationen 2xy = 2 2. 3. Vad blir y ? Svaret är √ y= √ Vi ska nu sätta in detta y = 2 x 2 i den första ekvationen x2 − y 2 = 1. x 4. Hur ser då denna ekvation ut? Svaret är x2 − 2 =1 x2 Nu vill vi få bort x2 i nämnaren. Därför multiplicerar vi ekvationen med x2 . 5. Hur ser ekvationen ut efter att vi multiplicerat den med x2 ? Svaret är x4 − 2 = x2 Eftersom vi ska lösa denna ekvation skriver vi den x4 − x2 − 2 = 0 Detta är en ekvation av fjärde graden men den går att lösa som en andragradsekvation om vi skriver den som (x2 )2 − x2 − 2 = 0 och sätter t = x2 . Nu får vi en andragradsekvation i variabeln t. 6. Hur ser andragradsekvationen ut om vi byter x2 mot t ? Svaret är t2 − t − 2 = 0 7. Vilka är lösningarna till denna andragradsekvation? Svaret är enligt lösningsformeln för andragradsekvationer r r r 1 1 1 1+8 1 9 1 3 t= ± +2= ± = ± = ± 2 4 2 4 2 4 2 2 Rötterna till ekavtionen är alltså t = 2 och − 1 8. Men t = x2 . Vad har vi då funnit att x2 skulle kunna vara? Svaret är att x2 = 2 samt att x2 = −1. Nu kommer en mycket svår fråga. 9. Varför kan INTE x2 vara lika med −1 ? Svaret är att då vi sätter z = x + iy så är x och y REELLA tal. För ett reellt tal x är x2 aldrig negativt. Därför kan inte x2 vara lika med −1. Vi har alltså bara EN lösning för x2 , nämligen x2 = 2. 10. Vilka värden på x har vi därmed funnit? Svaret är att x= √ √ 2 samt x = − 2 Nu sätter vi in dessa värden på x i uttrycket för y som vi hade för länge sedan, nämligen √ 2 y= x 11. Vilka värden på y får vi när vi sätter in x = √ √ 2 samt x = − 2 i uttrycket för y ? √ √ Svaret är att x = 2 ger y = 1 samt x = − 2 ger y = −1. Vi har alltså bestämt rötterna till √ ekvationen z 2 = 1 + i · 2 2. 12. Vilka är dessa rötter ? Svaret är att rötterna är två till antalet, nämligen √ √ z = 2 + i samt z = − 2 − i Vi satte nämligen z = x + iy och vi har funnit x = √ √ 2, y = 1 samt x = − 2, y = −1.