2 √ 2 Eftersom vi inte känner dessa z skriver vi z

advertisement
Vi söker alla komplexa tal z på formen a + bi som uppfyller
√
z2 = 1 + i · 2 2
Eftersom vi inte känner dessa z skriver vi
z = x + iy
där x och y är hittills okända REELLA tal. Då måste vi först räkna ut
z 2 = (x + iy)2
1. Bestäm
(x + iy)2
dvs utveckla kvadraten av x + iy.
Svaret blir
x2 − y 2 + i · 2xy
eftersom
(x + iy)2 = x2 + i2 y 2 + 2ixy = x2 − y 2 + i · 2xy.
Nu ska
x2 − y 2 + i · 2xy
vara lika med
2. Vad måste då x2 − y 2 och 2xy vara?
√
1 + i · 2 2.
Svaret blir att
√
x2 − y 2 = 1 och 2xy = 2 2
eftersom två komplexa tal är lika om och endast om realdelarna respektive imaginärdelarna är lika.
Vi har alltså ett ekvationssystem för att bestämma x och y.
Nu ska vi försöka lösa x och y ur ekvationssystemet.
Detta görs
√ med en lämplig substitution. Det enklaste är att lösa ut y i den andra ekvationen
2xy = 2 2.
3. Vad blir y ?
Svaret är
√
y=
√
Vi ska nu sätta in detta y =
2
x
2
i den första ekvationen x2 − y 2 = 1.
x
4. Hur ser då denna ekvation ut?
Svaret är
x2 −
2
=1
x2
Nu vill vi få bort x2 i nämnaren. Därför multiplicerar vi ekvationen med x2 .
5. Hur ser ekvationen ut efter att vi multiplicerat den med x2 ?
Svaret är
x4 − 2 = x2
Eftersom vi ska lösa denna ekvation skriver vi den
x4 − x2 − 2 = 0
Detta är en ekvation av fjärde graden men den går att lösa som en andragradsekvation om vi skriver
den som
(x2 )2 − x2 − 2 = 0
och sätter t = x2 . Nu får vi en andragradsekvation i variabeln t.
6. Hur ser andragradsekvationen ut om vi byter x2 mot t ?
Svaret är
t2 − t − 2 = 0
7. Vilka är lösningarna till denna andragradsekvation?
Svaret är enligt lösningsformeln för andragradsekvationer
r
r
r
1
1
1
1+8
1
9
1 3
t= ±
+2= ±
= ±
= ±
2
4
2
4
2
4
2 2
Rötterna till ekavtionen är alltså
t = 2 och − 1
8. Men t = x2 . Vad har vi då funnit att x2 skulle kunna vara?
Svaret är att x2 = 2 samt att x2 = −1.
Nu kommer en mycket svår fråga.
9. Varför kan INTE x2 vara lika med −1 ?
Svaret är att då vi sätter z = x + iy så är x och y REELLA tal. För ett reellt tal x är x2 aldrig
negativt. Därför kan inte x2 vara lika med −1. Vi har alltså bara EN lösning för x2 , nämligen
x2 = 2.
10. Vilka värden på x har vi därmed funnit?
Svaret är att
x=
√
√
2 samt x = − 2
Nu sätter vi in dessa värden på x i uttrycket för y som vi hade för länge sedan, nämligen
√
2
y=
x
11. Vilka värden på y får vi när vi sätter in x =
√
√
2 samt x = − 2 i uttrycket för y ?
√
√
Svaret är att x = 2 ger
y = 1 samt x = − 2 ger y = −1. Vi har alltså bestämt rötterna till
√
ekvationen z 2 = 1 + i · 2 2.
12. Vilka är dessa rötter ?
Svaret är att rötterna är två till antalet, nämligen
√
√
z = 2 + i samt z = − 2 − i
Vi satte nämligen z = x + iy och vi har funnit x =
√
√
2, y = 1 samt x = − 2, y = −1.
Download
Random flashcards
Svenska

105 Cards Anton Piter

Create flashcards