Föreläsningar 1/12 och 4/12

1
Föreläsningar 1/12 och 4/12
Läsanvisning: Griffiths 7.3–7.3.4, 7.3.6, 8.1, 9.1–9.3.2
Maxwells ekvationer
∂B(r, t)
∂t
∂D(r, t)
∇ × H(r, t) = J (r, t) +
∂t
∇ · D(r, t) = ρ(r, t)
∇ · B(r, t) = 0
∇ × E(r, t) = −
Vågekvationen
Från Maxwells ekvationer är det ganska rättframt att härleda vågekvationer för de
elektriska och magnetiska fälten. I ett förlustfritt (σ = 0), källfritt (J = 0, ρ = 0),
och homogent (µ, ε konstanta) område satisfierar E(r, t) och H(r, t) den tredimensionella vågekvationen
1 ∂ 2 E(r, t)
=0
c2
∂t2
1 ∂ 2 H(r, t)
=0
∇2 H(r, t) − 2
c
∂t2
∇2 E(r, t) −
(0.1)
√
där c = 1/ µε=våghastigheten. I vakuum är våghastigheten exakt given av c0 =
299792458 m/s.
Fälten E och H skapas i något område där det finns laddningar och strömmar,
t.ex. i en antenn. Fälten färdas ut från området som elektromagnetiska vågor.
Fälten för dessa vågor måste uppfylla ekvationerna (0.1).
Planvågor i tidsplanet
Den enklaste typen av våg är en vars fältkomponenter endast beror av en riktning. Om vi låter denna riktning vara z kan det elektriska fältet skrivas E(z, t) =
(Ex (z, t), Ey (z, t), Ez (z, t)). Från Gauss lag ∇ · E = 0 följer att
∂Ez (z, t)
=0
∂z
Man kan visa att detta leder till att Ez (z, t) är konstant både i rum och tid. Eftersom
statiska fält inte är av intresse i detta avsnitt kan vi låta detta konstanta fält vara
noll. Det tidsberoende elektriska fältet ges då av E(z, t) = (Ex (z, t), Ey (z, t), 0).
2
Detta fält är transversellt eftersom det är riktat vinkelrätt mot utbredningsriktningen. Vi ser att Ex och Ey var för sig satisfierar en endimensionell vågekvation
∂ 2 Ex (z, t)
1 ∂ 2 Ex (z, t)
−
=0
∂z 2
c2
∂t2
∂ 2 Ey (z, t)
1 ∂ 2 Ey (z, t)
−
=0
∂z 2
c2
∂t2
Lösningarna för Ex ges av (d’Alemberts lösning)
Ex (z, t) = E + (z − ct) + E − (z + ct)
där
E + (z − ct) = våg som rör sig med hastigheten c i positiv z−led
E − (z + ct) = våg som rör sig med hastigheten c i negativ z−led
Kommentar Argumentet till E + (z − ct) är konstant då z = ct + konstant. En
punkt med amplitud E + (konstant) rör sig alltså med hastigheten c i positiv z−led.
Linjärpolariserad våg
Om E alltid är parallell eller antiparallell med en viss riktning är fältet linjärpolariserat.
Exempel Planvågen E(z, t) = x̂E + (z − ct) är en linjärpolariserad planvåg.
Tidsharmoniska fält, komplexa fält
För tidsharmoniska fält (dvs fält som varierar sinusformigt i tiden) är det praktiskt
att arbeta i frekvensplanet. Transformationen mellan tids- och frekvensplan är
Tidsplan
i(t) = I0 cos(ωt + φ)
∂
∂t
E(r, t)
H(r, t)
Frekvensplan
←→ I = I0 e−iφ
←→ −iω
←→ E(r)
←→ H(r)
∂2
där ω = 2πf =vinkelfrekvensen. Detta ger att 2 ←− −ω 2 och vågekvationerna
∂t
för E och H transformeras över till Helmholtz ekvation
∇2 E(r) + k 2 E(r) = 0
∇2 H(r) + k 2 H(r) = 0
(0.2)
där k = ω/c=vågtalet.
Kommentarer: I elektroniken används tidskonventionen ejωt medan man inom
fysiken använder konventionen e−iωt . Notera att Griffiths har med faktorn e−iωt i de
komplexa fälten.
3
Fälten E och H skapas i något område där det finns laddningar och strömmar
som varierar tidsharmoniskt, t.ex. i en antenn. Fälten färdas ut från området
som tidsharmoniska elektromagnetiska vågor som måste uppfylla ekvationerna (0.2).
Långt bort från en området är vågen sfärisk, dvs vågen rör sig med ljushastigheten
radiellt ut från antennen. Vi kommer att behandla dessa sfäriska vågor i antennavsnittet senare i kursen. Lokalt kan vågen ofta approximeras med en planvåg, se figur,
vilket är en fördel eftersom planvågor är enklare att analysera än sfäriska vågor.
Figur:Den vänstra figuren visar det elektriska vektorfältet för det spridda
ljuset från en liten partikel (tex molekyl). Fältet är en sfärisk våg som
färdas med ljusets hastighet radiellt ut från partikeln. I den markerade
rektangeln är vågfronten nästan plan och fältet kan approximeras med
planvågen som visas i den högra figuren
Linjärpolariserade plana vågor
De enklaste lösningarna till (0.2) är planvågslösningar. En linjärpolariserad planvåg
som utbreder sig i riktningen k̂ kan skrivas
E(r) = E 0 e−iφ eik·r
Följande gäller för denna planvåg
E 0 = reell konstant vektor
φ = fasvinkeln
k = (kx , ky , kz ) = vågvektorn
k̂ = k/|k| = utbredningsriktning
E(r, t) = Re{E(r)e−iωt } = E 0 cos(ωt − k · r + φ)
Regeln om högersystem
4
H
E
ek
För en planvåg gäller ett enkelt samband mellan E, H och utbredningsriktningen
k̂. Dessa tre vektorer bildar ett ortogonalt högersystem och sambandet kan skrivas
1
H(r) = k̂ × E(r), där
η
p
η = µ/ε = vågimpedansen
Kommentar: I fysiken använder man oftare sambandet mellan E och B.
Dessutom är det vanligare att använda brytningsindex n och våghastigheten c än
vågimpedansen η. Sambandet mellan E och B ges av
n
1
B(r) = k̂ × E(r) = k̂ × E(r)
c
c0
Exempel: Om k̂ = ẑ och vågen är linjärpolariserad i x−led fås
E(r) = x̂E0 e−iφ eikz
Motsvarande magnetfält ges av
1
H(r) = ŷ E0 e−iφ eikz
η
Transformation till tidsplanet ger
E(r, t) = Re E(r)e−iωt = x̂E0 cos(ωt + φ − kz)
1
H(r, t) = ŷ E0 cos(ωt + φ − kz)
η
Reflektion och transmission mot plana ytor
Vid bestämning av reflektion och transmission mot plana ytor följer man följande
steg
1. Inför vågimpedanserna och vågtalen för de båda halvrymderna.
2. Skriv upp de elektriska och magnetiska fälten för den infallande vågen.
3. Inför reflektions- och transmissionskoefficienter och ansätt en reflekterad och
en transmitterad våg. Skriv upp de elektriska och magnetiska fälten för dessa
fält.
5
4. Använd randvillkoren att tangentialkomponenterna av de elektriska och magnetiska fälten är kontinuerliga. Detta ger ett ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta (reflektions- och tranmsissionskoefficienten).
5. Lös ekvationssystemet.
Reflektion och transmission mot halvrymd
Ei
Et
k 1 η1
Er
k2 η 2
z
En planvåg med vinkelfrekvensen ω faller in vinkelrätt mot en plan skiljeyta,
z = 0, mellan två halvrymder. Vi skall bestämma de reflekterade och transmitterade
fälten.
Halvrymderna
Den vänstra halvrymden, z < 0, är förlustfri (σ = 0) med relativ permittivitet εr1
och relativ permeabilitet µr1 . Motsvarande vågimpedans och vågtal ges av
r
r
µ0 µr1
µr1
= 120π
η1 =
ε0 εr1
εr1
ω
ω√
k1 = =
µr1 εr1
c
c0
där c0 = 3 · 108 m/s är ljushastigheten i vakuum. Den högra halvrymden, z > 0,
är också förlustfri, σ2 = 0, och dess relativa permittivitet och permeabiltet är εr2
respektive µr2 . Vågimpedansen och vågtalet för den högra halvrymden ges av
r
r
µ0 µr2
µr2
η2 =
= 120π
ε0 εr2
εr2
ω
ω√
k2 = =
µr2 εr2
c
c0
6
Den infallande vågen
Den infallande vågen är känd och dess komplexa elektriska fält ges av
E i (z) = E0 eik1 z x̂
Motsvarande magnetfält ges av regeln om högersystem
H i (z) =
1
1
ẑ × E i (z) = E0 eik1 z ŷ
η1
η1
Kommentar: Vi har låtit den infallande vågen vara linjärpolariserad i x−led,
men det är ingen inskränkning. En våg som är polariserad i y−led behandlas på
exakt samma sätt. Genom linjärkombination av två linjärpolariserade vågor kan en
godtycklig planvåg bildas.
Ansats av reflekterad och transmitterad våg
Den reflekterade vågen färdas i negativ z−led. Den har alltså z−beroendet e−ik1 z
och utbredningsriktningen k̂ = −ẑ. Den transmitterade vågen färdas i positiv z−led
i område 2 och har z−beroendet eik2 z . Ansatsen ges av
E r (z) = RE0 e−ik1 z x̂
E t (z) = T E0 eik2 z x̂
där R och T är reflektions- respektive transmissionskoefficienten. Regeln om högersystem ger motsvarande magnetfält
1
1
(−ẑ) × E r (z) = − RE0 e−ik1 z ŷ
η1
η1
1
1
H t (z) = ẑ × E t (z) = T E0 eik2 z x̂
ηc
ηc
H r (z) =
Randvillkor
Tangentialkomponenterna av E och H är kontinuerliga vid z = 0. Eftersom E och
H är tangentiella fås
1+R=T
1
1
(1 − R) = T
η1
η2
Lösningen till detta ekvationssystem ges av
η2 − η1
η2 + η1
2η2
T =
η2 + η1
R=
(0.3)
7
Reflektion mot perfekt ledande plan
Om område 2 är perfekt ledande kan det inte finnas något fält där, dvs E t = 0.
Den kända infallande vågen och den ansatta reflekterande vågen ges av
E i (z) = E0 eik1 z x̂
E r (z) = RE0 e−ik1 z x̂
Nu har vi endast en obekant (R) och vi behöver endast ett randvillkor:
Tangentialkomponenten av det elektriska fältet är noll vid en perfekt ledande yta.
Detta ger E i (0) + E r (0) = 0 och därmed är R = −1. Totala fältet för z < 0 ges
av
E(z) = E i (z) + E r (z) = E0 (eik1 z − e−ik1 z )x̂ = 2iE0 sin k1 z x̂
Detta är en stående våg. Om E0 är reell ges motsvarande fält i tidsplanet av
E(z, t) = Re{E(z)e−iωt } = 2E0 sin(k1 z)Re{eiπ/2 e−iωt }x̂ = −2E0 sin(k1 z) sin(ωt)x̂
Exempel: Magnetfälten ges av regeln om högersystem
1
1
ẑ × E i (z) = E0 eik1 z ŷ
η1
η1
1
1
H r (z) = − ẑ × E r (z) = E0 e−ik1 z ŷ
η1
η1
H i (z) =
Totala magnetfältet blir
H(z) = H i (z) + H r (z) =
1
2
E0 (eik1 z + e−ik1 z )ŷ = E0 cos k1 z ŷ
η1
η1
OBS! Det går inte att använda regeln om högersystem direkt på det totala fältet
eftersom det innehåller både en vänster- och en högergående våg.