Gränsvärden och kontinuitet

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Gränsvärden
GRÄNSVÄRDEN OCH KONTINUITET
Här finns en definition av gränsvärde (enligt Adams Calculus) av en funktion då x går mot ett
tal a ( s.k. epsilon – delta definition) .
Definition 1. ( Cauchy)
Vi säger att funktionen f(x) har gränsvärdet A, då x går mot talet a om följande gäller:
Till varje ε > 0 (oavsett hur litet ε är) finns det ett tal δ > 0 sådant att
1. funktionen f(x) är definierad för x ∈ ( a − δ , a ) ∪ ( a, a + δ ) .
2.
(0< | x – a | < δ ) ⇒ |f(x) – A|< ε
Vi skriver då
lim f ( x) = A
x→a
(eller f(x) → A då x →a )
Anmärkning 1. Talet δ i ovanstående definition är ( i allmänt) beroende av ε så att vi kan skriva
δ( ε) istället .
Anmärkning 2. Uttrycket 0< | x – a | < δ kan skrivas på ekvivalent sätt | x – a | < δ, x ≠ a
eller
x ∈ (a − δ , a ) ∪ (a, a + δ ) .
Anmärkning 3. Lägg märke till att i ovanstående definition, på grund av kraven x ≠ a,
spelar det inte någon roll om funktionen f(x) är definierad i punkten a (Om f(x) är definierad
i a då spelar det inte någon roll vilket värde funktionen har i punkten a).
-----------------------------------------------------------------------------På liknade sätt definieras ensidiga gränsvärden
lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ,
𝑥𝑥→𝑎𝑎−
lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑥𝑥→𝑎𝑎+
samt gränsvärden då x→ + ∞, och x→ – ∞.
(Vi anger definitioner för de här fallen samt oegentliga gränsvärden i slutet av den här
stencilen.)
------------------------------------------------------------------------------Exempel. Visa med hjälp av definitionen att
lim (2 + 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 �
𝑥𝑥 → 0
3
�) = 2
𝑥𝑥 2
1 av 20
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Gränsvärden
Lösning: Låt ε > 0 vara ett reellt tal. Vi undersöker uttrycket
3
3
|f(x) – A| = |2 + 2𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 �𝑥𝑥 2 � − 2 | = |2𝑥𝑥| ∙ |𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �𝑥𝑥 2 � | ≤ |2𝑥𝑥|
(*)
Eftersom |2𝑥𝑥| är mindre än ε om |x| är mindre än ε/2 ser vi att vi kan t ex välja
δ=
ε
2
; då gäller
ε
|f(x) – 2| ≤ |2𝑥𝑥| < |2 | = ε om 0 <| x – 0| < δ.
2
3
Vi har bevisat, enligt definitionen att lim𝑥𝑥 → 0(2 + 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 �𝑥𝑥 2 � ) = 2.
Vi ser att det är svårt att beräkna gränsvärden med hjälp av definitionen men, med
hjälp av definitionen, härleds nedanstående räkneregler, som därefter används vid
beräkning av olika typer av gränsvärden.
Räkneregler:
1. Om lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0 och funktionen 𝑔𝑔(𝑥𝑥) är begränsad i en omgivning till punkten a [dvs.
𝑥𝑥→𝑎𝑎
det finns ett konstant tal M så att |𝑔𝑔(𝑥𝑥)| ≤ 𝑀𝑀i omgivningen] då gäller
2. Om lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = A och
𝑥𝑥→𝑎𝑎
då gäller :
lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 0
𝑥𝑥→𝑎𝑎
lim 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = B , där A och B är reella tal,
𝑥𝑥→𝑎𝑎
lim( 𝑓𝑓(𝑥𝑥) + 𝑔𝑔(𝑥𝑥)) = A+B
𝑥𝑥→𝑎𝑎
lim( 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑔𝑔(𝑥𝑥)) = 𝐴𝐴𝐴𝐴
𝑥𝑥→𝑎𝑎
lim(
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝐴𝐴
) = , 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝐵𝐵 ≠ 0
𝑔𝑔(𝑥𝑥)
𝐵𝐵
3. Om 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≤ 𝑔𝑔(𝑥𝑥)
i en omgivning till a då är
lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≤ lim 𝑔𝑔(𝑥𝑥)
𝑥𝑥→𝑎𝑎
𝑥𝑥→𝑎𝑎
4. INSTÄNGNINGSREGELN. Om 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≤ ℎ(𝑥𝑥) ≤ 𝑔𝑔(𝑥𝑥) och dessutom
lim f ( x ) = lim g ( x ) = A då är även lim h( x ) = A
x−>a
x−>a
x−>a
Anmärkning: Instängningsregeln framgår från egenskap 3 eftersom
f ( x ) ≤ h( x ) ≤ g ( x ) ⇒ lim f ( x ) ≤ lim h( x ) ≤ lim g ( x ) ⇒ A ≤ lim h( x ) ≤ A Därför
x−>a
x−>a
x−>a
lim h( x ) = A
x−>a
2 av 20
x−>a
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Gränsvärden
=======================================================
Uppgift 1. Bevisa, med hjälp av definitionen, ovanstående räkneregler.
( Beviset finns i de flesta analysböcker).
------------------------------------------------------------------------------------------Ensidiga gränsvärden. I nedanstående uppgifter betecknar vi enligt följande:
lim− 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
∗ Vänstergränsvärdet av funktionen f(x) i punkten 𝑎𝑎
𝑥𝑥→𝑎𝑎
lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑥𝑥→𝑎𝑎+
Exempel 1.
Låt
𝑥𝑥 2
2
f(x)= �3
y
4
∗ Högergränsvärdet av funktionen f(x) i punkten 𝑎𝑎
𝑓𝑓ö𝑟𝑟 𝑥𝑥 < 2
𝑓𝑓ö𝑟𝑟 𝑥𝑥 = 2
𝑓𝑓ö𝑟𝑟 𝑥𝑥 > 2
4
3
2
0
2
x
Bestäm
a) lim− 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ,
𝑥𝑥→2
𝑏𝑏) 𝑓𝑓(2)
𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ
𝑐𝑐) lim+ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑥𝑥→2
Svar:
𝑎𝑎) lim− 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2
𝑥𝑥→2
𝑏𝑏) 𝑓𝑓(2) = 3
𝑐𝑐) lim+ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 4
𝑥𝑥→2
===========================================
Om de två ensidiga (enkelsidiga) gränsvärden är lika
lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐴𝐴
𝑥𝑥→𝑎𝑎−
3 av 20
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Gränsvärden
lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐴𝐴
𝑥𝑥→𝑎𝑎+
då och endast då gäller
lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐴𝐴
𝑥𝑥→𝑎𝑎
( Alltså, 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑥𝑥→𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑥𝑥) existerar endast om de ensidiga gränsvärdena är lika. )
Definition 2a)Anta att funktionen f (x) är definierad i ett öppet intervall runt punkten a.
Funktionen 𝑓𝑓(𝑥𝑥) är kontinuerlig i punkten x=a om
lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑎𝑎)
𝑥𝑥→𝑎𝑎
Annars är den diskontinuerlig i punkten a.
Eftersom lim𝑥𝑥→𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑎𝑎) är ekvivalent med
lim𝑥𝑥→𝑎𝑎− 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim𝑥𝑥→𝑎𝑎+ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑎𝑎)
har vi en ekvivalent definition
Definition 2b) Funktionen 𝑓𝑓(𝑥𝑥) är kontinuerlig i punkten x=a om
lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim− 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑎𝑎)
𝑥𝑥→𝑎𝑎+
𝑥𝑥→𝑎𝑎
I teoretiska problem används ofta följande ε-δ definition av kontinuerliga funktioner:
Definition 2e) Funktionen 𝑓𝑓(𝑥𝑥) är kontinuerlig i punkten x=a om till varje ε > 0 finns
det ett tal δ > 0 sådant att
( | x – a | < δ ) ⇒ ( |f(x) – f(a)|< ε )
===========================================
Vänsterkontinuerlig och högerkontinuerlig funktion
Definition 2c) Funktionen 𝑓𝑓(𝑥𝑥) är vänsterkontinuerlig i punkten x=a om
lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑎𝑎)
𝑥𝑥→𝑎𝑎−
Definition 2d) Funktionen 𝑓𝑓(𝑥𝑥) är högerkontinuerlig i punkten x=a om
lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑎𝑎)
𝑥𝑥→𝑎𝑎+
===========================================
4 av 20
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Gränsvärden
KONTINUITET I ETT INTERVALL OCH PÅ HELA DEFINITIONSMÄNGDEN
Definition 2f) En funktion är kontinuerlig i intervallet (a, b) om den är
kontinuerlig i varje x0 i (a, b).En funktion är kontinuerlig i intervallet [a, b] om den är
kontinuerlig i varje x0 i (a, b) samt högerkontinuerlig i a och vänsterkontinuerlig i b.
Vi säger att en funktion är kontinuerlig funktion om den är kontinuerlig i hela
definitionsmängden.
VIKTIGT: Alla elementära funktioner är kontinuerliga funktioner ( i sina
definitionsmängder) .
Alltså är y = x n , n positivt heltal,
y = x − n , x ≠ 0 n positivt heltal,
y = xp,
p ett reellt tal (men ej heltal) ,
x>0
y = sin x ,
y = cos x ,
y = tan( x ) =
π
sin x
, x ≠ + nπ ,
2
cos x
y = cot( x ) =
cos x
, x ≠ nπ ,
sin x
y = 2 x , y = 3x , y = e x ,
y = ax, a > 0 ,
y = arcsin x, − 1 ≤ x ≤ 1 ,
y = arccos x, − 1 ≤ x ≤ 1 , y = arctan x , y = arccot x
kontinuerliga funktioner (i sina definitionsmängder).
-------------------------------------------------------------------Om 𝑓𝑓(𝑥𝑥) och 𝑔𝑔(𝑥𝑥) är kontinuerliga då är
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑓𝑓(𝑥𝑥)+𝑔𝑔(𝑥𝑥), 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ∙ 𝑔𝑔(𝑥𝑥) och 𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑑𝑑ä𝑟𝑟 𝑔𝑔(𝑥𝑥) ≠ 0 också kontinuerliga funktioner.
Exempelviss
𝑥𝑥 2 −3𝑥𝑥+2
𝑥𝑥 2 −25
är en kontinuerlig funktion om 𝑥𝑥 ≠ ±5.
=====================================================
Exempel 2
Bestäm
1.
lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑥𝑥→1−
2. 𝑓𝑓(1)
3.
lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑥𝑥→1+
4.
och avgör om 𝑓𝑓(𝑥𝑥) är kontinuerlig i punkten x = 1 då
−𝑥𝑥 + 2 𝑓𝑓ö𝑟𝑟 𝑥𝑥 < 1
a) f (x) = � 1/2 𝑓𝑓ö𝑟𝑟 𝑥𝑥 = 1
𝑥𝑥 𝑓𝑓ö𝑟𝑟 𝑥𝑥 > 1
lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝑥𝑥→1
−𝑥𝑥 + 2 𝑓𝑓ö𝑟𝑟 𝑥𝑥 < 1
b) f (x) = � 1 𝑓𝑓ö𝑟𝑟 𝑥𝑥 = 1
𝑥𝑥 𝑓𝑓ö𝑟𝑟 𝑥𝑥 > 1
Svar:
5 av 20
( 𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓)
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Gränsvärden
a)
1.
lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1
𝑥𝑥→1−
2.
y
𝑓𝑓(1) = 1/2
3.
2
lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1
𝑥𝑥→1+
4. Eftersom de ensidiga gränsvärden är lika
1
finns det
0
lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim+ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1
𝑥𝑥→1−
𝑥𝑥→1
x
1
lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1.
𝑥𝑥→1
Funktionen är inte kontinuerlig i punkten x = 1 eftersom, t ex, 𝑓𝑓(1) ≠ lim− 𝑓𝑓(𝑥𝑥).
𝑥𝑥→1
b)
1.
𝑥𝑥→1−
lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1
3.
𝑥𝑥→1+
2.
𝑓𝑓(1) = 1
lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1
4. Eftersom dem ensidiga gränsvärden är lika
lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim+ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1
𝑥𝑥→1−
𝑥𝑥→1
finns det
lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1.
y
𝑥𝑥→1
Funktionen är kontinuerlig i punkten x = 1 eftersom
lim− 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim+ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(1) = 1.
𝑥𝑥→1
𝑥𝑥→1
Exempel 3. ( Viktigt exempel)
1
1
Låt 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥. Funktionen 𝑓𝑓(𝑥𝑥) är inte
definierad i punkten 𝑥𝑥 = 0.
6 av 20
x
f(x)=1/x
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Gränsvärden
Bestäm med hjälp av funktionens graf
följande gränsvärden
a) lim−
𝑥𝑥→0
c)
lim
𝑥𝑥→+∞
1
𝑥𝑥
1
𝑑𝑑)
𝑥𝑥
𝑏𝑏)
lim+
𝑥𝑥→0
lim
𝑥𝑥→−∞
1
𝑥𝑥
1
𝑥𝑥
Svar:
1
= −∞
𝑥𝑥→0 𝑥𝑥
Alternativt kan vi skriva
𝑎𝑎) lim−
1
𝑥𝑥
→ −∞ om 𝑥𝑥 → 0− .
{ Vi kan använda föregående resultat som minnesregel "
1
0−
= −∞"; endast som
minnesregel eftersom det är inte definierat att dela med 0. }
1
= +∞
𝑥𝑥→0 𝑥𝑥
Alternativt kan vi skriva
𝑏𝑏) lim+
1
𝑥𝑥
→ +∞ om 𝑥𝑥 → 0+ .
{ Vi kan memorera resultat som "
inte definierat att dela med 0. }
c)
𝑑𝑑)
lim
𝑥𝑥→+∞
lim
1
0+
= +∞" men endast som minnesregel eftersom det är
1
=0
𝑥𝑥
𝑥𝑥→−∞
1
=0
𝑥𝑥
{ Vi kan memorera resultat som "
1
∞
= 0"}
Beräkning av gränsvärdena
I samband med beräkning av gränsvärdena kallar vi följande uttryck för obestämda uttryck:
0
,
0
∞
,
∞
0 ∙ ∞,
∞ − ∞,
00 ,
1∞ ,
∞0 .
När vi får ett obestämt uttryck vid direkt beräkning av ett gränsvärde, skriver vi om funktionen,
förenklar och därefter försöker igen beräkna gränsvärdet. Ibland krävs det kompletterande
undersökningar, variabelbyten, L’ Hospitals regel o dyl.
Nedan finns några exempel.
7 av 20
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Gränsvärden
A) Rationella uttryck där x går mot ett reellt tal
Exempel 4. Beräkna följande gränsvärde
x2 − 1
lim 2
.
x − >1 x − x
Lösning: Om vi substituerar 𝑥𝑥 = 1 direkt i
x2 − 1
0
får vi det obestämda uttrycket �0� .
2
x −x
Därför förkortar vi först bråket med 𝑥𝑥 − 1.
[ Vi kan faktorisera täljaren och nämnaren, och förkorta bråket därefter.
Alternativt, kan vi dela täljaren och nämnaren med (x-1) .]
( x − 1)( x + 1)
x2 − 1
x +1 1+1
= lim
= lim
=
=2
lim 2
x − >1 x − x
x − >1
x − >1
1
x ( x − 1)
x
Svar:
x2 − 1
lim 2
=2
x − >1 x − x
Exempel 5. Beräkna följande gränsvärde
x 3 − 3x − 2
lim
.
x −>2
x2 − 4
Lösning: Om vi substituerar 𝑥𝑥 = 2 i
x 3 − 3x − 2
0
får vi det obestämda uttrycket �0�.
2
x −4
Detta betyder att både, täljaren och nämnaren är delbara med (x-2).
Det är inte uppenbart hur vi ska faktorisera täljaren x 3 − 3x − 2 . Därför delar vi
( x 3 − 3x − 2 ) med (x-2) ( polynomdivision) och får
( x 3 − 3x − 2 ) / (x-2) = x 2 + 2 x + 1
( kontrollera själv)
Nu har vi
( x − 2)( x 2 + 2 x + 1)
x 3 − 3x − 2
lim
= lim
x −>2
x −>2
x2 − 4
( x − 2)( x + 2)
x2 + 2x + 1 9
= lim
=
x −>2
x+2
4
8 av 20
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Gränsvärden
9
4
Svar:
Uppgift 2. Beräkna följande gränsvärden:
1) lim
10 x − 10
x2 − x
5) lim
x2 − 2 x + 1
x2 − x
6) lim
9) lim
x 2 − 3x + 2
x2 − x
10) lim
x →1
x →1
x →1
Svar:
1) 10
5) 0
9) -1
2) lim
x→2
5 x − 10
x2 − 2 x
5 x − 15
x − 10 x + 21
3) lim
2
x →3
5 x + 50
x →−10 x 2 + 10 x
5 x + 150
x →−30 x 2 + 210
7) lim
5 x + 10
2
x →−2 x + 7 x + 10
2) 5/2
6) -1/2
10) 5/3
4) lim
x→4
4− x
x2 − 4x
4+ x
x →−4 −10 x 2 − 40 x
8) lim
5 x − 15
x →3 x 3 − 27
11) lim
12) lim
x→2
x 4 − 16
x3 − x − 6
3) -5/4
4) -1/4
7) 0
8) 1/40
11) 5/27
12) 32/11
B) Rationella uttryck där x går mot ∞
Vid beräkning av gränsvärdena där x går mot ∞ utnyttjar vi ofta att
𝟏𝟏
𝒙𝒙
Exempel 6.
Beräkna
→ 𝟎𝟎 om x → ∞
a)
3x 2 − 4 x + 3
lim
x −>∞ 2 x 2 − 5x + 3
b)
4x + 3
lim 3
x −>∞ 2 x − 4 x + 3
c)
3x 4 − 4 x + 3
lim
x −>∞ 2 x2 − 4 x + 5
Lösning:
Vi bryter ut i täljaren den potens som har störst exponent och samtidigt nämnarens största
potens och därefter förkortar bråket.
4
+
3x − 4 x + 3
x
a ) lim 2
= lim
x −>∞ 2 x − 5 x + 3
x −>∞ 2
5
x (2 − +
x
2
x 2 (3 −
3
)
x2
3
)
x2
( förkortar med
( Alternativ: Man kan i början förkorta bråket med största potensen.)
9 av 20
x2 )
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
3
x2 = 3 − 0 + 0 = 3
3
2−0+0 2
2
x
4
+
x
= lim
x −>∞
5
2− +
x
3−
b)
Gränsvärden
3
x(4 + )
4x + 3
x
lim 3
= lim
( förkortar med
x −>∞ 2 x − 4 x + 3
x −>∞ 3
4
3
x (2 − 2 + 3 )
x
x
x)
3
(4 + )
4
x
= lim
=
=0
x −>∞ 2
4
3
2
∞
⋅
x (2 − 2 + 3 )
x
x
4
3
x 4 (3 − 3 + 4 )
3x 4 − 4 x + 3
x
x ( förkortar med
= lim
c) lim
x −>∞ 2 x2 − 4 x + 5
x −>∞
4
5
x 2 (2 − + 2 )
x x
x2 )
4
3
+ 4)
3
x
x = ∞⋅3 = ∞
4 5
2
2− + 2
x x
x 2 (3 −
lim
x −>∞
Svar:
a)
3
2
c) ∞
b) 0
Uppgift 3. Beräkna följande gränsvärden:
5 x 100 + 4 x 5 + 1
x −>∞
2 x 100 + 5 x
a) lim
4x2 + 1
x −>∞ 2 x + 5
e) lim
4x5 + 1
4x5 + 1
4x + 1
c)
d) lim
lim
100
3
x −>∞ 2 x
x −>∞ 2 x + 5 x
x −>∞ 2 x + 5
+ 5x
b) lim
4x + 1
x −>∞ x 2 + 5
f) lim
a) Lösning:
5x + 4 x + 1
= lim
x −>∞
2 x 100 + 5 x
100
lim
x −>∞
5
4
1
4
1
+ 100 )
5 + 95 + 100
95
x
x = 5.
x
x
= lim
x
−
>
∞
5
5
2
2 + 99
x 100 ( 2 + 99 )
x
x
x 100 (5 +
10 av 20
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Svar: a) 5/2
b)
Gränsvärden
c) ∞
0
d) 2
e) ∞
f) 0
C) Rotuttryck
Exempel 7. Beräkna följande gränsvärde
x− 2
x2 − 4
lim
x −>2
.
Lösning:
0
(Anmärkning: Om vi substituerar 𝑥𝑥 = 2 får vi uttrycket �0�. Därför förenklar vi uttrycket
först och substituerar efter förenkling.)
Exempel 8. Beräkna följande gränsvärde
a) lim
x − >1
x −1
x −1
b) lim
x −>2
x− 2
x2 − 4
c) lim
x −>2
x +1 − 2
6 − 2x
Lösning:
a) lim
x − >1
= lim
(
(x − 1) (
lim
x −>2
)
x +1
= lim
x − >1
x −1
x − >1
b)
(
)(
)
)
(x − 1) x + 1
x −1
= lim
x − 1 x −>1 x − 1 x + 1
(
)
x +1 =1+1= 2
( x − 2 )( x + 2 )
x− 2
lim
=
x −>2 ( x 2 − 4)( x + 2 )
x2 − 4
1
1
x−2
= lim
=
x −>2 ( x − 2)( x + 2)( x + 2 )
x −>2 ( x + 2)( x + 2 )
8 2
= lim
c)
x +1 − 2
x +1 − 2 x +1 + 2
= lim
⋅
6 − 2x
6 − 2x
x +1 + 2
x − >3
lim
x − >3
(
)
2
x + 1 − 22
x−3
= lim
=xlim
(6 − 2 x )( x + 1 + 2) x −>3 − 2( x − 3)( x + 1 + 2)
− >3
11 av 20
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
= lim − 2(
x − >3
Svar a)
Gränsvärden
1
−1
=
8
x + 1 + 2)
2
b)
1
c)
8 2
−1
8
Uppgift 4 . Beräkna följande gränsvärde
5x
x2 − 9
lim
b)
x →3
1 + 4x −1
x− 3
a) lim
x →0
2− x
c) lim
x→4 x − 4
d) lim
x →5
x 2 − 25
x + 4 −3
a) Lösning:
5x
5 x ( 1 + 4 x + 1)
5 x ( 1 + 4 x + 1)
= lim
= lim
=
1 + 4 x − 1 x→0 ( 1 + 4 x − 1)( 1 + 4 x + 1) x→0 1 + 4 x − 1
lim
x →0
lim
x →0
5( 1 + 4 x + 1) 5
=
4
2
Svar a)
5/2
b) 12 3
c)
-1/4
d) 60
Standardgränsvärdet
lim
𝑥𝑥→0
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
=1
𝑥𝑥
( 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴: 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑥𝑥 ä𝑟𝑟 𝑖𝑖 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟. )
Exempel 1. Beräkna
lim
𝑥𝑥→0
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠3𝑥𝑥
5𝑥𝑥
0
Lösning: Direkt substitution ger ett obestämt uttryck �0� .
𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 3𝑥𝑥 = 𝑡𝑡 (𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 ä𝑟𝑟 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑥𝑥 = 𝑡𝑡/3).
Dessutom 𝑥𝑥 → 0 ä𝑟𝑟 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑡𝑡 → 0
lim
𝑡𝑡→0
Svar: lim
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 3
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 3
= lim
= ∙1
5𝑡𝑡/3 5 𝑡𝑡→0 𝑡𝑡
5
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠3𝑥𝑥
𝑥𝑥→0 5𝑥𝑥
[𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 lim
𝑡𝑡→0
= 3/5
12 av 20
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
=1,
𝑡𝑡
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠ä𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛ä𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟]
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Gränsvärden
Uppgift 5.
Beräkna följande gränsvärden
𝑎𝑎) lim
𝑒𝑒)
𝑥𝑥→0
lim
ℎ→0
𝑥𝑥
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(8𝑥𝑥)
𝑏𝑏)
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥+ℎ)−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
lim
𝑡𝑡→0
ℎ
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(3𝑡𝑡)
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(8𝑡𝑡)
𝑐𝑐)
lim
𝑦𝑦→0
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(3𝑦𝑦)
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(4𝑦𝑦)
𝑑𝑑)
lim
𝑦𝑦→0
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(5𝑦𝑦)
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(13𝑦𝑦)
Tipps för d) Använd formeln
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑓𝑓 ) lim 𝑥𝑥−5𝜋𝜋
𝑥𝑥→5𝜋𝜋
𝑎𝑎+𝑏𝑏
2
g) lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
)𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(
𝑎𝑎−𝑏𝑏
2
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥−𝑎𝑎)
)
𝑥𝑥−𝑎𝑎
Lösning ( Lägg märke till att, för alla uppgifter, direkt substitution ger det obestämda
0
uttrycket �0�. )
𝑥𝑥
a) lim 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(8𝑥𝑥) =
𝑥𝑥→0
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(3𝑡𝑡)
𝑏𝑏) lim
=
𝑡𝑡→0 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(8𝑡𝑡)
c)
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(3𝑦𝑦)
lim
1
8𝑥𝑥
𝑥𝑥→0 8 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(8𝑥𝑥)
1
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(3𝑡𝑡)
3
𝑡𝑡
lim
=
𝑡𝑡→0 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(8𝑡𝑡)
8
𝑡𝑡
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(3𝑦𝑦)
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐3𝑦𝑦
lim 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(4𝑦𝑦) = lim 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(4𝑦𝑦) = lim
𝑦𝑦→0
𝑦𝑦→0
𝑦𝑦→0
d) Svar: 5/13
e)
lim
ℎ→0
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥+ℎ)−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
ℎ
1
=8∙1=8
= lim
ℎ→0
2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(
1
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(3𝑦𝑦)
∙
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐3𝑦𝑦
𝑦𝑦
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(4𝑦𝑦)
𝑦𝑦
=
1∙3
4
3
=4
2𝑥𝑥+ℎ
ℎ
)𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
2
2
ℎ
ℎ
2𝑥𝑥 + ℎ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2
2𝑥𝑥 + 0
= lim[𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(
)
] = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(
) ∙ 1 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
ℎ
ℎ→0
2
2
2
Anmärkning: Vi har faktiskt i upp. e) härlett och bevisat att derivatan av 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 är 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐.
f) För att få det standardgränsvärdet substituerar vi x −5𝜋𝜋 = 𝑡𝑡 och får
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑡𝑡 + 5𝜋𝜋)
= lim
𝑥𝑥→5𝜋𝜋 𝑥𝑥 − 5𝜋𝜋
𝑡𝑡→0
𝑡𝑡
lim
=
lim
𝑡𝑡→0
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑡𝑡+𝜋𝜋)
𝑡𝑡
[ 𝑣𝑣𝑣𝑣 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑡𝑡𝑡𝑡å 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = 4𝜋𝜋]
[𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓: 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜋𝜋 + 𝑡𝑡) = −𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠]
13 av 20
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
lim
𝑡𝑡→0
−𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑡𝑡)
= −1
𝑡𝑡
g) lim
𝑥𝑥→𝑎𝑎
lim
𝑡𝑡→0
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥−𝑎𝑎)
𝑥𝑥−𝑎𝑎
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠
=1
𝑡𝑡
=
Gränsvärden
[ Substitution 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 = 𝑡𝑡 ]
Uppgift 6. Kan man bestämma tal a så att funktionen 𝑓𝑓(𝑥𝑥) blir kontinuerlig i punkten x=1 om
a) f (x) =
𝑥𝑥 2 −1
𝑥𝑥−1
�2
𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑎𝑎𝑎𝑎 2
c) f (x) = � 5
3𝑥𝑥 + 1
a) Lösning :
𝑓𝑓ö𝑟𝑟 𝑥𝑥 < 1
b) f (x) =
𝑓𝑓ö𝑟𝑟 𝑥𝑥 = 1
𝑓𝑓ö𝑟𝑟 𝑥𝑥 > 1
𝑎𝑎𝑎𝑎 2
�4
3𝑥𝑥 + 1
𝑓𝑓ö𝑟𝑟 𝑥𝑥 < 1
𝑓𝑓ö𝑟𝑟 𝑥𝑥 = 1
𝑓𝑓ö𝑟𝑟 𝑥𝑥 > 1
𝑓𝑓ö𝑟𝑟 𝑥𝑥 < 1
𝑓𝑓ö𝑟𝑟 𝑥𝑥 = 1
𝑓𝑓ö𝑟𝑟 𝑥𝑥 > 1
Vänstergränsvärde i punkten x = 1:
[ Lägg märke till att x < 1 𝑖𝑖 detta fall, för 𝑥𝑥 → 1− , och därför väljer vi f(x) =
𝑥𝑥 2 − 1
lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim−
= lim− (𝑥𝑥 + 1) = 2
𝑥𝑥→1−
𝑥𝑥→1 𝑥𝑥 − 1
𝑥𝑥→1
𝑥𝑥 2 −1
𝑥𝑥−1
.]
Högergränsvärde i punkten x = 1:
( Lägg märke till att x > 1 den här gången, för 𝑥𝑥 → 1+ , och därför väljer vi f(x) = ax. )
Funktionens värde i punkten x = 1:
lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim+𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑎𝑎
𝑥𝑥→1+
𝑥𝑥→1
𝑓𝑓(1) = 2
Funktionen är kontinuerlig i punkten x = 1 om
14 av 20
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Detta är sant om a = 2.
Gränsvärden
lim 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = lim+ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(1)
𝑥𝑥→1−
𝑥𝑥→1
Alltså är funktionen f(x) kontinuerlig i punkten x = 1 om a=2.
Svar :
a) Funktionen f(x) är kontinuerlig i punkten x = 1 om a=2.
b) Funktionen f(x) är kontinuerlig i punkten x = 1 om a=4.
c) Det finns inte a så att funktionen f(x) blir kontinuerlig i punkten x = 1.
=======================
Här anger vi definitioner av olika typer av gränsvärden:
FORMELLA DEFINITIONER AV HÖGER_ OCH VÄNSTERGRÄNSVÄRDEN
Definition 3. ( Högergränsvärde) Låt A och a vara reella tal. Vi säger att funktionen f(x)
har högergränsvärdet A, då x går mot a + om följande gäller:
Till varje (" litet tal") ε > 0 finns det ett tal δ > 0 så att
1. funktionen f(x) är definierad för x ∊ (a, a+ δ)
2.
x ∊ (a, a+ δ) ⇒
Vi skriver då
|f(x) – A|< ε
lim f ( x) = A
x →a +
Definition 4. ( Vänstergränsvärde) Låt A och a vara reella tal. Vi säger att funktionen f(x)
har vänstergränsvärdet A, då x går mot a − om följande gäller:
Till varje ( " litet tal") ε > 0 finns det ett tal δ > 0 så att
1. funktionen f(x) är definierad för x ∊ (a – δ, a)
och
x ∊ (a – δ, a) ⇒
Vi skriver då
|f(x) – A|< ε
lim f ( x ) = A
x →a −
15 av 20
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Gränsvärden
OBEGRÄNSADE FUNKTIONER. OEGENTLIGA GRÄNSVÄRDEN
I ovanstående definitioner har vi antagande att A är ett tal. Nu definierar vi funktionens
oegentliga gränsvärden – ∞ och + ∞.
Låt a vara ett reell tal. Låt f vara en reell funktion med definitionsmängden Df . Antag vidare
att varje omgivning av punkten a innehåller andra punkter än a som ligger i funktionens
definitionsmängd Df.
Definition 5. Vi säger att funktionen f(x) → +∞, då x går mot a + om följande gäller:
Till varje ( "stort tal") M > 0 finns det ett tal δ > 0 så att
1. funktionen f(x) är definierad för x ∊ (a, a+ δ)
och
2. x ∊ (a, a+ δ) ⇒
Vi skriver då
f(x) > M
lim f ( x) = ∞
x →a +
Definition 6. Vi säger att funktionen f(x) → –∞, då x går mot a + om följande gäller:
Till varje tal M < 0 finns det ett tal δ > 0 så att
1. funktionen f(x) är definierad för x ∊ (a, a+ δ)
och
2: x ∊ (a, a+ δ) ⇒
Vi skriver då
f(x) < M
lim f ( x ) = −∞
x→a +
Om vi i de två ovanstående definitionerna ersätter x ∊ (a, a + δ) med x ∊ (a – δ, a) får vi
definitioner för oegentliga gränsvärden då x går mot a − :
lim f ( x) = ∞
x →a −
och
Exempel: Låt f ( x) =
lim f ( x) = −∞ .
x →a −
1
( x − 2)
16 av 20
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Då gäller
Gränsvärden
lim f ( x) = −∞ , lim+ f ( x) = +∞
x →2 −
x →2
( Den vertikala linjen x= 2 kallas funktionens lodrät ( vertikal) asymptot. )
GRÄNSVÄRDEN DÅ
Definition 7a.
x→±∞
Låt A vara ett reell tal. Vi säger att funktionen f(x) har gränsvärdet A, då x går mot + ∞ om
följande gäller:
Till varje ε > 0 finns det ett tal M > 0 så att
1. funktionen är definierad för x > M och
x>M ⇒
|f(x) – A| < ε
Vi skriver då
lim f ( x) = A
x→∞
På liknande sätt definieras betydelse av uttrycket
lim f ( x) = A .
x→−∞
Definition 7b.
Låt A vara ett reell tal. Vi säger att funktionen f(x) har gränsvärdet A, då x går mot – ∞ om
följande gäller:
Till varje ε > 0 finns det ett tal M så att
1. funktionen är definierad för x < M
och
2. x < M ⇒
Vi skriver då
|f(x) – A| < ε
lim f ( x ) = A
x → −∞
17 av 20
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Exempel: Låt f ( x) =
Då gäller
Gränsvärden
sin x
x
lim f ( x) = 0
x→−∞
och
lim f ( x) = 0
x→+∞
.
( Den horisontella ( vågräta) linjen y=0 kallas funktionens vågrät ( horisontell) asymptot. )
Exempel: Låt f ( x) = sin x
I det här fallet existerar inte gränsvärdet av f ( x) = sin x då x – > ∞ eftersom i varje interval
( b, ∞ ) antar funktionen f ( x) = sin x alla värden mellan – 1 och+1
Exempel . Bevisa med hjälp av definitionen att
3x 2 − 4 x 3
lim
=
x − >∞ 2 x 2 + 3
2
Bevis: Låt ε >0. Vi försöker finna ett (stort) tal M ( som beror av ε) så att
3x 2 − 4 x 3
|
− | < ε för alla x>M.
2x2 + 3 2
Vi har
|
3x 2 − 4 x 3 6 x 2 − 8 x − 6 x 2 − 9 − 8 x − 9
8x + 9
9x
− |=|
|=| 2
|=| 2
|<| 2 | ( om x>9)
2
2
2x + 3 2
4x + 6
4x + 6
4x + 6 4x
Sista gäller om x > 9 ( som vi kan anta eftersom x -> + ∞. )
Alltså |
3x 2 − 4 x 3
9x
9
− |<| 2 |=
2
2x + 3 2 4x
4x
18 av 20
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Istället |
3x 2 − 4 x 3
9
− |< ε kan vi därför lösa enkla olikheten
<ε
2
2x + 3 2
4x
Eftersom
Då blir |
Gränsvärden
4
9
< ε om x >
4x
9ε
kan vi ta M = max(
4
,9) .
9ε
3x 2 − 4 x 3
9
− |<
< ε för x>M .
2
2x + 3 2 4x
Alltså för varje ε >0 finns det M
[Vi kan välja t ex M = max(
4
,9) ] sådant att
9ε
3x 2 − 4 x 3
|
− |< ε om x > M .
2x 2 + 3 2
Enligt definitionen betyder detta att
3x 2 − 4 x 3
lim
= vilket skulle bevisas.
x − >∞ 2 x 2 + 3
2
Uppgift 7. Bevisa med hjälp av definitionen att
4x2 − x
=2
lim
x − >∞ 2 x 2 + 3
Tips. Se ovanstående exempel
Till slut anger vi definitionen för uttrycken av typ
lim f ( x) = ±∞ .
x→±∞
Definition 8. Vi säger att funktionen f(x) går mot + ∞ då x går mot + ∞ om följande gäller:
Till varje tal K > 0 ( oavsett hur stort är K) finns det ett tal M > 0 så att
1. funktionen är definierad för x>M
och
2. x > M ⇒
Vi skriver då
f(x) >K
lim f ( x) = ∞
x→∞
Definition 9. Vi säger att funktionen f(x) går mot – ∞ då x går mot + ∞ om följande gäller:
Till varje tal K finns det ett tal M > 0 så att
19 av 20
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Gränsvärden
1. funktionen är definierad för x>M
och
2. x > M ⇒
Vi skriver då
f(x) < K
lim f ( x) = −∞
x→∞
På liknande sätt definieras uttryck
lim f ( x ) = ∞ och lim f ( x ) = −∞
x → −∞
x → −∞
Exempel: Låt f ( x) = x 2 . då gäller
lim f ( x) = +∞
x→−∞
och
lim f ( x) = +∞ .
x→+∞
20 av 20