Talmängder

Moment
Viktiga exempel
Övningsuppgifter I
Extrauppgifter
1.2.1, 1.2.2, 1.2.4, 1.2.5
1.3, 1.4, 1.8
1.7, 1.8, 1.9
1, 2, 3, 4
Den teori och de exempel, som kommer att presenteras här, är normalt vad jag kommer att
gå igenom under föreläsningen. Något av innehållet kan ses som komplement till boken.
Talmängder
Naturliga tal kallas de tal som tillhör mängden
N = {0, 1, 2, 3, . . .}
Heltal kallas de tal som tillhör mängden
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
Rationella tal kallas de tal som tillhör mängden
a
Q=
: a, b ∈ Z
b
Reella tal kallas de tal som kan uttryckas med hjälp av ändligt eller oändligt många
decimaler! Mängden av reella tal betecknas med R
Irrationella tal kallas de tal som är reella men ej rationella.
Komplexa tal kallas de tal som tillhör mängden
C = {a + bi : a, b ∈ R}
Påståenden:
• N ⊂ Z, mängden N är en delmängd av mängden Z. Z innehåller ju förutom alla
positiva heltal också de negativa heltalen som inte finns i N.
• Z ⊂ Q. Eftersom bland annat 71 och −12
3 är rationella tal förstår vi att heltal kan skrivas
som rationella sätt.
√
• Q ⊂ R. Till exempel talet 2 kan inte skrivas som ett rationellt tal och alla tal i Q är
reella.
• R ⊂ C. Så fort man väljer b = 0 har man ett reellt tal! De komplexa talen behöver vi
inte bry oss om i denna kurs.
Håkan Strömberg
1
KTH Syd
Intervall
{x : a ≤ x ≤ b, x ∈ R}
Uttrycket ovan betecknar en mängd, som kan ses som ett intervall på tallinjen. Så här
uttalar man det:
Mängden av reella tal x, sådana att x är större än eller lika med a och samtidigt mindre än
eller lika med b
Tecknen { och } vittnar om att det gäller en mängd. Kolon : kan med fördel uttalas som
sådana att.
[4, 10] = {x : 4 ≤ x ≤ 10, x ∈ R}
Detta är ett slutet intervall. Slutet därför att gränserna ingår i mängden.
(−2, 4) = {x : −2 < x < 10, x ∈ R}
Detta är ett öppet intervall, därför att gränserna inte ingår i mängden M ovan. 10 6∈ M,
men 9.9999999 . . . ∈ M
[3, 15) = {x : 3 ≤ x < 15, x ∈ R}
Detta är ett halvöppet (eller halvslutet ). Det är en bra idé att använda runda parenteser då
gränsen inte tillhör intervallet och hakparenteser då gränsen ingår i intervallet.
[10, 19) = {x : 10 ≤ x < 19, x ∈ N}
Mängden består av talen 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, alltså ett heltalsintervall. Denna typ
av intervall eller mängder är mindre vanliga i denna kurs.
Likheter och olikheter
Andragradsekvationen
Den här formeln känner du förstås redan till, där vi har för avsikt att lösa polynomekvationen av andra graden x2 + px + q = 0
r p 2
p
−q
x1,2 = − ±
2
2
Diskriminanten kallas uttrycket rottecknet
p 2
2
−q≡
p2 − 4q
4
Dess värde avgör vilken typ av rötter vi får
Diskriminanten
>0
=0
<0
Håkan Strömberg
Rötterna
Två reella rötter
Två lika reella rötter
Komplexa rötter
2
KTH Syd
Eftersom komplexa tal inte ingår i kursen behöver du inte kunna gå vidare då diskriminanten<
0.
Det finns alternativa formler. Om man till exempel ska lösa en ekvation av utseendet
ax2 + bx + c = 0, där a 6= 1 kan det vara bra att direkt använda denna
√
b ± b2 − 4ac
x1,2 = −
2a
Dessutom kan man använda kvadratkomplettering, men den metoden tar vi inte upp här.
Exempel 1. Lös ekvationen
4x2 − x −
1
4
x
1
x2 − −
4 16
4x2 − x −
1
=0
4
= 0
= 0
s 1
1 2
1
+
±
x =
8
8
16
r
1+4
1
±
x =
8 √ 64
1
5
x =
±
8
8
√
√
1+ 5
1− 5
x1 =
x2 =
8
8
Olikheter
Olikheter behandlas på i princip samma sätt som likheter (ekvationer), med det tillägget
att multiplikation/division med negativt tal vänder olikheten!
Exempel 2. Lös olikheten 5 − 3x > 2, det vill säga för vilka x är olikheten sann?.
5 − 3x
−3x
(−1) · (−3x)
3x
x
>
>
>
<
<
2
−3
(−1) · 3
3
1
Svar: Olikheten är sann så länge x < 1 Lite värre blir det om man har en rationell olikhet
Exempel 3. Lös olikheten
x
≥2
2x − 1
Innan vi försöker lösa problemet ska vi titta på grafen till funktionen
f(x) =
Håkan Strömberg
x
2x − 1
3
KTH Syd
4
2
-0.4 -0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-2
-4
Grafen har två delar. Dessutom är linjen y = 2 inritad. I x = 12 finns en vertikal asymtot.
När x → 12 från vänster går y → ∞. Vi kan avläsa i kurvan att olikheten är sann i det
ungefärliga intervallet 0.5 < x < 0.7
Men hur löser man nu detta exakt? Starta med att samla allt på ena sidan och på ett
bråkstreck
x
2x − 1
≥ 2
x
−2 ≥ 0
2x − 1
2(2x − 1)
x
−
2x − 1
2x − 1
≥ 0
x − (4x − 2)
2x − 1
≥ 0
2 − 3x
2x − 1
≥ 0
Olikheten gäller nu istället ≥ 0. Vi tar reda på för vilka värden täljare respektive nämnare
är = 0 och gör sedan ett så kallat teckenstudium av olika intervall på x-axeln.
1
2
x
2
3
2 − 3x +
+
+
2x − 1 −
0
+ + +
2−3x
2x−1
− odef +
Från tabellen ser vi att uttrycket är ≥ 0 då
1
2
0
0
−
−
< x ≤ 23 Exempel 4. Lös olikheten
x2 − x − 6 < 0
Lösning:
Plan:
1 Faktorisera polynomet
2 Ställ upp tabell för teckenstudium
3 Utläs svaret ur tabellen
Håkan Strömberg
4
KTH Syd
Genomförande:
1 Andragradsekvationen har rötterna x1 = 3 och x2 = −2 vilket leder fram till faktoriseringen (x − 3)(x + 2) < 0.
2
x < −2 x = −2 −2 < x < 3 x = 3 x > 3
x−3
x+2
−
−
−
0
−
+
0
+
+
+
(x − 3)(x + 2)
+
0
−
0
+
Svar: −2 < x < 3
Exempel 5. Lös olikheten
4−x
≥0
x+2
Lösning:
Plan:
1 Ställ upp tabell för teckenstudium
2 Utläs svaret ur tabellen
Genomförande:
1
x < −2 x = −2 −2 < x < 4 x = 4 x > 4
4−x
x+2
+
−
+
0
+
+
0
+
−
+
4−x
x+2
−
odef
+
0
−
Svar: −2 < x ≤ 4
Exempel 6. Lös olikheten
x2 + 2x + 1
<0
x−1
Lösning:
Plan:
1 Faktorisera täljaren
2 Ställ upp tabell för teckenstudium
3 Utläs svaret ur tabellen
Genomförande:
1 Vi ser att täljaren kan skrivas om som (x + 1)2 (första kvadreringsregeln).
Håkan Strömberg
5
KTH Syd
2
x < −1 x = −1 −1 < x < 1 x = 1 x > 1
x+1
x+1
x−1
−
−
−
0
0
−
+
+
−
+
+
0
+
+
+
(x+1)2
x−1
−
0
−
odef
+
Svar: x < −1 eller −1 < x < 1
Exempel 7. Lös olikheten
x2 − 2x − 3
>0
x2 + 2x − 8
Lösning:
Plan:
1 Faktorisera täljaren
2 Faktorisera nämnaren
3 Sortera nollställena i stigande ordning och ställ upp tabell för teckenstudium.
4 Utläs svaret ur tabellen
Genomförande:
1 Täljarens motsvarande andragradsekvation har rötterna x1 = −1 och x2 = 3 vilket
leder fram till faktoriseringen (x + 1)(x − 3).
2 Nämnarens motsvarande andragradsekvation har rötterna x1 = 2 och x2 = −4 vilket
leder fram till faktoriseringen (x − 2)(x + 4).
Vi kan nu skriva om olikheten
(x + 1)(x − 3)
≥0
(x − 2)(x + 4)
3
x+4
x+1
x−2
x−3
(x+1)(x−3)
(x−2)(x+4)
x < −4
−
−
−
−
+
x = −4
0
−
−
−
odef
−4 < x < −1
+
−
−
−
−
x = −1
+
0
−
−
0
−1 < x < 2
+
+
−
−
+
x=2
+
+
0
−
odef
2<x<3
+
+
+
−
−
x=3
+
+
+
0
0
x>3
+
+
+
+
+
Svar: x < −4 eller −1 ≤ x < 2 eller x ≥ 3 (se grafen nedan)
10
8
6
4
2
-4
Håkan Strömberg
-2
-2
-4
-6
-8
-10
6
2
4
KTH Syd
Exempel 8. Lös olikheten
x+1
≥3
x−3
Lösning:
Plan:
1 Se till att högerledet blir 0 och att det vänstra ledet endast innehåller
ett rationellt uttryck (bråk).
2 Ställ upp tabell för teckenstudium
3 Utläs svaret ur tabellen
Genomförande:
1
x+1
≥ 3;
x−3
x+1
− 3 ≥ 0;
x−3
x + 1 3(x − 3)
−
≥ 0;
x−3
x−3
10 − 2x
≥0
x−3
2
x<3 x=3 3<x<5 x=5 x>5
10 − 2x
x−3
+
−
+
0
+
+
0
+
−
+
10−2x
x−3
−
odef
+
0
−
Svar: 3 < x ≤ 5
Absolutbelopp
Följande definition har ni sett tidigare:
a
|a| =
−a
om a ≥ 0
om a < 0
Tolkning: |a − b| är avståndet mellan punkterna a och b på tallinjen.
Exempel 9. Lös olikheten
|x − 3| < 7
Först en grafisk lösning
Avståndet mellan 3 och x ska vara < 7. Vi kan direkt från figuren utläsa svaret −4 < x < 10
Vi kan även lösa uppgiften rent algebraiskt
|x − 3| < 7
−7 < x − 3 < 7
−4 < x < 10
Håkan Strömberg
7
KTH Syd
Ekvationer med absolutbelopp
Exempel 10. Lös ekvationen
|x + 3| = 5
Lösning:
Plan:
1 Ta reda på x1 , där termen med absolutbeloppet är = 0.
2 Dela upp ekvationen i två ekvationer. En då x < x1 och en då x > x1 . Ersätt tecknet
för absolutbelopp med en parentes. Sätt −-tecken framför parentesen om så skall
vara!
3 Lös de båda ekvationerna var för sig. Kontrollera att erhållen rot ligger i aktuellt
intervall.
Genomförande:
1 Då x = −3 är |x + 3| = 0.
2,3 Vi får två ekvationer
Då
Ekvation
Rot
OK
x < −3 −(x + 3) = 5 x = −8 Ja
x ≥ −3 x + 3 = 5
x=2
Ja
Svar: x1 = −8 och x2 = 2
Exempel 11. Lös ekvationen
|x − 6| − x = 4
Lösning:
Plan:
1 Ta reda på x1 , för vilket |x − 6| = 0
2 Betrakta två intervall. Ett där x < x1 och ett där x > x1 . Lös upp termen med
absolutbelopp och bilda samtidigt två ekvationer.
3 Lös ekvationerna och kontrollera att roten ligger i intervallet.
Genomförande:
1 Då x = 6 är |x − 6| = 0
2 De två ekvationerna med gällande intervall
Då
Ekvation
Rot
OK
x < 6 −(x − 6) − x = 4 x = 1
Ja
x ≥ 6 (x − 6) − x = 4
ingen rot Nej
Svar: x = 1
Håkan Strömberg
8
KTH Syd
Exempel 12. Lös ekvationen
|x + 1| − 2|4 − x| + |2x − 3| = 0
Lösning:
Plan:
1 Ta reda på de xi för vilka var och en av de tre termerna = 0.
2 Sortera de tre ’brytpunkterna’ och skapa fyra intervall, man kan finna utefter x-axeln.
3 Lös upp absolutbeloppen inom varje intervall och bilda på så sätt fyra ekvationer.
4 Lös ekvationerna och kontrollera att roten ligger i aktuellt intervall.
Genomförande:
1,2 De tre eftersökta x-värdena är x1 = −1, x2 =
3
2
och x3 = 4
3 Vi har nu att studera följande fyra intervall
x < −1
−1 ≤ x < 23
3
2 ≤x<4
x≥4
4 Detta ger oss följande ekvationer
Då
Ekvation
Rot
OK
x < −1
−1 ≤ x < 32
3
2 ≤x<4
x≥4
−(x + 1) − 2(4 − x) − (2x − 3) = 0
(x + 1) − 2(4 − x) − (2x − 3) = 0
(x + 1) − 2(4 − x) + (2x − 3) = 0
(x + 1) + 2(4 − x) + (2x − 3) = 0
x = −6
x=4
x=2
x = −6
Ja
Nej
Ja
Nej
Svar: x1 = −6 och x2 = 2 (se grafen nedan)
15
10
5
-10
-5
5
10
-5
Exempel 13. Givet ett intervall x1 < x < x2 , som vi vill uttrycka på formen |x + a| < b.
uttryck a och b med hjälp av x1 och x2 .
Lösning: Vi börjar bakifrån och översätter |x + a| < b till −b < x + a < b, som i sin tur
leder till −b − a < a < b − a. Alltså är x1 = −b − a och x2 = b − a.
Håkan Strömberg
9
KTH Syd
Vi har nu ett ekvationssystem där vi ska lösa ut x1 och x2
x1 = −b − a
x2 = b − a
Ur den andra ekvationen får vi a = b − x2 . Vi substituerar a med detta uttryck i första
ekvationen och får x1 = −b − (b − x2 ). När vi löser ut b får vi
b=
x2 − x1
2
Detta insatt i den andra ekvationen ger a
a=−
x2 + x1
2
Använder vi ’formlerna’ på till exempel intervallet (8, 16) får vi |x − 12| < 4.
Olikheter med absolutbelopp
Exempel 14. Lös olikheten
|x − 2| + |x − 4| < 8
Lösning:
Plan:
1 Ta reda på x1 , för vilket |x − 2| = 0 och det x2 för vilket |x − 4| = 0
2 Betrakta tre intervall. Ett där x < x1 , ett då x1 ≤ x ≤ x2 och ett då x > x2 . Lös upp
absolutbeloppen och bilda olikheter utan absolutbelopp, ett för varje intervall.
3 Lös olikheterna och kontrollera inom vilken del av intervallet som olikheten gäller.
Genomförande:
1 x1 = 2 och x2 = 4
2 Intervallen är x < 2, 2 ≤ x ≤ 4 och x > 4.
3
Då
Olikhet
Lösning Intervall
x<2
−(x − 2) − (x − 4) < 8 x > −1
2 ≤ x < 4 (x − 2) − (x − 4) < 8
Alltid
x>4
(x − 2) + (x − 4) < 8
x<7
−1 < x < 2
2≤x<4
4≤x<7
För en del av första intervallet gäller olikheten, för hela andra intervallet och åter för
en del av tredje. Sammantaget fås
Svar: −1 < x < 7
Håkan Strömberg
10
KTH Syd
Exempel 15. Lös olikheten
|2x − 4| + |x| < |5 − x|
Lösning:
Plan:
1 Ta reda på de xi , för vilka termerna är = 0
2 Ställ upp fyra intervall inom vilka olikheten ska lösas. Lös upp absolutbeloppen och
bilda olikheter utan absolutbelopp, ett för varje intervall.
3 Lös olikheterna och kontrollera att roten ligger i intervallet.
Genomförande:
1 x1 = 0, x2 = 2 och x3 = 5
2 De fyra intervallen är
x<0
0≤x<2
2≤x<5
x≥5
3
Svar: −
Då
Olikhet
Lösning Intervall
x<0
0≤x<2
2≤x<5
x≥5
−(2x − 4) − x < (5 − x)
−(2x − 4) + x < (5 − x)
(2x − 4) + x < (5 − x)
(2x − 4) + x < −(5 − x)
x > − 12
Alltid
x < 49
x < − 21
− 21 < x < 0
0≤x<2
2 ≤ x < 49
Inget x
1
9
<x<
2
4
Här några extrauppgifter att lösa
Extra 1. Lös ekvationen |x − 2| − 6 = 0. Svar: x1 = 8, x2 = −4
Extra 2. Lös ekvationen 3x − |x − 1| + 2|x + 1| = 11. Svar: x = 2
Extra 3. Lös olikheten 3|x − 2| < 4 − |x + 3|. Svar: Saknar lösning
Extra 4. Lös olikheten x + |x − 2| < |x + 1|. Svar: x < −3, 1 < x < 3
Håkan Strömberg
11
KTH Syd
Huvudräkning 1. Vet du med säkerhet hur dessa fyra relationsoperatorer uttalas och står
för
>
≤
≥
<
Huvudräkning 2. Vilka av dessa två uttryck är oftast minst?
a) |x| + |y|
b) |x + y|
Huvudräkning 3. Vilket gradtal har denna ekvation och vilka är rötterna?
(x − 2)(x + 3) = 0
Huvudräkning 4. Lös olikheten |x| < 0
Huvudräkning 5. Vilket värde ska a ha för att ekvationen ska ha en dubbelrot?
x2 + ax + 1 = 0
Läxa 1. 1.7 a) Från {x : |x − 4| ≤ 6} har vi att lösa |x − 4| ≤ 6.
|x − 4| ≤ 6
−6 ≤ x − 4 ≤ 6
−2 ≤ x ≤ 10
Svar: [−2, 10]
Läxa 2. 1.7 b) Från {x : |x + 3| < 2} har vi att lösa |x + 3| < 2.
|x + 3| < 2
−2 < x + 3 < 2
−5 < x < −1
Svar: (−5, −1)
Läxa 3. 1.7 c) Från {x : |2x − 1| ≤ 7} har vi att lösa |2x − 1| ≤ 7.
|2x − 1| ≤ 7
−7 ≤ 2x − 1 ≤ 7
−6 ≤ 2x ≤ 8
−3 ≤ x ≤ 4
Svar: [−3, 4]
Läxa 4. 1.7 d) Från {x : | x4 + 3| < 3} har vi att lösa | x4 + 3| < 3.
| x4 + 3| < 3
−3 < x4 + 3 < 3
−6 < x4 < 0
−24 < x < 0
Svar: (−24, 0)
Håkan Strömberg
12
KTH Syd
Läxa 5. 1.8 a) Använder vi formlerna från exempel 13 får vi direkt genom
b=
b=
x2 − x1
2
a=−
7−1
=3
2
a=−
x2 + x1
2
7+1
= −4
2
Svar: |x − 4| ≤ 3
Läxa 6. 1.8 b) På samma sätt
b=
(−2) − (−4)
=1
2
a=−
(−2) + (−4)
=3
2
Svar: |x + 3| ≤ 1
Läxa 7. 1.8 c)
9
17 + 26
43
26 − 17
=
a=−
=−
2
2
2
2
Vi multiplicerar alla led med 2 för att slippa nämnaren 2.
Svar: |2x − 43| < 9
b=
Läxa 8. 1.8 d)
b=
3
4
− − 21
5
=
2
8
+ − 21
1
a=−
=−
2
8
3
4
Vi multiplicerar alla led med 8 för att slippa nämnaren och får
Svar: |8x − 1| ≤ 5
Läxa 9. 1.9 a) Anta att a = 0, b = 1, c = 2 och d = 10. Då gäller a < b och c < d men
a − c < b − d ger 0 − 2 6< 1 − 10. Det räcker att hitta ett motexempel för att påvisa att
påståendet är falskt.
Läxa 10. 1.9 b) a < b ger 0 < b − a och c < d ger 0 < d − c. Från a − d < b − c får vi
0 < b − a + d − c. Eftersom b − a > 0 och d − c > 0, så måste summan av dessa alltid vara
> 0. Påståendet är sant.
Läxa 11. 1.9 c) Om vi startar med med a < b och multiplicerar vänstra ledet med c, högra
med d och givet c < d, så kan man tycka att olikheten förstärks. Eller om d > 0 så får vi
a·c
c
d < 1 detta ger d < a < b. Detta är dock inget fullständigt bevis! Om a = −2 och b = −1
så gäller att a < b. Om c = −5 och d = −3 så gäller c < d. Men ac 6< bd eftersom 10 6< 4
och påståendet är alltså falskt.
Läxa 12. 1.9 d) Så länge a, b > 0 kan vi multiplicera båda leden med ab och enkelt få
a < b, vilket var givet. Men vad händer om till exempel a = −1 och b = 1? Också detta
påstående är falskt.
Håkan Strömberg
13
KTH Syd
I boken hänvisar man ofta till Maple och MatLab. Att använda datorer för att lösa matematiska problem är ett nytt synsätt som inte slagit igenom på de flesta högskolor. Personligen
anser jag det självklart att en blivande högskoleingenjör ges möjlighet att stifta bekantskap
med dessa kraftfulla verktyg och kommer därför under kursen att tipsa om hur många problem kan lösas med Maple. Observera dock att verktyget inte kommer att kunna användas
vid examinationen. Du lär dig att hantera Maple därför att du är en ’nyfiken’, blivande
ingenjör.
Alla studenter vid KTH kan gratis ladda ned Maple via programdistribution,
progdist.ug.kth.se/public/, vilket jag rekommenderar att ni gör. Dessutom finns
Maple installerat i vårt datasystem och kan nås från skolans samtliga arbetsplatser.
Vi ska nu lösa andragradsekvationen från exempel 1.
solve(4x^2-x-1/4=0);
Kommandot (eller funktionen) solve talar om för datorn att en ekvation ska lösas. Det är
viktigt att raden avslutas med semikolon, men det är vi ju vana vid från C-kursen.
Ekvationen skrivs sedan in på ett naturligt sätt. Exponent får man genom ˆ-tecknet. Använd
högerpil för att kliva ned från exponenten.
När man väl har lärt sig dessa tre små regler kan man lösa minst fyra andragradsekvationer
i minuten och det blir alltid rätt ! Datorn skriver ut
1 1√
5,
+
8 8
1 1√
5
−
8 8
Snyggt och prydligt. Har man glömt bort formeln för hur man löser andragradsekvationer
är det bara att skriva
solve(x^2+p*x+q=0,x);
Vi bestämmer alltså inte koefficienterna i förväg. Vi måste skriva p*x i stället för px, som
programmet upplever som en enda variabel. Dessutom måste vi ange med avseende på
vilken variabel ekvationen ska lösas, alltså x. Vi får lika vackert denna gång
− 12 p +
1
2
p
p2 − 4q), − 21 p −
1
2
p
p2 − 4q)
som egentligen är en mer användbar omskrivning av formeln vi gav ovan.
Kan man då lösa olikheter med Maple? De två exemplen ovan fixar vi enkelt med
solve(x/(2x-1)>=2);
som ger samma svar som i exempel 3. RealRange ska tolkas som ett intervall. Open
betyder att den undre gränsen är öppen. Exempel 9 löses lika enkelt endast med det
tillägget att absolutbeloppet skrivs abs
solve(abs(x-3)<7);
Håkan Strömberg
14
KTH Syd
Lös olikheten
6 + x − x2 < 24 − 14x − x2 + x3
solve(6+x-x^2<24-14x-x^2+x^3);
ger svaret, något omskrivet
√
√
33 − 3
−( 33 + 3)
<x<
2
2
eller då
x>3
Förvissa dig om att du kan tolka utskriften från Maple. För att plotta grafen från exempel
12 skriver man plot(abs(x+1)-2*abs(4-x)+abs(2*x-3),x=-7..5);
15
10
5
-10
-5
5
10
-5
Med dessa enkla kommandon kan du kontrollera de flesta av de uppgifter som finns på
dagens läxa. På hemsidan finns en manual
Under denna rubrik kommer till varje föreläsning att presenteras ett problem som bygger
på logiskt tänkande och mer problemlösning än många av de matematiska problem vi
kommer att lösa.
Dela bröd och pengar
Två luffare, A med 3 bröd och B med 5 bröd, hade just satt sig vid vägkanten för att äta,
då en tredje luffare, C, kom förbi. C hade ingen egen mat, utan betalade sin andel med 8
kr. Hur skulle detta belopp fördelas rättvist mellan A och B, om maten delats lika mellan
de tre luffarna?
Håkan Strömberg
15
KTH Syd
Svar huvudräkning 1.
>
≤
≥
<
större än
mindre än eller lika med
större än eller lika med
mindre än
Svar huvudräkning 2. |x + y| kan aldrig vara större än |x| + |y|
Svar huvudräkning 3. Det är förstås en andragradsekvation med rötterna x1 = 2 och
x2 = −3
Svar huvudräkning 4. Den har ingen lösning, |x| kan aldrig vara mindre än 0.
Svar huvudräkning 5. a = 2 ger x2 + 2x + 1 = 0 som i sin tur kan skrivas (x + 1)2 = 0.
Ekvationens två rötter är x1,2 = −1
Håkan Strömberg
16
KTH Syd