Ver09.1 TSBK03 Teknik för avancerade datorspel: Fysik Ht2009 Kenneth Järrendahl, IFM Innehåll Fö 9 (Fysikfö 1) i. Inledning till kursens fysikdel 1. Partikelmekanik Fö 10 (Fysikfö 2) 2. Diskreta flerpartikelsystem 3. Stelkroppar Ökande komplexitet Fö 11 (Fysikfö 3) 4. Deformerbara kroppar och fluider 5. Analytisk mekanik 6. Optik Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 2 i. Inledning till kursens fysikdel i.1 Om kursens fysikföreläsningar i.2 Fysikens områden och indelningar i.3 Fysikaliska modeller Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 3 i.1 Om kursens fysikföreläsningar Kursens föreläsningar om fysik syftar till; att ge en orientering om fysikens områden att övergripande ta upp de fysikaliska begrepp och sambanden med störst relevans i datorprogram inom tillämpningsområden som spel, film och simulering Nya begrepp/repetition beroende på bakgrund (program) Webbsidor Kursens huvudsida (Ingemar R) http://www.computer-graphics.se/TSBK03.html Kursens fysiksida (Kenneth J) https://cms.ifm.liu.se/edu/coursescms/TSBK03/ Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 4 i.1 Om kursens fysikföreläsningar Litteratur mm. Utdelade kopior av föreläsningspresentationerna. Går också att nå via kursens huvudsida. Witkin, Baraff, Kass Pixar-materialet ”SIGGRAPH 2001 Course notes” [Pix] pdf via webbsidorna. Ragnemalm, PFNP-SHCWMTS [IR] Kursboken Palmer “Physics for Game Programmers” Eberly ”Game physics” Conger ”Physics modeling for game programmers” (Ebrary) Mer information på webbsidorna... Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 5 i.2 Fysikens områden och indelningar Ter mod yna mik ik kan e M Relati vitets teori Klassisk fysik Modern fysik Elektromagnetis m Kva n tfys ik Klassisk fysik – låga energier, stora dimensioner Modern fysik – höga energier, små dimensioner En grov indelning - många andra indelningar möjliga Områdena överlappar varandra Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 6 i.2 Fysikens områden och indelningar Mekanikområdet kan delas in enligt Partiklar och partikelsystem i vila Partiklar och partikelsystem i rörelse Utan hänsyn till krafter Geometri Kinematik Med hänsyn till krafter Statik Kinetik (Alt. Dynamik*) *Enligt vissa definitioner inbegriper dynamik både kinematik och kinetik En indelning kan också göras med avseende på komplexitet Partikelmekanik (Avsnitt 1) Flerpartikel- och stelkroppsmekanik (Avsnitt 2 och 3) Deformerbara kroppar (Avsnitt 4) Fluidmekanik (Avsnitt 4) Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 7 i.2 Fysikens områden och indelningar En mer geometrisk indelning görs enligt det antal rumsdimensioner som behövs för att beskriva fysiken. Beroende på symmetrin används olika koordinatsystem (KS). Några vanliga koordinatsystem koordinatsystem Rektangulärt* Cylindriskt** Sfäriskt Naturligt 1D x - 2D x y R θ s κ 3D x y z R θ z r φ θ s κ xˆ , yˆ , zˆ ˆ , θˆ , zˆ R rˆ, φˆ, θˆ ˆ Tˆ , N * Kallas även Cartesiskt, ** Kallas även Polärt i 2D-fallet Enhetsvektorer Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 8 i.2 Fysikens områden och indelningar Exempel på andra relevanta ämnen Analytisk mekanik Geometrisk optik Numeriska metoder (differentiering, integrering, diff. ekv) Linjär algebra, kvarternioner Kollisionsdetektering Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 9 i.3 Fysikaliska modeller on, i t a ekv i, r teo lering u sim Modell Ja M Tillräckligt bra överensstämmelse? Teoretisk förutsägelse Experimentell observation in ätn g Verkligheten Nej Förändra/förbättra det teoretiska modellarbetet Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH Förändra/förbättra det experimentella arbetet TSBK03: Fysik, Ht2009 10 i.3 Fysikaliska modeller Syn, Ja Ett antal samband (regler) baserade på fysikaliska modeller som kan simulera önskade händelser. Tillräckligt bra överensstämmelse? Simulering hörs el, Förväntad upplevelse käns el Önskade händelser (Verklighet) Nej Förändra/förbättra kod Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH Förändra krav på händelser TSBK03: Fysik, Ht2009 11 1. Partikelmekanik [Pix-C, Pix-B, IR-7.1, IR-9] 1.1 Partikelkinematik (läge, hastighet och acceleration) 1.2 Partikelkinetik I (kraft och rörelsemängd) 1.3 Partikelkinetik II (arbete och energi) Föremål som enbart translateras och inte ändrar form kan beskrivas som en partikel/punkt. Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 12 1.1 Partikelkinematik Betraktar här en partikel (punkt) i rörelse men tar inte hänsyn till orsaken till rörelsen Galileo Galilei (1564-1642) Rörelsen sker längs en linje (1D), i ett plan (2D) eller i rummet (3D) och är en funktion av tiden t. Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 13 1.1 Partikelkinematik För att ha koll på situationen vill vi (som funktion av tiden t ) känna till partikelns läge, hastighet och acceleration storhet beteckning Läge, förflyttning r Medelhastighet v av = Medelacceleration aav = Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH enhet (m), ∆r = r1 − r0 r1 − r0 ∆r ≡ t1 − t0 ∆t v1 − v 0 ∆v ≡ t1 − t0 ∆t TSBK03: Fysik, Ht2009 (m/s) (m/s 2 ) [1.1-1a] [1.1-2a] 14 1.1 Partikelkinematik Om vi låter ∆t 0 får vi momentana värden … storhet Läge Momentan hastighet Momentan Acceleration Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH beteckning enhet r (t ) (m) · = ”Newton notation” v(t ) = dr (t ) & ≡ r (t ) (m/s) dt dv(t ) & ≡ v (t ) (m/s 2 ) dt d 2 r (t ) && 2 a (t ) = ≡ r ( t ) ( m/s ) 2 dt a (t ) = TSBK03: Fysik, Ht2009 [1.1-1b] [1.1-2b] 15 1.1 Partikelkinematik Vi beskriver sedan storheterna läge, hastighet och acceleration i något koordinatsystem… Vanligt att använda ett rektangulärt (Kartesiskt) koordinatsystem Partikelns rörelse i ett rektangulärt KS ( x y z ) Längs en linje (1D) r = x xˆ v = x& xˆ a = &x&xˆ Partikelns läge Partikelns hastighet Partikelns acceleration x̂ Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 [1.1-3] [1.1-4] [1.1-5] x 16 1.1 Partikelkinematik Partikelns rörelse i ett rektangulärt KS ( x y z ) I ett plan (2D) Partikelns läge Partikelns hastighet Partikelns acceleration r = x xˆ + y yˆ [1.1-6] v = x& xˆ + y& yˆ [1.1-7] a = &x&xˆ + &y&yˆ [1.1-8] y ŷ x̂ r x Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 17 1.1 Partikelkinematik Partikelns rörelse i ett rektangulärt KS ( x y z ) I rummet (3D) r = x xˆ + y yˆ + zzˆ Partikelns läge Partikelns hastighet Partikelns acceleration [1.1-9] v = x& xˆ + y& yˆ + z&zˆ a = &x&xˆ + &y&yˆ + &z&zˆ [1.1-10] [1.1-11] I ett rektangulärt KS är enhetsvektorerna konstanta z ẑ r x̂ x Vanligt alternativ beteckning Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH (ˆi , ˆj, kˆ ) TSBK03: Fysik, Ht2009 ŷ y 18 1.1 Partikelkinematik Beskrivningen av storheterna på vektorform är kompakt och effektiv. Vid beräkningar etc. är det dock vanligt att behandla vardera koordinatriktning separat. dx dy dz & & vx = ≡ x, v y = ≡ y, vz = ≡ z& dt dt dt dv y dv x dv z & & ax = ≡ vx , a y = ≡ v y , az = ≡ v&z dt dt dt Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 19 1.1 Partikelkinematik Ett lägessamband används alltså för att beskriva en partikels position som funktion av tiden och ger partikelns rörelse. Om lägessambandet är givet kan information om partikelns hastighet och acceleration erhållas via derivering. dr dv r (t ) → v(t ) = → a (t ) = dt dt Alternativ kan vi utgå från en beskrivning av hastigheten eller accelerationen och via integration få fram ett lägessamband a (t ) → v (t ) = ∫ a dt → r (t ) = ∫ vdt Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 20 1.1 Partikelkinematik I ett datorprogram används kinematik för att beskriva en partikels position i tidsdiskreta steg främst i fall då rörelse är given/oförändrad. r0 = r (t 0 ), r1 = r (t1 ) r2 = r (t 2 ),... ∆t = t1 − t0 = t 2 − t1 = ... Från lägessambandet kan hastighet och acceleration erhållas via numerisk derivering. r1 − r0 v1 − v 0 r1 → v1 = → a1 = , ... ∆t ∆t Alt. kan vi utgå från ett hastighetssamband eller accelerations- samband och via numerisk integration få fram lägessambandet a1 → v1 = v 0 + a1∆t → r1 = r0 + v 0 ∆t , ... Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 Här Eulers metod. Se IR-9 och Pix-B för bättre approximationer. 21 1.1 Partikelkinematik I många fall är det alltså en fördel att ha ett givet samband för läget. Vi kommer att både i detta och kommande avsnitt ta fram sådana lägessamband. Några vanliga specialfall är då hastigheten eller accelerationen kan antas vara är konstant. Detta ger tex. lägessamband för partiklar i fritt fall, med en linjärt ökande fart eller i en kaströrelse. Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 22 1.1 Partikelkinematik Ex1.1-1 Antag att ett föremål ska röra sig med konstant acceleration längs en linje. a) Ta fram uttryck för partikelns läge och fart b) Förenkla uttrycken för fallet då farten är konstant Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 23 1.1 Partikelkinematik Ex1.1-2 Gör en kinematisk beskrivelse av en partikel i projektilrörelse. a) Om vi känner till partikelns acceleration som funktion av t b) Om vi känner till partikelns läge som funktion av t Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 24 1.1 Partikelkinematik Praktiskt att beskriva en partikelns rörelse genom att definiera en tillståndsvektor (”state vector”) och dess derivata. ase h p ” e” ac p s x y r z S = = v vx v vy z vx v y & v v r & S = = = z a & v a a x ay z Datastruktur: r (t ) v(t ) a (t ) Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 25 1.1 Partikelkinematik Vissa rörelser får en bättre beskrivning om vi byter koordinatsystem. Till rörelser enligt cirklar, ellipser, spiraler etc. används oftast cylindriska eller sfäriska koordinater. Partikelns rörelse i ett cylindriskt (polärt) KS ( r θ z ) I ett plan (2D) ˆ r = RR ˆ + rθ&θˆ v = R& R && − Rθ& 2 ) R ˆ + ( Rθ&& + 2 R& θ&)θˆ a = (R Partikelns läge Partikelns hastighet Partikelns acceleration [1.1-12] [1.1-13] [1.1-14] R̂ θˆ Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 26 1.1 Partikelkinematik Partikelns rörelse i ett cylindriskt KS ( r θ z ) I rummet (3D) Partikelns läge Partikelns hastighet Partikelns acceleration ˆ + z zˆ r = RR ˆ + Rθ&θˆ + z& zˆ v = R& R && − Rθ& 2 )R ˆ + ( Rθ&& + 2 R& θ&)θˆ + &z& zˆ a = (R [1.1-15] [1.1-16] [1.1-17] R, R̂ R Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 27 1.1 Partikelkinematik Relation mellan ett cylindriskt och rektangulärt KS ˆ = cos θ xˆ + sin θ yˆ R ˆθ = − sin θ xˆ + cos θ yˆ zˆ = zˆ ˆ cos θ R θˆ = − sin θ zˆ 0 sin θ cos θ 0 0 xˆ 0 yˆ 1 zˆ [1.1-18] Enhetsvektorernas tidsderivator ˆ& = −θ& sin θ xˆ + θ& cos θ yˆ = θ& θˆ & R ˆ 0 θ& 0 R ˆ R [1.1-19] & ˆ θˆ& = − θ& 0 0 θˆ θˆ = −θ& cos θ xˆ − θ& sin θ yˆ = −θ& R & 0 0 0 zˆ zˆ& = 0 zˆ Ex1.1-3 Visa hur v erhålles i ett rektangulärt [1.1-10] resp. ett cylindriskt [1.1-16] KS. Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 28 1.1 Partikelkinematik Partikelns rörelse i ett sfäriskt KS ( r, φ, θ ) I rummet (3D) Partikelns läge Partikelns hastighet Partikelns acceleration r = r rˆ v = r&rˆ + rφ&φˆ + rθ& sin φ θˆ a = (&r& - rφ& 2 − rθ& 2 sin 2 φ )rˆ + [1.1-20] [1.1-21] [1.1-22] ( rφ&& + 2r&φ& + rθ& 2 sin φ cos φ )φˆ + ( rθ&& sin φ + 2rθ&φ& cos φ + 2r&θ& sin φ )θˆ Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 29 1.1 Partikelkinematik Relation mellan ett sfäriskt och rektangulärt KS [1.1-23] rˆ = cos θ sin φ xˆ + sin θ sin φ yˆ + cos φ zˆ φˆ = cos θ cos φ xˆ + sin θ cos φyˆ − sin φ zˆ θˆ = − sin θ xˆ + cos θ yˆ rˆ cos θ sin φ sin θ sin φ φˆ = cos θ cos φ sin θ cos φ cos θ θˆ − sin θ cos φ xˆ − sin φ yˆ 0 zˆ Enhetsvektorernas tidsderivator rˆ& = ... = φ&φˆ + θ& sin φθˆ &ˆ φ = ... = −φ&rˆ + θ& cos φ θˆ ˆθ& = .. = −θ& sin φrˆ − θ& cos φφˆ Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH rˆ& 0 ˆ& & φ = − φ ˆ& − θ& sin φ θ TSBK03: Fysik, Ht2009 φ& 0 − θ& cos φ θ& sin φ rˆ ˆ θ& cos φ φ 0 θˆ [1.1-24] 30 1.1 Partikelkinematik Ex1.1-4 Gör en kinematisk beskrivelse av ett föremål som roterar i ett plan vinkelrätt mot z-axeln om a) Avståndet till axeln är konstant b) Avståndet till axeln är konstant och farten är konstant ẑ R0 Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 v 31 1.1 Partikelkinematik I vissa fall är det bättre att (som funktion av tiden t ) beskriva partikelns rörelser med vinkelstorheter: Vinkelläge ϕ (t ) = ϕ (t )D̂ Vinkelhastighet ω (t ) = Vinkelacceleration α (t ) = dϕ (t ) & ≡ ϕ (t ) (s -1 ) dt d ω (t ) & ≡ ω (t ) (s − 2 ) dt d 2ϕ (t ) && −2 α (t ) = ≡ ϕ ( t ) ( s ) 2 dt Ex1.1-5 Använd vinkelstorheter i Ex1.1-4. Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH [1.1-25] TSBK03: Fysik, Ht2009 [1.1-26] ẑ R0 v 32 1.1 Partikelkinematik I vissa fall kan det vara lämpligt att utgå från partikelns hastighet (som är riktad partikelbanans tangent). Ett sådant koordinatsystem kallas ”naturligt”. Partikelns rörelse enligt ett naturligt KS ( s, κ ) I ett plan eller i rummet Partikelns hastighet Partikelns acceleration Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH Båglängd ˆ v = s&T ˆ + κs& 2 N ˆ a = &s&T TSBK03: Fysik, Ht2009 Kurvatur [1.1-27] [1.1-28] 33 1.2 Partikelkinetik I (kraft och rörelsemängd) Betraktar en partikel i rörelse då vi tar hänsyn till rörelsens orsak, dvs de krafter som verkar på partikeln. Ursprung från Newton. Har kraft och rörelsemängd som huvudbegrepp. Kallas ibland vektormekanik eller syntetisk mekanik. Isaac Newton (1642-1727) Kraftbegreppet ger mycket större möjligheter att generellt beskriva en partikels rörelse och dess påverkan i tex. ett datorprogram. Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 34 1.2 Partikelkinetik I Newtons andra lag Massa Rörelsemängd Kraft m (kg) p = m v (kg m / s) [1.2-1] F (kg m / s 2 , N ) Fnet = dp d v dm dm =m + v = ma + v dt dt dt dt Vanligt att [1.2-2] dm =0 dt Fnet = m a = m&r& [1.2-3] Fnet Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 35 1.2 Partikelkinetik I Newtons första lag En kraft behövs för att pucken ska glida framåt. Kan inte stämma! Pucken kan röra sig framåt även om inga krafter verkar på den. ? g rån ra la f lles s and å Erh ton w Ne Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH Om ingen nettokraft verkar på ett föremål så måste det röra sig med konstant hastighet TSBK03: Fysik, Ht2009 36 1.2 Partikelkinetik I Newtons tredje lag Om ett föremål A påverkar föremål B med en kraft så påverkar föremål B föremål A med en motriktad kraft (reaktionskraft) av samma storlek. A B F>F=F>F Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 37 1.2 Partikelkinetik I Inom den klassiska fysiken kan alla krafter beskrivas som någon av distanskrafterna: Gravitationskraft Fg = −G Newtons gravitations mM r̂ 2 r [1.2-4] qQ r̂ 2 r [1.2-5] lag Elektrisk kraft Magnetisk kraft Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH Fe = −Ge Fm = −Gm q ⋅ v q × Q ⋅ vQ TSBK03: Fysik, Ht2009 r 2 × rˆ [1.2-6] 38 1.2 Partikelkinetik I Vanligt att definiera olika typer av kontaktkrafter: Normalkraft Friktionskrafter (fast, vätska, gas) ks st a kk ki tisk frikt io netis k frik nskoeff ici tions koef ent ficie nt ”Fjäderkraft” ”Repkraft” etc. Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH Fsf max = k s FN Fkf = k k FN Fkf = f ( v ) [1.2-7] ”fjäderkoefficient” FH = −k x xˆ TSBK03: Fysik, Ht2009 Hookes lag [1.2-8] 39 1.2 Partikelkinetik I Då vi betraktar en partikel är vi intresserade av envärda (”unära”) krafter som verkar på denna oberoende av andra partiklar. Exempel: Newtons gravitationslag nära jordytan Fg = −mg zˆ ẑ [1.2-11] Fg Friktionskraft proportionell mot hastigheten Fkf = −k d v [1.2-12] v Fkf Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 40 1.2 Partikelkinetik I Lösningsstrategi • Identifiera objektet av intresse • Identifiera de krafter som verkar på objektet • Välj lämpligt koordinatsystem • Dela upp Newtons andra lag i komponenter enligt det valda koordinatsystemet • Lös ekvationerna • Sätt in numeriska värden. Siffror sist! Ex1.2-1 En skidåkare med massan m glider friktionslöst nedför en backe med lutningen β. a) Vilka krafter verkar på personen? b) Beskriv personens acceleration, hastighet och läge. Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 41 1.2 Partikelkinetik I Med kraftbegreppet kan vi nu via Newtons andra lag erhålla accelerationssamband och via numerisk integration få fram lägessambandet. Dvs. summera krafter på partikeln (nettokraften) Beräkna acceleration från Newtons andra lag Beräkna hastighet och sedan läge via kinematik. Fnet ,1 Fnet ,1 → a1 = → v1 = v 0 + a1∆t → r1 = r0 + v 0 ∆t , ... m IR-7.1.1 Här Eulers metod. Se IR-9 och Pix-B för bättre approximationer. Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 42 1.2 Partikelkinetik I Tillståndsvektorn och dess derivata: vx vy & v &S = r = = Fvzx & F Fm v m my Fmz x r yz S = = vx v vy vz Datastruktur: r (t ) v (t ) F (r , t ) m Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 43 1.2 Partikelkinetik I Newtons lagar kan också definieras för rotationsrörelse genom att betrakta vinkelstorheter. Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 44 1.2 Partikelkinetik I Newtons andra lag för rotationsrörelse Rörelsemängdsmoment l = r × p = r × m v (kg m 2 / s) [1.2-13] l = rmv sin ϕ Kraftmoment τ = r × F (kg m 2 / s 2 , Nm) τ = rF sin ϕ τ net = dl dp dr = r× + × p = r × Fnet dt dt dt [1.2-14] [1.2-15] = 0 ( v × m v) τb > τ a > τc = 0 Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 45 1.2 Partikelkinetik I Newtons lagar kan också definieras för rotationsrörelse genom att betrakta vinkelstorheter. Newtons första lag för rotationsrörelse Om inget nettokraftmoment verkar på ett föremål så måste det röra sig med konstant vinkelfart. g rån ra la f lles s and å Erh ton w Ne Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 46 1.2 Partikelkinetik I Newtons tredje lag för rotationsrörelse Om föremål A påverkar föremål B med ett kraftmoment så påverkar föremål B föremål A med ett motriktat kraftmoment (reaktionskraftmoment) av samma storlek. Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 47 1.3 Partikelkinetik II (arbete och energi) Har arbete och energi som huvudbegrepp. Ursprung från Leibniz som menade att begreppet Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) vis viva (levande kraft), mv 2 , var mer passande än rörelsemängd (mv) för att kvantifiera rörelse. Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 48 1.3 Partikelkinetik II Storheter r kg m 2 Fysikaliskt arbete W = ∫ F ⋅ d r ( 2 , Nm, J ) 2 r1 [1.3-1] s Ex1.3-1 En fjäder trycks ihop den vertikala sträckan d från sin naturliga längd. Den ”laddas” sedan med en tegelsten som släpps sedan iväg. Beräkna arbetet som den ideala fjäder gör på tegelstenen. Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 49 1.3 Partikelkinetik II Kinetisk energi Ha lva v is vi v a 1 T = mv 2 2 kg m 2 ( 2 , Nm, J ) s Wnet = ∆T [1.3-2] [1.3-3] Potentiell energi kan definieras om W = ∫ Fk ⋅ d r = 0 [1.3-4] dvs om arbetet inte är beroende av (integrations)vägen Fk kallas är då en konservativ kraft r2 Potentiell energiskillnad ∆V = − ∫ Fk ⋅ d r = −Wk [1.3-5] r1 Bevarande av kinetisk energi ∆T + ∆V = 0 Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 [1.3-6] 50 1.3 Partikelkinetik II Ex1.3-2 a) Motivera ekvation [1.3-3] och [1.3-6]. b) Gravitationskraften och fjäderkrafter enligt Hookes lag är konservativa. Hur kan de potentiella energierna skrivas? c) Visa att en friktionskraft enligt ekvation [1.2-12] inte är konservativ. Ex1.3-3 Förvissa er om att en kula som släpps från vila från höjden h från ett golv har farten v = 2 gh vid golvet. Ex1.3-4 Antag att tegelstenen i ExU1.3-1 kastas upp 3.6 m från sitt initialläge och k = 450 N/m. Vad är då den vertikala sträckan d om stenen väger 1,80 kg? Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 51 1.3 Partikelkinetik II Leibniz formulering av mekaniken kan sägas leda till den analytiska mekaniken (Lagrange, Hamilton,...) vilken är användbar för tillämpningar med tvångskrafter (constraint forces). Vi återkommer till detta... Lagrange Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 52