Teknik för avancerade datorspel: Fysik - computer

Ver09.1
TSBK03
Teknik för avancerade datorspel: Fysik
Ht2009
Kenneth Järrendahl, IFM
Innehåll
Fö 9 (Fysikfö 1)
i. Inledning till kursens fysikdel
1. Partikelmekanik
Fö 10 (Fysikfö 2)
2. Diskreta flerpartikelsystem
3. Stelkroppar
Ökande komplexitet
Fö 11 (Fysikfö 3)
4. Deformerbara kroppar och fluider
5. Analytisk mekanik
6. Optik
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
2
i. Inledning till kursens fysikdel
i.1 Om kursens fysikföreläsningar
i.2 Fysikens områden och indelningar
i.3 Fysikaliska modeller
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
3
i.1 Om kursens fysikföreläsningar
Kursens föreläsningar om fysik syftar till;
att ge en orientering om fysikens områden
att övergripande ta upp de fysikaliska begrepp och sambanden
med störst relevans i datorprogram inom tillämpningsområden
som spel, film och simulering
Nya begrepp/repetition beroende på bakgrund (program)
Webbsidor
Kursens huvudsida (Ingemar R)
http://www.computer-graphics.se/TSBK03.html
Kursens fysiksida (Kenneth J)
https://cms.ifm.liu.se/edu/coursescms/TSBK03/
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
4
i.1 Om kursens fysikföreläsningar
Litteratur mm.
Utdelade kopior av föreläsningspresentationerna.
Går också att nå via kursens huvudsida.
Witkin, Baraff, Kass
Pixar-materialet ”SIGGRAPH 2001 Course notes” [Pix]
pdf via webbsidorna.
Ragnemalm, PFNP-SHCWMTS [IR]
Kursboken
Palmer “Physics for Game Programmers”
Eberly ”Game physics”
Conger ”Physics modeling for game programmers” (Ebrary)
Mer information på webbsidorna...
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
5
i.2 Fysikens områden och indelningar
Ter
mod
yna
mik
ik
kan
e
M
Relati
vitets
teori
Klassisk
fysik
Modern
fysik
Elektromagnetis
m
Kva
n
tfys
ik
Klassisk fysik – låga energier, stora dimensioner
Modern fysik – höga energier, små dimensioner
En grov indelning - många andra indelningar möjliga
Områdena överlappar varandra
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
6
i.2 Fysikens områden och indelningar
Mekanikområdet kan delas in enligt
Partiklar och
partikelsystem
i vila
Partiklar och
partikelsystem
i rörelse
Utan hänsyn
till krafter
Geometri
Kinematik
Med hänsyn
till krafter
Statik
Kinetik
(Alt. Dynamik*)
*Enligt vissa definitioner inbegriper dynamik både kinematik och kinetik
En indelning kan också göras med avseende på komplexitet
Partikelmekanik (Avsnitt 1)
Flerpartikel- och stelkroppsmekanik (Avsnitt 2 och 3)
Deformerbara kroppar (Avsnitt 4)
Fluidmekanik (Avsnitt 4)
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
7
i.2 Fysikens områden och indelningar
En mer geometrisk indelning görs enligt det antal
rumsdimensioner som behövs för att beskriva fysiken.
Beroende på symmetrin används olika koordinatsystem (KS).
Några vanliga koordinatsystem
koordinatsystem
Rektangulärt*
Cylindriskt**
Sfäriskt
Naturligt
1D
x
-
2D
x y
R θ
s κ
3D
x y z
R θ z
r φ θ
s κ
xˆ , yˆ , zˆ
ˆ , θˆ , zˆ
R
rˆ, φˆ, θˆ
ˆ
Tˆ , N
* Kallas även Cartesiskt, ** Kallas även Polärt i 2D-fallet
Enhetsvektorer
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
8
i.2 Fysikens områden och indelningar
Exempel på andra relevanta ämnen
Analytisk mekanik
Geometrisk optik
Numeriska metoder (differentiering, integrering, diff. ekv)
Linjär algebra, kvarternioner
Kollisionsdetektering
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
9
i.3 Fysikaliska modeller
on,
i
t
a
ekv i,
r
teo lering
u
sim
Modell
Ja
M
Tillräckligt
bra
överensstämmelse?
Teoretisk
förutsägelse
Experimentell
observation
in
ätn
g
Verkligheten
Nej
Förändra/förbättra det
teoretiska modellarbetet
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
Förändra/förbättra det
experimentella arbetet
TSBK03: Fysik, Ht2009
10
i.3 Fysikaliska modeller
Syn,
Ja
Ett antal samband
(regler) baserade på
fysikaliska modeller
som kan simulera
önskade händelser.
Tillräckligt
bra
överensstämmelse?
Simulering
hörs
el,
Förväntad
upplevelse
käns
el
Önskade
händelser
(Verklighet)
Nej
Förändra/förbättra kod
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
Förändra krav på händelser
TSBK03: Fysik, Ht2009
11
1. Partikelmekanik [Pix-C, Pix-B, IR-7.1, IR-9]
1.1 Partikelkinematik (läge, hastighet och acceleration)
1.2 Partikelkinetik I (kraft och rörelsemängd)
1.3 Partikelkinetik II (arbete och energi)
Föremål som enbart translateras och inte ändrar form kan
beskrivas som en partikel/punkt.
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
12
1.1 Partikelkinematik
Betraktar här en partikel (punkt) i rörelse men tar inte
hänsyn till orsaken till rörelsen
Galileo Galilei
(1564-1642)
Rörelsen sker längs en linje (1D), i ett plan (2D) eller i
rummet (3D) och är en funktion av tiden t.
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
13
1.1 Partikelkinematik
För att ha koll på situationen vill vi (som funktion av tiden t )
känna till partikelns läge, hastighet och acceleration
storhet
beteckning
Läge, förflyttning
r
Medelhastighet
v av =
Medelacceleration
aav =
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
enhet
(m), ∆r = r1 − r0
r1 − r0 ∆r
≡
t1 − t0 ∆t
v1 − v 0 ∆v
≡
t1 − t0
∆t
TSBK03: Fysik, Ht2009
(m/s)
(m/s 2 )
[1.1-1a]
[1.1-2a]
14
1.1 Partikelkinematik
Om vi låter ∆t 0 får vi momentana värden …
storhet
Läge
Momentan
hastighet
Momentan
Acceleration
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
beteckning
enhet
r (t ) (m)
· = ”Newton notation”
v(t ) =
dr (t ) &
≡ r (t ) (m/s)
dt
dv(t ) &
≡ v (t ) (m/s 2 )
dt
d 2 r (t ) &&
2
a (t ) =
≡
r
(
t
)
(
m/s
)
2
dt
a (t ) =
TSBK03: Fysik, Ht2009
[1.1-1b]
[1.1-2b]
15
1.1 Partikelkinematik
Vi beskriver sedan storheterna läge, hastighet och acceleration
i något koordinatsystem…
Vanligt att använda ett rektangulärt (Kartesiskt)
koordinatsystem
Partikelns rörelse i ett rektangulärt KS ( x y z )
Längs en linje (1D)
r = x xˆ
v = x& xˆ
a = &x&xˆ
Partikelns läge
Partikelns hastighet
Partikelns acceleration
x̂
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
[1.1-3]
[1.1-4]
[1.1-5]
x
16
1.1 Partikelkinematik
Partikelns rörelse i ett rektangulärt KS ( x y z )
I ett plan (2D)
Partikelns läge
Partikelns hastighet
Partikelns acceleration
r = x xˆ + y yˆ
[1.1-6]
v = x& xˆ + y& yˆ
[1.1-7]
a = &x&xˆ + &y&yˆ
[1.1-8]
y
ŷ
x̂
r
x
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
17
1.1 Partikelkinematik
Partikelns rörelse i ett rektangulärt KS ( x y z )
I rummet (3D)
r = x xˆ + y yˆ + zzˆ
Partikelns läge
Partikelns hastighet
Partikelns acceleration
[1.1-9]
v = x& xˆ + y& yˆ + z&zˆ
a = &x&xˆ + &y&yˆ + &z&zˆ
[1.1-10]
[1.1-11]
I ett rektangulärt KS är enhetsvektorerna konstanta
z
ẑ
r
x̂
x
Vanligt alternativ beteckning
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
(ˆi , ˆj, kˆ )
TSBK03: Fysik, Ht2009
ŷ
y
18
1.1 Partikelkinematik
Beskrivningen av storheterna på vektorform är kompakt
och effektiv. Vid beräkningar etc. är det dock vanligt att
behandla vardera koordinatriktning separat.
dx
dy
dz
&
&
vx =
≡ x, v y =
≡ y, vz =
≡ z&
dt
dt
dt
dv y
dv x
dv z
&
&
ax =
≡ vx , a y =
≡ v y , az =
≡ v&z
dt
dt
dt
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
19
1.1 Partikelkinematik
Ett lägessamband används alltså för att beskriva en partikels
position som funktion av tiden och ger partikelns rörelse.
Om lägessambandet är givet kan information om partikelns
hastighet och acceleration erhållas via derivering.
dr
dv
r (t ) → v(t ) =
→ a (t ) =
dt
dt
Alternativ kan vi utgå från en beskrivning av hastigheten eller
accelerationen och via integration få fram ett lägessamband
a (t ) → v (t ) = ∫ a dt → r (t ) = ∫ vdt
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
20
1.1 Partikelkinematik
I ett datorprogram används kinematik för att beskriva en
partikels position i tidsdiskreta steg främst i fall då rörelse är
given/oförändrad.
r0 = r (t 0 ), r1 = r (t1 ) r2 = r (t 2 ),... ∆t = t1 − t0 = t 2 − t1 = ...
Från lägessambandet kan hastighet och acceleration erhållas via
numerisk derivering.
r1 − r0
v1 − v 0
r1 → v1 =
→ a1 =
, ...
∆t
∆t
Alt. kan vi utgå från ett hastighetssamband eller accelerations-
samband och via numerisk integration få fram lägessambandet
a1 → v1 = v 0 + a1∆t → r1 = r0 + v 0 ∆t , ...
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
Här Eulers metod. Se
IR-9 och Pix-B för bättre
approximationer.
21
1.1 Partikelkinematik
I många fall är det alltså en fördel att ha ett givet samband
för läget.
Vi kommer att både i detta och kommande avsnitt ta fram
sådana lägessamband.
Några vanliga specialfall är då hastigheten eller
accelerationen kan antas vara är konstant. Detta ger tex.
lägessamband för partiklar i fritt fall, med en linjärt
ökande fart eller i en kaströrelse.
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
22
1.1 Partikelkinematik
Ex1.1-1
Antag att ett föremål ska röra sig med konstant
acceleration längs en linje.
a) Ta fram uttryck för partikelns läge och fart
b) Förenkla uttrycken för fallet då farten är konstant
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
23
1.1 Partikelkinematik
Ex1.1-2
Gör en kinematisk beskrivelse av en partikel i projektilrörelse.
a) Om vi känner till partikelns acceleration som funktion av t
b) Om vi känner till partikelns läge som funktion av t
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
24
1.1 Partikelkinematik
Praktiskt att beskriva en partikelns rörelse genom att definiera
en tillståndsvektor (”state vector”) och dess derivata.
ase
h
p
”
e”
ac
p
s
x
y
r   z 
S =  =  
 v vx 
v
 vy 
 z
 vx 
v y 
&


v


v 
r
&
S =   =   =  z
a
&
 v  a  a x 
 ay 
 z
Datastruktur: r (t )
v(t )
a (t )
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
25
1.1 Partikelkinematik
Vissa rörelser får en bättre beskrivning om vi byter
koordinatsystem. Till rörelser enligt cirklar, ellipser, spiraler etc.
används oftast cylindriska eller sfäriska koordinater.
Partikelns rörelse i ett cylindriskt (polärt) KS ( r θ z )
I ett plan (2D)
ˆ
r = RR
ˆ + rθ&θˆ
v = R& R
&& − Rθ& 2 ) R
ˆ + ( Rθ&& + 2 R& θ&)θˆ
a = (R
Partikelns läge
Partikelns hastighet
Partikelns acceleration
[1.1-12]
[1.1-13]
[1.1-14]
R̂
θˆ
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
26
1.1 Partikelkinematik
Partikelns rörelse i ett cylindriskt KS ( r θ z )
I rummet (3D)
Partikelns läge
Partikelns hastighet
Partikelns acceleration
ˆ + z zˆ
r = RR
ˆ + Rθ&θˆ + z& zˆ
v = R& R
&& − Rθ& 2 )R
ˆ + ( Rθ&& + 2 R& θ&)θˆ + &z& zˆ
a = (R
[1.1-15]
[1.1-16]
[1.1-17]
R,
R̂
R
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
27
1.1 Partikelkinematik
Relation mellan ett cylindriskt och rektangulärt KS
ˆ = cos θ xˆ + sin θ yˆ 
R

ˆθ = − sin θ xˆ + cos θ yˆ 

zˆ = zˆ

ˆ   cos θ
R
 θˆ  = − sin θ
  
 zˆ   0
sin θ
cos θ
0
0  xˆ 
0 yˆ 
 
1 zˆ 
[1.1-18]
Enhetsvektorernas tidsderivator
ˆ& = −θ& sin θ xˆ + θ& cos θ yˆ = θ& θˆ  &
R
ˆ   0 θ& 0 R
ˆ
 R
[1.1-19]
&
ˆ   θˆ&  = − θ& 0 0  θˆ 
θˆ = −θ& cos θ xˆ − θ& sin θ yˆ = −θ& R
  
 
  &   0 0 0  zˆ 
zˆ& = 0
 
  zˆ  

Ex1.1-3
Visa hur v erhålles i ett rektangulärt [1.1-10] resp. ett cylindriskt [1.1-16] KS.
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
28
1.1 Partikelkinematik
Partikelns rörelse i ett sfäriskt KS ( r, φ, θ )
I rummet (3D)
Partikelns läge
Partikelns hastighet
Partikelns acceleration
r = r rˆ
v = r&rˆ + rφ&φˆ + rθ& sin φ θˆ
a = (&r& - rφ& 2 − rθ& 2 sin 2 φ )rˆ +
[1.1-20]
[1.1-21]
[1.1-22]
( rφ&& + 2r&φ& + rθ& 2 sin φ cos φ )φˆ +
( rθ&& sin φ + 2rθ&φ& cos φ + 2r&θ& sin φ )θˆ
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
29
1.1 Partikelkinematik
Relation mellan ett sfäriskt och rektangulärt KS
[1.1-23]
rˆ = cos θ sin φ xˆ + sin θ sin φ yˆ + cos φ zˆ 

φˆ = cos θ cos φ xˆ + sin θ cos φyˆ − sin φ zˆ 

θˆ = − sin θ xˆ + cos θ yˆ

rˆ   cos θ sin φ sin θ sin φ
φˆ = cos θ cos φ sin θ cos φ
  
cos θ
θˆ   − sin θ
cos φ   xˆ 
− sin φ  yˆ 
 
0  zˆ 
Enhetsvektorernas tidsderivator

rˆ& = ... = φ&φˆ + θ& sin φθˆ


&ˆ
φ = ... = −φ&rˆ + θ& cos φ θˆ 

ˆθ& = .. = −θ& sin φrˆ − θ& cos φφˆ

Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
 rˆ&   0
 ˆ& 
&
φ  =  − φ
 ˆ&  − θ& sin φ
θ  
TSBK03: Fysik, Ht2009
φ&
0
− θ& cos φ
θ& sin φ   rˆ 
 ˆ
θ& cos φ  φ 
0
 
 θˆ 

[1.1-24]
30
1.1 Partikelkinematik
Ex1.1-4
Gör en kinematisk beskrivelse av ett föremål som roterar i ett
plan vinkelrätt mot z-axeln om
a) Avståndet till axeln är konstant
b) Avståndet till axeln är konstant och farten är konstant
ẑ
R0
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
v
31
1.1 Partikelkinematik
I vissa fall är det bättre att (som funktion av
tiden t ) beskriva partikelns rörelser med vinkelstorheter:
Vinkelläge
ϕ (t ) = ϕ (t )D̂
Vinkelhastighet
ω (t ) =
Vinkelacceleration α (t ) =
dϕ (t ) &
≡ ϕ (t ) (s -1 )
dt
d ω (t ) &
≡ ω (t ) (s − 2 )
dt
d 2ϕ (t ) &&
−2
α (t ) =
≡
ϕ
(
t
)
(
s
)
2
dt
Ex1.1-5
Använd vinkelstorheter i Ex1.1-4.
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
[1.1-25]
TSBK03: Fysik, Ht2009
[1.1-26]
ẑ
R0
v
32
1.1 Partikelkinematik
I vissa fall kan det vara lämpligt att utgå från partikelns
hastighet (som är riktad partikelbanans tangent). Ett sådant
koordinatsystem kallas ”naturligt”.
Partikelns rörelse enligt ett naturligt KS ( s, κ )
I ett plan eller i rummet
Partikelns hastighet
Partikelns acceleration
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
Båglängd
ˆ
v = s&T
ˆ + κs& 2 N
ˆ
a = &s&T
TSBK03: Fysik, Ht2009
Kurvatur
[1.1-27]
[1.1-28]
33
1.2 Partikelkinetik I (kraft och rörelsemängd)
Betraktar en partikel i rörelse då vi tar hänsyn till
rörelsens orsak, dvs de krafter som verkar på partikeln.
Ursprung från Newton. Har kraft och rörelsemängd som
huvudbegrepp. Kallas ibland vektormekanik eller syntetisk
mekanik.
Isaac Newton
(1642-1727)
Kraftbegreppet ger mycket större möjligheter att generellt
beskriva en partikels rörelse och dess påverkan i tex. ett
datorprogram.
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
34
1.2 Partikelkinetik I
Newtons andra lag
Massa
Rörelsemängd
Kraft
m (kg)
p = m v (kg m / s)
[1.2-1]
F (kg m / s 2 , N )
Fnet =
dp
d v dm
dm
=m
+
v = ma +
v
dt
dt dt
dt
Vanligt att
[1.2-2]
dm
=0
dt
Fnet = m a = m&r&
[1.2-3]
Fnet
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
35
1.2 Partikelkinetik I
Newtons första lag
En kraft behövs
för att pucken
ska glida
framåt.
Kan inte
stämma!
Pucken kan röra
sig framåt även
om inga krafter
verkar på den.
?
g
rån ra la
f
lles s and
å
Erh ton
w
Ne
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
Om ingen nettokraft verkar på ett föremål så
måste det röra sig med konstant hastighet
TSBK03: Fysik, Ht2009
36
1.2 Partikelkinetik I
Newtons tredje lag
Om ett föremål A påverkar föremål B med en
kraft så påverkar föremål B föremål A med en
motriktad kraft (reaktionskraft) av samma storlek.
A
B
F>F=F>F
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
37
1.2 Partikelkinetik I
Inom den klassiska fysiken kan alla krafter
beskrivas som någon av distanskrafterna:
Gravitationskraft Fg = −G
Newtons gravitations
mM
r̂
2
r
[1.2-4]
qQ
r̂
2
r
[1.2-5]
lag
Elektrisk kraft
Magnetisk kraft
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
Fe = −Ge
Fm = −Gm
q ⋅ v q × Q ⋅ vQ
TSBK03: Fysik, Ht2009
r
2
× rˆ
[1.2-6]
38
1.2 Partikelkinetik I
Vanligt att definiera olika typer av kontaktkrafter:
Normalkraft
Friktionskrafter (fast, vätska, gas)
ks st
a
kk ki tisk frikt
io
netis
k frik nskoeff
ici
tions
koef ent
ficie
nt
”Fjäderkraft”
”Repkraft” etc.
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
Fsf
max
= k s FN
Fkf = k k FN
Fkf = f ( v )
[1.2-7]
”fjäderkoefficient”
FH = −k x xˆ
TSBK03: Fysik, Ht2009
Hookes lag
[1.2-8]
39
1.2 Partikelkinetik I
Då vi betraktar en partikel är vi intresserade av envärda
(”unära”) krafter som verkar på denna oberoende av andra
partiklar. Exempel:
Newtons gravitationslag nära jordytan Fg = −mg zˆ
ẑ
[1.2-11]
Fg
Friktionskraft proportionell mot hastigheten Fkf = −k d v
[1.2-12]
v
Fkf
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
40
1.2 Partikelkinetik I
Lösningsstrategi
• Identifiera objektet av intresse
• Identifiera de krafter som verkar på objektet
• Välj lämpligt koordinatsystem
• Dela upp Newtons andra lag i komponenter enligt det valda
koordinatsystemet
• Lös ekvationerna
• Sätt in numeriska värden. Siffror sist!
Ex1.2-1
En skidåkare med massan m glider
friktionslöst nedför en backe med lutningen β.
a) Vilka krafter verkar på personen?
b) Beskriv personens acceleration, hastighet och läge.
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
41
1.2 Partikelkinetik I
Med kraftbegreppet kan vi nu via Newtons andra lag erhålla
accelerationssamband och via numerisk integration få fram
lägessambandet.
Dvs. summera krafter på partikeln (nettokraften)
Beräkna acceleration från Newtons andra lag
Beräkna hastighet och sedan läge via kinematik.
Fnet ,1
Fnet ,1 → a1 =
→ v1 = v 0 + a1∆t → r1 = r0 + v 0 ∆t , ...
m
IR-7.1.1
Här Eulers metod. Se
IR-9 och Pix-B för bättre
approximationer.
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
42
1.2 Partikelkinetik I
Tillståndsvektorn och dess derivata:
 vx 
vy
&

v
&S =  r  =   = Fvzx 
 &   F   Fm 
 v   m   my 
 Fmz 
x
 r   yz 
S =   =  vx 
 v  vy 
 vz 
Datastruktur: r (t )
v (t )
F (r , t )
m
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
43
1.2 Partikelkinetik I
Newtons lagar kan också definieras för rotationsrörelse genom
att betrakta vinkelstorheter.
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
44
1.2 Partikelkinetik I
Newtons andra lag för rotationsrörelse
Rörelsemängdsmoment l = r × p = r × m v (kg m 2 / s)
[1.2-13]
l = rmv sin ϕ
Kraftmoment
τ = r × F (kg m 2 / s 2 , Nm)
τ = rF sin ϕ
τ net =
dl
dp dr
= r×
+ × p = r × Fnet
dt
dt
dt
[1.2-14]
[1.2-15]
= 0 ( v × m v)
τb > τ a > τc = 0
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
45
1.2 Partikelkinetik I
Newtons lagar kan också definieras för rotationsrörelse genom
att betrakta vinkelstorheter.
Newtons första lag för rotationsrörelse
Om inget nettokraftmoment verkar på ett
föremål så måste det röra sig med konstant
vinkelfart.
g
rån ra la
f
lles s and
å
Erh ton
w
Ne
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
46
1.2 Partikelkinetik I
Newtons tredje lag för rotationsrörelse
Om föremål A påverkar föremål B med ett kraftmoment
så påverkar föremål B föremål A med ett motriktat kraftmoment
(reaktionskraftmoment) av samma storlek.
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
47
1.3 Partikelkinetik II (arbete och energi)
Har arbete och energi som huvudbegrepp.
Ursprung från Leibniz som menade att begreppet
Gottfried
Wilhelm Leibniz
(1646 – 1716)
vis viva (levande kraft), mv 2 , var mer passande än
rörelsemängd (mv) för att kvantifiera rörelse.
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
48
1.3 Partikelkinetik II
Storheter
r
kg m 2
Fysikaliskt arbete W = ∫ F ⋅ d r ( 2 , Nm, J )
2
r1
[1.3-1]
s
Ex1.3-1
En fjäder trycks ihop den vertikala sträckan d från sin
naturliga längd. Den ”laddas” sedan med en tegelsten som
släpps sedan iväg. Beräkna arbetet som den ideala fjäder gör
på tegelstenen.
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
49
1.3 Partikelkinetik II
Kinetisk energi
Ha
lva
v
is vi
v
a
1
T = mv 2
2
kg m 2
( 2 , Nm, J )
s
Wnet = ∆T
[1.3-2]
[1.3-3]
Potentiell energi kan definieras om
W = ∫ Fk ⋅ d r = 0
[1.3-4]
dvs om arbetet inte är beroende av (integrations)vägen
Fk kallas är då en konservativ kraft
r2
Potentiell energiskillnad ∆V = − ∫ Fk ⋅ d r = −Wk
[1.3-5]
r1
Bevarande av kinetisk energi ∆T + ∆V = 0
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
[1.3-6]
50
1.3 Partikelkinetik II
Ex1.3-2
a) Motivera ekvation [1.3-3] och [1.3-6]. b) Gravitationskraften
och fjäderkrafter enligt Hookes lag är konservativa. Hur kan de
potentiella energierna skrivas? c) Visa att en friktionskraft enligt
ekvation [1.2-12] inte är konservativ.
Ex1.3-3
Förvissa er om att en kula som släpps från vila från höjden h
från ett golv har farten v = 2 gh vid golvet.
Ex1.3-4
Antag att tegelstenen i ExU1.3-1 kastas upp 3.6 m från sitt
initialläge och k = 450 N/m. Vad är då den vertikala sträckan d
om stenen väger 1,80 kg?
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
51
1.3 Partikelkinetik II
Leibniz formulering av mekaniken kan sägas leda till den
analytiska mekaniken (Lagrange, Hamilton,...) vilken är
användbar för tillämpningar med tvångskrafter (constraint
forces).
Vi återkommer till detta...
Lagrange
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
52