2. Diskreta flerpartikelsystem [Pix-C, Pix-G, IR-7]

advertisement
2. Diskreta flerpartikelsystem [Pix-C, Pix-G, IR-7]
2.1 Flerpartikelsystem, grundläggande storheter
2.2 Kollisioner mellan partiklar
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
54
2.1 Flerpartikelsystem, grundläggande storheter
n st partiklar (som rör sig relativt varandra)
ri (t ), v i (t ), ai (t ) i = 1, 2, 3 ...n
I ett slutet flerpartikelsystem är massan konstant.
Kinematik
Masscentrums…
läge
∑m r ∑m r
(t ) =
=
M
∑m
i i
rmc
i
i i
i
[2.1-1]
i
i
hastighet
v mc (t ) =
drmc
dt
acceleration
amc (t ) =
dv mc
dt
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
massa
Total
[2.1-2]
[2.1-3]
55
2.1 Flerpartikelsystem, grundläggande storheter
Ex2.1-1
Tre stycken kulor är placerade enligt figuren. Alla har massan mi = m
(i = 1,2,3).
a) Beräkna kulornas masscentrum.
b) Var ligger masscentrum om m1 = 4m?
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
56
2.1 Flerpartikelsystem, grundläggande storheter
Kinetik
För flera partiklar definierar vi nu;
Total rörelsemängd P (kg m / s)
P=
∑
pi =
i
∑
i
mi v i =
∑
i
mi
dri
d
=
dt
dt
∑
mi ri =
i
d
( M rmc )
dt
[2.1-4]
[2.1-1]
Om M är konstant (slutet system)
drmc
P=M
= M v mc
dt
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
[2.1-5]
TSBK03: Fysik, Ht2009
57
2.1 Flerpartikelsystem, grundläggande storheter
För ett partikelsystem kan vi nu skriva;
Newtons andra lag enlig
Fnet =
dP
dt
[2.1-6]
Om M är konstant (slutet system)
Fnet =
dP
d v mc
=M
= M amc
dt
dt
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
[2.1-7]
58
2.1 Flerpartikelsystem, grundläggande storheter
Nettokraften kan delas upp i interna och externa krafter
Fnet = ∑ ∑ Fj →k + ∑ Fext →k = ∑ Fext →k
k j ≠k
k
1
424
3 k
=0
Om summan av de externa krafterna också är noll
kallas systemet isolerat,
Fnet = 0 ⇒
dP
= 0 dvs. P konstant
dt
[2.1-10]
Vilket innebär att rörelsemängden är konstant (bevarad)
P f = Pi
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
59
2.1 Flerpartikelsystem, grundläggande storheter
Om M dessutom är konstant (slutet system)
v mc =
P
M
konstant
[2.1-9]
Vi kan också definiera systemets,
Totala kinetiska energi
1
T = ∑ mi vi2
i 2
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
[2.1-10]
TSBK03: Fysik, Ht2009
60
2.1 Flerpartikelsystem, grundläggande storheter
För rotationsrörelse får vi motsvarande storheter,
2
Totalt rörelsemängdsmoment L (kgm /s)
L = ∑ li = ∑ ri × pi = ∑ ri × mv i
i
i
[2.1-11]
Newtons andra lag
τ net =
i
dL
dt
[2.1-12]
Rörelsemängdsmomentets bevarande
Om τ net = 0 ⇒
dL
= 0 dvs. L konstant
dt
[2.1-13]
Detta får vi mer användning av i stelkroppsmekaniken...
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
61
2.1 Flerpartikelsystem, grundläggande storheter
Tillståndsvektorn för n (i = 1,2,3,…,n) partiklar
 v1 
 r&1   F1 
   
v
m 
&  1   M1 
S= M =
r&   v n 
 n  
 v n   Fn 
m 
 n
 r1 
v 
 1
S= M 
rn 
 
v n 
Fxi → a x i → v x i → xi etc.
Datastruktur:
Partiklar antal Typ av krafter antal
tid
r1 (t )
rn (t )
FAi (ri , t )
v1 (t )
v n (t )
FBi (ri , t )
F1 (r1 , t )
Fn (rn , t )
FCi (ri , t )
m1
mn
M
…
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
Fi = FAi + FBi + FCi + ... är en nettokraft
62
2.1 Flerpartikelsystem, grundläggande storheter
Alternativt kan rörelsemängden användas,
 r&1   v1 
&   
p1 
F1 


S& =  M  =  M 
r&   v n 
n  
p& n   Fn 
 r1 
p 
 1
S= M 
rn 
 
pn 
Fxi → p x i → v x i → xi etc.
Datastruktur:
Partiklar antal Typ av krafter antal
tid
r1 (t )
rn (t )
FAi (ri , t )
p1 (t )
p n (t )
FBi (ri , t )
F1 (r1 , t )
Fn (rn , t )
FCi (ri , t )
m1
mn
M
…
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
Fi = FAi + FBi + FCi + ... är en nettokraft
63
2.2 Kollisioner mellan partiklar
Betraktar två eller fler massor mi med hastigheter v i
Totalt oelastiska kollisioner mellan två partiklar (A och B)
Rörelsemängden bevaras ( P är konstant)
P− = P+ ⇒
före
m A v A − + mB v B − = ( m A + mB ) v +
⇒ v+ =
m A v A− + mB v B −
( m A + mB )
[2.2-1]
efter
Den kinetiska energin minskar
T− =
1
1
1
m Av A2 − + mB vB2 − > T+ = (m A + mB )v+2
2
2
2
före
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
[2.2-2]
efter
TSBK03: Fysik, Ht2009
64
2.2 Kollisioner mellan partiklar
Elastiska kollisioner mellan två partiklar (A och B)
Rörelsemängden bevaras ( P är konstant)
P− = P+ ⇒ m A v A− + mB v B − = m A v A+ + mB v B +
[2.2-3]
Den kinetiska energin bevaras (T är konstant)
1
1
1
1
m A v 2A− + mB v 2B − = m A v 2A+ + mB v 2B +
2
2
2
2
[2.2-4]
Stötkoefficient
v B + − v A+
0 ≤ e ≤1
e=−
v B − − v A−
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
[2.2-5]
TSBK03: Fysik, Ht2009
65
2.2 Kollisioner mellan partiklar
Ex2.2-1
Låt två partiklar med massa m1 och m2 respektive hastigheter
v A− = v A− xˆ och v B − = 0 kollidera.
Vad blir hastigheterna efter kollisionen om
a) kollisionen är totalt oelastisk
b) kollisionen är elastisk
c) Vad är stötkoefficienten i de två fallen?
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
66
2.2 Kollisioner mellan partiklar
Impuls
r2
∫
ℑ = Fnet ⋅ dt (
r1
kg m
, Ns)
s
ℑ = ∆ p = p 2 − p1 = ∆ p
[2.2-7]
[2.2-8]
En ändring av en partikels rörelsemängd beror av impulsen – dvs.
under vilken tid en kraft påverkar partikeln.
Jämför med fysikaliskt arbete;
r2
kg m 2
W = ∫ F ⋅ d r ( 2 , Nm, J)
s
r1
Wnet = ∆T
En ändring av en partikels kinetiska energi beror av arbetet – dvs.
under vilken sträcka en kraft påverkar partikeln.
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
67
3. Stelkroppar
3.1 Stelkroppar, grundläggande storheter
3.2 Kollisioner mellan stelkroppar
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
68
3.1 Stelkroppar, grundläggande storheter
Stelkropp – ett antal partiklar men vanligast ett kontinuerligt
medium i fixa positioner
Ändrar ej form
∑m r ∑m r
(t ) =
=
M
∑m
i i
Masscentrum
rmc
i i
i
i
(för partikelsystem)
i
i
∫ rdm
rmc = V
∫ dm
∫ rdm
=V
[3.1-1]
M
V
dm = ρ dV
[3.1-2]
densitet
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
69
3.1 Stelkroppar, grundläggande storheter
Ex3.1-1
Ett föremål har formen av en fylld homogen paraboloid som
beskrivs av z = x 2 + y 2 , − 1 ≤ x ≤ 1, − 1 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1.
Beräkna föremålets masscentrum.
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
70
3.1 Stelkroppar, grundläggande storheter
För en sluten polygon med N hörn och koordinaterna
( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ),...( xN , y N )
( x0 = xN , y0 = y N )
är arean
1 N −1
A = ∑ ( xi yi +1 − xi +1 yi )
2 i =0
och masscentrumets läge
1 N −1
xmc =
∑ ( xi + xi +1 )( xi yi +1 − xi +1 yi )
i
6 A =0
1 N −1
ymc =
∑ ( yi + yi +1 )( xi yi +1 − xi +1 yi )
6 A i =0
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
71
3.1 Stelkroppar, grundläggande storheter
Ex3.1-2
I figuren är ett triangulärt område markerat. Området utgörs
av ett homogent material.
a) Beräkna områdets masscentrum med ekvation 3.1-1.
b) Jämför med det masscentrum som vi tog fram i Ex2.1-1
c) Beräkna områdets masscentrum med hjälp av
polygonsambanden
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
72
3.1 Stelkroppar, grundläggande storheter
En stelkropps rörelse kan beskrivas med translation av
masscentrum och rotation kring en axel genom masscentrum.
Läget för en punkt på en stelkropp
r (t ) = rmc (t ) + rsk (t ) = rmc (t ) + R rot (t ) bsk
ˆ (t ) U
ˆ (t ) U
ˆ (t )
R (t ) = U
rot
[
0
1
2
[3.1-3]
]
[3.1-4]
Û1
Rotations
matris
ŷ
⋅ Û 2
rsk
bsk
⋅ ẑ
x̂
Û 0
rmc
ŷ
r
Stelkroppens KS
⋅ ẑ
O
x̂
Referens-KS
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
73
3.1 Stelkroppar, grundläggande storheter
Total rörelsemängd
P = ∫ p = ∫ vdm =
V
V
d
d
r
dm
=
( M rmc )
∫
dt V
dt
[3.1-5]
Totalt rörelsemängdsmoment
L = ∫ r × v dm
[3.1-6]
V
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
74
3.1 Stelkroppar, grundläggande storheter
Rotation av stelkropp kring fix axel D̂
Diskreta partiklar (som inte rör sig relativt varandra)
L = ∑ li = ∑ ri × pi = ∑ ri × m v i =  ∑ mi ri 2 ω = I ω
i
i
i
 i

[3.1-7]
Kontinuerligt medium


L = ∫ l = ∫ r × v dm =  ∫ r 2 dm  ω = I ω
V
V
V

τ net =
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
dL
dω
=I
= Iα
dt
dt
[3.1-8]
[3.1-9]
g
ra la xel)
d
n
a
a
tons ring fix
w
e
N
ion k
t
a
t
o
(r
TSBK03: Fysik, Ht2009
75
3.1 Stelkroppar, grundläggande storheter
Tröghetsmoment I (kgm2)
I = ∑ m i ri 2
(kg m 2 )
[3.1-10]
i
I = ∫ r 2 dm (kg m 2 )
[3.1-11]
V
Kinetisk rotationsenergi
Iω 2
T=
2
[3.1-12]
Tröghetsmatris
 I xx

J = − I xy
 − I xz

− I xy
I yy
− I yz
− I xz 

− I yz 
I zz 
L = Jω
τ net = J α
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
[3.1-13]
[3.1-14]
[3.1-15]
TSBK03: Fysik, Ht2009
76
3.1 Stelkroppar, grundläggande storheter
Ex3.1-3
a) Beräkna I för en tunn stav med massan M och längden L där
rotationsaxeln går vinkelrätt mot staven avståndet h från ena änden.
b) Beräkna I för en homogen sfär med massan M och radien R där
rotationsaxeln genom sfärens mitt.
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
77
3.1 Stelkroppar, grundläggande storheter
Vanliga former ur tabell. Tex: http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_moments_of_inertia
Tröghetsmomentet för en polygon kan beräknas genom
att göra en indelning i trianglar.
I tri
(
N
b 3 h − b 2 ha + bha 2 + bh 3
=
, I = ∑ I tri + Md 2
36
k =1
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
)
k
78
3.1 Stelkroppar, grundläggande storheter
Glidande - rullande rörelse
Glida utan att rulla
- Rulla utan att glida
- Rulla och glida
(med eller utan rullfriktion)
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
79
3.1 Stelkroppar, grundläggande storheter
Rullande rörelse (utan glid)
vmc = Rω
translation
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
rotation
TSBK03: Fysik, Ht2009
resulterande
rörelse
80
3.1 Stelkroppar, grundläggande storheter
Tillståndsvektorn blir nu
 rmc 
 pmc 

S=
R rot 
 L 


 r&mc   v mc 
 p&   F 
&S =  mc  =  mc 
&  ω ∗R 
R
rot
rot

 

&
τ
 L  

[3.1-16]
Fmc
[3.1-17]
& (t ) = ω ∗ R (t )
R
rot
rot
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
− ω3
0
ω1
→
∫
pmc
L
→
*J −1
→
v
/ m mc
ω
→
∫
→
∫
rmc
R rot
[3.1-18]
ω = (ω1 ω2 ω3 )
 0
ω ∗ =  ω3
− ω2
τ
→
∫
ω2 
− ω1 
[3.1-19]
0 
TSBK03: Fysik, Ht2009
81
3.1 Stelkroppar, grundläggande storheter
Förbättringar
Undvik att invertera tröghetsmatrisen vid varje tidssteg
L (t ) = J (t ) ω (t ) ⇒ ω (t ) = J −1 (t ) L (t )
[3.1-19]
J −1 (t ) = R rot (t )J sk−1R rot (t )
[3.1-20]
T
Representera rotationen med kvaternioner q(t), ω(t)
q(t ) ↔ R rot (t )
ω(t ) ↔ ω (t )
d q (t ) 1
& (t ) = ω ∗ R (t )
= ω(t )q (t ) ↔ R
rot
rot
dt
2
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
[3.1-21]
82
3.2 Kollision mellan Stelkroppar
Kollisionsdetektering
ˆ (t ) ⋅ v < 0 (kollision)
N
A
ˆ (t ) ⋅ v = 0 ( vila)
N
A
ˆ (t ) ⋅ v > 0 (separation)
N
A
[3.2-1]
[3.2-2]
[3.2-3]
A
A
A
N̂
N̂
N̂
vA
vA
B
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
vA
B
TSBK03: Fysik, Ht2009
B
83
3.2 Kollision mellan Stelkroppar
r (t ) = rmc (t ) + rsk (t ) = rmc (t ) + R rot (t )bsk
v(t ) = r&mc (t ) + r&sk (t ) = v mc (t ) + ω (t ) × rsk (t )
ˆ (t ) ⋅ (r (t ) − r (t ))
d (t ) = N
A
B
ˆ (t ) ⋅ (r& (t ) − r& (t )) + N
ˆ& (t ) ⋅ (r (t ) − r (t ))
d& (t ) = N
A
B
A
B
A
rA (t ) − rB (t )
d (t )
[3.2-5]
[3.2-6]
Vid kontakt (t = t0)
d (t 0 ) = 0
ˆ (t ) ⋅ (r& (t ) − r& (t ))
d& (t 0 ) = N
0
A 0
B 0
N̂
[3.2-4]
[3.2-7]
[3.2-8]
v A (t 0 ) − v B (t 0 )
B
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
TSBK03: Fysik, Ht2009
84
3.2 Kollision mellan Stelkroppar
Kollisionsrespons
ˆ
v − = N ⊥ + (N ⋅ v − )N
ˆ
v = N ⊥ − (N ⋅ v )N
+
−
ˆ
v + = N ⊥ − ε (N ⋅ v − )N
v+ = N⊥
Innan kollision
[4.2-9]
Elastisk kollision, ε=1
[4.2-10]
[4.2-11]
Oelastisk kollision
[4.2-12]
Totalt oelastisk kollision, ε=0
A
A
N̂
A
N̂
v+
N̂
v+
N⊥
B
ε =1
Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH
v-
N⊥
B
v-
0 < ε <1
TSBK03: Fysik, Ht2009
B
ε =0
N⊥
v+
v-
85
Download
Random flashcards
Ölplugg

1 Cards oauth2_google_ed8be09c-94f0-4e6a-8e55-87a3b14a45db

Svenska

105 Cards Anton Piter

Multiplacation table

156 Cards Антон piter

Create flashcards