2. Diskreta flerpartikelsystem [Pix-C, Pix-G, IR-7] 2.1 Flerpartikelsystem, grundläggande storheter 2.2 Kollisioner mellan partiklar Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 54 2.1 Flerpartikelsystem, grundläggande storheter n st partiklar (som rör sig relativt varandra) ri (t ), v i (t ), ai (t ) i = 1, 2, 3 ...n I ett slutet flerpartikelsystem är massan konstant. Kinematik Masscentrums… läge ∑m r ∑m r (t ) = = M ∑m i i rmc i i i i [2.1-1] i i hastighet v mc (t ) = drmc dt acceleration amc (t ) = dv mc dt Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 massa Total [2.1-2] [2.1-3] 55 2.1 Flerpartikelsystem, grundläggande storheter Ex2.1-1 Tre stycken kulor är placerade enligt figuren. Alla har massan mi = m (i = 1,2,3). a) Beräkna kulornas masscentrum. b) Var ligger masscentrum om m1 = 4m? Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 56 2.1 Flerpartikelsystem, grundläggande storheter Kinetik För flera partiklar definierar vi nu; Total rörelsemängd P (kg m / s) P= ∑ pi = i ∑ i mi v i = ∑ i mi dri d = dt dt ∑ mi ri = i d ( M rmc ) dt [2.1-4] [2.1-1] Om M är konstant (slutet system) drmc P=M = M v mc dt Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH [2.1-5] TSBK03: Fysik, Ht2009 57 2.1 Flerpartikelsystem, grundläggande storheter För ett partikelsystem kan vi nu skriva; Newtons andra lag enlig Fnet = dP dt [2.1-6] Om M är konstant (slutet system) Fnet = dP d v mc =M = M amc dt dt Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 [2.1-7] 58 2.1 Flerpartikelsystem, grundläggande storheter Nettokraften kan delas upp i interna och externa krafter Fnet = ∑ ∑ Fj →k + ∑ Fext →k = ∑ Fext →k k j ≠k k 1 424 3 k =0 Om summan av de externa krafterna också är noll kallas systemet isolerat, Fnet = 0 ⇒ dP = 0 dvs. P konstant dt [2.1-10] Vilket innebär att rörelsemängden är konstant (bevarad) P f = Pi Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 59 2.1 Flerpartikelsystem, grundläggande storheter Om M dessutom är konstant (slutet system) v mc = P M konstant [2.1-9] Vi kan också definiera systemets, Totala kinetiska energi 1 T = ∑ mi vi2 i 2 Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH [2.1-10] TSBK03: Fysik, Ht2009 60 2.1 Flerpartikelsystem, grundläggande storheter För rotationsrörelse får vi motsvarande storheter, 2 Totalt rörelsemängdsmoment L (kgm /s) L = ∑ li = ∑ ri × pi = ∑ ri × mv i i i [2.1-11] Newtons andra lag τ net = i dL dt [2.1-12] Rörelsemängdsmomentets bevarande Om τ net = 0 ⇒ dL = 0 dvs. L konstant dt [2.1-13] Detta får vi mer användning av i stelkroppsmekaniken... Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 61 2.1 Flerpartikelsystem, grundläggande storheter Tillståndsvektorn för n (i = 1,2,3,…,n) partiklar v1 r&1 F1 v m & 1 M1 S= M = r& v n n v n Fn m n r1 v 1 S= M rn v n Fxi → a x i → v x i → xi etc. Datastruktur: Partiklar antal Typ av krafter antal tid r1 (t ) rn (t ) FAi (ri , t ) v1 (t ) v n (t ) FBi (ri , t ) F1 (r1 , t ) Fn (rn , t ) FCi (ri , t ) m1 mn M … Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 Fi = FAi + FBi + FCi + ... är en nettokraft 62 2.1 Flerpartikelsystem, grundläggande storheter Alternativt kan rörelsemängden användas, r&1 v1 & p1 F1 S& = M = M r& v n n p& n Fn r1 p 1 S= M rn pn Fxi → p x i → v x i → xi etc. Datastruktur: Partiklar antal Typ av krafter antal tid r1 (t ) rn (t ) FAi (ri , t ) p1 (t ) p n (t ) FBi (ri , t ) F1 (r1 , t ) Fn (rn , t ) FCi (ri , t ) m1 mn M … Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 Fi = FAi + FBi + FCi + ... är en nettokraft 63 2.2 Kollisioner mellan partiklar Betraktar två eller fler massor mi med hastigheter v i Totalt oelastiska kollisioner mellan två partiklar (A och B) Rörelsemängden bevaras ( P är konstant) P− = P+ ⇒ före m A v A − + mB v B − = ( m A + mB ) v + ⇒ v+ = m A v A− + mB v B − ( m A + mB ) [2.2-1] efter Den kinetiska energin minskar T− = 1 1 1 m Av A2 − + mB vB2 − > T+ = (m A + mB )v+2 2 2 2 före Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH [2.2-2] efter TSBK03: Fysik, Ht2009 64 2.2 Kollisioner mellan partiklar Elastiska kollisioner mellan två partiklar (A och B) Rörelsemängden bevaras ( P är konstant) P− = P+ ⇒ m A v A− + mB v B − = m A v A+ + mB v B + [2.2-3] Den kinetiska energin bevaras (T är konstant) 1 1 1 1 m A v 2A− + mB v 2B − = m A v 2A+ + mB v 2B + 2 2 2 2 [2.2-4] Stötkoefficient v B + − v A+ 0 ≤ e ≤1 e=− v B − − v A− Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH [2.2-5] TSBK03: Fysik, Ht2009 65 2.2 Kollisioner mellan partiklar Ex2.2-1 Låt två partiklar med massa m1 och m2 respektive hastigheter v A− = v A− xˆ och v B − = 0 kollidera. Vad blir hastigheterna efter kollisionen om a) kollisionen är totalt oelastisk b) kollisionen är elastisk c) Vad är stötkoefficienten i de två fallen? Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 66 2.2 Kollisioner mellan partiklar Impuls r2 ∫ ℑ = Fnet ⋅ dt ( r1 kg m , Ns) s ℑ = ∆ p = p 2 − p1 = ∆ p [2.2-7] [2.2-8] En ändring av en partikels rörelsemängd beror av impulsen – dvs. under vilken tid en kraft påverkar partikeln. Jämför med fysikaliskt arbete; r2 kg m 2 W = ∫ F ⋅ d r ( 2 , Nm, J) s r1 Wnet = ∆T En ändring av en partikels kinetiska energi beror av arbetet – dvs. under vilken sträcka en kraft påverkar partikeln. Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 67 3. Stelkroppar 3.1 Stelkroppar, grundläggande storheter 3.2 Kollisioner mellan stelkroppar Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 68 3.1 Stelkroppar, grundläggande storheter Stelkropp – ett antal partiklar men vanligast ett kontinuerligt medium i fixa positioner Ändrar ej form ∑m r ∑m r (t ) = = M ∑m i i Masscentrum rmc i i i i (för partikelsystem) i i ∫ rdm rmc = V ∫ dm ∫ rdm =V [3.1-1] M V dm = ρ dV [3.1-2] densitet Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 69 3.1 Stelkroppar, grundläggande storheter Ex3.1-1 Ett föremål har formen av en fylld homogen paraboloid som beskrivs av z = x 2 + y 2 , − 1 ≤ x ≤ 1, − 1 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1. Beräkna föremålets masscentrum. Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 70 3.1 Stelkroppar, grundläggande storheter För en sluten polygon med N hörn och koordinaterna ( x0 , y0 ), ( x1 , y1 ),...( xN , y N ) ( x0 = xN , y0 = y N ) är arean 1 N −1 A = ∑ ( xi yi +1 − xi +1 yi ) 2 i =0 och masscentrumets läge 1 N −1 xmc = ∑ ( xi + xi +1 )( xi yi +1 − xi +1 yi ) i 6 A =0 1 N −1 ymc = ∑ ( yi + yi +1 )( xi yi +1 − xi +1 yi ) 6 A i =0 Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 71 3.1 Stelkroppar, grundläggande storheter Ex3.1-2 I figuren är ett triangulärt område markerat. Området utgörs av ett homogent material. a) Beräkna områdets masscentrum med ekvation 3.1-1. b) Jämför med det masscentrum som vi tog fram i Ex2.1-1 c) Beräkna områdets masscentrum med hjälp av polygonsambanden Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 72 3.1 Stelkroppar, grundläggande storheter En stelkropps rörelse kan beskrivas med translation av masscentrum och rotation kring en axel genom masscentrum. Läget för en punkt på en stelkropp r (t ) = rmc (t ) + rsk (t ) = rmc (t ) + R rot (t ) bsk ˆ (t ) U ˆ (t ) U ˆ (t ) R (t ) = U rot [ 0 1 2 [3.1-3] ] [3.1-4] Û1 Rotations matris ŷ ⋅ Û 2 rsk bsk ⋅ ẑ x̂ Û 0 rmc ŷ r Stelkroppens KS ⋅ ẑ O x̂ Referens-KS Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 73 3.1 Stelkroppar, grundläggande storheter Total rörelsemängd P = ∫ p = ∫ vdm = V V d d r dm = ( M rmc ) ∫ dt V dt [3.1-5] Totalt rörelsemängdsmoment L = ∫ r × v dm [3.1-6] V Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 74 3.1 Stelkroppar, grundläggande storheter Rotation av stelkropp kring fix axel D̂ Diskreta partiklar (som inte rör sig relativt varandra) L = ∑ li = ∑ ri × pi = ∑ ri × m v i = ∑ mi ri 2 ω = I ω i i i i [3.1-7] Kontinuerligt medium L = ∫ l = ∫ r × v dm = ∫ r 2 dm ω = I ω V V V τ net = Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH dL dω =I = Iα dt dt [3.1-8] [3.1-9] g ra la xel) d n a a tons ring fix w e N ion k t a t o (r TSBK03: Fysik, Ht2009 75 3.1 Stelkroppar, grundläggande storheter Tröghetsmoment I (kgm2) I = ∑ m i ri 2 (kg m 2 ) [3.1-10] i I = ∫ r 2 dm (kg m 2 ) [3.1-11] V Kinetisk rotationsenergi Iω 2 T= 2 [3.1-12] Tröghetsmatris I xx J = − I xy − I xz − I xy I yy − I yz − I xz − I yz I zz L = Jω τ net = J α Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH [3.1-13] [3.1-14] [3.1-15] TSBK03: Fysik, Ht2009 76 3.1 Stelkroppar, grundläggande storheter Ex3.1-3 a) Beräkna I för en tunn stav med massan M och längden L där rotationsaxeln går vinkelrätt mot staven avståndet h från ena änden. b) Beräkna I för en homogen sfär med massan M och radien R där rotationsaxeln genom sfärens mitt. Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 77 3.1 Stelkroppar, grundläggande storheter Vanliga former ur tabell. Tex: http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_moments_of_inertia Tröghetsmomentet för en polygon kan beräknas genom att göra en indelning i trianglar. I tri ( N b 3 h − b 2 ha + bha 2 + bh 3 = , I = ∑ I tri + Md 2 36 k =1 Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 ) k 78 3.1 Stelkroppar, grundläggande storheter Glidande - rullande rörelse Glida utan att rulla - Rulla utan att glida - Rulla och glida (med eller utan rullfriktion) Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 79 3.1 Stelkroppar, grundläggande storheter Rullande rörelse (utan glid) vmc = Rω translation Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH rotation TSBK03: Fysik, Ht2009 resulterande rörelse 80 3.1 Stelkroppar, grundläggande storheter Tillståndsvektorn blir nu rmc pmc S= R rot L r&mc v mc p& F &S = mc = mc & ω ∗R R rot rot & τ L [3.1-16] Fmc [3.1-17] & (t ) = ω ∗ R (t ) R rot rot Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH − ω3 0 ω1 → ∫ pmc L → *J −1 → v / m mc ω → ∫ → ∫ rmc R rot [3.1-18] ω = (ω1 ω2 ω3 ) 0 ω ∗ = ω3 − ω2 τ → ∫ ω2 − ω1 [3.1-19] 0 TSBK03: Fysik, Ht2009 81 3.1 Stelkroppar, grundläggande storheter Förbättringar Undvik att invertera tröghetsmatrisen vid varje tidssteg L (t ) = J (t ) ω (t ) ⇒ ω (t ) = J −1 (t ) L (t ) [3.1-19] J −1 (t ) = R rot (t )J sk−1R rot (t ) [3.1-20] T Representera rotationen med kvaternioner q(t), ω(t) q(t ) ↔ R rot (t ) ω(t ) ↔ ω (t ) d q (t ) 1 & (t ) = ω ∗ R (t ) = ω(t )q (t ) ↔ R rot rot dt 2 Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 [3.1-21] 82 3.2 Kollision mellan Stelkroppar Kollisionsdetektering ˆ (t ) ⋅ v < 0 (kollision) N A ˆ (t ) ⋅ v = 0 ( vila) N A ˆ (t ) ⋅ v > 0 (separation) N A [3.2-1] [3.2-2] [3.2-3] A A A N̂ N̂ N̂ vA vA B Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH vA B TSBK03: Fysik, Ht2009 B 83 3.2 Kollision mellan Stelkroppar r (t ) = rmc (t ) + rsk (t ) = rmc (t ) + R rot (t )bsk v(t ) = r&mc (t ) + r&sk (t ) = v mc (t ) + ω (t ) × rsk (t ) ˆ (t ) ⋅ (r (t ) − r (t )) d (t ) = N A B ˆ (t ) ⋅ (r& (t ) − r& (t )) + N ˆ& (t ) ⋅ (r (t ) − r (t )) d& (t ) = N A B A B A rA (t ) − rB (t ) d (t ) [3.2-5] [3.2-6] Vid kontakt (t = t0) d (t 0 ) = 0 ˆ (t ) ⋅ (r& (t ) − r& (t )) d& (t 0 ) = N 0 A 0 B 0 N̂ [3.2-4] [3.2-7] [3.2-8] v A (t 0 ) − v B (t 0 ) B Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH TSBK03: Fysik, Ht2009 84 3.2 Kollision mellan Stelkroppar Kollisionsrespons ˆ v − = N ⊥ + (N ⋅ v − )N ˆ v = N ⊥ − (N ⋅ v )N + − ˆ v + = N ⊥ − ε (N ⋅ v − )N v+ = N⊥ Innan kollision [4.2-9] Elastisk kollision, ε=1 [4.2-10] [4.2-11] Oelastisk kollision [4.2-12] Totalt oelastisk kollision, ε=0 A A N̂ A N̂ v+ N̂ v+ N⊥ B ε =1 Kenneth Järrendahl, IFM, LiTH v- N⊥ B v- 0 < ε <1 TSBK03: Fysik, Ht2009 B ε =0 N⊥ v+ v- 85