Kap. 3 Aritmetik
•
Begrepp och egenskaper:
binära tal och andra talbaser
delare och primtal
största gemensamma delaren och minsta gemensamma multipeln
heltal modulo n
• Principer och algoritmer:
divisionsalgoritm
euklides algoritm
lösning av diofantiska ekvationer
lösning av modulär ekvation
•
Rekommenderade uppgifter:
3.6, 3.7, 3.13, 3.17, 3.18, 3.22, 3.23, 3.24, 3.29, 3.30, 3.31, 3.35, 3.37, 3.38,
3.39, 3.40, 3.41, 3.42, 3.43, 3.44, 3.45, 3.46, 3.47, 3.48, 3.49, 3.50.
Divisionsalgoritmen
Låt p och d ≠ 0 vara två heltal. Det finns två unika heltal
q och r för vilka gäller att
p = q⋅d + r,
där 0 ≤ r < d .
Talet q kallas för kvoten och talet r för den principala
resten.
Talbaser
• Det decimala talsystemet (med talbasen 10)
• Det binära talsystemet (med talbasen 2)
• Andra talbaser:
oktal form (med talbasen 8)
hexadecimal (med talbasen 16)
Heltal
Delare:
Om man får resten 0 då man delar talet m med talet d
säger man att d är en delare eller faktor i m, och m är
en multipel av d. Man säger också att d delar m, eller m
är jämnt delbar med d.
Primtal och sammansatt tal:
Ett positivt heltal p kallas ett primtal om p > 1 vars enda
positiva delare är 1 och p. Ett heltal större än 1 som inte
är ett primtal kallas ett sammansatt tal.
Aritmetikens fundamentalsats:
Varje positivt heltal n > 1 kan skrivas som produkt av
primtal på ett och endast ett sätt (om vi struntar i
faktorernas ordning).
Sats om antalet primtal:
Det finns oändligt många primtal.
Gemensamma delare:
Låt m, n och d vara heltal.
• Om d delar både m och n så kallas d för en gemensamma delare för m och n.
• Den största gemensamma delaren gcd(m, n)
största positiva heltalet som delar båda m och n.
är det
• Den minsta gemensamma multipeln lcm(m, n) är det
minsta positiva heltalet som delas av båda m och n.
• Om gcd (m, n) = 1 , så kallas m och n relativt prima.
• lcm (m, n) =
m⋅n
.
gcd ( m, n)
• Sats: Om m och n har en delare d, så delar d varje
linjär-kombination am + bn , där a och b är heltal.
Euklides algoritm (för att beräkna gcd):
Låt m och n vara positiva heltal med n ≤ m . Om
m = q1 ⋅ n + r1
n = q2 ⋅ r1 + r2
r1 = q3 ⋅ r2 + r3
LL
rN − 2 = qN −1 ⋅ rN −1 + rN
rN −1 = qN ⋅ rN
genom att upprepa divisionsalgoritmen, så gäller
gcd (m, n) = rN .
Vidare, med hjälp av euklides algoritm, kan man skriva
gcd (m, n) = am + bn
för några heltal a och b,
Diofantiska ekvationer
ax + by = c ,
där a, b, c är givna heltal, och x, y är sökta heltal.
• Om gcd(a, b) delar c, så har ekvationen oändliga många
lösningar.
• Om gcd(a, b) delar c, så har ekvationen ingen lösning.
Modulär aritmetik
Låt n vara ett positivt heltal, och låt a, b, c, d vara heltal.
Heltal modulo n:
• a och b är ekvivalenta heltal modulo n, a ≡ b (mod n),
om a och b har samma rest, dvs n delar a − b .
• Z n = { 0 ,1,K ,n − 1 }
modulo n.
är
mängden
av
ekvivalenta
heltal
Modulära addition och multiplikation:
Om a ≡ c (mod n) och b ≡ d (mod n), så gäller
a + b ≡ c + d (mod n) och
ab ≡ cd (mod n).
Lösning av modulär ekvation: (ersättning av division)
Om p är ett primtal, så har varje element i Z p inversen.
