Räta linjer
Teori
En rät linje är det kortaste avståndet mellan två punkter och den kan representeras med en ekvation (”den räta linjens
ekvation”):
y = ax + b
a och b är två konstanter. Värdet på a bestämmer linjens lutning och värdet på b var linjen skär y-axeln. Exempelvis
representerar ekvationen nedan en linje som har lutningen en halv och som skär y-axeln vid värdet ett.
y = 0,5 x + 1
Detta visas även i diagrammet nedan:
y
y = 0,5 x + 1
5
4
Skärningspunkt med y-axeln = 1
3
1
1
2
Lutningen =
2
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
= 0,5
2
1
4
5
6
7
-1
x
-2
-3
-4
Om konstanten a är positiv lutar linjen uppåt höger och om den är negativ lutar linjen nedåt höger. Ju större värdet är
på a, desto mer lutar linjen det vill säga desto brantare är den. Om konstanten b är positiv skär linjen y-axeln ovanför
x-axeln och om den är negativ skär den y-axeln nedanför x-axeln. Ju större värdet är på b desto längre från x-axeln
skär linjen y-axeln.
För att kunna räkna ut a och b måste man veta värdena för x och y i två punkter på linjen. De två punkterna i
diagrammet ovan har exempelvis följande värden:
Punkt 1:
Punkt 2:
x
2
4
y
2
3
Den kompletta guiden till Högskoleprovet. ISBN-13: 978-91-633-0682-2
Lukas Holmegaard & Nils Holmegaard 2007
Med hjälp av värdena i de två punkterna kan man genom insättning i ekvationen för den räta linjen, y = a x + b ,
bilda ett ekvationssystem ur vilket man sedan kan bestämma värdena på a och b
Ekvationer
Punkt 1:
Punkt 2:
2 = 2a + b
3 = 4a + b
I ekvationssystemet ovan finns två obekanta variabler och två oberoende ekvationer och det går således att bestämma
värdena på a och b (för mer information om ekvationssystem, se boken sidan 21) och resultatet blir en halv
respektive ett. Notera att om man från början vet linjens lutning och således värdet på a räcker det med att känna till
en punkt på linjen för att kunna bestämma värdet på b.
Övningsuppgift 19
En rät linje löper genom en punkt med koordinaten (6, -5). Bestäm linjens ekvation.
[Grundinformation]
(1) Linjen skär x-axeln i punkten (-4, 0).
[Information 1]
(2) Linjens riktningskoefficient är minus en halv.
[Information 2]
Svarsalternativ
A) i (1) men ej i (2)
B) i (2) men ej i (1)
C) i (1) tillsammans med (2)
D) i (1) och (2) var för sig
E) ej genom de båda påståendena
Den kompletta guiden till Högskoleprovet. ISBN-13: 978-91-633-0682-2
Lukas Holmegaard & Nils Holmegaard 2007
Lösningsmetod
Rita figur och skriv upp formler som behövs.
Räta linjens ekvation:
y = ax + b
Vad efterfrågas?
Linjens ekvation. Man skall alltså bestämma värdet på a och b i den allmänna ekvationen ovan.
Räcker information 1 för att besvara frågan?
Det står i grundinformationen att linjen är rät och man kan därför använda den räta linjens
ekvation:
[Fås ur grundinformationen]
y = ax + b
I grundinformationen ges en punkt på linjen (6, -5) där alltså: x = 6 och y = -5. Insättning av
detta i linjens ekvation ger:
[Fås ur grundinformationen]
-5 = 6 a + b
I information 1 ges ytterligare en punkt (-4, 0) där alltså: x = -4 och y = 0. Insättning av
detta i linjens ekvation ger:
[Fås ur information 1]
0 = -4 a + b
Vi har två obekanta variabler och två oberoende ekvationer. Informationen räcker således för att
besvara frågan.
Värdena på a och b blir minus en halv respektive minus två och linjens ekvation blir då:
y = -0,5 x - 2
Räcker information 2 för att besvara frågan?
[Fås ur grundinformationen]
y = ax + b
I grundinformationen ges en punkt (6, -5). Insättning av denna i linjens ekvation ger:
[Fås ur grundinformationen]
-5 = 6 a + b
I information 2 ges linjens lutning:
Den kompletta guiden till Högskoleprovet. ISBN-13: 978-91-633-0682-2
[Fås ur information 2]
Lukas Holmegaard & Nils Holmegaard 2007
a = -0,5
Vi har två obekanta variabler och två oberoende ekvationer. Informationen räcker således för att
besvara frågan.
Värdena på a och b blir minus en halv respektive minus två och linjens ekvation blir då:
y = -0,5 x - 2
Rätt svar blir alltså:
D) i (1) och (2) var för sig
Den kompletta guiden till Högskoleprovet. ISBN-13: 978-91-633-0682-2
Lukas Holmegaard & Nils Holmegaard 2007
