Matematik med lite logik - Turku Centre for Computer Science

Ralph-Johan Back | Joakim von Wright
Matematik med lite logik
Strukturerade härledningar
i gymnasiematematiken
Turku Centre for Computer Science
IMPEd Resource Centre
TUCS Lecture Notes
No 1, Oct 2008
Matematik med lite logik
Strukturerade härledningar i
gymnasiematematiken
Ralph-Johan Back och Joakim von Wright
Oktober 2008, Åbo, Finland
Copyright Ralph-Johan Back and Joackim von Wright
All rights reserved
TUCS Lecture Notes
Nr 1
IMPEd Series
Förord
Strukturerade härledningar är en nytt format för matematiska bevis och härledningar, som bygger på användningen av logisk notation och enkla logiska
regler i argumenteringen. Den här rapporten introducerar metoden i praktiken,
i form av en kurs i praktisk logik på gymnasienivån. De grundläggande logiska begreppen introduceras stegvis, ett i gången, och illustreras med exempel
från gymnasiematematiken. En preliminär version av den här rapporten har
använts som kursbok i ett flertal kurser i lång matematik på gymnasienivån i
Finland (den valbara kursen “Logik och talteori”). Alla kapitel är försedda med
övningsuppgifter.
Översikt Vi har lagt upp materialet så att de centrala ingredienserna i användningen av strukturerade härledningar introduceras steg för steg, motiverade av vanliga problemställningar i gymnasiematematiken.
Kapitel 2 introducerar linjära härledningar. Vi beskriver hur förenkling (beräkning, hyfsning, omskrivning) skrivs med hjälp av kommenterade härledningar. Avsikten är att belysa principer och regler som ligger bakom sådana matematiska uträkningar och slutledningar som vanligen uppfattas som enkla och
självklara.
Kapitel 3 behandla sanningsvärden (sant och falskt) och grundläggande regler och operationer med sanningsvärden. Linjära härledningar används för att
förenkla aritmetisk-logiska uttryck, dvs uttryck där både talvärden och sanningsvärden är inblandade.
Kapitel 4 behandlar lösning av ekvationer och olikheter. Att lösa en ekvation
(eller en olikhet, eller ett ekvationssystem) innebär att skriva om uttrycket i
en logiskt ekvivalent form som visar lösningen, dvs vilka värden som satisfierar
ekvationen.
Kapitel 5 utvidgar linjära härledningar till strukturerade härledningar, genom
att införa delhärledningar. En delhärledning är en egen helhet som samtidigt
ingår som del i den huvudsakliga härledningen. Delhärledningar skrivs indragna
(flyttade högerut) och de kan vid behov gömmas.
Kapitel 6 tar upp ett centralt problemområde i matematiken: odefinierade
uttryck. Det är som bekant inte tillåtet att dividera med 0 eller att dra kvadratroten ur ett negativt tal. Å andra sidan kan vi skriva ner uttryck som 30 eller
√
−1 − x2 , som alltså är odefinierade. I matematiken undviker man vanligen
3
frågan om vad ett sådant uttryck betyder genom att anta att sådana uttryck
undviks. I det här kapitlet ser vi hur detta kan göras logiskt hållbart.
Kapitel 7 visar vi hur implikation p ⇒ q, dvs att påståendet q följer av
påståendet p, kan visas med härledningar. Samma metodik kan också användas
för att visa olikheter - implikation p ⇒ q är logikens motsvarighet till olikhet
av formen a ≤ b. Det här generaliserar de härledningar som har använts ovan,
vilka endast visat likheter och ekvivalenser (som är logikens motsvarighet till
likhet).
Kapitel 8 behandlar användningen av figurer och grafer i matematisk problemlösning. En text kan förklara vad man syftar på, en bild kan åskådliggöra
den aktuella situationen, en tabell kan sammanfatta en mängd fakta, osv. Grafer och figurer kan också ha en aktiv roll i problemlösandet.
Kapitel 9 sammanfattar ett antal olika sätt att angripa ett matematiskt
problem. Somliga av dem har redan använts i samband med exemplen i tidigare
kapitel medan andra är nya. Det är viktigt att inse att ett och samma problem
ofta kan lösas på många olika sätt, och att lösningen kan kräva en kombination
av olika bevisstrategier.
Kapitel 10 introducerar kvantorerna, både allkvantorn och existenskvantorn.
Kvantorer har traditionellt undvikits inom gymnasiematematiken, men eftersom
det är svårt att klara sig utan dem har man gömt undan dem bakom olika slags
ad hoc formuleringar. Här beskrivs både hur de fungerar för att uttrycka matematiska egenskaper och hur de används i bevis. En speciellt användbar metod
är matematisk induktion. Vi går även utöver den egentliga gymnasiematematiken och visar hur kvantorer kan användas för härledningar inom områden som
vanligen anses svåra att hantera, som kontinuitet och gränsvärden.
Matematik med logik Den här publikationen är en del i en serie som beskriver strukturerade härledningar och deras tillämpning i matematikundervisningen. För tillfället har följande publikationer utkommit i den här serien:
• Strukturerade härledningar i gymnasiematematiken (Back, Wright [11])
• En kort kurs i talteori (Back, von Wright [10])
• Studentexamen i lång matematik, våren 2003 (Back, von Wright[12])
• Introduktion till strukturerade härledningar (Back [2])
• Logik för strukturerade härledningar (Back [3])
• Strukturerade härledningar som allmänt bevisformat (Back [4])
Vi hänvisar till övriga publikationerna i den här serien för att få en mera
mångsidig uppfattning om den här metoden och dess användning i praktiken.
4
Tackord Arbetet med att utveckla strukturerade härledningar och experimenten med att använda metoden i undervisningen har skett i nära samarbete med
medlemmarna i Learning and Reasoning laboratoriet, ett forskningslaboratorium som är gemensamt för Åbo Akademi och Åbo Universitet. Speciellt vill vi
tacka följande personer för en mängd givande och intressanta diskussioner om
metoden och bidrag till metodens utveckling (listan är i alfabetisk ordning):
Johannes Eriksson, Tanja Kavander, Linda Mannila, Martin Nylund, Mia Peltomäki, Viorel Preoteasa, Tapio Salakoski, och Patrick Sibelius. Forskningen
har finansierats av Finlands Akademi, inom ramen för projektet “Center of
Excellence in Formal Methods in Programming”.
5
6
Innehåll
1 Introduktion
9
2 Uttryck, likhet, härledningar
15
3 Sanningsvärden och ekvivalens
25
4 Ekvationer som logiska påståenden
39
5 Delhärledningar och antaganden
49
6 Hantering av odefinierade uttryck
61
7 Implikation
69
8 Figurer och andra hjälpmedel
79
9 Bevisstrategier
91
10 Kvantorer
99
7
Innehåll
8
1 Introduktion
Matematik har undervisats systematiskt i flera årtusenden. Traditionerna i matematikundervisningen är gamla och starka. Under århundraden har de överfört
matematisk färdighet från generation till generation, och varje generation har
ökat på vårt matematiska kunnande och vår förståelse av matematiken. Tidigare lärde man ut matematik till en liten grupp med speciell matematisk
fallenhet, och undervisningsmetoderna var anpassade efter det. I dag borde vi
lära ut matematik åt så många elever som möjligt. Efterfrågan på matematiskt
kunnande och förståelse har vuxit kraftigt med dagens kunskapssamhälle. Allt
fler verksamhetsområden baserar sig på en gedigen matematisk färdighet och
förblir slutna för dem som inte kommit in i det matematiska tänkesättet.
Läroplanen i matematik har i den finländska grund- och gymnasieskolan (liksom i Västvärlden överlag) under de senaste decennierna förändrats i en riktning
som allt mindre betonar bevis och strikta härledningar. Detta har motiverats
bland annat med att en allt större del av årsklasserna skall kunna lära sig stoffet och med att den moderna teknologin avspeglas i matematikundervisningen.
Som Hanna påpekar [21] är bevis och strikta argument dock en viktig del av
matematikens väsen. Därför, menar Hanna, liksom många andra, är det viktigt
att bevis ingår som en naturlig del i matematikundervisningen och att elever
lär sig att förstå hur matematiska teorem bevisas.
Vår avsikt här är att föra fram ett nytt sätt att undervisa matematik som
baserar sig på systematisk användning av logik. Vår bärande idé är att lösningsprocessen, från problem till “svar”, skall kunna framställas som en helhet
där det är möjligt att granska och diskutera delar på olika detaljnivå, och att
se hur delarna hänger ihop och tillsammans bildare en helhet.
Logiken bildar här grunden för en systematisk matematisk notation, och
för ett systematiskt sätt att utföra härledningar och bevis. Logik är, liksom
matematik, ett urgammalt ämne, som studerades redan av Sokrates, Platon
och Aristoteles, och är grunden för matematiken. Under 1900-talet upplevde
logiken en kraftig renässans, då matematiken riktade sig in på att studera sig
själv. Matematiker som Frege, Hilbert, Cantor, Russel och Whitehead, Gödel,
Turing, Tarski och Church har lyft fram matematisk logik som ett centralt
forskningsområde inom matematik. Den centrala problemställningen har då
varit grunderna och gränserna för matematisk kunskap: hur är matematiska
argument och teorier uppbyggda, var går gränserna för vad vi kan definiera,
9
1 Introduktion
bevisa och beräkna?
Vi vänder här på steken, och ser i stället på hur logik kan tillämpas i matematik (logisk matematik ?), och speciellt i matematikundervisningen. Vi är
intresserad av praktisk logik, sådan som den kan användas i de vanliga problemställningarna som tas upp i gymnasiets matematik. Hur kan vi tillämpa de
landvinningar som gjorts inom matematisk logik under de senaste 150 åren för
att ge en mera systematisk och enkel framställning av matematik för eleverna
i gymnasiet?
Vår egen bakgrund är en aning speciell i det här sammanhanget. Vi är båda
forskare inom datateknik och vårt specialgebit är programmeringsteknik, speciellt användningen av formella metoder i programmering. Med formella metoder
avses matematiska metoder för programkonstruktion för att garantera att programmen fungerar korrekt, dvs i enlighet med givna specifikationer. Garantin
ges i form av ett matematiskt bevis av programmets riktighet. Att bevisa att
ett program fungerar rätt leder vanligen till att ett stort antal relativt triviala
matematiska påståenden som alla måste bevisas. På grund av det här har studien av matematiska härledningar och bevis fått en framträdande roll inom vårt
forskningsområde. Ett centralt delområde är bevisning av matematiska teorem
med hjälp av datorer. Bevisningen kan antingen ske helt automatiskt, eller så
hjälper datorn med att utföra och kontrollera stegen i beviset. I båda fallen
krävs att både matematiska teorem och bevis beskrivs i en exakt logisk formalism. Detta har lett till en betoning av praktisk logik i programkonstruktion,
dvs logik som ett verktyg i matematiken snarare än som ett studieobjekt för
matematiken.
Linjära och strukturerade härledningar Formella metoder i programmering
utnyttjar en uppsjö av olika logiska formalismer, beroende på vilket tillämpningsområde det är fråga om och vilka behov man har. En del logiska formalismer är bättre lämpade för datorbaserade bevis, medan andra är bättre lämpade
för manuell bevisning. Den tradition som vi följer här har initierats av Edsger
W. Dijkstra, en av de stora pionjärerna i datateknisk forskning. Dijkstra och
hans kolleger (Wim Feijen, Carel Scholten, Nettie van Gasteren) koncentrerade
sig på att göra matematiska bevis både enkla och exakta. De utvecklade en notation som i branschen går under namnet calculational derivations [15, 23, 16].
En exakt översättning skulle vara kalkylliknande härledningar, men vi har valt
att kalla dem linjära härledningar på svenska. Avsikten var att matematiska
bevis och härledningar skulle vara mera likt beräkningar, som när man löser
ekvationer eller utför division på papper. Det här målet kan uppnås om man utnyttjar logik som räkneregler vid kalkylering av matematiska bevis. En ansenlig
skara av forskare inom formella metoder har under de senaste 10-15 åren över-
10
gått till att använda Dijkstras kalkylerande sätt att utföra matematiska bevis
i sina publikationer , och metoden kan med fog sägas bilda en standard i dag
inom vårt forskningsområde. David Gries och Fred Schneider har även studerat
och propagerat för användningen av den här metoden i matematikundervisning
[18, 20] och har även publicerat en bok om hur metoden kan användas för undervisning av logik och diskrete matematik i universitetet [19]. Så vitt vi vet
har det emellertid inte gjorts studier om hur metoden direkt kan tillämpas på
standard matematikundervisning på lägre nivåer (grundskola och gymnasium).
Vi har i en bok (Back och von Wright: Refinement Calculus: A Systematic Introduction, Springer 1998[8]) genomgående utnyttjat Dijkstras härledningssätt
på ett stort antal mer eller mindre komplicerade bevis inom programmeringslogiken. Dijkstra introducerade en egen logik för linjära härledningar, en variant
av första ordningens predikatkalkyl. Vi har i stället byggt upp en version av
kalkylliknande bevis som baserar sig på en klassisk standardlogik, så kallad
högre ordningens logik. Den hör logiken har ursprungligen utvecklats av Alonzo
Church [14]. Samtidigt har vi utvidgat Dijkstras metodik så att den kan användas för att beskriva hela lösningen på ett matematiskt problem, inte bara
delhärledningar. Resultatet är ett fullständigt system för matematisk bevisning
som är ekvivalent med det bevissystem för högre ordningens logik som utvecklats av Michael Gordon och Tom Melham [17]. Vi kallar vår vidareutveckling
av Dijkstras metodik för strukturerade härledningar.
Erfarenheterna av att utnyttja strukturerade härledningar i vår bok var mycket goda, och ledde till att vi även började undersöka möjligheterna av att
använda strukturerade härledningar i vanlig matematikundervisning. Den ursprungliga impulsen till det här var viljan att hjälpa våra egna barn i deras
matematikstudier i skolan. En av oss (von Wright) har dessutom även gjort
karriär som matematiklärare, så steget var inte speciellt stort. Det visade sig att
möjligheterna att använda logik i skolmatematiken, för att förenkla och systematisera argumenteringen och härledningarna, var praktiskt taget obegränsade.
Den notation som används inom matematiken och matematikundervisningen i
dag är mycket traditionell. Den har utvecklats under många århundraden, och
har inte nämnvärt påverkats av det senaste århundradets forskning inom matematisk logik. Det har lett till att samma logiska begrepp beskrivs på olika sätt
inom olika delområden av matematik. Enkla och grundläggande logiska inferensregler skrivs heller aldrig ut explicit, utan eleven förväntas förstå och lära
sig tillämpa dessa genom någon slags osmotisk process, där lärarens förståelse
överförs till eleven via en samling exempel. Kort sagt, dagens matematik presenteras på ett onödigt invecklat och osystematiskt sätt (krångligt och råddigt,
som det heter på finlandssvenska).
11
1 Introduktion
Strukturerade härledningar i gymnasiematematiken Vi började med att pröva strukturerade härledningar på en samling studentexamensprov, för att kontrollera att metodiken var allmänt användbar i praktiken [9, 1, 5, 7]. Vi har
sedan prövat metoden i praktiken i ett större forskningsprojekt med forskare
från Åbo Akademi (Back och von Wright), Åbo Universitet (Tapio Salakoski
och Tanja Kavander) och Kuppis Gymnasium i Åbo (Mia Peltomäki) [13, 6].
I projektet omarbetade vi matematikkurserna i gymnasiet så att de genomgående använde sig av strukturerade härledningar vid presentation av materialet.
Sedan delades eleverna upp i två grupper, en grupp som undervisades med hjälp
av strukturerade härledningar, och en annan grupp som undervisades på traditionellt sätt. En hel årsklass med elever har sedan följts upp under hela deras
gymnasietid, dvs under 3 år. Resultatet har varit mycket lyckat, och feedbacken
på användningen av strukturerade härledningar har varit god. Mia Peltomäki
slutför som bäst sin doktorsavhandling på det här ämnet.
Vi koncentrerar oss här på matematiken i gymnasiet, och försöker visa hur
framställningen av materialet kan förbättras om man använde en smula logik.
De metoder som vi föreslår kan lika väl användas i matematikundervisningen
i högskolor och universitet, men vi har valt att koncentrera oss på gymnasiematematiken, som följer en centralt fastslagen läroplan. Metoden kunde också
anpassas till låg- och mellanstadiets matematikundervisning, men vi har inga
erfarenheter av det här.
Ett genomgående tema här är att matematiska härledningar och bevis kan
göras mera formella, utan att de blir mera komplicerade att utföra (snarare
tvärtom). Med en mera exakt och väldefinierad matematisk syntax följer då
att möjligheterna till datorstöd förbättras avsevärt. Speciellt lovande är möjligheterna att bygga upp webbaserade matematikkurser, antingen som stöd
vid klassundervisningen, som centrala element i virtuell skolundervisning, eller som självstudiekurser. Strukturerade härledningar möjliggör mycket mera
omfattande datorstöd än vad som kan åstadkommas med traditionell notation
och undervisningsmetodik, t.ex. vad beträffar hjälp med att förstå härledningar, korrigering och kontroll av lösningar, samt mekanisering av vissa delar av
matematisk bevisföring.
Den här rapporten kan användas som en allmän handledning i hur matematikkurser, speciellt i gymnasiet, kan omarbetas till att utnyttja strukturerade
härledningar vid framställningen av materialet. På det här sättet har en preliminär version av rapporten använts vid undervisningen i Kuppis gymnasium
av Peltomäki. En annan möjlighet är att föreläsa materialet som en specialkurs
i gymnasiet. En av oss (von Wright) har två gånger använt delar av rapporten
som en matematikkurs, under namnet “Systematisk problemlösning med logik”
i Vasa övningsskola . En tredje användning är att se rapporten som ett kon-
12
struktivt inlägg i debatten om hur matematikundervisningen kan förbättras i
gymnasiet, och som ett konkret förslag för hur en mera logikbaserad undervisning kunde byggas upp.
Exempel och uppgifter täcker olika delområden av gymnasiematematiken, så
om den här rapporten används som kursmaterial måste man välja exempel och
uppgifter som är lämpliga med tanke på deltagarnas bakgrund. Några avsnitt
är märkta med en asterisk (*) som visar att avsnittet i fråga utgör “överkurs”
och kan utelämnas utan att det nämnvärt stör den fortsatta läsningen.
Vad vi gör och vad vi inte gör Slutligen är det säkert skäl att vara mera
explicit om vissa saker som vi försöker eller inte försöker uppnå här. Åsikter
om vad som är bra matematik och hur matematik skall undervisas brukar vara
starka, både bland praktiserande matematiker och matematiklärare. Traditionens makt är även stor, och det behövs starka argument för att ändra på gamla
vanor.
Vi introducerar t.ex. inte någon ny matematik. Vi försöker föra fram ett nytt
sätt att presentera och arbeta fram lösningar till matematiska problem, men
innehåller ingenting direkt nytt ur matematisk synpunkt. Metodiken som vi för
fram, strukturerade härledningar, har redan beskrivits i andra publikationer,
främst i vår bok [8]. Det nya här är tillämpningen av strukturerade härledningar för undervisningen av matematik i gymnasiet. En analogi som vi ibland
utnyttjat är att cykla. Vi försöker lära eleverna att cykla, men vi säger ingenting om vilka platser eleverna skall cykla till, bara hur man hanterar cykeln i
olika situationer.
Vi försöker inte heller att på nytt försöka introducera den sk nya matematiken, dvs mängdläran, som grund för matematikundervisningen. Mängdläran
är en otroligt elegant och vacker matematisk teori, och är de facto grunden för
all modern matematik. Vår avsikt är mera prosaisk: vi vill visa hur man kan
förenkla och förenhetliga vanlig matematisk notationen och matematiska härledningar med hjälp av litet enkel logik. Vi anser inte att det lilla man behöver
lära sig om logik är för svårt för gymnasieelever. Logik är ju i slutändan endast
teorin om två sanningsvärden, falskt och sant (eller två tal, noll och ett). Om
elever kan lära sig den betydligt mera komplicerade teorin om hela tal, av vilka
det finns oändligt många, eller teorin om reella tal, som det finns ännu mera
av, så bör inte logiken vara för svår för dem.
Däremot är vår avsikt att verka för ändringar i det sätt som matematikerna
arbetar och beskriver sina resultat. Av erfarenhet vet vi att det här är den svåraste biten att svälja. Många matematiker drivs av en känsla av matematikens
skönhet, och i den här upplevelsen har den matematiska notationen en viktig
ställning. Matematiker tycker helt enkelt att matematiska bevis ser vackra ut
13
1 Introduktion
(till skillnad från t.ex., programmerare, som inte tycker att programkod är speciellt vacker). Vi hoppas kunna ge tillräckligt med argument för att göra smärre
ändringar i allmän matematisk notation, så att den logiska strukturen i bevis
och härledningar blir enklare att konstruera och överblicka.
En annan central avsikt är att föra fram matematiska bevis och härledningar
som en central del av matematikundervisningen i gymnasiet. Under de senaste
decennierna har gymnasieundervisningen gått i en riktning där man successivt
minskat bevisens andel i undervisningen, så att de i dagens läge är närmast obefintliga. Det här har gjorts med avsikt att göra matematiken mera tillgänglig
för eleverna, men vi tror att det i många fall närmast gör den mera svårfattbar.
Utan bevis är ett matematiskt teorem närmast en magisk formel, med ett bevis
är det en självklarhet. Vi försöker göra matematiska bevis mera tillgängliga genom att göra dem mera lika beräkningar. På samma sätt som vi förväntar oss
att eleverna skall kunna lösa ekvationssystem genom enkla metodiska manipulationer så förväntar vi oss att eleverna skall kunna utföra enkla matematiska
härledningar genom logiska manipulationer.
14
2 Uttryck, likhet, härledningar
Vi börjar med att introducera linjära härledningar. Vi beskriver hur förenkling
(beräkning, hyfsning, omskrivning) skrivs med hjälp av kommenterade härledningar. Avsikten är att belysa principer och regler som ligger bakom sådana
matematiska uträkningar och slutledningar som vanligen uppfattas som enkla
och självklara.
Enkla uttryck, evaluering och härledning Ett enkelt aritmetiskt uttryck är
√
uppbyggt av konstanter som 0, π och −1, 57 och operatorer som + och
.
”Aritmetiskt” betyder att det hela tiden √handlar om reella tal. Exempel på
√3 .
enkla aritmetiska uttryck är π + 1 och 2+
2− 3
Operatorer kan av historiska skäl skrivas på mycket varierande sätt. Minustecknet, som byter tecken på ett uttryck, skrivs prefix (−e, dvs. framför uttrycket) medan de fyra enkla räknesätten skrivs infix (13 + 14, 13 − 14, 13 · 14,
och 13/14, dvs. mellan de två ingående uttrycken). Ibland skrivs division även
som ett vågrätt bråkstreck, medan potensering, rotdragning osv. kan ha ännu mer komplicerade skrivsätt. Potensering skrivs i princip som postfix, liksom
fakultet, dvs efter utrycket. I det följande antar vi att de vanliga aritmetiska
operatorerna och deras betydelser är bekanta.
Att evaluera ett enkelt uttryck är att beräkna dess värde. Likhet a = b mellan
två uttryck a och b betyder att de har samma värde. Reglerna för hur uttryck
evalueras antas vara bekanta, dvs vi antar att den operation som svarar mot
varje operator är bekant (tex att + står för addition).
Om ett uttryck är mycket enkelt så kan det evalueras i ett enda steg (i
huvudet eller på räknare). För att beskriva evaluering av ett mer komplicerat
uttryck steg för steg kan man använda en linjär härledning, dvs en serie av
uttryck åtskilda med likhet. q
√
Som exempel evaluerar vi 33 − ( 11)2 i en linjär härledning:
q
q
√
√
√
√
33 − ( 11)2 =
27 − ( 11)2 =
27 − 11 =
16 = 4
Likhet (=) mellan två uttryck betyder att de har samma värde. Eftersom
likhet är transitivq(dvs om a = b och b = c så gäller a = c) så följer av
√
härledningen att 33 − ( 11)2 = 4. Denna likhet är härledningens resultat,
15
2 Uttryck, likhet, härledningar
dvs den slutsats man drar av härledningen.
Uttryck med variabler Allmänna uttryck innehåller förutom konstanter och
operatorer också variabler. Som variabler används vanligen små bokstäver, som
a, b, c eller x, y, z, men ibland kan också stora bokstäver eller andra symboler
2 −1
användas. Exempel på uttryck är xx+1
och 2πrh.
För att ett uttryck skall kunna evalueras måste varje variabel i uttrycket ges
ett värde. Vi kan tex evaluera uttrycket 2πrh givet att r = 2 och h = 3:
2πrh = 2 · π · 2 · 3 = 12π
Märk att vi räknar med exakta värden. Man kunde tänka sig ett sista steg
enligt 12π ≈ 37, 3 men det är i så fall bäst att uppfatta det som en kommentar.
Uttryckets värde är 12π men för att få ett grepp om värdet anger man att det
är ungefär detsamma som 37, 3.
Steget där man ersätter variabler med deras värden kallas substitution, och
man säger att värdet substitueras för variabeln.
Formalisering Formalisering innebär att beskriva en situation med hjälp av
matematisk (och logisk) symbolik. Målet är att välja ut det som för stunden
är viktigt och uttrycka det kortfattat och entydigt. Därvid sker en abstraktion,
dvs det som är oviktigt för situationen lämnas obeaktat.
Redan det att vi använder tal innebär en abstraktion. Genom att skriva 3 · 4
i stället för “arean av ett område med 4 enheters längd och 3 enheters bredd”
får vi ett kortfattat uttryck, men samtidigt går en del information förlorad.
Då man formaliserar en problemsituation namnger man obekanta med variabler och använder ekvationer eller olikheter för att beskriva samband som
framgår av situationen.
Tag som exempel följande problem: Bestäm längden av ett rektangulärt område om bredden är hälften av längden och arean är 120 areaenheter. Om vi ger
längden namnet x och bredden namnet y så kan informationen sammanfattas
i två ekvationer:
1
y = x och x · y = 120
2
Dessutom framgår det av problemformuleringen att vi önskar få reda på värdet
på x (det kan inte ses ur ekvationerna).
Omskrivning och förenkling Också om ett uttryck med variabler inte kan
evalueras så kan det ofta förenklas, dvs skrivas om med hjälp av likhet till en
form som är enklare.
16
Omskrivning styrs av regler som beskriver tillåtna omskrivningar. Ett exempel är konjugatregeln:
(a + b)(a − b) = a2 − b2
(konjugatregeln)
Regeln visar hur ett mönster kan omskrivas till ett annat mönster. Då regeln
används får vilka uttryck som helst substitueras för variablerna (här a och b),
men man måste vara konsekvent (dvs man får inte substituera olika uttryck för
olika förekomster av samma variabel).
Som exempel omskriver vi uttrycket (x + y)(x − y) + y 2 :
(x + y)(x − y) + y 2 = x2 − y 2 + y 2 = x2
Här använder det första steget konjugatregeln. Det sista steget använder två
omskrivningsregler (den ena är att −a + a = 0, vilken är den andra?). Vissa
omskrivningsregler är så väl inövade att de är nästan “självklara”, men det är
ändå bra att kunna identifiera dem.
Ett annat exempel visar hur konjugatregeln kan användas som stöd vid huvudräkning:
65 · 55 = (60 + 5)(60 − 5) = 602 − 52 = 3600 − 25 = 3575
Omskrivningsregler är alltid dubbelriktade, dvs de kan läsas från höger till
vänster lika väl som från vänster till höger. I följande exempel används konjugatregeln:
x2 − 4
(x + 2)(x − 2)
x−2
=
=
= x−2
x+2
x+2
1
Enligt konjugatregeln gäller (x + 2)(x − 2) = x2 − 22 , och detta används i första
steget, men för att omskriva x2 − 4 till (x + 2)(x − 2). Steget att omskriva 4
som 22 har gjorts utan att det visas skilt.
Vissa regler för förenkling uppfattas som så självklara att de kan användas i
förbifarten utan särskild motivering. Exempel på sådana regler är
a+0=a
a+b=b+a
1·a=a
Också om dessa regler är självklara är det bra att vara medveten om hur förenklingen egentligen fungerar, i detalj.1
1
Att reglerna uppfattas som självklara beror bara delvis på att de är “enkla”. Främst handlar
det antagligen om att vi vant oss vid att använda dem utan att reflektera över detaljerna.
17
2 Uttryck, likhet, härledningar
Linjär härledning med kommentarer Om en härledning är kort och enkel kan
den skrivas på en rad, som i exemplen ovan. Ett uppenbart problem är man
inte skriver ut vilka regler som använts. Den som läser härledningen förutsätts
alltså förstå detaljerna.
Längre och mer komplicerade härledningar blir mycket lättare både att skriva
och att läsa om man skriver in en motivering eller en förklaring vid varje steg.
Förklaringen kan tex ange vilken regel som användes.
Vi väljer nu att skriva härledningar i ett format där varje uttryck skrivs på
en egen rad och likhetstecknet skrivs på en egen rad, följt av en förklaring inom
klamrar. Som exempel förenklas potensuttrycket 28 + 27 :
28 + 27
=
{exponentregeln am an = am+n och 21 = 2}
2 · 27 + 2 7
=
{bryt ut gemensamma faktorn 27 }
(2 + 1) · 27
=
{addition}
3 · 27
Från och med nu gäller principen att alla härledningar skall skrivas i detta
format, med kommentarer. Också då när ett steg verkar trivialt är det en bra
idé att för övningens skull skriva en saklig motivering.
Substitutionsregeln (lika för lika) En omskrivningsregel (som konjugatregeln
eller en exponentregel) säger att vilka uttryck man än substituerar för regelns
variabler så gäller likhet, förutsatt att substitutionen är konsekvent. För att
visa hur regeln använts kan vi ange substitutionerna i kommentaren:
(x2 + y)(x2 − y) + y 2
=
{konjugatregeln med a := x2 och b := y}
x4 − y 2 + y 2
=
{regler för subtraktion och addition}
x4
18
Märk också att konjugatregeln här ersatt bara en del av uttrycket, nämligen
(x2 + y)(x2 − y). Detta motiveras med substitutionsregeln (också kallad “lika
för lika”): om två uttryck a och b är lika, så får vi substituera b för a inuti ett
uttryck, och resultatet är då lika med det ursprungliga uttrycket.
Skrivsättet u[a] kan användas för ett uttryck u där a ingår som deluttryck.
Då säger substitutionsregeln att
Om a = b så gäller också u[a] = u[b].
Substitutionsregeln är en inferensregel : den säger hur vi kan komma från en
sanning (en likhet) till en ny sanning (en likhet). Inferensregler skrivs ofta “i
två våningar”: det man vet (hypotesen) skrivs ovanför och den slutsats man kan
dra skrivs under ett skiljestreck. Alltså:
a=b
u[a] = u[b]
(Substitution)
Substitutionsregeln är en så självklar regel och används så ofta att man inte
behöver hänvisa till den i kommentarer (men det är ändå bra att vara medveten
om att man använder den då man skriver om uttryck).
Vad visar en härledning? En härledning med likheter visar att det ursprungliga uttrycket och det slutliga uttrycket har samma värde för alla tillåtna värden
på de ingående variablerna. Härledningen ovan hade slutsatsen
(x2 + y)(x2 − y) + y 2 = x4
och det betyder att vilket värde man än substituerar för x och y så blir vänstra
och högra sidans värde samma.
För att kontrollera att man inte gjort något slarvfel kan det vara en bra ide
att välja ett eller ett par lämpliga värden för variablerna och kontrollera att
resultatet är rimligt. Om vi här prövar med x = 2 och y = 1 så får vi
5 · 3 + 1 = 16
vilket uppenbart är sant. Märk att en sådan kontroll i bästa fall kan upptäcka
fel, men den kan inte bevisa att vi har gjort rätt.
Substitution är en grundläggande logisk inferensregel för likhet. En annan
grundläggande regel säger att likhet är transitiv:
a=b
b=c
a=c
(Transitivitet)
dvs i ord:
19
2 Uttryck, likhet, härledningar
Om a = b och b = c så är a = c.
Som redan nämnts används transitiviteten för att dra slutsatsen av en härledning.
Det är en god ide att avsluta en härledning med att konstatera slutsatsen.
Om uppgiften är att förenkla uttrycket (x2 +y)(x2 −y)+y 2 kan lösningen bestå
av härledningen ovan följd av konstaterandet (“svaret”)
Alltså gäller (x2 + y)(x2 − y) + y 2 = x4 .
Antaganden Regler är universella, dvs de gäller för alla (tillåtna) värden på
variablerna. Tex är kvadreringsregeln
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
sann oberoende av vilka värden eller uttryck man substituerar för a och b.
Ibland när man skall förenkla ett uttryck så har man någon extra information om de ingående variablerna, i form av ett antagande. Sådana antaganden
får användas i härledningen som om de var regler, men man får inte substituera andra uttryck för variablerna i antagandet (antagandena är alltså inte
universella).
Ta följande uppgift som exempel:
Förenkla cos(x + π3 ) under antagandet sin x = cos x.
Antagandet (dvs sin x = cos x) får användas vid förenklingen, men man får inte
anta att sin a = cos a gäller för andra värden på a än x.
Så här kan man alltså förenkla cos(x + π3 ) under antagandet sin x = cos x:
cos(x + π3 )
=
{summaregel för cosinus [22]}
cos x cos π3 − sin x sin π3
=
{exakta värden för sinus och cosinus av
1
2
=
20
3
2
sin x
{antagandet sin x = cos x}
1
2
=
√
cos x −
√
cos x −
3
2
cos x
{utbrytning}
π
3}
√
1− 3
2
cos x
Slutsatsen blir då:
Alltså: om sin x = cos x så gäller cos(x + π3 ) =
√
1− 3
2
cos x.
Antagandet sin x = cos x fick alltså användas för att omskriva sin x till cos x.
Däremot hade det varit fel att skriva om cos(x+ π3 ) till sin(x+ π3 ) med hänvisning
till antagandet, eftersom antagandet endast gäller x (det är inte universellt).
Tillämpning: vektoralgebra Många uppgifter som handlar om vektorer kan
lösas utan att man beskriver vektorerna i komponentform, utan endast med
hjälp av grundläggande vektoralgebra. Som exempel tar vi följande uppgift:
Antag att vektorerna ā och b̄ är lika långa. Visa att vektorerna ā + b̄
och ā − b̄ då är vinkelräta mot varandra.
Först formaliserar vi informationen i uppgiften. Att vektorerna är lika långa
kan skrivas
|ā| = |b̄|
För att visa att vektorerna ā+ b̄ och ā− b̄ är vinkelräta visar vi att deras skalära
produkt är noll:
(ā + b̄) · (ā − b̄)
=
{konjugatregeln för vektorer}
ā · ā − b̄ · b̄
=
{samband mellan skalär produkt och vektorlängd}
|ā|2 − |b̄|2
=
{antagandet |ā| = |b̄|}
0
och beviset är klart.
21
2 Uttryck, likhet, härledningar
Olika typer av motiveringar Motiveringarna (inom klamrar) i en härledning
kan formuleras på olika sätt - det viktiga är att det blir klart varför steget är
riktigt. Det allmänna utseendet för ett enkelt härledningssteg är alltså :
t
=
{motivering}
t0
Ofta hänvisar motiveringen till en regel eller en allmän princip som anger vad
man skall göra med uttrycket t för att det skall förvandlas till t0 , tex
(x + 1)(x − 1)
=
{konjugatregeln}
x2 − 1
Detta steg kan läsas som
“(x + 1)(x − 1) förvandlas med hjälp av konjugatregeln till x2 − 1”
Ett härledningssteg kan ibland förstås bäst om man läser så att motiveringen
så att säga kommer i efterskott. Ett exempel (där vi antar att man vet att x
är ett icke-negativt tal) är
√
x2
=
{x är inte negativt}
x
som bäst läsas enligt
√
“ x2 är lika med x eftersom x är ett icke-negativt tal”
Uppgifter I uppgifterna nedan kan omskrivningsregler ur något standardtabellverk användas fritt (tex MAOL:s2 formel- och tabellsamling [22]). Hänvisa
antingen till regelns namn (om den har ett namn) eller till regeln själv (dvs skriv
ut den). Alla förenklingar skall skrivas som linjära härledningar, med kommentarer. (Kommentarer som SEv03L:1 i början av en uppgift anger att det är
fråga om en studentexamsuppgift, i det här fallet våren 2003, lång matematik,
uppgift 1).
2
MAOL = Matemaattisten aineiden opettajain liitto (förbundet för lärare i de matematiska
ämnena)
22
1. Använd konjugat- och kvadratregler för att beräkna utan räknare:
(b) 612
(a) 47 · 53
(c) 54 · 56
2. Förenkla uttrycket
(a)
1 1
+
3 2
3. Förenkla uttrycket
√
√
112 · 12
√
(a)
42
(b)
√
1
1
1 + 1+1
(c)
5
5−2
12
p
√
3 − 1/3
(c)
√
√
2+ 3 2− 3
√ +
√
2− 3 2+ 3
x2 − 13x + 12
x2 − 11x − 12
(c)
2x2 − 2x +
4x2 − 1
√
(b)
√
4. Förenkla uttrycket
(a)
4x2 − 9
2x + 3
(b)
1
2
5. Förenkla följande potensuttryck:
(a) (3x)2 ·(2x)3
(b)
432
821
(c)
8x+1
2x+2
(d)
9z − 1
3z + 1
6. Bestäm en enhetsvektor som är lika riktad som vektorn a = 3i − 4j.
7. Beräkna cos φ då φ är vinkeln mellan vektorerna u = i−4j och v = 2i−3j.
8. Förenkla uttrycket (x + y)(x + z) − yz då du vet att x + y + z = 1.
9. Visa att (x + y + z)2 = 0 om x2 + y 2 + z 2 = 1 och xy + yz + zx = − 12 .
10. Formalisera följande situationer. Välj variabler och förklara vad de står
för (tex med hjälp av en figur):
a) Bestäm arean av en liksidig triangel.
b) Beräkna volymen av en kon vars generatris (dvs avståndet från toppen till bottencirkelns omkrets) är lika lång som bottendiametern.
11. Beskriv följande regler:
a) Regeln för förlängning/förkortning av bråk.
b) Regeln för division av ett bråk med ett bråk.
23
2 Uttryck, likhet, härledningar
c) Reglerna som säger att exponential- och logaritmfunktionen är varandras inverser.
12. Vilka “självklara” regler användes utan omnämnande i exemplen i texten.
8
13. (SEh94L:3) Beräkna det exakta värdet av uttrycket sin 2x, då sin x = − 17
3π
och π < x < 2 .
q p
p√ q p
p√
√
√
x· x 2 + x + x
x.
14. (ur SEh97L:6b) Förenkla uttrycket x 2 + x − x
15. (ur SEh97L:6b) Bevisa att formeln cos6 x+sin6 x = 1− 43 sin2 x är korrekt.
16. (ur SEv00L:3) Förenkla
1
x
1
x
(a)
−x
+1
(b)
x−1
(1 −
+
√1 )(1
x
√1 )
x
17. (SEh00L:1) Hyfsa
1
(a) (xn−1 )n−1 · (xn )2−n
18. (SEv03L:1) Hyfsa
r
(a)
r
3
2
3 / 1
4
3
2
5
(b) a 3 (a 3 − a 3 )
(b) (
x y
x y
+ − 2)/( − )
y x
y x
19. (ur SEh03L:6) Bestäm sin(x − y) då sin x = 41 , − π2 ≤ x ≤ π2 och cos y =
− 31 , π ≤ y ≤ 2π. Ange det exakta värdet och ett närmevärde med två
decimaler.
20. Vi definierar en ny operation ◦ (“addiplikation”) på reella tal enligt följande:
x ◦ y = xy + x + y
a) Bestäm 0 ◦ 0, 1 ◦ 1 och 2 ◦ 3.
b) Visa att ◦ är kommutativ och associativ, dvs att a ◦ b = b ◦ a och
a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c.
c) Ett tal a kallas ett enhetselement för operationen ◦ om x ◦ a = x
och a ◦ x = x för all x. Visa att talet noll är ett enhetselement för ◦.
24
3 Sanningsvärden och ekvivalens
Det här kapitlet behandlar sanningsvärden (sant och falskt) och grundläggande regler och operationer med sanningsvärden. Linjära härledningar används
för att förenkla aritmetisk-logiska uttryck, dvs uttryck där både talvärden och
sanningsvärden är inblandade.
Sanningsvärden och aritmetisk-logiska uttryck Aritmetiska uttryck kan beskriver något i verkligheten som kan ges talvärden, det kan vara frågan om
antal (ger heltalsvärden i Z) eller mätvärden (ger reella värden i R).
Vi skall nu introducera en ny typ av värden som är aktuella för att beskriva
sanningshalten av ett påstående. Vi behöver då endast två symboler: F (för
“falskt”) och T (för “sant”). Dessa symboler kallas sanningsvärden.1
Med hjälp av jämförelseoperatorer (såsom >, dvs större-än, och <, mindreän) kan man konstruera aritmetisk-logiska uttryck, som kan vara sanna eller
falska men som är uppbyggda av aritmetiska deluttryck. Ett exempel på ett
artimetisk-logiskt uttryck är 2 + 3 > 4, som uppenbart är sant. Ett annat
exempel är 0 = 1, som igen är falskt.
Ekvivalens På samma sätt som vi evaluerar uttrycket 2 + 3 och kommer fram
till att det har värdet 5 (eftersom addition av två och tre ger fem) kan vi evaluera
uttrycket 4 > 3 och kommer då fram till att det har värdet T (eftersom det är
sant att fyra är större än tre).
Liksom vi använder likhetstecken för att visa att två aritmetiska uttryck
har samma värde använder vi ekvivalenstecken för att visa att två uttryck har
samma sanningsvärde. Vi kan alltså skriva
2+2>3 ⇔ T
där ⇔ är symbolen för ekvivalens.
Ekvivalens är egentligen detsamma som likhet, men används för sanningsvärden. Det betyder att regler som gäller för likhet också gäller för ekvivalens
(dvs substitutionsregeln och transitivitetsregeln).
1
Ofta används en etta för sant och en nolla för falskt, men genom att använda speciella
symbolerna T och F understryker vi att det handlar om värden av ett annat slag än
heltal.
25
3 Sanningsvärden och ekvivalens
Logiska uttryck Precis som aritmetiska uttryck byggs upp av konstanter, variabler och operatorer med reella tal som värden kan vi bygga upp logiska
uttryck med hjälp av konstanter (F och T ) samt sanningsvärdesvariabler och
-operatorer.
Som variabler används vanligen bokstäverna p, q och r. Operatorerna kallas
konnektiver, de tre mest använda är ¬ (negation, utläses “inte”), ∧ (konjunktion,
“och”) och ∨ (disjunktion, “eller”).
Negationen ¬ skrivs prefix (dvs före argumentet) medan konjunktionen ∧ och
disjunktionen ∨ skrivs infix (dvs mellan de två argumenten). Enkla exempel på
logiska uttryck är följande:
¬p
p∧q
p∨q
För mera invecklade logiska uttryck används parenteser för att visa ordningen
mellan konjunktioner och disjunktioner. Följande är exempel på mer komplicerade logiska uttryck:
p ∧ ¬q
(q ∨ F ) ∧ ¬(¬r ∧ T )
Onödiga parenteser kan undvikas då man beaktar att konjunktion och disjunktion är associativa (precis som addition och multiplikation). Vi kan alltså skriva
p ∧ q ∧ r och det är ingen skillnad vilken konjunktion som “utförs” först.
Formalisering Logiska uttryck kan användas för att formalisera situationer
där påståenden (sanna eller falska) är inblandade.
Antag att p står för påståendet “solen skiner”, q står för påståendet “det är
mulet” och r står för påståendet “det regnar”. Då står p ∨ r för påståendet
“solen skiner eller det regnar”
medan q ∧ r för påståendet
“det är mulet och det regnar”.
Konjunktion kan i vardagsspråk uttryckas med “och” men också med “men”.
Med q och r som ovan skulle q ∧ ¬r mest naturligt uttryckas som “det är mulet
men det regnar inte”.
Inom logiken tolkas disjunktion inklusivt, dvs så att p ∨ q betyder “p eller q
eller båda”. I vardagligt språk används “eller” däremot ofta på ett uteslutande
(exklusivt) sätt. Om jag säger
“jag önskar kaffe eller te”
så betyder det rimligtvis att jag önskar antingen kaffe eller te, men inte båda.
26
Evaluering av logiska uttryck Då ett logiskt uttryck utan variabler evalueras
blir resultatet ett sanningsvärde. För att kunna evaluera uttryck med konnektiver måste man känna till evalueringsreglerna, på samma sätt som man måste
kunna multiplikationstabeller och divisionsalgoritmer för att kunna evaluera
aritmetiska uttryck.
Evalueringsreglerna för konnektiver kan förklaras i ord:
• ¬p är sant om p är falskt, och tvärtom,
• p ∧ q är sant om både p och q är sanna, annars falskt, och
• p ∨ q är sant om ena eller båda av p och q är sanna, annars falskt.
Regeln för disjunktion kan också uttryckas så att “p ∨ q är falskt om både p och
q är falska, annars sant”.
Ett enkelt exempel: om p och q är sanna medan r är falskt, så är (¬p∨q)∧¬r
sant (kolla att du ser hur man kommer fram till det!).
Sanningsvärdestabeller Evalueringen av logiska uttryck kan göras helt mekanisk då man beskriver reglerna med sanningsvärdestabeller (ett slags “multiplikationstabeller” för konnektiver, vi kallar dem för enkelhets skull för s-tabeller ):
p
F
F
T
T
q
F
T
F
T
p∧q
F
F
F
T
p
F
F
T
T
q
F
T
F
T
p∨q
F
T
T
T
p
F
T
¬p
T
F
En s-tabell uppbyggs så att de första kolumnerna innehåller alla kombinationsmöjligheter (av F och T ) för de variabler som ingår. Därefter kommer en
kolumn som anger motsvarande sanningsvärde för det uttryck man är intresserad av.
En s-tabell har två rader om uttrycket innehåller en variabel (som tabeller
för negation). Den har fyra rader om uttrycker innehåller två variabler (som
konjunktion och disjunktion). För ett uttryck med tre variabler blir antalet
rader åtta, osv (varför?).
Ur den första tabellen kan man tex se att T ∧ F ⇔ F , dvs att konjunktionen
av ett sant och ett falskt påstående är falsk. Om till exempel q står för “granen
är ett barrträd” (vilket är sant) och r för “Finland ligger söder om ekvatorn”
(vilket är falskt) så gäller alltså q ∧ r ⇔ F , dvs påståendet
“granen är ett barrträd och Finland ligger söder om ekvatorn”
27
3 Sanningsvärden och ekvivalens
är falskt.
Genom att slå upp i sanningsvärdestabeller kan ett mer invecklat uttryck
evalueras steg för steg. Som exempel evalueras (p ∧ ¬q) ∧ (T ∨ ¬p) då p ⇔ T
och q ⇔ F :
(p ∧ ¬q) ∧ (T ∨ ¬p)
⇔
{substitution p := T och q := F }
(T ∧ ¬F ) ∧ (T ∨ ¬T )
⇔
{negationens s-tabell}
(T ∧ T ) ∧ (T ∨ F )
⇔
{konjunktionens s-tabell}
T ∧ (T ∨ F )
⇔
{disjunktionens s-tabell}
T ∧T
⇔
{konjunktionens s-tabell}
T
Här gjordes bara ett steg i taget, och även följande snabbare evaluering kan
motiveras:
(p ∧ ¬q) ∧ (T ∨ ¬p)
⇔
{substitution}
(T ∧ ¬F ) ∧ (T ∨ ¬T )
⇔
{förenkling med s-tabeller}
T
28
Evaluering av aritmetisk-logiska uttryck Logiska konnektiver är speciellt användbara för att sammanfoga enkla aritmetisk-logiska uttryck. Till exempel betyder x > 2 ∧ x < 5 att x är större än 2 och mindre än 5 (dvs att x är mellan
två och fem).
För att inte behöva skriva alltför mycket parenteser följer vi principen att
konnektiverna ∧ och ∨ har låg precedens, dvs att aritmetiska operationer och
jämförelser evalueras först. Därför kan vi skriva x > 2 ∧ x < 5 i stället för
(x > 2) ∧ (x < 5).
Aritmetisk-logiska uttryck evalueras steg för steg, enligt samma principer som
evaluering av aritmetiska uttryck. Som exempel evalueras 2 < x+1 ∧ x−1 ≤ 5
i situationen då x = 3:
2<x+1 ∧ x−1≤5
⇔
{antagandet x = 3}
2<3+1 ∧ 3−1≤5
⇔
{aritmetik}
2<4 ∧ 2≤5
⇔
{jämförelser}
T ∧T
⇔
{logik}
T
Märk i vilken ordning evalueringen sker: först aritmetik, sedan jämförelser och
sist den rena logiken.
Nu kan vi utnyttja logiken för att skriva sådana uttryck som ofta skrivs med
specialnotation eller med en blandning av formellt och informellt skrivsätt.
Några exempel: vi kan skriva
1. 2 ≤ x ∧ x < 3 i stället för 2 ≤ x < 3,
2. x < 1 ∨ x ≥ 5 i stället för “x < 1 eller x ≥ 5” eller “x < 1, x ≥ 5”,
3. ¬(x = y) i stället för x 6= y, och
4. x = 3 ∨ x = −3 i stället för x = ±3.
Genom att använda logikens symboler gör vi det lättare att i fortsatta uträkningar och härledningar använda omskrivningsregler och göra evalueringar.
Skrivsätt i stil med 2 ≤ x < 3 och x 6= y kan ses som förkortningar.
29
3 Sanningsvärden och ekvivalens
Tautologi och motsägelse Det logiska uttrycket p∨¬p är sant (dvs har värdet
T ) oberoende av vilket värde p har. Ett sådant påstående kallas en tautologi.
Ett annat exempel på en tautologi är
p ∨ q ∨ (¬p ∧ ¬q)
Motsatsen till en tautologi är en motsägelse (eller kontradiktion på svengelska), ett uttryck som är falskt oberoende av vilka värden de ingående variablerna
har. Ett enkelt exempel på en motsägelse är p ∧ ¬p, ett annat är
p ∧ (¬p ∨ q) ∧ ¬q
Det enklaste sättet att visa att ett logiskt uttryck är en tautologi eller en
motsägelse är att (eventuellt efter en inledande förenkling) göra upp en s-tabell
för uttrycket. I fallet p ∨ ¬p är det enkelt:
p
F
T
¬p
T
F
p ∨ ¬p
T
T
Denna s-tabell har byggts upp stegvis enligt följande: först reserveras kolumner för variabler (p) och deluttryck (¬p och p ∨ ¬p):
p
F
T
¬p
p ∨ ¬p
Därefter används negationens s-tabell för att fylla i kolumnen för deluttrycket ¬p:
p
F
T
¬p
T
F
p ∨ ¬p
Slutligen används disjunktionens s-tabell för att fylla i kolumnen för uttrycket p ∨ ¬p:
p
F
T
¬p
T
F
p ∨ ¬p
T
T
Om ett uttryck innehåller två eller flere variabler skall s-tabellen börja med alla kombinationer av sanningsvärden för variablerna (precis som s-tabellerna för
30
konjunktion och disjunktion). Så här ser s-tabellen för uttrycket p∨q ∨(¬p∧¬q)
ut:
p
F
F
T
T
q
F
T
F
T
¬p
T
T
F
F
¬q
T
F
T
F
¬p ∧ ¬q
T
F
F
F
p∨q
F
T
T
T
p ∨ q ∨ (¬p ∧ ¬q)
T
T
T
T
Här börjar man med att fylla i de två kolumnerna för p och q. Sedan fyller
man i kolumner för stegvis större deluttryck tills man kommer till hela uttrycket. I det här fallet visar tabellen att p ∨ q ∨ (¬p ∧ ¬q) är en tautologi.
Förenklingsregler för konnektiver På samma sätt som aritmetiska uttryck
kan omskrivas med hjälp av regler (som konjugatregeln) så kan logiska uttryck
omskrivas med speciella regler. Ett enkelt exempel är regeln för dubbel negation:
¬¬p ⇔ p
(dubbel negation)
Regeln säger att dubbel negation (precis som dubbla minustecken) får lämnas
bort.
Regeln ovan kan bevisas genom att man visar att vänstra och högra sidan
har samma s-tabell. I det här fallet är det enkelt:
p
F
T
¬p
T
F
¬¬p
F
T
Eftersom första och tredje kolumnen ser lika ut har p och ¬¬p samma s-tabell,
dvs de är ekvivalenta.
Ytterligare exempel på regler är följande
Kommutativitet
p∧q ⇔ q∧p
p∨q ⇔ q∨p
Associativitet
p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r
p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r
Idempotens
p∧p ⇔ p
p∨p ⇔ p
31
3 Sanningsvärden och ekvivalens
Absorption
p ∧ (q ∨ p) ⇔ p
p ∨ (q ∧ p) ⇔ p
de Morgans lagar
¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q
¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q
Distributivitet
p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
För varje regel som handlar om ∧ och/eller ∨ så finns det en dual regel med
∧ utbytt mot ∨ och tvärtom. Därför finns det två kommutativitetsregler, två
distributionsregler, osv. i tabellen.
Precis som ovan kan reglerna bevisas genom att man visar att vänstra och
högra sidan har samma s-tabell. Beviset för den första de Morgan-regeln ser
alltså ut så här:
p
F
F
T
T
q
F
T
F
T
¬p
T
T
F
F
¬q
T
F
T
F
p∧q
F
F
F
T
¬(p ∧ q)
T
T
T
F
¬p ∨ ¬q
T
T
T
F
Eftersom de två sista kolumnerna är lika så gäller ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q.
Följande “självklara” regler är också användbara vid förenkling:
p∧F ⇔ F
p∧T ⇔ p
p∨F ⇔ p
p ∧ ¬p ⇔ F
p ∨ ¬p ⇔ T
p∨T ⇔ T
och
Förenkling av aritmetisk-logiska uttryck Aritmetisk-logiska uttryck kan förenklas med samma regler som rena aritmetiska och rena logiska uttryck. Här ser
vi på enkla fall - vid mer komplicerade fall blir det frågan om att lösa ekvationer
och olikheter.
Vid omskrivning av aritmetisk-logiska uttryck måste man känna till jämförelseoperatorernas egenskaper (tex ≤ och >). Här är några exempel på enkla
omskrivningar
x < −2 ∨ x ≤ 1
32
⇔
{första villkoret ingår i det andra}
x≤1
Sådana härledningssteg kan ofta motiveras med en figur (tex en tallinje där de
två villkoren skrivs in som talmängder och konjunktion tolkas som snitt medan
disjunktion tolkas som union).
Ibland kan aritmetisk-logiska uttryck förenklas så långt att alla variabler
försvinner. Ett exempel är x < −2 ∧ x > 1:
x < −2 ∧ x > 1
⇔ {motstridiga villkor}
F
Motiveringen är här att vilket värde x än har så kommer någondera av de två
deluttrycken x < −2 och x > 1 falskt.
På samma sätt kan vi argumentera att för alla värden på x är någondera av
uttrycken x > 2 och x < 1
x<2 ∨ x>1
⇔ {kompletterande villkor}
T
Alltså är uttrycket x < 2 ∨ x > 1 sant oberoende av vilket värde x har.
Uppgifter
1. Bestäm värdet (dvs sanningsvärdet) av uttrycket x ≥ 3 ∧ (x − 3 <
y ∨ x + 3 > y) då
a) x = 2 och y = 7
(b) x = 3 och y = 6
2. Antag att p står för “det är måndag”, q står för “det är april” och r står
för “det är helg”. Utryck på så naturlig svenska som möjligt
a) p ∧ q
(b) p ∧ q ∧ r
(c) ¬p ∧ ¬q
3. I en restaurang står det att i lunchpriset ingår kaffe eller glass. Vilket
slags “eller” är det frågan om?
4. Bryt upp följande i grundläggande påståenden och formalisera:
33
3 Sanningsvärden och ekvivalens
a) “Jag har inga pengar men jag är glad ändå”.
b) “Antingen far jag hem eller så stannar jag i stan och går på bio”.
c) “Jag kan varken köra bil eller båt.”
Går något förlorat vid formaliseringen?
5. I en annan restaurang står det att i lunchpriset ingår efterrätt och kaffe
eller glass. Formalisera detta med parenteserna placerade på två olika sätt
(låt p stå för “i lunchpriset ingår efterrätt” osv) . Vilket alternativ tror
du man tänkt sig? (Antag att “eller” är inklusivt.)
6. Evaluera
a) (p ∨ q) ∧ (¬T ∨ ¬q) då p ⇔ F och q ⇔ T
då p ⇔ F och q ⇔ T
(b) p ∨ (¬p ∧ q) ∨ ¬q
7. Skriv om med logiskt skrivsätt:
a) x = 2 ± 1
(b) 2 < x ≤ 3
(c) x 6= ±1
8. Uttryck så enkelt som möjligt
a) “x är lösning till ekvationen (x − 1)2 = 4”
b) “talparet (x, y) löser ekvationen (x − 1)2 + (y − 2)2 = 0”
9. Visa med s-tabell att
a) p ∧ ¬p är en motsägelse
b) p ∨ (¬p ∧ q) ∨ ¬q är en tautologi.
10. Visa den ena distributionsreglerna genom att göra upp en s-tabell.
11. Använd logikens omskrivningsregler för att förenkla
a) ¬¬¬p
(b) p ∧ q ∧ (p ∨ q)
12. Använd logikens omskrivningsregler för att förenkla
a) (p ∨ q) ∧ ¬(¬p ∨ q)
(b) (p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q)
13. Förenkla genom att åskådliggöra på en tallinje
a) x < 2 ∨ x ≤ 3
x≤4 ∧ x≥4
(b)
x ≤ 2 ∧ x ≥ −1
14. Förenkla algebraiskt (dvs med en härledning)
34
(c)
a) (x < 4 ∨ x < 3) ∧ (x > 2 ∨ x > 1)
3 ∨ x < 0)
(b)
x < 2 ∧ (x ≥
(Tips: använd distributionsregeln i (b)-fallet.)
15. Man kan definiera en ny konnektiv ⊗ enligt följande:
p ⊗ q ⇔ ¬p ∧ q
a)
b)
c)
d)
e)
Vilken är s-tabellen för ⊗?
Gäller kommutativitet för ⊗?
Gäller associativitet för ⊗?
Visa regeln (p ⊗ q) ⊗ q ⇔ p ∧ q genom att göra en s-tabell.
Visa regeln (p⊗q)⊗q ⇔ p∧q genom att omskrivning och förenkling.
16. Den exklusiva eller-operationen (känd som XOR) kan definieras som en
ny konnektiv enligt följande:
p × q ⇔ (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)
a) Vilken är s-tabellen för ×?
b) Visa med en härledning att p × p är en motsägelse (dvs att p × p ⇔
F ).
17. Scheffers streck 2 är en konnektiv med följande s-tabell:
p
F
F
T
T
q
F
T
F
T
p|q
T
T
T
F
En speciell egenskap hos Scheffers streck är att alla tänkbara s-tabeller
kan åstadkommas med | som enda konnektiv.
a)
b)
c)
d)
2
Är Schaffers streck kommutativt (dvs gäller p | q ⇔ q | p)?
Visa med s-tabell att p | p ⇔ ¬p.
Visa med s-tabell att (p | p) | p är en tautologi.
Visa med s-tabell att (p | q) | (p | q) ⇔ p ∧ q.
Scheffer var en amerikansk logiker som levde 1901-1964.
35
3 Sanningsvärden och ekvivalens
e) Hur kan disjunktion beskrivas med Scheffers streck?
f) Är Scheffers streck associativt?
18. Aritmetisk-logiska påståenden kan ofta omskrivas så at de handlar om
mängder och intervall. Ett exempel:
x ≤ 2 ∨ (x > 3 ∧ x < 4) ⇔ x ∈] − ∞, 2]∪]3, 4[
(märk hur ∨ i logiken motsvaras av ∪ i mängdläran). Omskriv följande
uttryck:
a)
b)
c)
d)
x ≥ 4 ∨ x < 3 i mängdform
−1 ≤ z ≤ 2 ∧ x 6= 0 i mängdform
y ∈ [−1, 3] ∪ [4, 5[ i logisk form
y ∈] − ∞, ∞[ i logisk form
19. Många av de regler som nämnts i texten gäller också om man tolkar F
som talet 0, T som talet 1, ∧ som multiplikation och ∨ som addition (vi
kallar detta den aritmetiska tolkningen av logikens symboler).
a) Kontrollera att s-tabellen för konjunktion stämmer med denna tolkning.
b) Vilken rad i sanningsvärdestabellen för disjunktion stämmer inte?
c) Hur skall man tolka negation som aritmetisk operation?
d) Undersök några av de omskrivningsregler som getts i texten. Vilka
gäller och vilka gäller inte, med den aritmetiska tolkningen.
20. De grundläggande konnektiverna kan tolkas på följande speciella sätt: I
grundmängden av positiva heltal som delar 30, dvs {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30},
motsvaras ∧ av sgf (största gemensamma faktorn) och ∨ av mgm (minsta
gemensamma multipeln), F av 1 och T av 30. Negation tolkas så att
negationen till talet x är 30
x.
a) Med denna tolkning kommer ¬(6 ∧ 10) att betyda 30/sgf(6, 10) me30
dan ¬6∨¬10 betyder mgm( 30
6 , 10 ). Beräkna båda och jämför. Vilken
regel illustrerar exemplet?
b) Formulera följande regler för denna tolkning och kontrollera med
2-3 exempel per regel att de faktiskt gäller: dubbel negation, ena
absorptionregeln, andra De Morgan-regeln, ena distributionsregeln.
c) Försök hitta en talmängd med fyra naturliga tal där konjunktion,
disjunktion och negation kan ges en liknande tolkning.
21. Gör upp sanningsvärdestabeller för
36
a) ¬p ∧ ¬q
(b) p ∧ (q ∨ ¬p)
22. Är följande en tautologi, en motsägelse, eller ingendera?
a) p ∧ (p ∨ ¬p)
(b) p ∧ q ∧ (¬p ∨ ¬q)
(c) p ∨ q ∨ (¬p ∧ ¬q)
37
3 Sanningsvärden och ekvivalens
38
4 Ekvationer som logiska
påståenden
Ekvationer och olikheter är aritmetisk-logiska uttryck, och att lösa en ekvation
(eller en olikhet, eller ett ekvationssystem) innebär att skriva om uttrycket så
att det visar lösningen, dvs vilka värden som satisfierar ekvationen.
Det här kapitlet tar upp metoder som garanterar att man får en lösning som
är ekvivalent med den ursprungliga ekvationen. Det betyder att man aldrig
får falska lösningar, och att man alltså i princip inte behöver kontrollera lösningarna (men eftersom slarvfel aldrig kan uteslutas är det alltid en god idé
att kontrollera och dubbelkontrollera att de resultat man får är riktiga eller
åtminstone rimliga). I ett senare kapitel behandlas metoder som arbetar med
implikation i stället för ekvivalens. Då får man lösningskandidater snarare än
lösningar, och lösningskontroll blir en del av själva metoden.
Enkla linjära ekvationer Vid omskrivning av en ekvation vill man använda
omskrivningsregler som arbetar med ekvivalens. En sådan regel är den som
säger att man får addera samma uttryck till båda sidor av en likhet. Den regeln
kan beskrivas så här:
a=b ⇔ a+c=b+c
(additionsregeln)
Regeln formuleras ofta så att man får “flytta över” ett uttryck från ena sidan
av ekvationen till andra sidan bara man byter tecken på det.
Vanligen skriver man den nya versionen av ekvationen under den gamla, men
i en linjär härledning kan vi uttryckligen visa att det handlar om en ekvivalens
och motivera den. Så här löses alltså en enkel ekvation:
2x − 1 = x + 3
⇔
{addera 1 till båda sidor, förenkla}
2x = x + 4
⇔
{addera −x till båda sidor, förenkla}
x=4
39
4 Ekvationer som logiska påståenden
Uttrycket x = 4 är en lösning, eftersom det är så enkelt att man direkt ser
vilket värde på x som gör den ursprungliga ekvationen sann.
Härledningen som löser ekvationen säger att 2x − 1 = x + 3 och x = 4 är
ekvivalenta uttryck, dvs att de har samma sanningsvärde för alla värden på x.
Det betyder att när den ena ekvationen är sann så är den andra sann, och när
den ena är falsk så är den andra falsk. Vi kan alltså vara säkra på
1. att x = 4 är en lösning, och
2. att det inte finns andra lösningar än x = 4.
För att lösa enkla linjära ekvationer behöver vi egentligen bara en regel till,
den som säger att man får multiplicera båda sidor i en ekvation med samma
tal (bara talet inte är 0):
c 6= 0
a = b ⇔ ca = cb
(multiplikationsregeln)
Antagandet c 6= 0 i multiplikationsregeln är viktigt, regeln får bara användas
om det här antagandet gäller.
Det behövs ingen skild regel som säger att man får dividera båda sidor av
en ekvation med ett tal eftersom division med ett tal d är detsamma som
multiplikation med d1 .
Tillsammans med regler för förenkling av aritmetiska uttryck ger additionsoch multiplikationsregeln oss tillräckligt med verktyg för att lösa linjära ekvationer med en obekant. Som exempel löser vi ekvationen 2(x + 1) − 3 = 4x − 1:
2(x + 1) − 3 = 4x − 5
⇔
{förenkla vänster sida}
2x − 1 = 4x − 5
⇔
{flytta över −1 och 4x, förenkla}
−2x = −4
⇔
{dividera båda sidor med −2, förenkla}
x=2
40
Speciella fall I speciella situationer kan en ekvation omskrivas så att den
obekanta (variabeln) helt försvinner. Då förvandlas ekvationen till ett påstående
som är ekvivalent med den urspungliga ekvationen men som ändå inte handlar
om variabeln. Den visar alltså att ekvationen egentligen inte säger något om
variabeln. Med logikens hjälp kan man klargöra vad det är frågan om.
Exempel: ekvationen 2(1 − x) = 1 − 2x förenklas enligt normal strategi:
2(1 − x) = 1 − 2x
⇔
{förenkla vänster sida}
2 − 2x = 1 − 2x
⇔
{flytta över och förenkla}
0 = −1
⇔
{falskt påstående}
F
Ekvationen, dvs påståendet 2(1 − x) = 1 − 2x, är alltså falsk för alla värden på
x. Det kan också uttryckas så att ekvationen saknar lösning.
Ett liknande exempel är ekvationen 2(1 − x) = −2x + 2:
2(1 − x) = −2x + 2
⇔
{förenkla vänster sida}
2 − 2x = −2x + 2
⇔
{flytta över och förenkla}
0=0
⇔
{sant påstående}
T
Ekvationen, dvs påståendet 2(1 − x) = −2x + 2, är alltså sann för alla värden
på x. Det kan också uttryckas så att alla reella tal är lösningar till ekvationen.
41
4 Ekvationer som logiska påståenden
Nollproduktregeln En ekvation kan ofta uppdelas i flere underekvationer med
hjälp av nollproduktregeln
ab = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0
(nollproduktregeln)
Disjunktionen visar hur de nya ekvationerna hänger ihop med den gamla.
Disjunktionen följer också med då de nya ekvationerna löses.
Exempel: ekvationen (x − 2)(x + 4) = 3(x − 2).
(x − 2)(x + 4) = 3(x − 2)
⇔
{flytta över}
(x − 2)(x + 4) − 3(x − 2) = 0
⇔
{bryt ut x − 2 och förenkla}
(x − 2)(x + 1) = 0
⇔
{nollproduktregeln}
x−2=0 ∨ x+1=0
⇔
{lös vardera ekvationen}
x = 2 ∨ x = −1
Ekvationen är alltså ekvivalent med påståendet att x är 2 eller x är −1. Detta betyder att x = 2 och x = −1 är lösningar och att det inte finns andra
lösningar.1
Exemplet ovan illustrerar också varför det är fel att dividera båda sidor av
en ekvation med ett uttryck som kan få värdet noll (i det här fallet x − 2).
Uttrycken
(x − 2)(x + 4) = 3(x − 2)
och
x+4=3
är inte ekvivalenta, eftersom det första är sant men det andra är falskt för
värdet x = 2.
1
Det är rätt att säga att ekvationen har två lösningar (x = 2 och x = −1), men det är också
rätt att säga att den har bara en lösning, nämligen x = 2 ∨ x = −1 . Märk hur “och”
används då man talar om två lösningar medan “eller” används i det logiska uttrycket. Det
här kan lätt upplevas som förbryllande. Det hela kan upplevas som ännu mer oklart om
man ger olika namn åt de två lösningarna (tex x1 = 2 och x2 = −1).
42
Ekvationer av högre grad Andragradsekvationer och ekvationer av högre
grad kan i princip alltid lösas genom faktorisering och användning av nollproduktregeln. För andragradsekvationer finns dessutom en formel som ger de
två lösningarna (i själva verket finns lösningsformler också för tredje- och fjärdegradsekvationer men de är mycket komplicerade).
Då rotformeln används skall man inte glömma den disjunktion som är gömd
i skrivsättet ±. Rotformeln för andragradsekvationen ax2 + bx + c = 0 säger
att lösningen är
√
−b ± b2 − 4ac
x=
2a
dvs egentligen
√
√
−b − b2 − 4ac
−b + b2 − 4ac
x=
∨ x=
2a
2a
Som exempel löses ekvationen x3 − 5x2 + 4x = 0:
x3 − 5x2 + 4x = 0
⇔
{bryt ut x}
x(x2 − 5x + 4) = 0
⇔
{nollproduktregeln}
x = 0 ∨ x2 − 5x + 4 = 0
⇔
{rotformeln}
x=0 ∨ x=
⇔
√
5+ 25−16
2
∨ x=
√
5− 25−16
2
{förenkling}
x=0 ∨ x=4 ∨ x=1
Ekvationen har alltså lösningarna x = 0, x = 4 och x = 1.
Rotformeln kan inte användas om ekvationen saknar lösningar. Detta upptäcks med diskriminantregeln som säger att andragradsekvationen saknar lösningar om b2 − 4ac < 0. Då kan härledningen i stället se ut så här:
3x2 + 2x + 1 = 0
⇔
{diskriminantregeln: 22 − 4 · 3 · 1 = −8}
F
43
4 Ekvationer som logiska påståenden
Ekvationer med absolutbelopp En ekvation med absolutbelopp kan uppdelas
i flere ekvationer (utan absolutbelopp). I enkla fall blir det två ekvationer i konjunktion, men i mer komplicerade fall måste man ta hänsyn till när uttrycken
inom absolutbelopen är positiva och när de är negativa.
Den enklaste typen av ekvation har formen |a| = c. En sådan ekvation kan
omskrivas enligt regeln
|a| = c ⇔ (a = c ∨ a = −c) ∧ c ≥ 0
Därefter kan de två ekvationerna (inom parentesen på högra sidan) lösas oberoende av varandra.
Ett enkelt exempel är ekvationen |x − 2| = 1:
|x − 2| = 1
⇔
{absolutbeloppregeln}
(x − 2 = 1 ∨ x − 2 = −1) ∧ 1 ≥ 0
⇔
{1 ≥ 0 är sant}
x − 2 = 1 ∨ x − 2 = −1
⇔
{lös vardera ekvationen}
x=3 ∨ x=1
Ekvationen har alltså lösningen x = 3 ∨ x = 1.
Samma metod kan användas om högra sidan av ekvationen innehåller en
variabel. Tag som exempel ekvationen.
|2x − 1| = x + 1
Om vi tillämpar den grundläggande regeln fås
(2x − 1 = x + 1 ∨ 2x − 1 = −x − 1) ∧ x + 1 ≥ 0
varefter man kan förenkla varje deluttryck skilt för sig. Lösningen blir alltså
följande:
|2x − 1| = x + 1
⇔
{regel för absolutbelopp}
(2x − 1 = x + 1 ∨ 2x − 1 = −x − 1) ∧ x + 1 ≥ 0
44
⇔
{lös olikheten till höger}
(2x − 1 = x + 1 ∨ 2x − 1 = −x − 1) ∧ x ≥ −1
⇔
{lös första ekvationen inom parentesen}
(x = 2 ∨ 2x − 1 = −x − 1) ∧ x ≥ −1
⇔
{lös andra ekvationen inom parentesen}
(x = 2 ∨ x = 0) ∧ x ≥ −1
⇔
{båda värdena inom parentesen uppfyller villkoret x ≥ −1}
x=2 ∨ x=0
Det sista steget är här ganska löst motiverat - i nästa kapitel skall vi se med i
detalj på hur man förenklar sådana uttryck.
Mer invecklade ekvationer med absolutbelopp För mer komplicerade ekvationer blir det svårt att ge ett litet antal exakta regler som skulle duga i alla
sammanhang. I stället måste man göra en noggrann analys som tar hänsyn till
följande:
• absolutbelopp är aldrig negativa,
• om a ≥ 0 så är |a| = a, och
• om a ≤ 0 så är |a| = −a.
Om det ingår två eller flere absolutbelopp blir uttrycken lätt ohanterligt stora.
Till exempel kan ekvationen
|x − 2| + |x| = 2
omskrivas till det ekvivalenta uttrycket
(x < 0 ∧ −x+2−x = 2) ∨ (0 ≤ x < 2 ∧ −x+2+x = 2) ∨ (x ≥ 2 ∧ x−2+x = 2)
där en tredelning gjorts enligt gränserna x = 0 och x = 2 (dvs de punkter
där absolutbeloppen blir noll). Det lönar sig alltså att fundera noga efter hur
absolutbeloppekvationer kan omskrivas på enklast möjliga sätt.
Efter att ekvationen omskrivits kan “delolikheterna” lösas var för sig och
slutligen kan lösningen förenklas. Som tidigare nämnts återkommer vi till detta
i nästa kapitel.
45
4 Ekvationer som logiska påståenden
Enkla ekvationer med kvadratrötter Ekvationer med kvadratrötter är erkänt
knepiga. Vi ser här endast på den enklaste typen av ekvation, med formen
√
a = b.
Förutsatt att a ≥ 0 kan det första steget göras enligt följande:
√
a = b ⇔ a = b2 ∧ b ≥ 0
Enkelt uttryckt säger denna regel att man får kvadrera båda sidor förutsatt
att uttrycken är positiva (vi lämnar för tillfället återkommer problemet med
negativa värden under kvadratrotstecknet åt sidan och återkommer till det i
2
kapitlet om odefinierade uttryck).√
Som exempel löses ekvationen x2 + 9 = 5:
√
x2 + 9 = 5
⇔
{x2 + 9 är icke-negativt}
x2 + 9 = 25 ∧ 5 ≥ 0
⇔
{förenkla}
x2 = 16
⇔
{lös ekvationen}
x = 4 ∨ x = −4
Ofta gör man i praktiken så att man kvadrerar båda sidor och sedan i efterskott
kontrollerar att inga “falska lösningar” kommit med. Steget där man kvadrerar båda sidor av en ekvation är inte ett ekvivalenssteg, vilket lätt visas med
√
ett motexempel: x = −1 är inte ekvivalent med x = 1 eftersom den förra
ekvationen saknar lösningar medan den senare har lösningen x = 1. I ett senare kapitel visas hur kvadreringsmetoden trots allt kan beskrivas på ett logiskt
korrekt sätt.
Uppgifter
1. Lös följande ekvationer med linjära härledningar:
a) 2x − 3 = 5x + 9
2
(b) 3(x − 1) − x = 2(x + 1) + 3
Egentligen är regeln som används
a≥0
√
a = b ⇔ a = b2 ∧ b ≥ 0
Vi återkommer till regler med antaganden av den här typen i nästa kapitel.
46
2. Lös följande ekvationer med linjära härledningar:
a) (x−1)2 = x+11
(b) 2x2 +4x+5 = 0
(c) 2x2 −8x+8 = 0
3. Lös följande ekvationer med linjära härledningar:
a) x3 − 4x = 0
(b) x4 − 4x2 − 5 = 0
4. I regeln för absolutbelopp (|a| = c ⇔ ...) ingick villkoret c ≥ 0 på högra
sidan. Vad skulle ekvationen |x| = −1 få för lösningar om villkoret inte
ingick?
5. Lös följande ekvationer med linjära härledningar:
a) |x − 2| = 3
(b) |2x| + 3 = −1
6. Skriv det första steget vid lösning av ekvationerna
(b) |x − 3| = x2 − 3
a) |x + 3| = 2x
7. Lös ekvationerna i föregående uppgift.
8. Lös ekvationerna
√
a) x2 + 2x + 2 = 1
(b)
√
6x2 + 1 = x2 + 1
9. Formulera en regel för division av båda sidor i en ekvation med samma
tal.
10. Ge regler för att skriva om till en form utan absolutbelopp:
a) |a| = |b|
(b) |a| + |b| = 0
11. Ge en regel för exponentiering av båda sidor i en ekvation.
12. Varför skulle det vara fel att skriva regeln för multiplikation av båda sidor
i en ekvation i följande form:
a = b ⇔ ca = cb ∧ c 6= 0
(Tips: sök efter värden på a, b och c som gör ena påståendet sant och
andra påståendet falskt.)
13. Varför skulle det vara fel att skriva logaritmeringsregeln för ekvationer i
följande form:
a = b ⇔ ln a = ln b ∧ a > 0 ∧ b > 0
47
4 Ekvationer som logiska påståenden
14. Hur ser nollproduktregeln ut för en produkt av tre tal (abc = 0)?
15. Använd absolutbeloppregler upprepade gånger för att lösa
a) |x + |3x| − 2| = 1
(b) |1 − |x|| = x + 3
16. Formulera en regel för omskrivning av en ekvation av formen
|a| · |b| = c
och använd den för att lösa ekvationen |x| · |x + 1| = x + 4.
48
5 Delhärledningar och antaganden
I det här kapitlet utvidgas härledningar till att omfatta delhärledningar. En
delhärledning är en egen helhet som samtidigt ingår som del i den huvudsakliga
härledningen. Delhärledningar skrivs indragna (flyttade högerut) och de kan
vid behov gömmas bort (vill man göra detta med datorstöd krävs antingen ett
tillräckligt avancerat textbehandlingsprogram eller en del egen programmering).
Delhärledningar Det enklaste exemplet på en delhärledning är ett antal detaljerade steg där man förenklar ett delttryck. Dessa steg skrivs då indragna
högerut i en skild härledning vars början markeras med en punkt (•) och slut
med tre punkter (. . .). En härledningar med indragna delhärledningar kallas en
strukturerad härledning.
Följande exempel visar hur man fokuserar (zoomar in) på ett deluttryck och
skriver om det i en delhärledning:
x(x − 1)(x + 1) + x
=
{skriv om x(x − 1)(x + 1)}
•
=
=
x(x − 1)(x + 1)
{konjugatregeln}
x(x2 − 1)
{multiplicera ut}
x3 − x
. . . x3 − x + x
=
{förenkla}
x3
Genom att fokusera på deluttrycket undviker vi att i varje steg kopiera det som
inte ändras (dvs +x). Till slut hoppar vi tillbaka till den “övre” nivån (zoomar
ut) och använder resultatet av delhärledningen.
Användningen av fokuserande delhärledningar kan logiskt motiveras med
substitutionsregeln
a=b
u[a] = u[b]
49
5 Delhärledningar och antaganden
som behandlades i kapitel 2. I den här regeln är a = b en hypotes. Med delhärledningen visar man att hypotesen är sann, så att steget i slutsatsen (under
strecket i regeln) är logiskt riktigt. Delhärledningen placeras in strax före den
rad som motsvarar högra sidan “under strecket” i regeln. Härledningen får alltså
följande mönster:
u[a]
=
{skriv om a}
•
=
a
{...}
b
. . . u[b]
Att dölja en delhärledning Ofta vill man dölja en delhärledning, för att få en
översiktlig bild av härledningen (eller för att delhärledningen är så enkel att den
kan betraktas som självklar). Exemplet ovan ser ut så här då delhärledningen
göms:
x(x − 1)(x + 1) + x
=
{skriv om x(x − 1)(x + 1)}
. . . x3 − x + x
=
{förenkla}
x3
De tre punkterna (. . .) visar att det finns en dold delhärledning. Den kan finnas
nedskriven på ett annat ställe, eller om härledningen hanteras på dator eller
visas på webben så kan delhärledningen tas fram och åter gömmas via klickningar (det är möjligt att åstadkomma sådana “blädderbara” bevis, men det
kräver ett avsevärt mått av programmering).
Regel med hypotes: olikheter De omskrivningsregler som hittills använts har
alltid kunnat tillämpas, utan begränsningar. Men många regler kommer med en
begränsning som måste kontrolleras innan regeln kan användas. Då skriver vi
regeln som en inferensregel med begränsningen (hypotesen) “ovanför strecket”.
50
Om man skall lösa olikheter gäller “överflyttningsregeln”, dvs att samma tal
kan adderas till båda sidor:
a<b ⇔ a+c<b+c
Om man däremot vill multiplicera båda sidor med samma tal blir regeln beroende av om talet är positivt eller negativt. Den första regeln är
c>0
a > b ⇔ ac > bc
Då denna regel tillämpas använder man vid behov en delhärledning för att visa
att uttrycket som man multiplicerar med (c) alltid är positivt. Den andra regeln
är som bekant
c<0
a > b ⇔ ac < bc
(motsvarande regler for olikheter med <, ≥ och ≤ tas upp bland uppgifterna).
Märk att multiplikationsreglerna förutsätter att c (som kan vara ett tal eller
ett aritmetiskt uttryck) måste vara entydigt positivt eller entydigt negativt.
Om c är ett uttryck som är positivt för vissa tillåtna värden på de ingående
variablerna och negativt för andra så är multiplikation med c inte tillåten.
Samma gäller om c kan få värdet 0. Då måste man i stället göra en case-analys
(mer om detta i ett senare kapitel).
Exempel på lösning av en olikhet med en härledning:
2x + 1 > 3x − 1
⇔
{flytta över och förenkla}
−x > −2
⇔
{multiplicera båda sidor med -1, som är negativt}
x<2
Eftersom −1 uppenbart är negativt behövdes här ingen delhärledning.
Härledningen visar att x < 2 är lösningen på olikheten. Märk att man inte
kan visa att lösningen är riktig genom en kontroll (som man kan för enkla
ekvationer). Det skadar ändå inte att göra ett enkelt test: välj ett värde som
uppfyller lösningen (tex x = 3) och ett som inte gör det (tex x = 1) och kolla
att det första uppfyller olikheten medan det andra inte gör det.
x+1
Som ytterligare exempel löser vi x2 −4x+5
> 0:
x+1
x2 −4x+5
>0
51
5 Delhärledningar och antaganden
⇔
{multiplicera med x2 − 4x + 5 som alltid är positivt}
•
⇔
⇔
⇔
x2 − 4x + 5 > 0
{kvadratkomplettera}
x2 − 4x + 4 + 1 > 0
{kvadratregeln}
(x − 2)2 + 1 > 0
{en kvadrat är aldrig negativ}
T
... x + 1 > 0
⇔
{flytta över 1}
x > −1
För att veta att man kan multiplicera båda sidor med x2 − 4x + 5 måste man
antagligen först experimentera lite (på ett klottpapper). Det här experimenterandet syns inte i härledningen, utan där visar man en polerad lösning.
Döljer vi delhärledningen ser det ut så här:
x+1
x2 −4x+5
⇔
>0
{multiplicera med x2 − 4x + 5 som alltid är positivt}
... x + 1 > 0
⇔
{flytta över 1}
x>1
Fokusering med antaganden Många av de regler som använts hittills, tex
för att lösa ekvationer och olikheter med absolutbelopp, har som resultat gett
uttryck av formen (a ∨ b) ∧ c eller liknande kombinationer. Deluttrycken a, b
och c är då aritmetisk-logiska uttryck (ofta likheter eller olikheter). Vi skall nu
se närmare på hur sådana uttryck kan förenklas. Allmänt kan man säga att då
man förenklar ett deluttryck får man utnyttja den information som resten av
uttrycket ger.
Om en delhärledning inleds med att man fokuserar på ena ledet av en konjunktion, så blir det andra ledet ett lokalt antagande som kan utnyttjas i delhärledningen. Lokala antaganden skrivs inom hakparenteser i början av delhärledningen.
Som enkelt exempel omskriver vi uttrycket x = 3 ∧ x > 2:
52
x=3 ∧ x>2
⇔
{skriv om högra ledet av konjunktionen}
•
⇔
⇔
[x = 3]
x>2
{antagandet}
3>2
{förenkla}
T
... x = 3 ∧ T
⇔
{förenkla}
x=3
Här har det lokala antagandet x = 2 använts i en substitution i delhärledningen.
Slutsatsen (att x = 3 ∧ x > 2 kan förenklas till x = 3) kan tyckas självklar, men
exemplet visar hur förenklingen kan göras mekaniskt, steg för steg. I praktiken
gör man detta slags förenklingar i ett steg, och tänker sig att den detaljerade
delhärledningen är bortgömd.
Som lite mer invecklar exempel skriver vi om uttrycket (x = 1 ∨ x = 3) ∧
x > 2:
(x = 1 ∨ x = 3) ∧ x > 2
⇔
{skriv om vänstra ledet av konjunktionen}
•
⇔
⇔
[x > 2]
x=1 ∨ x=3
{antagandet}
F ∨ x=3
{förenkla}
x=3
... x = 3 ∧ x > 2
⇔
{förenkla, se föregående exempel}
x=3
53
5 Delhärledningar och antaganden
I delhärledningen har det lokala antagandet x > 2 används för att förvandla
x = 1 till F . Detta motiveras av att om vi vet att x > 2 gäller så är x = 1 en
omöjlighet.1
*Regler för fokusering Den logiska regel som säger att man kan fokusera på
ena (tex högra) sidan av en konjunktion och skriva om den med andra sidan
som antagande ser ut så här:
p ` q⇔r
p∧q ⇔ p∧r
(symbolen ` används för att skilja antaganden från ett logiskt påstående). Utrycket ovanför strecket läses “under antagandet p gäller q ⇔ r”.
Regeln kan enklast förstå om man läser den på följande sätt:
Om du skall förenkla ett uttryck av formen p ∧ q (nere till vänster),
så kan du anta p och börja förenkla q (uppe till vänster),
och om du lyckas förenkla q till r (uppe till höger)
så har du förenklat p ∧ q till p ∧ r (nere till höger)
Den logiska regeln för fokusering på ena sidan av en disjunktion är lika enkel
som regeln för konjunktion, men inte lika självklar:
¬p ` q ⇔ r
p∨q ⇔ p∨r
Då man fokuserar på den ena disjunkten får man alltså anta att den andra är
falsk! Detta kan motiveras med att om p är sant så är disjunktionen alltid sann,
så förenklingen är av betydelse bara då p är falsk.
Lösning av ekvationer med absolutbelopp Vi återgår till ekvationer med
absolutbelopp. Efter det förenklingssteg där absolutbelopp avskaffats återstår
ofta ett komplicerat uttryck med konjunktioner och disjunktioner. Då är det
lämpligt att fokusera på ett deluttryck i gången, och förenkla det.
Vi tar olikheten |x − 3| = 2x som exempel:
|x − 3| = 2x
⇔
1
{regel för absolutbelopp}
Man kunde också ha börjat med att skriva om (x = 1 ∨ x = 3) ∧ x > 2 med hjälp av
distributionsregeln, till (x = 1 ∧ x > 2) ∨ (x = 3 ∧ x > 2) och sedan förenkla vartdera
deluttrycket på samma sätt som i det föregående exemplet.
54
(x − 3 = 2x ∨ x − 3 = −2x) ∧ x ≥ 0
⇔
{förenkla parentesen}
•
⇔
⇔
⇔
⇔
[x ≥ 0]
x − 3 = 2x ∨ x − 3 = −2x
{lös vänstra ekvationen}
x = −3 ∨ x − 3 = −2x
{lös högra ekvationen}
x = −3 ∨ x = 1
{använd antagandet}
F ∨ x=1
{förenkla}
x=1
... x = 1 ∧ x ≥ 0
⇔
{förenkla}
x=1
Denna härledning motiverar förenklingen i detalj. I praktiken kan man i så
här pass enkla fall sköta fokuserandet utan att uttryckligen skriva den som en
delhärledning:
|x − 3| = 2x
⇔
{regel för absolutbelopp}
(x − 3 = 2x ∨ x − 3 = −2x) ∧ x ≥ 0
⇔
{lös vänstra ekvationen i parentesen}
(x = −3 ∨ x − 3 = −2x) ∧ x ≥ 0
⇔
{lös högra ekvationen i parentesen}
(x = −3 ∨ x = 1) ∧ x ≥ 0
⇔
{förenkla parentesen med hjälp av x ≥ 0}
x=1 ∧ x≥0
⇔
{förenkla}
x=1
55
5 Delhärledningar och antaganden
Tillämpning: olikheter med absolutbelopp För enkla olikheter med absolutbelopp gäller några enkla regler:
|a| < c ⇔ a < c ∧ a > −c
och
|a| > c ⇔ a > c ∨ a < −c
och motsvarande för ≤och ≥. De här reglerna följer direkt av att |x| betyder avståndet från x till origo (på tallinjen). Märk hur den ena regeln har konjunktion
medan den andra har disjunktion.
Här är ett exempel på hur det första omskrivningssteget kan se ut, för en
olikhet med absolutbelopp:
|2x − 1| < x + 1 ⇔ 2x − 1 < x + 1 ∨ −2x + 1 < x + 1
Precis som för ekvationer kan “delolikheterna” sedan lösas var för sig och slutligen kan lösningen förenklas.
För mer komplicerade olikheter måste man, precis som för ekvationer, utnyttja absolutbeloppets egenskaper (dvs att |a| = a eller|a| = −a beroende
på om a ≥ 0 eller a ≤ 0) och dela upp i delolikheter enligt gränspunkter där
uttryck inom absolutbelopp blir 0.
Tillämpning: ekvationssystem Ett ekvationssystem består av ett antal ekvationer som alla skall vara uppfyllda samtidigt. Klammern som sammanfogar
ekvationerna kan ses som en konjunktion:
x+y−2 = 0
2x − y + 1 = 0
betyder alltså egentligen
x + y − 2 = 0 ∧ 2x − y + 1 = 0
Eftersom ett ekvationssystem är en konjunktion kan man fokusera på den ena
ekvationen och ha den andra som lokalt antagande (så att man kan använda
den för omskrivning):
x + y − 2 = 0 ∧ 2x − y + 1 = 0
⇔
{flytta över i första ekvation}
y = −x + 2 ∧ 2x − y + 1 = 0
56
⇔
{förenkla andra ekvationen}
•
⇔
⇔
⇔
[y = −x + 2]
2x − y + 1 = 0
{antagandet}
2x − (−x + 2) + 1 = 0
{förenkla}
3x − 1 = 0
{flytta över och dividera}
x = 13
. . . y = −x + 2 ∧ x =
⇔
{använd högra konjunkten i vänstra}
y = − 31 + 2 ∧ x =
⇔
1
3
1
3
{förenkla första ekvationen}
y=
5
3
∧ x=
1
3
Här har vi egentligen arbetat enligt substitutionsmetoden, dvs löst den ena
variabeln ur ena ekvationen och sedan substituerat i den andra. Härledningen
visar alltså att substitutionsmetoden är en logiskt hållbar metod: lösningen är
ekvivalent med det ursprungliga ekvationssystemet.
I det nästsista steget har ena sidan i en konjunktion omskrivits med hjälp
av den andra. Detta är tillåtet, eftersom det kunde göras mer detaljerat med
en delhärledning. Då det handlar om en enkel omskrivningar är det bättre att
göra den i ett steg, utan delhärledning.
Andra slags ekvationer och olikheter Ekvationer med exponenter kan ibland
lösas genom att man tar logaritmen av vardera sidan. Det här är ett tillåtet
steg, förutsatt att båda sidor är positiva (vilket visas i delhärledningar):
a>0
b>0
a = b ⇔ ln a = ln b
Efter detta steg kan omskrivningsregler för logaritmuttryck användas. Märk att
man alltså måste motivera att båda sidor av ekvationen är positiva, annars är
steget inte korrekt.
Ifall en ekvation innehåller en trigonometrisk funktion med den obekanta i
argumentet så kan man få (oändligt) många lösningar som måste uttryckas i
57
5 Delhärledningar och antaganden
en sammanfattning. Då används regler som egentligen uttrycker att att trigonometriska funktioner är periodiska, som
cos a = cos b ⇔ a = b + 2nπ ∨ a = −b + 2nπ, n ∈ Z
Här skall högra sidan tolkas som att a är detsamma som b + 2nπ för något
heltal n (eller −b + 2nπ för något heltal n). För att uttrycka det här logiskt
exakt behövs kvantorer, vilka behandlas i ett senare kapitel.
Uppgifter
1. Förenkla uttrycket (x + y)(y + z)(z + x) − x2 y − y 2 z − z 2 x genom att
först fokusera på deluttrycket (x + y)(y + z)(z + x) och förenkla det i en
delhärledning.
2. Förenkla följande uttryck med detaljerade fokuserande delhärledningar:
a) x = 2 ∧ x < 3
(b) (x = −2 ∨ x = 1) ∧ x > 2
3. Lös följande ekvationer med linjära härledningar:
(b) |x − 3| = x2 − 3
a) |x + 3| = 2x
4. Lös ekvationen
(a)
3x
=1
+2
x2
(b)
2x
=1
+3
x2
5. Lös ekvationen |x − 2| + |x| = 2.
6. I regeln för absolutbelopp (|a| = c ⇔ ...) ingick villkoret c ≥ 0 på högra
sidan, medan reglerna för olikheter inte hade något sådant villkor.
a) Lös olikheterna |x| < −1 och |x| > −1 enligt reglerna.
b) Motivera varför villkoret c ≥ 0 inte behövs i reglerna för olikhet.
7. Lös följande olikheter med linjära härledningar:
a) 5x − 3 > 2x + 9
(b) 2x − 3 > 5x + 9
8. Lös följande olikheter med linjära härledningar:
a) |x − 1| < 4
(b) |x + 3| + 3 > x
9. Ange reglerna för multiplikation av båda sidor i en olikhet då olikhetssymbolen är
58
a) >
(b) ≤
(c) ≥
10. Ge regler ut för förenkling av olikheterna
a) |a| ≥ c
(b) |a| ≤ c
11. För olikheter av högre grad behövs en version av nollproduktregeln för
olikheter. En sådan regel är
ab > 0 ⇔ (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0)
Förklara med så enkla ord som möjligt vad denna regel säger.
12. Lös följande olikheter med linjära härledningar, genom att använda regeln
i föregående uppgift:
(b) x2 + 1 < 2
a) (x − 2)(x + 3) ≥ 0
13. Lös följande olikheter med linjära härledningar:
a) |x + 1| ≥ |x|
(b) |x2 − 1| < 2
14. Lös följande ekvationssystem med linjära härledningar:
2x − y = y − 3
2x + y = 3
(b)
a)
x−y = 8
−6x + 5y = 7
15. Lös följande ekvationssystem med linjära härledningar:
2
x − y 2 = 16
2x + y = 3 − x
(b)
a)
x+y = 8
−6x + 5y = 3y − 9
16. Lös med linjära härledningar:
a) (x − 1)2 + (2x − y)2 = 0
(b) |x + y| + |x − y − 2| = 0
17. (SEv03L:4a) Lös ekvationssystemet
x + 2y = 4
2x = 8 y
18. Hur ser regeln ut för att förenkla en olikhet av formen abc > 0? Hur
kan den enkelt formuleras i ord. Hur blir regeln för en n-faldig produkt?
Varför är den svår att formulera logiskt?
59
5 Delhärledningar och antaganden
60
6 Hantering av odefinierade uttryck
Det är som bekant inte tillåtet att dividera med 0 eller att dra kvadratroten
ur
√
ett negativt tal. Å andra sidan kan vi skriva ner uttryck som 30 eller −1 − x2 .
I matematiken undviker man vanligen frågan vad ett sådant uttryck betyder
genom att anta att sådana uttryck undviks. I det här kapitlet ser vi hur detta
kan göras logiskt hållbart.
Odefinierade uttryck Ur logisk synvinkel kan ett uttryck av typen
på två olika sätt:
1
0
tolkas
1. att uttrycket saknar värde, eller
2. att uttrycket har ett värde men vi vet inte vilket.
Det första alternativet är matematiskt elegantare, men det betyder att ett påstående av typen 00 = 23 varken är sant eller falskt, vilket strider mot den
klassiska logikens uppfattning. Det andra alternativet gör logiken enklare, men
betyder å andra sidan att antaganden om att nämnare är olika noll måste skrivas in överallt.
Vi skall här ge modeller för att hantera två fall av odefinierade uttryck:
nämnaren noll och kvadratroten ur negativa tal. Lösningen väljer inte egentligen
mellan de två alternativen ovan, utan skjuter undan problemet genom att inte
säga något alls om sådana situationer då en nämnare är noll eller då uttrycket
under en kvadratrot är negativt.
√
Vi antar att alltid då ett uttryck av typen ab eller c uppträder så finns det
någonstans ett antagande om att b 6= 0 eller c ≥ 0 oberoende av om detta
sagts ut eller inte. Vi får alltså arbeta som om detta antagande hade givits på
förhand. Antagandet kan vid behov förenklas och utnyttjas under problemlösningens gång. Vid behov kan antagandet också nämnas då man sammanfattar
uppgiftslösningen.
Ekvationer med nämnare En ekvation med nämnare omskrivs först till formen ab = 0 genom överflyttningar och förlängning till gemensam nämnare.
Därefter kan man använda nollkvotregeln,
a
b
b 6= 0
=0 ⇔ a=0
61
6 Hantering av odefinierade uttryck
Oberoende av om villkoret b 6= 0 givits på förhand eller inte antar vi att det
görs. Det garanterar att “falska lösningar” kan uteslutas. Vid behov omskrivs
det som ¬(b = 0) och förenklas genom att man “löser” ekvationen b = 0 och
sedan använder de Morgans regler. Då lösningen till ekvationen anges kan man
vid behov notera villkoret.
Följande exempel visar hur detta fungerar. Vi löser ekvationen
x2 + x
=0
x2 − 1
och börjar med att notera antagandet ¬(x2 − 1 = 0) som förenklas enligt
¬(x2 − 1 = 0)
⇔
{lös ekvationen inne i parentesen}
¬(x = 1 ∨ x = −1)
⇔
{De Morgan}
¬(x = 1) ∧ ¬(x = −1)
Detta betyder att vi får anta x 6= 1 och x 6= −1 (dvs att x är varken 1 eller
−1) medan vi löser ekvationen:
[x 6= 1 ∧ x 6= −1]
x2 +x
x2 −1
⇔
=0
{nollkvotregeln, med antagandet x2 − 1 6= 0}
x2 + x = 0
⇔
{faktorisera}
x(x + 1) = 0
⇔
{nollproduktregeln}
x = 0 ∨ x = −1
⇔
{förenkla; antagandet säger att x 6= −1}
x=0
62
De två sista stegen plockar helt enkel bort den “falska lösningen” x = −1 som
skulle ge nämnaren värdet noll.
2
Då vi infört antagandet x 6= 1 ∧ x 6= −1 har ekvationen xx2+x
= 0 alltså
−1
lösningen x = 0. Detta kan tolkas på två olika sätt:
1. Om x = 1 eller x = −1 så är ekvationsuttrycket odefinierat, och då kan
varken x = 1 eller x = −1 vara lösning. Med denna tolkning kan man
säga att
lösningen till ekvationen
x2 +x
x2 −1
= 0 är x = 0.
2. Om x = 1 eller x = −1 så har ekvationsuttrycket ett värde som vi inte
vet något om, och det är omöjligt att avgöra om x = 1 eller x = −1 är
lösningar. Med denna tolkning kan man säga att
under antagandet x 6= 1 ∧ x 6= −1 har ekvationen
lösningen x = 0.
x2 +x
x2 −1
=0
Båda tolkningarna kan anses riktiga. Vi väljer den andra tolkningen, men vi
tillåter att antaganden (i exemplet ovan x 6= 1 och x 6= −1) utelämnas då
lösningen formuleras i ord.
Förenkling Vid förenkling av uttryck blir det viktigt att säga ut antagandena,
eftersom resultatet av förenklingen inte är sant för sådana variabelvärden som
gör att en nämnare blir noll.
Om uppgiften är att förenkla uttrycket
x+1
x − x1
noterar vi först villkoren ¬(x = 0) och ¬(x −
1
x
= 0) som efter förenkling blir
x 6= −1 ∧ x 6= 0 ∧ x 6= 1
Nu kan hela uttrycket förenklas:
[x 6= −1 ∧ x 6= 0 ∧ x 6= 1]
x+1
x− x1
=
{förläng med x}
x(x+1)
x2 −1
63
6 Hantering av odefinierade uttryck
=
{faktorisera enligt konjugatregeln}
x(x+1)
(x+1)(x−1)
=
{förkorta bort x + 1 som enligt antagandena inte är noll}
x
x−1
Här är det viktigt att samtidigt med förenklingsresultatet nämna vilka värden
på x som är uteslutna.
Olikheter med nämnare För olikheter med nämnare används samma princip
som för ekvationer: börja med att avgöra i vilka situationer en nämnare blir
noll och antag att dessa situationer inte förekommer.
Vid olikheter med nämnare måste man dessutom komma ihåg att man inte
i allmänhet får multiplicera båda sidor med nämnaren. Olikheten löses då så
att man först flyttar över allt till ena sidan och skapar ett enda bråk (med
gemensam nämnare). Endast i det fall att nämnaren är garanterat positiv eller
negativ kan man “multiplicera bort” den.
Ta olikheten
x+1
≥1
x+2
som exempel. Först noterar vi att nämnaren inte får bli noll, vilket ger villkoret
x 6= −2. Eftersom nämnaren x + 2 är positiv för vissa värden på x och negativ
för andra värden på x är det inte tillåtet att multiplicera båda sidor med x + 2.
Olikheten löses alltså så här:
[x 6= −2]
x+1
x+2
⇔
{flytta över 1 och skriv som bråk}
x+1
x+2
⇔
−
x+2
x+2
≥0
{skriv på gemensamt bråkstreck, förenkla}
−1
x+2
⇔
≥1
≥0
{teckenregel för division}
x+2≤0
⇔
64
{flytta över 2}
x ≤ −2
⇔
{förenkla med antagandet x 6= −2}
x < −2
Olikheten har alltså lösningen x < −2.
Om man här hade börjat med att multiplicera båda sidor med x + 2 hade
följande steg blivit x + 1 > x + 2 vilket förenklas till F . Då hade man dragit
den felaktiga slutsatsen att olikheten saknar lösningar.
Ekvationer med kvadratrötter Eftersom vi enbart har att göra med reella
tal kan vi inte tillåta kvadratrotsutdragning av negativa tal. Kvadratrot kan
definieras med följande regel, som också kan användas för att lösa ekvationer:
√
a≥0
a = b ⇔ a = b2 ∧ b ≥ 0
Antagandet a ≥ 0 kan antas oberoende
√ av om det skrivits ut eller inte.
Som exempel löser vi ekvationen x − 1 = 7 − x. Först noterar vi villkoret
x > 1, och därefter:
[x > 1]
√
x−1=7−x
⇔
{kvadratrotsregeln}
x − 1 = (7 − x)2 ∧ 7 − x > 0
⇔
{förenkla}
x − 1 = x2 − 14x + 49 ∧ x < 7
⇔
{förenkla ekvationen}
0 = x2 − 15x + 50 ∧ x < 7
⇔
{lös andragradsekvationen}
(x = 5 ∨ x = 10) ∧ x < 7
⇔
{förenkla parentesen med antagandet x < 7}
x=5 ∧ x<7
⇔
{förenkla}
65
6 Hantering av odefinierade uttryck
x=5
Lösningen x = 5 är acceptabel eftersom den uppfyller antagandet x > 1.
Ofta gör man i praktiken så att man kvadrerar båda sidor och sedan i efterskott kontrollerar att inga “falska lösningar” kommit med. Steget där man
kvadrerar båda sidor av en ekvation är inte ett ekvivalenssteg, vilket lätt visas
√
med ett motexempel: x = −1 är inte ekvivalent med x = 1 eftersom den förra
ekvationen saknar lösningar medan den senare har lösningen x = 1. I ett senare kapitel visas hur kvadreringsmetoden trots allt kan beskrivas på ett logiskt
korrekt sätt.
Ekvationer med andra funktioner som inte är definierade överallt (tex logaritmer och tangens) löses på samma sätt som ekvationer med kvadratrötter.
*Olikheter med kvadratrötter Då man löst ekvationer med absolutbelopp
eller kvadratrötter kan misstag (tex “falska lösningar”) upptäckas genom att
man kontrollerar sina lösningar. Vid olikheter fungerar detta inte och man
måste alltså vara extra noggrann. Därför blir det extra viktigt att det steg där
kvadratroten avlägsnas görs rätt. För enkla olikheter är reglerna
√
a≥0
a > b ⇔ a > b2 ∨ b < 0
√
a≥0
a < b ⇔ a < b2 ∧ b > 0
och
Här beaktas att en kvadratrot aldrig är negativ.
Som exempel löser vi olikheten
p
x2 − 9 < 4
Villkoret x2 − 9 ≥ 0 kan enkelt förenklas (vi visar det inte här) till
x ≤ −3 ∨ x ≥ 3
och härledningen blir
[x ≤ −3 ∨ x ≥ 3]
√
x2 − 9 < 4
⇔
{regel för olikhet med kvadratrot}
x2 − 9 < 16 ∧ 4 > 0
66
⇔
{förenkla}
x2 < 25
⇔
{lös olikheten}
. . . −5 < x ∧ x < 5
⇔
{använd antagandet för att sammanfatta}
. . . −5 < x ≤ −3 ∨ 3 ≤ x < 5
(här har vi dolt detaljerna bakom de två sista stegen). Olikhetens lösning blir
alltså
−5 < x ≤ −3 ∨ 3 ≤ x < 5
Uppgifter
1. Lös följande ekvationer med linjära härledningar:
a)
x2 −5x+6
x−1
=0
(b)
2x+4
x2 +x−2
=1
2. Om en ekvation innehåller ett bråk med en gemensam faktor i täljaren och
nämnaren så kan faktorn förkortas bort bara den inte är noll. Formulera
detta som en regel och använd sedan regeln för att lösa ekvationerna i
föregående uppgift. Jämför de två metoderna.
3. Lös olikheten
x+1
≥1
x+2
Jämför med exemplet i texten (samma men med olikhetstecknet >).
4. Lös följande olikheter med linjära härledningar:
a)
x−1
2x
<1
(b) | x−1
2x | < 1
(c)
x−1
x3 +x
<0
5. Ge regler för olikheter av typen
√
√
a) a ≥ b
(b) a ≤ b
6. Lös med linjära härledningar:
√
√
a) x + 1 − 1 = x
(b) 6x2 + 1 = 3x − 1
7. Ge en regel för att skriva om |a| < |b| till en form utan absolutbelopp.
√
√
8. Ge en regel för att skriva om a = b till en form utan kvadratrot.
67
6 Hantering av odefinierade uttryck
9. Ge regler för att skriva om till en form utan kvadratrötter:
√
√
a) a ≤ b
(b) a ≥ b
10. Lös olikheten
x2 +1
x2
≥ 2 med en linjär härledning.
11. Lös olikheterna
(a)
√
3 − 2x < x
(b)
√
2x ≥ x + 1
12. Logaritmfunktioner är som bekant definierade bara för positiva argument.
Formulera regler för att skriva om i en form utan logaritmer:
a) log10 a = b
68
(b) log10 a ≤ b
(c) log10 a > b
7 Implikation
Hittills har härledningar använts för att visa likheter och ekvivalenser (som är
logikens motsvarighet till likhet). Vi skall nu se hur implikation p ⇒ q, dvs att
påståendet q följer av påståendet p, kan visas med härledningar. Samma metodik kan också användas för att visa olikheter - implikation p ⇒ q är logikens
motsvarighet till olikhet av formen a ≤ b.
Implikation Implikation mellan två logiska uttryck p och q skrivs p ⇒ q och
utläses “om p så q” eller “p implicerar q”. Implikationen kan definieras via en
sanningsvärdestabell:
p
F
F
T
T
q
F
T
F
T
p⇒q
T
T
F
T
dvs den enda situationen då implikationen p ⇒ q är falsk är då p är sann och
q är falsk.
Några exempel på implikationer och deras sanningsvärden:
Om jag bor i Vasa så bor jag i Finland
(sant)
Om månen är en ost så är jorden platt
(sant)
Det andra exemplet ovan kan upplevas strida mot intuitionen och filosofer har
länge grälat om hur implikation egentligen skall definieras för att denna situation skulle kunna undvikas. Det viktiga är i varje fall att implikationen uttrycker
att
om p är sant så är också q sant.
En följd av definitionen är att ekvivalensen p ⇔ q har samma betydelse som
den ömsesidig implikationen (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p), vilket stämmer väl överens
med intuitionen (se uppgifterna).
Om de ingående uttrycken p och q innehåller en variabel x så är implikationen
p ⇒ q sann om q är sant för alla de värden på x som p tillåter:
69
7 Implikation
x=1 ⇒ x>0
(sant)
x>0 ⇒ x=1
(falskt)
För att visa att den andra implikationen är falsk räcker det med ett motexempel,
dvs ett värde på x som gör x > 0 sant men x = 1 falskt. Ett sådant motexempel
är värdet 2.
Implikation binder svagare än konjunktion och disjunktion. Det betyder till
exempel att p ∧ q ⇒ r är detsamma som (p ∧ q) ⇒ r.
Att bevisa implikationer Många matematiska problem är formulerade som
implikationer, dvs de har formen formen
“Visa att om p så gäller q”
Det enklaste sättet att lösa ett sådant problem är att anta att p är sant och
sedan med hjälp av en härledning (som vid behov använder antagandet p) visa
att q är sant. Detta sätt att arbeta bygger egentligen på regeln
p ` q
p⇒q
som är en klassisk logisk regel.
Följande exempel visar hur detta görs, med uppgiften
Visa att om x > 1 så gäller x2 > x
Vi antar alltså x > 1 och visar att x2 > x då är sant:
[x > 1]
x2 > x
⇔
{flytta över}
x2 − x > 0
⇔
{faktorisera}
x(x − 1) > 0
⇔
{enligt antagandet x > 1 är båda faktorerna positiva}
T
70
Genom att omskriva till x2 > x till T (under ekvivalens) har vi alltså visat att
x2 > x är sant.
Om q i regeln ovan är en likhet kan den också visas rätlinjigt, som följande
exempel visar
Visa att om a + b = c − d så gäller b2 − d2 = ad + bc − ab − cd.
Vi antar att a + b = c − d och visar
b2 − d2 − ad − bc + ab + cd = 0
som ju är ekvivalent med det som skall visas:
b2 − d2 − ad − bc + ab + cd
=
{flytta om}
ab + b2 − ad − bc + cd − d2
=
{bryt ut}
b(a + b) − ad − bc + d(c − d)
=
{antagandet a + b = c − d}
b(c − d) − ad − bc + d(a + b)
=
{multiplicera ut}
bc − bd − bc − ad + ad + bd
=
{förenkla}
0
Ekvationslösning med kontroll Vi har hittills löst ekvationer med ekvivalenshärledningar, vilket betyder att vi hittat alla lösningar (och inget annat
än lösningar). I vissa situationer vill man omskriva ekvationer med hjälp av
“implikationsregler”, tex
a≥0
√
a = b ⇒ a = b2
Märk att den omvända implikationen inte gäller. Det visas med motexemplet
√
a = 4 och b = −2 som gör a = b2 sant men a = b falskt.
Om man skriver om en ekvation med en implikationsregel hittar man visserligen alla lösningar, men det finns risk för att “falska lösningar” uppträder. Då
71
7 Implikation
måste man i efterskott utesluta falska lösningar genom att kontrollera lösningarna.
√
Som exempel tar vi ekvationen 2x2 + 1 = 2x + 1. Uttrycket under roten är
alltid icke-negativt, så vi behöver inte kontrollera det.
√
⇒
2x2 + 1 = 2x + 1
{kvadrera båda sidor}
2x2 + 1 = 4x2 + 4x + 1
⇔
{flytta över, förenkla}
2x2 + 4x = 0
⇔
{lös andragradsekvationen}
x = 0 ∨ x = −2
Härledningen visar att om ekvationen är sann så är x = 0 eller x = −2. Men
det omvända behöver inte gälla, dvs den ena eller i värsta fall båda kan vara
“falska lösningar”.
Genom att kontrollera lösningarna frågar vi alltså om den omvända implika√
tionen gäller. Insättning av x = 0 i den ursprungliga ekvationen ger 1 = 1
vilket är sant, vilket visar att
p
x=0 ⇒
2x2 + 1 = 2x + 1
√
är sant. Insättning av x = −2 ger 9 = −3 vilket inte är sant så i detta fall
gäller
p
x = −2 ⇒ ¬( 2x2 + 1 = 2x + 1)
Därmed har vi nått ekvivalensen
p
2x2 + 1 = 2x + 1 ⇔ x = 0
och ekvationen är fullständigt löst.
Egentligen används här en logisk regel av formen
p ⇒ q∨r
q⇒p
p⇔q
r ⇒ ¬p
som inte är alldeles självklar. Det lönar sig att analysera den noggrannt: p
motsvarar ekvationen och q och r motsvarar lösningskandidaterna. Att q ⇒ p
72
betyder att q är en riktig lösning medan r ⇒ ¬p betyder att r är en falsk
lösning.
Ett problem med implikationsregler är att man kan förvandla ekvationen till
något som har oändligt många lösningar och då det vara omöjligt att kontrollera
dem alla. Om slutresultatet är T (tex via 0 = 0) så har man inte fått reda på
något alls. Därför är ekvivalenshärledningar klart bättre vid ekvationslösning.
Ett annat exempel på en osäker regel är att kvadrera båda sidor vid absolutbelopp (se uppgifterna i slutet av kapitlet). Följande exempel illustrerar
detta:
|x − 1| = 1 − x
⇒
{kvadrera båda sidor}
x2 − 2x + 1 = 1 − 2x + x2
⇔
{ förenkla}
T
Här kan man inte dra slutsatsen att alla värden på x är lösningar, eftersom en
del av dem kan vara “falska”. Kvadreringen av båda sidor förstörde så mycket
information att det inte mer är möjligt att hitta de riktiga lösningarna. Den
riktiga lösningen är x ≤ 1 (se uppgifterna i slutet av kapitlet).
Att generera fakta från antaganden Om ett problem innehåller ett eller flere
antaganden vill man ofta härleda ytterligare antaganden ur dessa. Dessa nya
antaganden kan sedan användas för att visa det som egentligen skall visas.
Det är en logiskt giltig metod som i grunden bygger på transitivitetsregeln för
implikation,
p⇒q
p∧q ⇒r
p⇒r
Alltså: ur antaganden (p) härleder man nya fakta (q) som man sedan använder
för att härleda det man vill visa (r).
Följande exempel visar hur nyttiga fakta kan härledas ur antaganden. Problemet är
Visa att om m och n är positiva heltal med m > n så gäller m2 −
n2 ≥ 3
Konjugatregeln antyder att vi vill härleda fakta om m + n och m − n. Till
exempel
73
7 Implikation
m>n
⇒
{n är minst 1 så m är minst 2}
m+n≥3
och
m>n
⇒
{skillnaden mellan två heltal är minst 1}
m−n≥1
Då kan vi göra den egentliga härledningen:
m2 − n2
=
{konjugatregeln}
(m + n)(m − n)
≥
{härledda antaganden m + n ≥ 3 och m − n ≥ 1}
3·1
=
{förenkla}
3
och vi har visat att m2 − n2 ≥ 3 följer ur antagandena.
Det lönar sig att fundera noga efter varför det är logiskt korrekt att dra
slutsatsen m2 − n2 ≥ 3 ur den sista härledningen. Vi visade olikheten genom
att steg för steg omskriva m2 −n2 till 3 så att varje steg har antingen relationen
= eller ≥.
Metoden att generera nya fakta ur antaganden är speciellt användbar inom
geometri, där antaganden kan åskådliggöras med hjälp av figurer. Man kan fritt
ge namn åt punkter, sträckor, vinklar, osv, och sedan härleda samband ur de
antaganden som är givna. I bästa fall lyckas man härleda det som skall visas,
och då behövs ingen huvudhärledning alls.
74
Omvänd implikation Implikationen p ⇒ q kan också skrivas som den omvända implikationen q ⇐ p, (utläses “q följer av p” eller “q om p”). Omvänd
implikation är användbar om man vill visa p ⇒ q men det är lättare att stegvis
omvandla q till p än tvärtom.
Inga skilda regler behövs för omvänd implikation, eftersom varje regel som
gäller implikation ger en regel för omvänd implikation då regeln “vänds om”.
Till exempel gäller
q⇐p
p
q
Detta är en regel för baklängesbevis (se nästa kapitel): för att bevisa q räcker
det med att reducera q till något (p) som vi vet att gäller.
*Härledningar med olikhet Ett påstående av formen a ≤ b (eller a ≥ b) kan
visas genom att a stegvis omskrivs till b så att olikheten ≤ (eller likhet) gäller
i varje steg. Till exempel kan man visa att 83 är mindre än 74 på följande sätt
3
8
≤
{öka i täljaren}
4
8
≤
{minska i nämnaren}
4
7
Slutsatsen i en sådan härledning motiveras med att olikhet är transitiv:
a≤b
b≤c
a≤c
Ur en härledning med en serie av olikheter (all riktade åt samma håll) följer
alltså att olikheten också gäller mellan det första och det sista uttrycket.
I en härledning som handlar om olikhet får också ingå steg med likhet. Det
kan motiveras med regeln
a=b
b≤c
a≤d
c=d
Som exempel visar vi att om a, b och c är icke-negativa tal så gäller (1 +
a)(1 + b)(1 + c) ≥ 1 + a + b + c:
(1 + a)(1 + b)(1 + c)
=
{multiplicera ihop parenteserna}
75
7 Implikation
1 + a + b + ab + c + ac + bc + abc
≥
{subtrahera ab + ac + bc + abc}
1+a+b+c
Slutsatsen här blir alltså att (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 1 + a + b + c gäller.
Då man arbetar med likhet är det alltid rätt att ersätta uttrycket a med uttrycket b om a = b gäller. Samma substitutionsregel gäller inte allmänt för olikheter,
utan där måste sammanhanget uppfylla vissa villkor. Detta kan beskrivas med
regler, tex
a≤b
(c ≥ 0)
ac ≤ bc
(en faktor kan ersättas under ≤ om den andra faktorn är icke-negativ). Antalet
regler blir snabbt enormt, och dessutom är de flesta reglerna rätt självklara.
Därför klarar man sig bäst genom att vara noggrann och i motiveringen visa
att man beaktat det sammanhang där substitutionen görs.
Som exempel härleder vi samma olikhet som ovan, men på ett annat sätt.
Antag a, b, c ≥ 0:
(1 + a)(1 + b)(1 + c)
=
{multiplicera ihop de två första parenteserna}
(1 + a + b + ab)(1 + c)
≥
{minska i första parentesen, andra parentesen är positiv}
(1 + a + b)(1 + c)
=
{multiplicera ihop parenteserna}
1 + a + b + c + ac + bc
≥
{subtrahera ac + bc}
1+a+b+c
Uppgifter
1. Visa att ¬p∨q har samma sanningsvärdestabell som implikationen p ⇒ q.
2. Visa att följande är tautologier:
a) p ∧ q ⇒ p
76
(b) p ⇒ p ∨ q
(c) p ∧ (p ⇒ q) ⇒ q
3. Visa att implikation varken är kommutativ eller associativ.
4. Använd sanningsvärdestabeller för att visa
a) att p ⇒ p är en tautologi (dvs att regeln (p ⇒ p) ⇔ T gäller)
b) att p ⇒ F har samma sanningsvärde som ¬p (dvs att regeln (p ⇒
F ) ⇔ ¬p gäller).
5. Gör upp sanningsvärdestabeller för följande uttryck och använd sedan
tabellerna för att skapa förenklingsregler:
a) F ⇒ p
(p ⇒ q) ⇒ p
(b) F ⇒ p
(c) p ⇒ (q ⇒ p)
(d)
6. Vi vet att ekvivalens (p ⇔ q) är detsamma som ömsesidig implikation
((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)). Använd detta för att göra en sanningsvärdestabell
för ekvivalens.
7. Använd tabellen i föregående uppgift för att visa att ekvivalens är både
kommutativ och associativ.
8. Visa att ¬q ⇒ ¬p har samma sanningsvärdestabell som p ⇒ q.
8
och π < x < 3π
9. [SE1994h3] Visa att om sin x = 17
2 så gäller sin 2x =
(Tips: använd antagandet för att härleda vad cos x är.)
240
289 .
10. [SE2001h2] Antag a 6= b. Lös ekvationen (a − b)x2 + ax + b = 0.
11. Visa att om x ≥ y så gäller (x + 1)2 + (y − 1)2 ≥ 2. Hur kan påståendet
tolkas grafiskt?
12. Visa att om x och y är positiva reella tal så gäller x2 + y 2 ≥ xy.
√
13. Lös ekvationen 3x − 2 = 5x2 + 4
a) med kvadreringsmetoden och lösningskontroll
b) med regler för ekvivalens.
Jämför lösningarna.
√
14. Kan en olikhet av formen a ≥ b lösas genom kvadrering? Om ditt svar
är ja så motivera det, och om ditt svar är nej så ge ett motexempel.
15. Kvadrering av båda sidor vid absolutbelopp är en “implikationsregel”:
|a| = b ⇒ a2 = b2
77
7 Implikation
Ge ett motexempel som visar att implikationen inte kan ersättas med
ekvivalens.
16. Konstruera en ekvation med kvadratrot som inte kan lösas genom kvadrering. Tips: jämför med absolutbeloppekvationen i nästa uppgift.
17. Lös ekvationen |x − 1| = 1 − x enligt metoder från tidigare kapitel.
18. Avgör om frågetecknet kan ersättas med ekvivalens eller implikation (eller
ingendera):
a) a = b ? ln a = ln b
(b) a = b ? ea = eb
19. Visa att om (x, y) är en punkt på enhetscirkeln så gäller så gäller 12 (x +
y)2 = 1 + xy.
20. [SE2000h5] Visa att om x + y + z = 0 och x2 + y 2 + z 2 = 1 så gäller
xy + yx + zx = 21 .
21. Visa att om x = a är det enda nollstället till andragradspolynomet P (x)
så är x = a också nollställe till derivatan P 0 (x).
78
8 Figurer och andra hjälpmedel
I samband med att man löser ett matematiskt problem är det ofta nyttigt att
använda annat än rena formler och uttryck. En text kan förklara vad man
syftar på, en bild kan åskådliggöra den aktuella situationen, en tabell kan sammanfatta en mängd fakta, osv. Grafer och figurer kan också ha en aktiv roll i
problemlösandet. I det här kapitlet ser vi lite närmare på hur sådana hjälpmedel
används.
Text i matematiska uttryck Matematiska uttryck skall helst vara så eleganta
och korta som möjlighet. Men ibland lönar det sig att beskriva en storhet eller
ett begrepp med text snarare än med en variabel eller ett rent uttryck. Vi
skall nu tillåta att textstycken (inom citationstecken) ingår i uttryck. Målet
är att göra härledningar så lättlästa som möjligt, utan att ge avkall på den
matematiska och logiska exaktheten.
Ofta kan man hitta det första steget i härledningen genom att direkt citera
ett textstycke ur problemformuleringen. Ett exempel:
För vilka värden på a saknar ekvationen x2 + ax + 3 = 0 lösningar?
Härledningen startar från den önskade egenskaper hos det a som söks:
“ekvationen x2 + ax + 3 = 0 saknar lösningar”
⇔
{diskriminantregeln}
a2 − 4 · 1 · 3 < 0
⇔
{lös andragradsolikheten}
√
√
. . . −2 3 < a < 2 3
(här har vi gömt detaljerna kring lösningen av andragradsolikheten - lösningen
motiveras enklast med att “< 0” gäller mellan uttryckets nollställen).
Märk att första radens textuttryck är fullständigt exakt. Det kunde skrivas
helt med matematikens och logikens symbolspråk, men vi förlorar ingenting på
att skriva ut det i textform. Här är några ytterligare exempel på textuttryck
från olika delområden av matematiken:
79
8 Figurer och andra hjälpmedel
“sannolikheten för att högst två frön skall gro”
“största värdet för funktionen f ”
“arean av den inskrivna cirkeln”
“vinkeln mellan linjerna x + y + 1 = 0 och 2x − 3y + 1 = 0”
“antalet reella nollställen för polynomet P (x)”
En liten varning är på sin plats här: man måste vara noga med att textuttrycket
är definierat och har en entydig mening. Uttryck som
“största värdet av funktionen f (x) = x3 ”
är inte acceptabelt, eftersom det saknar värde (funktionen växer mot −∞ för
negativa x och mot +∞ för positiva x).1
Figurens roll i problemlösningen Problem som är formulerade i textform hänvisar ofta till en situation som direkt kan åskådliggöras i ett diagram. Då lönar
det sig att rita upp diagrammet och att i diagrammet införa namn och andra
annotationer som sammanfattar den information som getts i texten (tex visa
att en viss vinkel är rät eller att en sträcka är lika lång som en annan). Ibland
ingår diagrammet i själva uppgiftsformuleringen, men också i det fallet lönar
det sig att rita upp det på nytt, och eventuellt fylla i sådan information som
saknas i den ursprungliga figuren.
Ta följande geometriuppgift som exempel (uppgift 7 i studentexamensprovet
i lång matematik våren 2004):
Höjden mot hypotenusan i en rätvinklig triangel delar hypotenusan
i förhållandet 3 : 7. Bestäm förhållandet mellan kateternas längder.
Här har en situation beskrivits utan att några variabler eller namn använts.
Det första steget i problemlösningen blir att rita en figur och ge lämpliga namn
åt de storheter som är av betydelse.
Figur 8.1 visar situationen sådan den beskrivs i uppgiften. Några grundideer
är värda att notera:
1
Detta problem diskuterades mycket av logiker i början av 1900-talet. Frågan var om påståenden som “Kungen av Frankrike är skallig” skulle anses vara sanna eller falska. Speciella
symboler infördes för att hantera situationen: Churchs ι (jota, “definite description”) och
Hilberts ε (epsilon, “choice”). Det hänger nära samman med frågan hur man hanterar
odefinierade uttryck (Kapitel 6).
80
3x
7x
Figur 8.1: problembeskrivningen
• Att det är en höjd som inritats mot hypotenusan framgår av att vinkeln
mot hypotensan är rät (90◦ ). I själva verket är ju båda vinklarna som
bildas mellan höjden och hypotenusan räta, men att den andra är rät
anses som så “självklart” att det räcker med att visa det för den ena.
• Eftersom endast förhållandet 3 : 7 mellan hypotenusans två delar var
givet så kan man inte utgå ifrån att längderna är exakt 3 och 7 utan
skalan måste beaktas genom att en faktor x införs. I stället för x kunde
man förstås lika väl använda a eller någon annan variabel.
• Figuren behöver inte vara ritad så att förhållandet mellan hypotenusans
två delar är det som angavs i uppgiften, men det lönar sig att försöka få
figuren att någorlunda väl motsvara den situation som problembeskrivningen anger.
• Då inget är sagt om triangelns två övriga vinklar är det bäst att i figuren
undvika specialfall som kan göra att man leds vilse då man söker efter
lösningsstrategier - triangeln skall till exempel inte ritas som likbent.
Ur figuren borde man nu se två tänkbara lösningsmetoder: antingen via Pythagoras sats eller via likformiga trianglar. Oberoende av vilken metod man använder måste man namnge sådant som syns i figuren. Vi väljer att arbeta med
Pythagoras sats och utökar figuren med namn på sidor och höjden. Resultatet
blir figur 8.2 som är en lämplig utgångspunkt för den fortsatta härledningen.
När en figur innehåller namn på lämpliga storheter och dessutom visar möjligast mycket av den information som gavs i problemtexten kan man använda
den för att härleda nya fakta, med hjälp av lämpliga regler.
Ur figuren framgår genast sambandet c = 3x + 7x vilket kan skrivas
(A1) c = 10x
där vi har namngett antagandet A1 (för Antagande nummer 1).2
2
Antagandet visar att det i själva verket var “onödigt” att införa namnet c, men så länge
antalet onödiga namn inte blir alltför stort är detta inget problem.
81
8 Figurer och andra hjälpmedel
3x
c
a
7x
h
b
Figur 8.2: Utförligare figur
Vi väljer nu att arbeta utgående från Pythagoras sats och kan då skriva ner
följande tre fakta som alla följer direkt ur figuren:
(A2) h2 + 9x2 = a2
(A3) h2 + 49x2 = b2
(A4) a2 + b2 = 100x2
Dessa fakta är (precis som c = 10x ovan) antaganden som fritt kan användas i
härledningar. Till exempel härleds (A2) så här:
figuren
⇒
{Pythagoras sats}
h2 + (3x)2 = a2
⇔
{förenkla}
(A2) h2 + 9x2 = a2
För att komma vidare måste vi minnas vad som egentligen efterfrågades: förhållandet mellan kateterna (a och b). Det betyder att vi vill härleda ett uttryck
som säger något om kvoten ab (eller ab ). En möjlig väg är att ur de tre ekvationerna ovan lösa ut a2 och b2 och därefter bilda denna kvot.
Först härleder vi en ny ekvation för a2 och b2 ur (A2) och (A3):
h2 + 9x2 = a2 ∧ h2 + 49x2 = b2
⇒
{subtrahera första ekvationen från den andra och förenkla}
(A5) b2 − a2 = 40x2
Därefter kan vi ur (A5) och (A4) lösa ut b2 :
82
b2 − a2 = 40x2 ∧ a2 + b2 = 100x2
⇒
{addera ekvationerna}
2b2 = 140x2
⇔
{dividera båda sidor med 2}
(A6) b2 = 70x2
Nu kan a2 lösas ut ur (A6) och (A4) genom insättning:
b2 = 70x2 ∧ a2 + b2 = 100x2
⇒
{insätt ur första ekvationen i andra}
70x2 + a2 = 100x2
⇔
{flytta över och subtrahera}
(A7) a2 = 30x2
Slutligen kan det önskade förhållandet härledas med hjälp av uttrycken för
a2 och b2 :
a
b
=
{definitionen av kvadratrot, a och b är positiva tal}
q
a2
b2
=
{(A6) och (A7)}
q
30x2
70x2
=
{förkorta och förenkla}
√ √
3/ 7
√ √
och vi har visat att förhållandet a : b är 3 : 7.
Slutligen skall man gå tillbaka till uppgiftstexten och formulera lösningen
med hjälp av det som gavs där. Lösningen blir då
√ √
Förhållandet mellan kateterna är 3 : 7.
Metoden som använts kan sammanfattas så här:
83
8 Figurer och andra hjälpmedel
1. uppgiftstexten användes för att rita en figur,
2. i figuren namngavs sådant som kunde tänkas användas i härledningen,
3. grundläggande antaganden härleddes ur figuren och uppgiftstexten, med
hjälp av geometrins regler,
4. nya antaganden härleddes ur de grundläggande antagandena, och
5. den sista härledningen besvarade den egentliga frågan.
Det här kan ses som typiskt då man löser geometriska problem.
Framväxande figurer Ibland räcker det (som i exemplet ovan) att rita en figur
som dels visar de grundläggande fakta som ges i problemtexten och dels visar
hur olika storheter namnges. Men i många fall kan figuren stegvis utökas med
nya storheter och fakta som växer fram under problemlösningens gång.
Till exempel i samband med vektorer eller geometri har man ofta nytta av att
rita in sådant som inte uttryckligen nämns i problemtexten (tex en median eller
en enhetscirkel). Samma princip används för problem inom fysik, då man ritar
in ett koordinatsystem och kraftkomponenter i koordinataxlarnas riktning.
Det är också möjligt att i figuren rita in sådana fakta som visats under
problemlösningens gång, tex att en vinkel är rät eller att två sträckor är lika
långa.
För att det tydligt skall framgå hur problemlösningen avancerar steg för steg,
lönar det sig att rita olika versioner av den aktuella figuren.
Icke-geometriskt exempel Också om ett problem inte egentligen är geometriskt kan figurer hjälpa mycket. Tag följande:
En kvadrat delas i fyra lika stora delkvadrater av vilka en färgas medan den diagonalt motsatta delkvadraten i sin tur delas i fyra delas
av vilka en färgas, osv. Denna process fortsätter i all oändlighet.
Hur stor del av kvadraten blir färgad?
Figur 8.3 visar vad det är frågan om: en följd av allt mindre areor som skall
summeras. Vi har kallat kvadratens sida för a och det betyder att den största
färgade kvadraten har arean ( a2 )2 , eller
(A1) A1 = ( a2 )2 .
Dessutom visar figuren att förhållandet mellan en färgad kvadrat och den “föregående” (dvs den strax uppåt till höger) alltid är 1 : 4, dvs
84
a/2
a
a/2
...
a
Figur 8.3: Summering av delkvadrater
An+1
An
(A2)
= 14 .
Nu kan vi använda regeln för en geometrisk serie:
“summan av de färgade kvadraternas areor”
=
{figuren; (A1) och (A2)}
( a2 )2 +
=
1
4
· ( a2 )2 +
1
4
·
1
4
· ( a2 )2 + . . .
{regeln för en geometrisk serie med första element ( a2 )2 och kvot 41 }
(a/2)2
1− 14
=
{förenkla}
a2
3
Slutligen kan frågan besvaras:
“andelen av kvadraten som är färgad”
=
{omskrivning}
“färgade arean”/”totala arean”
=
{föregående härledning, figuren}
a2 /3
a2
=
{förenkla}
1
3
dvs en tredjedel av kvadraten blir färgad.
85
8 Figurer och andra hjälpmedel
Klassiska geometriska bevis I klassiska geometriska bevis utnyttjas likformighet samt en stor mängd satser om bisektriser, medianer, normaler, sekanter, mm. Problemet har ofta en enkel lösning och det gäller att hitta den korta
vägen till lösningen, utan att ledas på långa slingrande villovägar. Som exempel
tar vi det tidigare problemet med hypotenusan i en rätvinklig triangel:
Höjden mot hypotenusan i en rätvinklig triangel delar hypotenusan
i förhållandet 3 : 7. Bestäm förhållandet mellan kateternas längder.
Vi löser det nu med hjälp av likformiga trianglar (symbolen ∼ används för
likformighet). Utgångspunkten blir då en figur där triangelns hörn namngivits
(figur 8.4). Informationen i uppgiftstexten ger följande grundläggande antaganC
D
A
B
Figur 8.4: Triangel med namngivna punkter
de:
(A1)
DC
BD
=
3
7
Dessutom kan figuren användas för att härleda fakta om förhållanden där de
intressanta sidorna (AB och AC) ingår:
figuren
⇒
{en rätvinklig triangel delas av höjden mot hypotenusan i två trianglar
som är likformiga med den ursprungliga}
M ABC ∼M DAC
⇒
{likformighet}
(A2)
AC
AB
=
DC
AD
och enligt ett likadant argument
(A3)
86
AC
AB
=
AD
BD
Om man jämför de högra sidorna i (A2) och (A3) ser man att AD kan förkortas
bort om man multiplicerar dem. Det avslutande argumentet är mer algebraiskt
än geometriskt:
AC
AB
=
{omskriv}
q
AC AC
AB · AB
=
{antagandena (A2) och (A3)}
q
DC AD
AD · BD
=
{förkorta}
q
DC
BD
=
{antagande (A1)}
q
3
7
och slutsatsen blir att förhållandet mellan kateterna (AB och AC) är
√
3:
√
7.
Tabeller och algoritmiska metoder Vissa typer av uppgifter (eller delar av
uppgifter) är algoritmiska till sin natur, dvs de förutsätter att man använder
en mekanisk standardmetod för att komma fram till ett svar. Denna metod
(en algoritm) antas då automatiskt ge ett riktigt resultat, förutsatt att man
utför den enligt reglerna. Många sådana algoritmer bygger på en uppställning
i tabellform, och en sådan uppställning kan då betraktas som en bilaga, dvs en
detaljförklaring till ett härledningssteg, som placeras skilt från den egentliga
härledningen.
Enkla exempel är divisionsalgoritmen för heltal (“trappan”) och Euklides algoritm för att hitta största gemensamma faktorn till två heltal. Mer avancerade
exempel är syntetisk polynomdivision och teckenschema för avgörande av en
funktions extrempunkter. Vissa numeriska metoder (tex Newton-Raphsons metod för närmevärdet av ett funktionsvärde) hör också hit.
Som exempel kan vi se på metoden med teckenschema för funktioners extrempunkter. Metoden bygger på två djupa resultat inom matematisk analys:
Om en funktion är kontinuerlig på ett slutet intervall [a, b] och deriverbar på det öppna intervallet ]a, b[ så återfinns funktionens alla
extremställen inom detta intervall bland intervallets ändpunkter och
derivatans nollställen.
87
8 Figurer och andra hjälpmedel
och
Om en funktion f är kontinuerlig på det slutna intervallet [a, b]
så antar funktionen inom detta intervall alla värden i intervallet
[f (a), f (b)].
När metoden används måste man alltså först försäkra sig om att villkoren är
uppfyllda (vilket kan kräva förklaringar och härledningar). Därefter kan man
bestämma derivatans nollställen inom det aktuella intervallet och med hjälp av
ett teckenschema undersöka vilka av de tänkbara punkterna som är maximioch minimipunkter.
Ett exempel illustrerar detta: vi undersöker funktionen f definierad enligt
f (x) = 3x5 − 5x3 , −2 ≤ x ≤ 2
Eftersom f är en polynomfunktion vet vi följande:
(A1) f är kontinuerlig och deriverbar på intervallet [−2, 2]
Derivering enligt reglerna för polynomfunktioner ger nu:
(A2) f 0 (x) = 15x4 − 15x2
och derivatans nollställen hittas via en ekvationslösande härledning:
f 0 (x) = 0
⇔
{derivatan enligt (A2)}
15x4 − 15x2 = 0
⇔
{lös ekvationen}
x = −1 ∨ x = 0 ∨ x = 1
De eventuella extrempunkter återfinns nu där x tillhör mängden {−2, −1, 0, 1, 2}
så vi räknar ut motsvarande funktionsvärden:
f (−2) = −56
f (2) = 56
f (−1) = 2
f (0) = 0
f (1) = −2
Nu kan informationen om f sammanfattas i ett teckenschema, där ξ betyder
att derivatan inte existerar i den aktuella punkten , + och − anger derivatans
tecken i det aktuella intervallet, och pilarna anger om funktionen är växande
eller avtagande i intervallet:
88
x
f0
f
−2
ξ
−56
+
%
−1
0
2
0
0
0
−
&
−
&
1
0
−2
+
%
2
ξ
56
Ur detta kan utläsas följande:
• minimipunkterna är (−2, −56) och (1, −2)
• maximipunkterna är (−1, 2) och (2, 56)
medan punkten (0, 0) varken är minimum eller maximum. Märk att om bara teckenschemat är korrekt uppgjort så är informationen som det ger både
matematiskt exakt och logiskt hållbar.
Uppgifter Sträva till att utnyttja påståenden med text, figurer, och andra
hjälpmedel i lösningarna.
1. För vilka värden på konstanten a har ekvationen x2 + ax + 9 = 0 exakt en
lösning? (Lös problemet med en linjär härledning vars första påstående
är “Ekvationen x2 + ax + 9 = 0 har exakt en lösning”.)
2. För vilka värden på konstanten k är linjerna y = 2x−3 och y = (k−1)x+1
vinkelräta?
3. Bestäm konstanten a så att polynomet 2x3 − ax − a2 är delbart med
(x − 1).
4. För vilka värden på z är den geometriska talföljden
1,
z
z 2
,(
) , ...
z+1 z+1
konvergent?
5. En 40 meter hög fyr står på en betongsockel ute i havet. Från en båt
är vinkeln mellan havsytan och siktlinjen till fyrens topp 29◦ med vinkeln mellan havsytan och siktlinjen till fyrens nedre ända är 19◦ . Bestäm
avståndet från båten till fyren.
6. Hur mycket 15-procentig saltlösning skall blandas i två liter 8-procentig
saltlösning för att resultatet skall vara en 12-procentig saltlösning? (Rita
figurer som visarmängderna salt respektive vatten i de olika lösningarna.)
89
8 Figurer och andra hjälpmedel
7. I triangeln ABC är vinkeln A dubbelt så stor som vinkeln B och sidan
AC är tre gånger så lång som sidan BC. Bestäm triangelns vinklar med
0, 1◦ noggrannhet.
8. I en cirkel inskrivs en kvadrat och i den kvadraten en ny cirkel. Bestäm
förhållandet mellan de två cirklarnas areor.
9. Genom en punkt på avståndet 2 från en enhetscirkel dras två tangenter
till cirkeln. Bestäm vinkeln mellan de två tangenterna.
10. Bestäm volymen av den största räta cirkulära cylindern som kan inskrivas
i en sfär (ett klot) med radien R.
11. Lös olikheten
x
> 3x
x−1
12. Bestäm största och minsta värdet för funktionen
f (x) = x4 − 6x2 + 5, −3 ≤ x ≤ 3
90
9 Bevisstrategier
Det här kapitlet sammanfattar ett antal olika sätt att angripa ett matematiskt
problem. Somliga av dem har redan använts i samband med exemplen i tidigare
kapitel medan andra är nya. Det är viktigt att inse att ett och samma problem
ofta kan lösas på många olika sätt, och att lösningen kan kräva en kombination
av olika bevisstrategier.
Att hitta och att visa Många matematikproblem faller i en av två huvudkategorier:
1. Att hitta: utgående från den information som är given skall ny information
(svaret) genereras.
2. Att visa: problemformuleringen innehåller ett påstående, och målet är att
visa att påståendet är sant (eller att det är falskt).
Det finns förstås många uppgifter som inte direkt kan placeras i den ena kategorin, men uppdelningen är i varje fall nyttig för grov klassificering.
Exempel på uppgifter av hitta-typ är till exempel förenklingsuppgifter, ekvationer som skall lösas, maximerings- och minimeringsproblem, såsom
En rätvinklig triangel har sidorna a − 1, a och a + 1. Bestäm a.
För vilket värde på x antar funktionen f (x) = x4 − 3x sitt minsta
värde?
Exempel på uppgifter av visa-typ är vanliga inom geometri och talteori, såsom
Visa att diagonalerna i en romb är vinkelräta.
Visa att om produkten av två tvåsiffriga heltal blir fyrsiffrig så måste
åtminstone det ena talet vara större än 31.
En variation på visa-uppgifter är sådana där man själv skall avgöra om ett
påstående är sant eller inte. Genom att pröva sig fram kan man få en bild av
om man skall satsa på att visa att påståendet är sant (tex med ett bevis) eller
att det är falskt (tex med ett motexempel).
Lite mer avancerade uppgifter handlar om att först hitta ett samband eller
en regel och sedan visa att den är sann. Sådana uppgifter kan kallas problem
snarare än uppgifter, och kräver ofta mer än enkla hitta- eller visa-uppgifter.
91
9 Bevisstrategier
Framåtbevisning Vid framåtbevisning arbetar man stegvis från det man vet
tills man når det önskade målet. I enkla fall kan beviset bestå av en härledning
skriven som en serie ekvivalenser och/eller implikationer. En annan möjlighet är
att ur givna antaganden steg för steg härleda nya antaganden som småningom
leder till den önskade slutsatsen.
Många exempel på framåtbevisning har förekommit i tidigare kapitel, tex
geometriexemplet i föregående kapitel. Som ytterligare exempel tar vi uppgiften
Visa att x2 − xy + y 2 ≥ 0 för alla värden på x och y.
Härledningen startar med uttrycket på vänster sida och arbetar framåt:
x2 − xy + y 2
=
{skriv om med sikte på kvadratkomplettering}
x2 − 2 · x · 21 y + 14 y 2 + 43 y 2
=
{kvadreringsregeln}
(x − 21 y)2 + 34 y 2
≥
{ingendera termen kan bli negativ}
0
Bevis med lemma Ett lemma är ett påstående som man lyckats bevisa och
som man sedan använder som hjälp i andra bevis. Genom att visa ett lemma
kan man kombinera olika slags bevismetoder: ett lemma kan bevisas med en
metod medan det bevis där lemmat används följer en annan metod.
Formellt sker beviset enligt följande inferensregel, där p är lemmat:
p
p ` q
q
Detta är en version av den regel som är känd under namnet Modus Ponens.
Vid bevis med lemma är det lämpligt att numrera eller namnge varje lemma
på ett sådant sätt att det är lätt att se när och hur lemmat används senare. En
regel ur en formel- eller lärobok kan också räknas som ett lemma.
92
Bakåtbevisning Vid bakåtbevisning startar man från det som skall bevisas
och reducerar det stegvis tills man når något som är bekant. Detta kan ske i
en härledning med en serie ekvivalenser och/eller omvända implikationer, där
givna antaganden utnyttjas för att motivera stegen.
Följande exempel visar en ofta använd metod för att visa något om lösningarna till en ekvation. Målet är att visa att ekvationen x4 − 4x + 72 = 0 saknar
lösningar:
“ekvationen x4 − 4x +
⇔
7
2
= 0 saknar lösningar”
{lösning till ekvation är nollställe till funktion}
“funktionen f (x) = x4 − 4x +
⇐
7
2
{egenskap hos kontinuerliga funktioner}
“funktionens f (x) = x4 − 4x +
⇔
saknar nollställen”
7
2
minsta värde är större än noll”
{derivatan f 0 (x) = 4x3 − 4x har nollställena −1, 0 och 1 och en jämförelse
visar att minsta värdet är f (1) = 21 }
T
Här utnyttjas en viss kännedom om polynom som ledtråd i det sista steget:
grafen till ett fjärdegradspolynom med positiv fjärdegradskoefficient öppnar sig
uppåt.
Reductio ad absurdum Ett påstående kan bevisas genom att man visar att
påståendets motsats leder till en motsägelse.
Formellt handlar det om inferensregeln
¬p ` F
p
som kan motiveras med att ekvivalensen
(¬p ⇒ F ) ⇔ p
är en tautologi.
√
Ett klassiskt exempel är beviset för att √ 2 är ett irrationellt tal. Man startar
från detta påståendes negation, dvs att 2 är rationellt och kan skrivas som
ett bråk ab :
√
2=
a
b
93
9 Bevisstrategier
⇒
{kvadrera båda sidor och multiplicera med b}
2b2 = a2
⇒
{antalet förekomster av primfaktorn 2 är udda till vänster och jämnt till
höger}
F
Det sista steget utnyttjar ett argument som är svårt att dela upp i mindre steg:
att a2 innehåller dubbelt så många förekomster av primfaktorn 2 som a.
Metoden kan användas för att visa att ett påstående P (x) gäller för alla x.
Då antar man att det finns ett speciellt värde a sådant att P (a) är falskt, och
så visar man att det leder till en motsägelse.
Negativt bevis med motexempel Ibland består en uppgift i att visa att ett
visst påstående inte gäller för alla element av någon mängd, tex
Visa att x2 > |x| inte gäller för alla heltal x
Det räcker då med att hitta ett motexempel (i exemplet duger x = 1 som
motexempel).
Uppgifter av detta slag är kanske inte så vanliga, men om uppgiften är öppen,
som
Gäller olikheten 2n3 − 9n2 + 10n > 0 för alla positiva heltal n?
så kan man undersöka olika värden på n och försöka få en bild av om det lönar
sig att satsa på ett bevis eller ett motexempel.
Uppdelning i olika fall (case-analys) Uppdelning i olika fall är en naturlig
metod att försöka om de antaganden man har verkar otillräckliga.
Formellt handlar det om regeln
p ` q
¬p ` q
q
Den kan motiveras med tautologin
q ⇔ (p ⇒ q) ∧ (¬p ⇒ q)
som lätt bevisas med hjälp av distributivitet.
Som exempel tar vi beviset för att
94
k 2 + k är ett jämnt tal, för alla heltal k.
Eftersom uppgiften handlar om att bevisa att ett visst tal är jämnt kan det
tänkas löna sig att göra en uppdelning enligt om k är udda eller jämnt:
[”k är udda”]
“k 2 + k är jämnt”
⇔
{faktorisera}
”k(k + 1) är jämnt”
⇔
{k + 1 är jämnt eftersom k är udda}
T
och
[”k är jämnt]
“k 2 + k jämnt”
⇔
{faktorisera}
“k(k + 1) jämnt”
⇔
{antagandet att k är jämnt}
T
Case-uppdelningen kan skrivas som delhärledningar:
“k 2 + k är jämnt”
⇔
{faktorisera}
“k(k + 1) jämnt”
⇔
{case-uppdelning}
•
⇔
•
[ ”k är udda”]
“k(k + 1) är jämnt”
{k + 1 är jämnt eftersom k är udda}
T
[”k är jämnt”]
95
9 Bevisstrategier
⇔
“k(k + 1) är jämnt
{antagandet k är jämnt}
T
... T
Ett slags case-uppdelning kan göras mitt i en härledning genom ett steg enligt
tautologin
q ⇔ (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q)
varefter man kan fokusera först på q i ena parentesen och sedan i andra. Ifall
man lyckas omskriva q till samma uttryck r i båda fallen så kan man avsluta
med omskrivningen
(p ∧ r) ∨ (¬p ∧ r) ⇔ r
men om man fick olika resultat r1 och r2 så slutar härledningen vid
(p ∧ r1 ) ∨ (¬p ∧ r2 )
Ekvationer med absolutbelopp kan lösas med detta slags case-uppdelning.
Som exempel tar vi ekvationen
|x − 1| = 3
Härledningen är som följer:
|x − 1| = 3
⇔
{uppdelning enligt om x < 1 eller inte}
(x < 1 ∧ |x − 1| = 3) ∨ (x ≥ 1 ∧ |x − 1| = 3)
⇔
{förenkla inom parenteserna}
(x < 1 ∧ −x + 1 = 3) ∨ (x ≥ 1 ∧ x − 1 = 3)
⇔
{lös ekvationerna}
(x < 1 ∧ x = −2) ∨ (x ≥ 1 ∧ x = 4)
⇔
{förenkla inom parenteserna}
x = −2 ∨ x = 4
Detta är en standardmetod för hantering av absolutbelopp, men oftast skrivs
alternativen (disjunkterna) skilt från varandra och konjunktionen skrivs inte
ut explicit. De explicita konnektiverna gör att lösningen inte behöver sammanställas av utspridda dellösningar.
96
Uppgifter
1. Avgör om följande gäller för alla rella värden på x:
(a) x2 + 1 > x
(b) |x + 1| > |x|
Om ditt svar är ja, ge ett bevis. Om det är nej, ge ett motexempel.
2. Visa att diagonalerna i en romb är vinkelräta (en romb är en fyrhörning
där alla sidor är lika långa.
3. Visa att om produkten av två tvåsiffriga heltal blir fyrsiffrig så måste
åtminstone det ena talet vara större än 31.
4. Visa med användning av kända trigonometriska ekvivalenser att
1
sin x
1
−
=
sin x tan x
1 + cos x
för alla x.
5. I en likbent triangel är basen dubbelt så lång som höjden mot basen. Visa
att triangeln är rätvinklig.
6. Visa att det inte finns något heltal n som uppfyller likheten
2n + 3n = 3n − n2
Tips: kombinera en case-analys (n är jämnt eller udda) med bevis genom
motsägelse (antag att likheten gäller).
7. Gäller
2n3 − 9n2 + 10n > 0
för alla positiva heltal n?
8. Visa att ekvationen x2 + 2x + a = 0 saknar lösningar om a > 1.
9. Visa att ekvationen
x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 = 0
saknar lösningar.
10. Visa att toppen av parabeln y = x2 − 2ax + 1 ligger på parabeln y =
−x2 + 1 oberoende av värdet på a.
97
9 Bevisstrategier
11. Uttryck talet 99 som en summa av två eller flere konsekutiva (efter varandra följande) heltal på så många olika sätt som möjligt (en möjlighet ät
99 = 49 + 50). Organisera din lösning så att den presenterar logiskt hållbara argument för att du faktiskt hittat alla möjliga lösningar.
98
10 Kvantorer
En kvantor är en logisk symbol som binder en variabel, dvs som förvandlar ett
uttryck så att en viss variabel i uttrycket får en ny betydelse. Vi börjar med
att ta upp allkvantorn ∀ och fortsätter sedan med existenskvantorn ∃. Slutligen
visar vi hur dessa båda kvantorer kan användas tillsammans för att beskriva
mer invecklade matematiska begrepp, såsom gränsvärden och kontinuitet.
Allkvantorn
Om vi ersätter variabeln x i uttrycket x > 5 med ett värde uppstår ett uttryck
utan variabler. Beroende på vilket värde som substitueras för x blir uttrycket
sant (tex för substitutionen x := 7) eller falskt (tex för x := 3).
Betrakta nu uttrycket x+2 > x. Oberoende av vilket värde man substituerar
för x så kommer resultatets sanningsvärde att vara T . Vi kan alltså påstå att
x + 2 > x är sant för alla värden på x
Ett påstående som är sant för alla möjliga värden på de ingående variablerna
liknar en tautologi, men det är viktigt att se skillnaden: en tautologi är ett rent
logiskt uttryck (till exempel p∨¬p: de ingående variablerna är satsvariabler, som
antar sanningsvärden) medan det nu handlar om aritmetisk-logiska uttryck.
En motsvarighet till motsägelser finns också: till exempel är uttrycket x2 +1 <
0 falskt för alla (reella) värden på variabeln x.
Allkvantorn Allkvantorn ∀ utläses “för alla” (eng. “for all”, kallas också universalkvantor). Ett exempel visar bäst hur den används:
(∀x ∈ R • x + 1 > x)
utläses “för alla reella tal x gäller att x + 1 > x”. Parenteserna hör alltså till,1
liksom den tjocka punkten som skiljer åt variabelangivelsen x ∈ R och det
kvantifierade uttrycket x + 1 > x.
1
Det finns ingen allmänt accepterad standard för hur kvantifierade uttryck skall skrivas.
Andra använda skrivsätt är (∀x ∈ R)(x + 1 > x) och ∀x ∈ R : x + 1 > x.
99
10 Kvantorer
Vi säger att variabeln x binds av kvantifieringen och att förekomsterna av
x efter punkten (dvs i x + 1 > x) är bundna. Motsatsen till bunden är fri, så
variabler som inte är bundna av en kvantor sägs vara fria.
Om det är klart vilken mängd variabeln tillhör kan mängdtillhörigheten utelämnas. Man kan alltså skriva (∀x • x + 1 > x) i stället för (∀x ∈ R • x + 1 > x)
om det är klart ur sammanhanget att variabeln x varierar över de reella talen.
Allkvantorn kan användas för att binda flere variabler samtidigt. Uttrycket
(∀x y • x + y + 1 > x + y − 1)
påstår att x + y + 1 > x + y − 1 gäller för alla möjliga kombinationer av värden
på x och y. Det samma kunde skrivas
(∀x • (∀y • x + y + 1 > x + y − 1))
Många matematiska påståenden kräver kvantorer för att kunna formulelras
exakt. Till exempel säger
(∀x • f (x) ≤ a)
att funktionen f är uppåt begränsad (av a).
Allkvantor och sanningsvärde Påståendet (∀x ∈ R • x + 1 > x) är sant
eftersom påståendet x + 1 > x är sant för alla tillåtna värden på x. Det är
alltså rätt att skriva
(∀x ∈ R • x + 1 > x) ⇔ T
Däremot är påståendet (∀x ∈ R • x2 ≥ x) inte sant eftersom det finns motexempel: om x har värdet 12 så blir påståendet x2 ≥ x falskt. Alltså gäller
(∀x ∈ R • x2 ≥ x) ⇔ F
Ett allkvantifierat uttryck kan uppfattas som en oändlig konjunktion, speciellt om variabeln varierar över en mängd som kan beskrivas med en uppräkning.
Att påstå
(∀x ∈ N • x + x = 2x)
kan uppfattas som detsamma som det oändliga uttrycket
0 + 0 = 2 · 0 ∧ 1 + 1 = 2 · 1 ∧ 2 + 2 = 2 · 2 ∧ 3 + 3 = 2 · 3 ∧ ...
I strikt logisk mening är kvantifieringen något annat än en konjunktion (och
oändliga uttryck kan inte hanteras med vanlig logik).
100
Implicit allkvantor Många av matematikens regler är likheter som gäller för
alla värden på de ingående variablerna. Till exempel kunde konjugatregeln skrivas
(∀a b • (a + b)(a − b) = a2 − b2 )
Det är allmänt accepterat att en yttersta allkvantor kan lämnas bort, och
när regeln i stället skrivs
(a + b)(a − b) = a2 − b2
skall den tolkas som att påståendet gäller för alla möjliga värden på a och b.
Oberoende av hur regeln skrivs är betydelsen densamma: variablerna a och
b får ersättas med vilka värden eller uttryck som helst och påståendet är fortfarande sant.
Några kvantifieringsregler Påståendena
(∀x • x2 ≥ 0)
och
(∀y • y 2 ≥ 0)
är helt likvärdiga, eftersom de båda påstår att alla kvadrater är minst 0. Detta
illustrerar regeln att då en variabel binds av en kvantifiering förlorar variabelnamnet sin betydelse. Formellt kan regeln uttryckas så att
(∀x • t) ⇔ (∀y • t[x := y])
(y inte fri i t)
dvs den kvantifierade variabeln kan ersättas med en ny variabel. Sidovillkoret
“y inte fri i t” uttrycker att variabelnamnet y inte är använt i t.
Det finns några andra “självklara” regler som lätt kan motiveras utgående
från allkvantorns intuition. En “tom” kvantifiering har ingen verkan:
(∀x • t) ⇔ t
(x inte fri i t)
Sidovillkoret att “x är inte fri i t” är typiskt vid kvantifieringar: det uttrycker
att en variabel inte får förvandlas från fri till bunden då kvantifieringen ändras.
Till exempel kan (∀x • z = 2) förenklas till z = 2 eftersom x inte förekommer
inom det uttryck som kvantifieringen täcker.
Det finns regler för hur en kvantifiering kan “utvidgas” från ett deluttryck:
(∀x • t) ∧ t0 ⇔ (∀x • t ∧ t0 )
(x inte fri i t0 )
(∀x • t) ∨ t0 ⇔ (∀x • t ∨ t0 )
(x inte fri i t0 )
Det finns flere liknande regler (se uppgifterna nedan), som visar att det är
101
10 Kvantorer
viktigt att vara noggrann med kvantorernas räckvidd (eng. scope), som visas
av parenteserna.
Följande exempel visar att sidovillkoret är viktigt i den sista regeln ovan. Låt
t vara x 6= 0 och låt t0 vara x = 0. Då kan (∀x • t) ∨ t0 förenklas till x = 0 medan
(∀x • t ∨ t0 ) kan förenklas till T . De två påståendena är alltså inte ekvivalenta.
Generalisering Vi skall nu se på hur allkvantifierade påståenden kan bevisas,
med hjälp av några standardmetoder.
För att bevisa att ett påstående av formen (∀x • t) används generaliseringsregeln:
t
(∀x • t)
Regeln säger att om vi lyckas visa ett påstående t (där variabeln x ingår) utan
att utnyttja någon information om x så kan vi dra slutsatsen (∀x • t). 2
Generaliseringsregeln används i praktiken i traditionella matematiska bevis
så att man säger
“Låt x vara ett godtyckligt tal”
och sedan bevisar man påståendet t, varefter man drar slutsatsen att eftersom x
var godtyckligt (och alltså inga av de antaganden man använder under bevisets
gång kunde begränsa x) så gäller t för alla möjliga värden på x.
Specialisering Ett antagande med en allkvantor kan utnyttjas i en härledning
genom att man använder specialiseringsregeln
(∀x • t)
t[x := E]
Denna regel uttrycker att om ett påstående t gäller för alla x så gäller det också
för ett speciellt x (nämligen E). Här kan E vara ett värde eller ett uttryck.
Ett exempel visar hur denna regel används. Antag att vi för en funktion f
känner till
(∀x • f (x) > 0)
2
Egentligen skall regeln skrivas som
Γ ` t
Γ ` (∀x • t)
(x inte fri i Γ)
där Γ är en mängd av påståenden (antaganden) och sidovillkoret “x inte fri i Γ” betyder
att antagandena inte får handla om x, dvs de får inte begränsa de möjliga värdena på x.
102
dvs att f överallt är positiv. Då kan vi i en härledning utnyttja tex att f (3) > 0
eftersom det är resultatet då vi substituerar x := 3 i det kvantifierade uttrycket
f (x) > 0.
Predikat Hittills har vi använt t (och t0 , osv) som allmänt namn på uttryck,
oberoende av vilka variabler de innehåller. Då det handlar om uttryck som innehåller någon speciell variabel är det enklare att tala om dem som predikat. Ett
predikat är ett logiskt uttryck P (x) som innehåller en variabel x som speciellt
pekats ut. Två exempel är
P (x): x var en filosof
Q(y): 5 + y < 6
Skrivsättet är samma som för matematikens funktionsbegrepp, men då man
substituerar ett värde för variabeln blir resultatet ett sanningsvärde. Till exempel är P (Sokrates) är sant medan Q(3) är falskt.
Vi antar för enkelhets skull att det alltid sägs ut (eller framgår ur sammanhanget) vilken mängd variabeln i ett predikat varierar över. Tex kan vi säga
att x i predikatet P (x) varierar över mänskor som levt före år 2000 eller att y
i Q(y) varierar över de reella talen.
Induktion Betrakta påståendet
“summan av de naturliga talen upp till n är
n(n+1)
”
2
Genom att pröva sig fram visar man lätt att det stämmer för n = 0, för n = 1,
för n = 2, osv.
För n = 0 säger påståendet att
0=
0·1
2
vilket uppenbart är sant (eftersom högra sidans värde blir 0). För n = 1 säger
det att
1·2
0+1=
2
och för n = 2
2·3
0+1+2=
2
vilket också är sant.
Det ligger nära till hands att ur en sådan samling exempel dra slutsatsen att
påståendet också gäller för större tal, tex n = 15. En sådan slutledning kallas
induktion, men den är inte matematiskt giltig.
103
10 Kvantorer
Matematisk induktion som bevismetod Med matematisk induktion kan man
visa att ett påstående P (n) gäller för alla naturliga tal n. I själva verket kan
induktion användas i bevis över alla slags ordnade mängder där det är meningsfullt att tala om värden som följer efter varandra.
Den matematiska induktionsmetoden bygger på följande regel:
P (0)
P (n) ⇒ P (n + 1)
(∀n ∈ N • P (n))
Här står P (n) alltså för ett påstående som handlar om variabeln n. På svenska
kan regeln förklaras så här: För att visa att påståendet P (n) är sant för alla
naturliga tal n räcker det att visa två saker:
1. P (0), dvs påståendet är sant för n = 0, och
2. P (n) ⇒ P (n + 1), dvs om påståendet är sant för ett naturligt tal n så är
det också sant för n + 1.
I det andra steget får man alltså anta att P (n) är sant (induktionsantagandet)
när man visar att P (n + 1) är sant.
De två bevisstegen kallas bassteget (a) och induktionssteget (b). Slutsatsen
kan motiveras med följande kedja av argument:
• enligt (a) gäller P (0), och
• enligt (b) följer P (1) av P (0), så P (1) gäller, och
• enligt (b) följer P (2) av P (1), så P (2) gäller,
• osv
där argumentet fortsätter vidare enligt samma mönster till hur stora värden på
n som helst.
För att bevisa påståendet
(∀n ∈ N • 0 + 1 + . . . + n =
n(n + 1)
)
2
bestämmer vi först att använda namnet P (n) för uttrycket
0 + 1 + ... + n =
Därefter utförs de två stegen:
104
n(n + 1)
2
1. I bassteget visas P (0), dvs 0 =
uppenbart sant.
0(0+1)
.
2
Det är, som redan konstaterats,
2. För induktionssteget antar vi att P (n) är sant, dvs
(Aind)
0 + 1 + ... + n =
n(n + 1)
2
och visar P (n + 1), dvs
0 + 1 + . . . + n + (n + 1) =
(n + 1)(n + 2)
2
(märk hur påståendet ser ut då n ersatts med n + 1). Detta görs enkelt
med en härledning:
=
0 + 1 + . . . + n + (n + 1)
{induktionsantagandet (Aind)}
n(n+1)
2
=
+ (n + 1)
{skriv på gemensamt bråkstreck}
n2 +n+2n+2
2
=
{förenkla}
n2 +3n+2
2
=
{faktorisera täljaren}
(n+1)(n+2)
2
Här har vi nått den önskade slutsatsen och induktionssteget är klart.
Eftersom både bassteget och induktionssteget är klara har vi (enligt induktionsregeln) visat
n(n + 1)
(∀n ∈ N • 0 + 1 + . . . + n =
)
2
Induktionsbevis följer oftast ett bestämt mönster:
1. Det som skall bevisas anpassas till mönstret (∀n ∈ N • P (n)).
2. Bassteget P (0) bevisas.
3. Induktionsantagandet P (n) nedskrivs.
4. Induktionsstegets önskade resultat P (n + 1) omskrivs så att man kan
utnyttja induktionsantagandet i ett förenklingssteg.
5. Slutsatsen konstateras, dvs att P (n) gäller för alla n.
105
10 Kvantorer
I detta exempel handlade påståendet (predikatet) P (n) om en summa av tal,
men det kan lika väl handla om geometriska objekt, om sannolikheter, mm.
Existenskvantorn
Allkvantorn talar om att påståenden är sanna för alla värden på en variabel,
och kan uppfattas som ett slags allmän konjunktion. Allkvantorns “dual” är ett
slags allmän disjunktion och talar om att påståenden är sanna för något värde
på en variabel.
Existenskvantorn Existenskvantorn ∃ utläses “det finns” (eng. “there exists”).
Ett exempel visar bäst hur den används:
(∃x ∈ R • x2 = 2)
utläses “det finns ett reellt tal x sådant att x2 = 2”. Variabeln x är bunden av
kvantorn, och precis som för allkvantorn kan mängdtillhörigheten utelämnas
om det är klart ur sammanhanget att variabeln x varierar över de reella talen.
Påståendet (∃x ∈ R√• x2 = 2) är sant eftersom det är möjligt att hitta ett
2
värde på x (nämligen
√ 2) som gör x = 2 sant. Att det finns flere värden som
gör det sant (x = − 2 duger också) ändrar inte på saken: ett vittne räcker för
att ett existenskvantifierat påstående skall vara sant.
Vi har sett att allkvantorn ofta kan undvikas genom att uttryck med fria
variabler antas (implicit) allkvantifierade. Existenskvantorn kan inte undvikas
lika enkelt, men ibland antyder man en existenskvantor genom att skriva tex
“för något x” eller “där x väljs på lämpligt sätt”.
Exempel på existenskvantorn: delbarhet Existenskvantorn kommer till användning vid definition av egenskaper som tex delbarhet. Vi vet att talet 18 är
delbart med 6 eftersom divisionen 18/6 går “jämnt ut” (med resultatet 3). Mer
exakt följer delbarheten av att det finns ett tal (nämligen 3) som multiplicerat
med 6 ger 18. Allmänt definierar vi skrivsättet
m|n
(utläses “m delar n” eller “m är en faktor i n” eller ”n är delbart med m") enligt
m | n ⇔ (∃k • k · m = n)
106
Regler för existenskvantorn För existenskvantorn gäller samma grundläggande regler som för allkvantorn:
(∃x • t) ⇔ (∃y • t[x := y])
(y inte fri i t)
(∃x • t) ⇔ t
(x inte fri i t)
0
0
(∃x • t) ∧ t ⇔ (∃x • t ∧ t )
(x inte fri i t0 )
(∃x • t) ∨ t0 ⇔ (∃x • t ∨ t0 )
(x inte fri i t0 )
Sidovillkoret garanterar att ingen variabel förvandlas från fri till bunden då
kvantifieringen ändras.
Bevis med existenskvantorn För att bevisa ett påstående av formen (∃x • t)
räcker det med att hitta ett vittne, dvs ett uttryck a sådant att t[x := a] är
sant. Detta framgår av vittnesregeln:
t[x := a]
(∃x • t)
Ett antagande av formen (∃x • t) är svårt att arbeta med, men om vi vet
att något existerar så kan vi också ge det ett namn. Antagandet kan alltså
ersättas med ett antagande t[x := z] där z är ett nytt variabelnamn. Ett sådant
antagande är lättare att utnyttja i ett bevis.
Detta sätt att arbeta motiveras av regeln
t[x := z] ⇒ t0
(∃x • t) ⇒ t0
(z inte fri i t0 )
Exempel: delbarhet Ett delbarhetsexempel illustrerar hur bevis med existenskvantorer kan göras. Vi visar att summan av två jämna tal är ett jämnt tal:
x är jämnt ∧ y är jämnt ⇒ x + y är jämnt
De två antagandena är egentligen (∃k • x = 2k) och (∃k • y = 2k) enligt
definitionen på delbarhet. Vi kan alltså införa lämpliga namn (tex k1 och k2 )
på de två tal som antagandena säger att existerar. Det betyder att vi har
antagandena
(A1) x = 2k1
(A2) y = 2k2
Nu gäller det att visa att x + y är jämnt, dvs (∃k • x + y = 2k). Vi har
107
10 Kvantorer
x+y
=
{antagandena (A1) och (A2)}
2k1 + 2k2
=
{bryt ut 2}
2(k1 + k2 )
och enligt vittnesregeln har vi visat (med k1 +k2 som vittne) att (∃k•x+y = 2k),
dvs att x + y är jämnt.
En fullständigare härledning skulle se ut så här:
“x + y är jämnt”
⇔
{definitionen av jämnt tal}
(∃k • x + y = 2k)
⇔
{vittnesregeln: vittne k1 + k2 för k}
=
=
x+y
{antagandena (A1) och (A2)}
2k1 + 2k2
{bryt ut 2}
2(k1 + k2 )
··· T
där alltså vittnet k1 + k2 motiverar det sista steget.
En kvantorparadox Många trigonometriska ekvation har oändligt många periodiskt återkommande lösninger. Vi kan som exempel ta ekvationen
cos x = 1
som har lösningarna
. . . , −4π , −2π , 0 , 2π , 4π , . . .
Ett vanligt sätt att sammanfatta detta är att ange lösningen som
x = n · 2π , n ∈ Z
108
dvs underförstått att x = n · 2π är en lösning för alla heltal n. Men vill vi
uttrycka det exakt är det en existenskvantor som krävs, eftersom
cos x = 1 ⇔ (∃n ∈ Z • x = n · 2π)
Detta kan verka paradoxalt, men förklaras bäst om man läser ekvivalensen
enligt
x är en lösning till ekvationen om x är en multipel av 2π, dvs om
x = n · 2π för något heltal n.
Tillämpning av kvantorer
Inom matematiken är man ofta intresserad av egenskaper hos matematiska
objekt som funktioner eller talföljder, tex att en funktion är kontinuerlig i en
punkt eller att en talföljd är konvergent. För att sådana egenskaper skall kunna
uttryckas exakt krävs ofta en kombination av all- och existenskvantorer.
Att uttrycka egenskaper exakt Här är några exempel på påståenden som
kräver kvantorer i en exakt matematisk beskrivning:
• funktionen f är strängt växande:
(∀x y • x < y ⇒ f (x) < f (y))
• funktionen g har det globala maximivärdet a:
(∃x • f (x) = a) ∧ (∀x • f (x) ≤ a)
• funktionen f växer över alla gränser:
(∀y • ∃x • f (x) > y)
• talföljden (xi )∞
i=1 är konvergent med gränsvärdet x:
(∀ε > 0 • ∃n • ∀i • i ≥ n ⇒ |xi − x| < ε)
• funktionen h har ett lokalt minimivärde för x = x0 :
(∀ε • ∃δ • ∀x • |x − x0 | < δ ⇒ f (x0 ) ≤ f (x))
109
10 Kvantorer
• funktionen f är kontinuerlig för x = x0 :
(∀ε > 0 • ∃δ • ∀x • |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε)
De tre sista exemplen visar vartåt vi är på väg: den klassiska analysens epsilondelta-resonemang för bevis som gäller gränsvärden och kontinuitet. Alla tre
påståenden har tre alternerande kvantorer (∀ − ∃ − ∀), vilket kan tolkas som
att de är rätt så komplicerade.
Exempel: ett bevis med två kvantorer Vi visar att den harmoniska serien
1+
1 1 1
+ + + ...
2 3 4
är divergent genom att visa att delsummorna växer över varje gräns. Vi skall
alltså visa att
(∀z • ∃n • sn ≥ z)
där
1
1 1
+ + ... +
2 3
n
För enkelhets skull antar vi att z varierar över de positiva heltalen. Det är
ingen egentlig begränsning, och det underlättar det sista steget i beviset.
Beviset utgår ifrån olikheten längst in, sn ≥ z. Målet är att hitta ett vittne
för existenskvantifieringen över n, dvs ett uttryck E (som kan innehålla z ) som
gör olikheten sann. Som förberedelse använder vi ett typiskt knep i samband
med summor, nämligen gruppering. Vi har
sn = 1 +
s2k
=
{definitionen av sn }
1+
=
1
2
+ ... +
1
2k
+ ( 13 + 14 ) + ( 51 +
1
2
+ ( 14 + 14 ) + ( 81 +
1
6
+
1
7
+ 18 ) + . . . + ( 2k−11 +1 . . . +
1
8
+
1
8
+ 18 ) + . . . + ( 21k . . . +
1
)
2k
{summan i varje grupp blir 12 , antalet grupper är k}
1+k·
110
1
3
{minskningar överallt}
1+
=
+
{gruppering av bråken i k grupper}
1+
≥
1
2
1
2
1
)
2k
och om vi använder generaliseringsregeln på resultatet av härledningen har vi
1
(∀k • s2k ≥ 1 + k · )
2
Den här slutsatsen kan nu utvecklas vidare:
(∀k • s2k ≥ 1 + k · 12 )
⇒
{specialisera med k := 2z − 2}
s22z−2 ≥ z
⇔
{vittnesregeln med vittnet n := 22z−2 }
(∃n • sn ≥ z)
Motiveringen till att välja just k := 2z − 2 i specialiseringssteget var att då blir
högra sidan z och det var dit vi ville komma. Nu återstår bara ett generaliseringssteg och vi har nått målet:
(∀z • ∃n • sn ≥ z)
Exempel: ett epsilon-delta-bevis För att visa att en funktion f är kontinuerlig i en punkt x visar man följande:
(∀ε > 0 • ∃δ • ∀x0 • |x0 − x| < δ ⇒ |f (x0 ) − f (x)| < ε)
Som exempel väljer vi funktionen
f (x) = 2x
och startar arbetet från den innersta implikationen. Målet är att åstadkomma
en härledning som visar
|f (x0 ) − f (x)| < ε ⇐ |x0 − x| < E
där E är ett uttryck som kan innehålla x och men inte x0 . Uttrycket E är det
blivande vittnet för existenskvantifieringen över δ.
|2x0 − 2x| < ε
⇔
{dividera båda sidor med 2}
|x0 − x| <
ε
2
111
10 Kvantorer
Enligt generaliseringsregeln (och eftersom ekvivalens är starkare än implikation)
har vi lyckats visa
(∀x0 • |x0 − x| <
ε
⇒ |2x0 − 2x| < ε)
2
och detta blir startpunkten för nästa härledning:
(∀x0 • |x0 − x| <
⇒
ε
2
⇒ |2x0 − 2x| < ε)
{vittnesregeln med δ =
ε
2
som vittne}
(∃δ • ∀x0 • |x0 − x| < δ ⇒ |2x0 − 2x| < ε)
och nu kan generaliseringsregeln användas en gång till för att ge
(∀ε • ∃δ • ∀x0 • |x0 − x| < δ ⇒ |2x0 − 2x| < ε)
vilket skulle visas.
För att visa att en annan funktion är kontinuerlig kan exakt samma mönster
användas - endast den första härledningen måste bytas ut (för mera invecklade
funktionsuttryck kan härledningen förstås bli betydligt mera komplicerad).
Uppgifter I uppgifterna varierar alla variabler över de reella talen om inget
annat anges.
1. Avgör om följande påståenden är sanna eller falska (informell motivering
räcker, eller ett motexempel):
a) (∀x • x2 > x)
b) (∀x • x2 > x − 1)
2. Låt t vara påståendet x 6= 0 och låt t0 vara påståendet x = 0. Visa att
a) (∀x • t) ∨ t0 kan förenklas till x = 0,
b) (∀x • t ∨ t0 ) kan förenklas till T .
3. Skapa ett motexempel som visar att ekvivalensen
(∃x • t) ∧ t0 ⇔ (∃x • t ∧ t0 )
inte behöver gälla om x förekommer fri i t0 .
4. Motivera varför följande regel gäller:
(∀x • t) ∧ (∀x • t0 ) ⇔ (∀x • t ∧ t0 )
112
5. Ge ett motexempel som visar följande:
(∀x • t) ∨ (∀x • t0 ) 6⇔ (∀x • t ∨ t0 )
6. I förenklingar har man ofta nytta av enpunktsregeln
(∀x • x = a ∧ t) ⇔ t[x := a]
Motivera, via exempel, att regeln är rimlig.
7. Översätt följande kvantifierade påståenden till så enkel “vardagsmatematik” som möjligt:
(∀z • f (z) < f (x))
Tips: påståendet kan formuleras så att det inte alls nämner den kvantifierade variabeln.
8. Visa att följande gäller:
(∀x • 0 < x < 1 ⇒ x > x2 )
9. Visa med induktion att i en plan månghörning med n hörn är summan
av vinklarna alltid (n − 2) · 180◦ . Tips: induktionen startar från n = 3.
10. Avgör om följande påståenden är sanna eller falska (motivera ditt svar i
ord):
a) (∀x • (∃x • x > y)
b) (∃x • (∀x • x > y)
c) (∀x y • x > y ⇒ (∃z • x < z ∧ z < y)
11. Uttryck följande påstående med hjälp av en existenskvantor: Heltalen m
och n har en gemensam faktor.
12. Visa att om heltalen x och y är delbara med ett heltal m så är också
skillnaden x − y delbar med m.
13. Lös ekvationen sin x =
1
2
och skriv lösningen med kvantorer.
14. Uttryck följande med hjälp av kvantorer:
a)
b)
c)
d)
funktionen g har det globala minimivärdet a:
Talföljden (yi )∞
i=1 är strängt växande.
Funktionen f har ett globalt maximum för x = x0 .
Funktionen g har gränsvärdet a då x går mot x0 .
113
10 Kvantorer
114
Litteraturförteckning
[1] R. J. Back, M. Sjöberg, and J. von Wright. Field tests of the structured
derivations method. Tech. Rpt. 491, Turku Centre for Computer Science,
November 2002.
[2] Ralph-Johan Back. Matematik med litet logik: Introduktion till strukturerade härledningar. TUCS Lecture Notes 7, Abo Akademi, Dept of
Information Technologies, October 2008.
[3] Ralph-Johan Back. Matematik med litet logik: Logik för strukturerade
härledningar. TUCS Lecture Notes 8, Abo Akademi, Dept of Information
Technologies, October 2008.
[4] Ralph-Johan Back. Matematik med litet logik: Strukturerade härledningar
som allmänt bevisformat. TUCS Lecture Notes 9, Abo Akademi, Dept of
Information Technologies, October 2008.
[5] Ralph-Johan Back, Jim Grundy, and Joakim von Wright. Structured calculation proof. Formal Aspects of Computing, 9:469–483, 1997.
[6] Ralph-Johan Back, Mia Peltomäki, Tapio Salakoski, and Joakim von
Wright. Structured derivations supporting high-school mathematics. In
A. Laine, J. Lavonen, and V. Meisalo, editors, Proceedings of the 20th Annual Symposium of the Finnish Mathematics and Science Education Research Association, Research Report 253, pages 104–122, Helsinki, Finland,
2004. Department of Applied Sciences of Education, University of Helsinki.
[7] Ralph-Johan Back and Joakim von Wright. Doing high school mathematics
carefully. TUCS Technical Report 140, TUCS - Turku Centre for Computer
Science, 1997.
[8] Ralph-Johan Back and Joakim von Wright. Refinement Calculus: A Systematic Introduction. Springer-Verlag, 1998. Graduate Texts in Computer
Science.
[9] Ralph-Johan Back and Joakim von Wright. A method for teaching rigorous
mathematical reasoning. In Proceedings of Int. Conference on Technology
of Mathematics, University of Plymouth, UK, Aug 1999.
115
Litteraturförteckning
[10] Ralph-Johan Back and Joakim von Wright. Matematik med lite logik:
En kort kurs i talteori. TUCS Lecture Notes 2, Abo Akademi, Dept of
Information Technologies, October 2008.
[11] Ralph-Johan Back and Joakim von Wright. Matematik med litet logik:
Strukturerade härledningar i gymnasiematematiken. TUCS Lecture Notes 1, Abo Akademi, Dept of Information Technologies, October 2008.
[12] Ralph-Johan Back and Joakim von Wright. Matematik med litet logik:
Studentexamen i lång matematik, våren 2003. TUCS Lecture Notes 3,
Abo Akademi, Dept of Information Technologies, October 2008.
[13] R.J. Back, T. Kavander, M. Nylund, M. Peltomäki, T. Salakoski, and
J. von Wright. Teaching high-school mathematics with structured derivations in hypertext format). In International Conference on Computer
Systems and Technologies – CompSysTech, Sofia, Bulgaria, June 2002.
[14] A. Church. A formulation of the simple theory of types. Journal of Symbolic Logic, 5:56–68, 1940.
[15] Edsger W. Dijksta and C. S. Scholten. Predicate Calculus and Program
Semantics. Springer-Verlag, 1990.
[16] E.W. Dijkstra. The notational conventions i adopted, and why. Formal
Aspects of Computing, 14:99 – 107, 2002.
[17] M.J.C. Gordon and T.F. Melham. Introduction to HOL. Cambridge University Press, New York, 1993.
[18] David Gries. Teaching calculation and discrimination: A more effective
curriculum. Communications of the ACM, (34):45 – 54, 1991.
[19] David Gries and Fred Schneider. A Logical Introduction to Discrete Mathematics. Springer-Verlag, 1993.
[20] David Gries and Fred Schneider. Teaching math more effectively through
calculational proofs. Am. Math. Monthly, pages 691–697, October 1995.
[21] G. Hanna. Challenges to the importance of proof. For the Learning of
Mathematics, 15(3):42–49, 1995.
[22] MAOL. MAOLs tabeller - matematik, fysik, kemi. Schildts, 2000.
[23] A. J. M. van Gasteren. On the Shape of Mathematical Arguments. Lecture
Notes in Computer Science. Springer-Verlag, Berlin, 1990.
116
Turku Centre for Computer Science
TUCS Lecture Notes
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Ralph-Johan Back och Joakim von Wright, Matematik med lite logik:
Strukturerade härledningar i gymnasiematematiken
Ralph-Johan Back och Joakim von Wright, Matematik med lite logik: En kort
kurs i talteori
Ralph-Johan Back och Joakim von Wright, Matematik med lite logik:
Studentexamen i lång matematik, våren 2003
Ralph-Johan Back och Joakim von Wright, Matematiikkaa logiikan avulla:
Rakenteiset päättelyketjut lukiomatematiikassa
Ralph-Johan Back och Joakim von Wright, Matematiikkaa logiikan avulla:
Lyhyt lukuteorian kurssi
Ralph-Johan Back och Joakim von Wright, Matematiikkaa logiikan avulla:
Pitkän matematiikan ylioppilaskoe, kevät 2003
Ralph-Johan Back, Matematik med lite logik: Introduktion till strukturerade
härledningar
Ralph-Johan Back, Matematik med lite logik: Logik för strukturerade
härledningar
Ralph-Johan Back, Matematik med lite logik: Strukturerade härledningar som
allmänt bevisformat
Ralph-Johan Back, Matematiikkaa logiikan avulla: Johdatus rakenteisiin
päättelyketjuihin
Ralph-Johan Back, Matematiikkaa logiikan avulla: Logiikka ja rakenteiset
päättelyketjut
Ralph-Johan Back, Matematiikkaa logiikan avulla: Rakenteiset päättelyketjut
yleisenä todistusmuotona
Turku
Centre for
Computer
Science
Joukahaisenkatu 3-5 B, 20520 Turku, Finland | www.tucs.fi
University of Turku
l
Department of Information Technology
l
Department of Mathematics
Åbo Akademi University
l
Department of Information Technologies
Turku School of Economics
l
Institute of Information Systems Sciences
ISBN 978-952-12-2173-6
ISSN 1797-8831
Back & von Wright
Matematik med lite logik: Strukturerade härledningar i gymansiamatematikan