TENTAMENSSKRIVNING
ENDIMENSIONELL ANALYS B1
2016-08-27 kl 813
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA
MATEMATIK
INGA HJÄLPMEDEL.
Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar, förutom uppgift 1 där endast
svar krävs. Nödvändigt dock ej tillräckligt villkor för godkänt är 8 av 10 rätt på uppgift 1.
NAMN och PERSONNUMMER:
PROGRAM:
1.
a) Ange det exakta värdet av
sin(225◦ ).
____________________________________________
b) Lös ekvationen
√
x − 6 = 7.
____________________________________________
c) Lös ekvationen
x3 + x2 − 2x = 0.
____________________________________________
d) Lös ekvationen
ln(−4x + 3) − ln(−4x + 4) = ln 2.
____________________________________________
e) I en rätvinklig triangel är en katet
60◦ .
9 cm och vinkeln mellan denna katet och hypotenusan
Hur lång är den andra kateten?
____________________________________________
f) Lös olikheten
−x2 + 5x − 4 > 0.
____________________________________________
g) Skriv uttrycket
√
32 +
√
2
på formen
√
a 2,
där
a
är ett heltal.
____________________________________________
h) Ange
ex
om
x = ln 4 − 2 ln 3.
Svaret för ej innehålla logaritmer.
____________________________________________
i) Förenkla uttrycket
x
y
−
y
x
1
y
−
1
x
så långt som möjligt.
____________________________________________
j) En linje går genom punkterna
(2, −2)
och
(6, −4).
Bestäm linjens ekvation på formen
y = kx + m.
____________________________________________
Var god vänd!
2. a)
Låt
x3
.
x2 − 1
y = f (x).
f (x) =
Bestäm samtliga asymptoter till kurvan
punkter och rita grafen till
b)
Bestäm också alla lokala extrem-
f (x).
(0.7)
Lös ekvationen
|x − 4| + |x + 1| = 5x.
(0.3)
3. a)
Bestäm gränsvärdena
2x + x10 + 2 log x
x→∞ 3 · 2x + x4 + 5 log x
och
lim
lim
x→∞
√
√
x2 + x − x2 − x
i de fall de existerar.
b)
(0.4)
Bestäm den konstanta termen i uttrycket
(ex + e−x )8 .
(0.3)
c)
Beräkna derivatan av
f (x) = (ex + e−x )8
och bestäm det minsta värdet av
reella linjen.
4. a)
b)
b)
Formulera satsen om mellanliggande värden. Avgör huruvida polynomet
p(x) = x4 + x3 + 3x2 − x − 10
har (minst) ett nollställe i intervallet
Hur många lösningar i intervallet
]0, 1[
[0, 2]?
(0.5)
har ekvationen
x ln x = −
2
e
?
Ledning: Försök inte lösa ekvationen.
(0.5)
Formulera och bevisa Pythagoras sats.
(0.5)
Låt
A = (0, 0), B = (1, 1)
och
C = (3, 0)
vara tre punkter i planet. Bestäm centrum
och radie för den cirkel som går genom alla dessa tre punkter.
6.
på
(0.3)
√
5. a)
f (x)
Antag att avståndet mellan två punkter
punkt i planet vars avstånd till
avstånd som
C
B
kan ha till linjen
(0.5)
A och B i planet är 10 cm. Låt C vara en tredje
3/2 gånger så stort som till A. Bestäm största möjliga
som går genom A och B .
är
LYCKA TILL!
Svar till tentamen i Endimensionell analys B1, 2016-08-27,
version 1
√
−1/ 2
b. x = 55.
c. x = 0, 1, −2.
1 a.
1
1
Inga
√ lösningar.
9 3 cm.
f. 1 < x < 4.
√
g. 5 2.
h. 4/9.
i. x + y .
1
j. y = − x − 1.
2
1 d.
1 e.
1
1
1
1
1
Asymptoterna
är; två lodräta vid x = √
±1 och en sned y = x. Extrempunkter; lokalt
√
min vid x = 3 samt lokalt max vid x = − 3. Terrasspunkt vid x = 0.
2 b. x = 1.
2 a.
. Gränsvärdena är 1/3 och
1.
8
b. Konstanttermen är
= 70.
4
0
x
−x
c. f (x) = 8(e − e
))(ex + e−x )7 . Minsta värdet är 28 .
3 a
3
3
Satsen om mellanliggande värden, se boken. Obs att p(0) = −10 < 0 och p(2) = 24 >
0, och eftersom polynom är kontinuerliga så säger satsen om mellanliggande värden säger
att det nns minst ett nollställe.
2
4 b. Precis en, x = 1/e .
4 a.
5 a.
5 b.
Se boken.
√
Centrum i (x, y) = (3/2, −1/2). Radien är 10/2.
Maximala avstånd är 12 cm. Om vi antar att A = (0, 0) och B(0, 10) så är kurvan som
C kan ligga på en cirkel med centrum i (−8, 0).
6.
