Den linjära harmoniska oscillatorn
- Driven av en extern kraft
Mattias Lalin
Analytisk Mekanik
Karlstads Universitet
Höstterminen 2003
1.Inledning
Denna uppsats handlar om den linjära harmoniska oscillatorn, driven av en extern kraft. Jag
kommer att inleda med att presentera några resultat från ett tidigare avsnitt som kan vara
nyttigt att känna till. Vi skall studera av hur en harmonisk oscillator svarar på olika krafter
som den utsätts för. Vi börjar med att studera en pendeloscillator som utsätts för en konstant
kraft som appliceras vid en viss tidpunkt. Vi går sedan vidare med att studera hur man med
hjälp av Greens Funktion kan lösa problem där kraften motsvaras av en impuls, ungefär som
ett hammarslag, som träffar den harmoniska oscillatorn vid en viss tidpunkt. Med hjälp av
Greens Funktion skall vi också visa att man kan lösa problemet med en godtycklig kraft som
påverkar oscillatorn, genom att summera ihop oändligt många sådana impulser. Slutligen
studerar vi en kraft som är periodisk, som en sinusvåg, som påverkar oscillatorn. Vi kommer
då att se hur oscillatorn svarar på denna speciella kraft och genom att sedan variera
frekvensen hos denna kraft kommer vi att studera Oscillatorns energilagring,
resonansfrekvens samt fasförskjutningen mellan oscillatorns naturliga frekvens i relation till
den drivande kraftens frekvens.
2. Den linjära harmoniska oscillatorn
En oscillator är ett system med periodisk rörelse. Under rörelsen omvandlas lägesenergi till
rörelseenergi och vice versa. Det finns en återställande kraft som kan utföra både ett positivt
och ett negativt arbete. Det positiva arbetet som kraften utför omvandlar den kinetiska energin
till lägesenergi, och det negativa arbetet omvandlar den potentiella energin tillbaka till
kinetisk energi. Om kraften är linjärt proportionell mot förflyttningen kallas oscillatorn för en
linjär, eller enkel, harmonisk oscillator. En linjär oscillator har den viktiga egenskapen att
oscillationsfrekvensen är oberoende av amplituden, åtminstone inom relativt små amplituder.
Detta kan man dra stor nytta av inom mekanik, där man ofta kan approximera små
svängningsrörelser med en harmonisk oscillator. Som t ex vibrerande flygplansvingar och
elektriska system, och till och med elektronernas vibrationer i en atom.
Om man löser rörelseekvationen för en enkel harmonisk oscillator (SHO), kommer man fram
till uttrycket:
q″ + ω02q = 0,
(*)
där q är lägeskoordinaten och ω0 är frekvensen.
Med införande av en ny enhetstid τ = ω0t, så att d2q/dt2 = ω02· (d2q/dτ2). I dessa nya
beteckningar har vi att q″ = d2q/dτ2, och vi kan istället skriva ekvationen för rörelsen:
q″ +q = 0. (1)
I den nya tidsenheten är perioden 2π, och frekvensen är ω0 =1 per definition.
Ekvation (1) är alltså rörelseekvationen för en SHO. Om man löser denna kommer man fram
till de reella (och fysiskt intressanta) lösningarna:
q(t) = Acos(t) + Bsin(t).
Med införandet av en friktionskraft som definieras som:
Ffriktion= -(1/Q)·q′, så får vi rörelseekvationen för en dämpad, enkel harmonisk oscillator,
(DSHO), som:
q″ + (1/Q)·q′ +q = 0. (2),
med den komplexa lösningen:
q(t) = Ace-(t/(2Q))·e±iω´t,
där ω´ = (1-1/(4Q2))½.
Beroende av värdet på Q så får man olika typer av lösningar. De kan vara antingen reella eller
komplexa, även om vi just nu bara är intresserade av de reella lösningarna:
(*) I fysik brukar man annars beteckna tidsderivata
med prickar över variabeln, men jag använder
här de vanliga primtecknen som nu står för
samma sak, dvs tidsderivatan av variabeln.
Underdamped, Q>½:
Lösning: q(t) = Ae-(t/(2Q))sin(ω´t + φ).
Overdamped, Q<½:
Lösning: q(t) = Aeλ+t +Be λ-t ,där λ± = -(1/(2Q)) ± ( (1/(4Q2))-1)½ < 0.
Critical Damping: Q=½:
Lösning: q(t) = Ce-t + Dte-t.
(3)
(5)
Konstanterna A,B,C,D kan bestämmas genom begynnelsevillkoren.
3. En oscillator driven av en extern kraft
Vi vill nu börja titta på hur en SHO/DSHO oscillator påverkas av en yttre drivande kraft.
Denna kraft skulle kunna bero av både tiden och läget, dvs F(q,t). Detta skulle bli för
matematiskt komplicerat, så vi nöjer oss med att studera en kraft som bara beror av tiden, F(t).
Men först studerar vi en oscillator som påverkas av en konstant kraft F0 som sätts på vid tiden
t=0.
Man kan tänka sig en pendel som består av en metallisk kula hängande i ett snöre som
påverkas av en magnet. Pendeln kommer att lämna sitt ursprungliga jämviktsläge och börja
oscillera kring ett nytt jämviktsläge. Bilden nedan visar den drivande kraften F0 som en
stegfunktion. Före tiden t=0 befinner sig pendeln i vila.
F(t)
F0
t
t=0
Bild 1. Konstant kraft påsatt vid t=0.
Med våra skalade variabler får vi dessa rörelseekvationer för t > 0:
SHO: q″ + q = F0.
DSHO: q″ + (1/Q)·q′ + q = F0.
Som vanligt när man löser denna typ av differentialekvationer så börjar man med att lösa
motsvarande homogena ekvation först för att sedan försöka hitta en partikulärlösning till
ekvationerna ovan. Man kan sedan addera ihop lösningarna så att man får q = qh + qp som den
fullständiga lösningen. Om vi nu kallar partikulärlösningen yp för ”steady state solution” och
yh för ”transient solution” så får vi den fullständiga lösningen som:
qmost general = qsteady state + qtransient.
Om vi nu tänker på vad som händer med pendeln efter att kraften plötsligt sätts på så kommer
pendeln att fara i väg och börja oscillera kring ett nytt jämviktsläge. Finns en friktionskraft
närvarande kommer oscillationerna så småningom att dö ut och pendeln förblir i vila i sitt nya
jämviktsläge. Om ingen friktionskraft finns närvarande vilket egentligen är orimligt så
kommer pendeln att fortsätta att oscillera kring sitt nya jämviktsläge i en oändlig tid. Vi kallar
det nya jämviktsläget för ”the steady state solution”, och de oscillationer som uppkommer
direkt efter att kraften appliceras för ”transient solution”.
Vi studerar nu en driven SHO/DSHO och antar att den konstanta kraften F0=1 appliceras vid
tiden t=0.
Eftersom kraften precis efter t=0 tar ett ändligt språng, så kan det inte finnas några
diskontinuiteter i vare sig q eller q′. q′ är kontinuerlig men har en ”kink”, så att q″ har ett
språng av storleken 1 vid t=0+.
Vi studerar våra rörelseekvationer:
SHO: q″ + q = 1.
DSHO: q″ + (1/Q)·q′ +q = 1.
Rent fysiskt vet vi att det alltid finns en viss dämpning på grund av friktion, och vi studerar
den drivna SHO som ett gränsfall av den drivna DSHO när Q → ∞. När pendeln åter befinner
sig i vila i sitt nya jämviktsläge drar vi den självklara slutsatsen att q′ = q″ = 0. Därmed
kommer vår ”steady state solution” att bli F = F0 = 1 för både SHO och DSHO. För att få tag i
den transienta lösningen måste vi lösa den motsvarande homogena ekvationen, som vi redan
känner lösningen till. Om vi nu väljer att titta på den drivna SHO så har vi alltså att lösa
ekvationen:
q″ + q = 0.
Lösning: q(t) = Acos(t) + Bsin(t).
Vilket ger den allmänna lösningen q(t) = 1 + Acos(t) + Bsin(t).
Med randvillkoren q(0+) = q(0+) = 0 så erhåller vi, för den drivna SHO:
q(t) = 1-cos(t).
Med samma resonemang för DSHO får man lösningen:
q(t) = 1- e-(t/(2Q))·(cosω´t – (1/(2Qω´))·sin ω´t), där ω´ = (1-1/(4Q2))½. (6)
Låter man Q → ∞, ser vi att det sista uttrycket går mot q(t) = 1-cos(t).
Vad vi har gjort i exemplet ovan är att vi först har gissat ”the steady state solution”. Sedan har
vi adderat denna till ”the transient solution”. De två godtyckliga konstanterna i den allmänna
lösningen har vi bestämt så att hela lösningen skall tillgodose randvillkoren. Om man inte
redan vet, eller inte vill gissa ”the stady state soulution” kan vi använda oss av en helt annan
metod, nämligen ”Greens Funktion”. Greens funktion kan användas för att lösa problem med
en externt drivande kraft som påverkar en oscillator. Närmare bestämt kan metoden användas
för alla linjära inhomogena ekvationer i alla fysiska problem. Den stora fördelen med Greens
funktion är att begynnelsevillkoren redan finns inkluderade från start, och efter att ha löst en
integral så erhålls både ”the steady state- och ”the transient solution, dvs hela lösningen. Det
finns ett väldigt direkt sätt att finna Greens funktion. Vi kommer att se att det är oscillatorns
respons av en speciell drivande kraft, nämligen en impuls, som ett hammarslag.
4. Att finna Greens Funktion för en SHO
Antag nu att den odämpade oscillatorn (SHO) erhåller en impulsiv kraft vid tiden t=t’. Impuls
definieras som ∫Fdt. En impulsiv kraft är definierad som en oändligt stor kraft verkande under
en infinitesimalt kort tid, och har en ändlig tidsintegral. Vi antar igen att oscillatorn befann sig
i vila innan tiden t=t’. Greens funktion G för detta system är lösningen till denna typ av
impulsdrivna kraftekvation. Rörelseekvationen som vi vill lösa för SHO är följande, som
också definierar G:
G″ + G = δ(t – t’),
(7)
där δ(x) representerar den impulsiva kraften, och kallas Diracs deltafunktion.
δ(x) definieras enligt följande:
δ(x) = 0
för x ≠ 0, och
∫ δ(x)dx = 1.
Vi kan tänka oss δ(x) som ett gränsvärde av en mycket smal, men starkt spetsig funktion med
enhetsarean under sig när vi låter bredden gå mot noll.
En följd av dessa egenskaper är att för någon funktion f(x), så gäller:
∫f(x)δ(x)dx = f(0).
Denna formel beskriver helt enkel en impulsiv kraft som träffar en oscillator, som en
hammare som slår till oscillatorn med ett slag som varar under så kort tid att oscillatorn rör sig
försumbart under den korta tid som kraften verkar.
4(a) Respons till impulsiv kraft
Nu skall vi titta på en metod att finna oscillatorns respons på en impulsiv kraft genom att
approximera den korta impulsen med en rektangulär puls med bredden ξ << 1 och höjden
(1/ ξ). Som förut definierar vi Fstep(x) ≡ 1 om x ≥ 0, och Fstep(x) ≡ 0 om x < 0.
Vi får följande uttryck för Fsquare pulse(t), där vi har subtraherat en lösning som erhållits för
Fstep(t – ξ) från Fstep(t), samt dividerat båda termerna med ξ:
Fsqare pulse(t) = (1/ ξ)·[Fstep(t) - Fstep(t – ξ)].
På samma sätt får vi:
qsqare pulse(t) = (1/ ξ)·[qstep(t) - qstep(t – ξ)].
Tidsintegralen ∫Fsquare pulse(t)dt = 1, även när ξ → 0. Integrationsgränserna måste inkludera ett
begränsat men godtyckligt litet intervall kring punkten t = 0. Om vi tar gränsvärdet när ξ → 0,
så får vi
Fimpulse(t) ≡ δ(t) = lim ξ → 0 (1/ ξ)·[Fstep(t) - Fstep(t – ξ)],
qimpulse(t) ≡ G(t) = lim ξ → 0 (1/ ξ)·[qstep(t) - qstep(t – ξ)] = d/dt (qstep(t)).
Resultatet för en driven SHO där en konstant kraft sattes på vid t=0 har vi redan sett, och vi
fick att q(t) = 1 – cos t. Detta ger resultatet:
qimpulse(t) ≡ G(t) = d/dt (qstep(t)) = sin t.
Vi kan flytta origo till en godtycklig tid t’ genom att skriva G(t – t’) = sin(t – t’). Från och
med nu antar vi att impulsen inträffar vid tiden t’.
4(b) Integrera över en diskontinuitet
Ett annat sätt att finna G utan att gissa steady state solution är att integrera den definierande
ekvationen G + G = δ(t – t’) över ett litet intervall 2ε som omsluter t’. Vi kommer då att se att
derivatan av G har en enhetsdiskontinuitet i t = t’:
t’+ε
∫ (G″ + G) dt =
t’-ε
t’+ε
∫ δ (t - t’) dt = 1,
t’-ε
t’+ε
varav
∫ G″ dt = G′(t’ + ε) - G′(t’ - ε),
t’-ε
t’+ε
och
∫ G(t) dt ≈ 2εG(t’) , om G kontinuerlig och ε litet.
t’-ε
Om vi nu låter ε → 0 så får vi att:
G′left - G′right = 1 , dvs G′ har ett enhetssprång i t = t’.
Om vi förutsätter att G själv är kontinuerlig och att oscillatorn befann sig i vila före tiden t =t’
kan vi sammanfatta detta enligt följande:
Hur hittar vi G:
1. G = 0 för t < t’. Lös den fria oscillatorekvationen för t > t’.
2. Gör G kontinuerlig i t = t’
3. Gör G′ diskontinuerlig med ett enhetssprång i t = t’.
Antag nu att vi har en SHO som vid tiden t = 0 erhåller en impuls och att den befann sig i vila
innan. Vi följer nu de tre stegen ovan.
G = 0 för t < t’ → uppfyllt.
Steg 1:
G″ + G = 0,
→
Steg 2:
Steg 3:
lös fria oscillatorekv.
G(t) = Asin t + Bcos t.
G(0) = 0 ger B = 0.
G′(0) = 0 ger A = 1,
Vilket ger lösningen G(t) = sin t, för t ≥ 0, och G(t) = 0 om t < 0. Om impulsen sker vid t = t’
så skriver vi istället
G(t – t’) = sin(t – t’), för t –t’ ≥ 0, och G(t) = 0 om t –t’< 0. Nedan ser vi graferna för G
respektive G′ där vi noterar diskontinuiteten för G′.
Bild 2. Diskontinuitet hos Ġ.
Motsvarande resonemang kan genomföras för en underdämpad DSHO, där man prövar med
ansättningen:
GDSHO = Ae –(t-t’)/(2Q) ·eiω’(t-t’) + Be –(t-t’)/(2Q) ·e-iω’(t-t’).
Genom att bestämma konstanterna A och B på samma sätt som i exemplet ovan kommer man
fram till (den reella) lösningen:
(1/ω)·e –(t-t’)/(2Q)·sin(t – t’),
(t – t’) ≥ 0,
(8)
0,
(t –t’) ≤ 0.
(9)
GDSHO(t – t’) =
5. Att lösa för godtycklig kraft
Vi vill nu studera hur en oscillator av typen SHO/DSHO reagerar på en godtycklig kraft som
appliceras på den. Kraften förutsätts fortfarande endast bero av tiden. Vi vill kunna lösa
ekvationen:
q″ + (1/Q)·q′ = F(t).
(DSHO med godtycklig kraft).
Lösningen för SHO fås om man tar gränsvärdet då Q → ∞.
Bild 3.
Ide´n är att approximera kraften F(t) med en mängd rektangulära pulser:
F(t) ≈ ξ ∑ Fi Fsquare pulse(t - ti).
i
Enligt definitionen har de rektangulära pulserna formen:
Fsquare pulse(x) = (1/ ξ),
-( ξ/2) ≤ x ≤ ( ξ/2),
Fsquare pulse(x) = 0,
annars.
Värdet av Fi är medelvärdet av F(t) i det lilla intervallet med bredden ξ runt ti. I gränsen då
ξ → 0, så når de rektangulära pulserna δ(t – ti’) och summan ovan går mot en integral över
den kontinuerliga variabeln t’. I denna gräns erhåller vi integralen:
+∞
F(t) = ∫ F(t’) δ(t – t’) dt’.
-∞
Ekvationen ovan uttrycker kraften F(t) som en superposition av impulser, och
superpositionsprincipen (låt summan ovan gå mot oändligheten) ger lösningen av responsen
som en superposition av Greens funktioner viktat med F(t’). Om Greens funktion är känd kan
vi omedelbart skriva ner resultatet:
t
q(t) = ∫ F(t’) G(t – t’) dt’.
(10)
-∞
Detta är alltså den allmänna lösningen på problemet med en godtycklig kraft som appliceras
på oscillatorn vid tiden t = t’, i termer av Greens funktion. Förutsättningen är att man redan
vet, eller kan bestämma Greens funktion i ett speciellt fall. Lägg märke till att den övre
gränsen har bytts ut, från +∞ till t. Lösningen fås alltså som en integral över det förgångna,
vilket står i enlighet med Greens funktions kausala karaktär.
Speciellt, för en SHO så har vi att lösa:
t
q(t) = ∫ F(t’) sin(t – t’) dt’, för någon godtycklig kraft F(t).
(11)
-∞
6. Att driva en SHO i resonans
Vi skall studera hur en oscillator svarar mot en sinusoidalt drivande kraft med en variabel
frekvens ω, så vi har nu att F(t) = sin ωt. Först antar vi att den drivande kraften har samma
frekvens som oscillatorns naturliga frekvens. Eftersom vi har infört en tidsskalning i våra
formler där ω0 =1 som oscillatorns naturliga frekvens, så får alltså den drivande kraften
utseendet F(t) = sin t. Vi säger att den drivande frekvensen är ”i resonans” med oscillatorns
naturliga frekvens.
Vi studerar en odämpad SHO, och för enkelhetens skull antar vi att den drivande kraften
startar vid t = 0:
F(t) = 0,
t ≤ 0,
F(t) = sin t, t ≥ 0.
Vi använder Greens funktionsintegral, formel 10, och vi har då att lösa integralen
t
q(t) = ∫ sin t’ sin (t –t’) dt’, där F(t’) = sin t’, och G(t –t’) = sin (t –t’) som i formel 11.
0
Med hjälp av trigonometriska identiteter kan man enkelt lösa integralen ovan, och vi erhåller:
q(t) = (1/2)·sin t – (1/2)·t cos t .
(12)
I lösningen har vi en oscillerande del i den första termen och en ökande del i den andra
termen, och amplituden kommer således att växa utan begränsning med tiden. Slutsatsen är att
en odämpad SHO, driven i sin naturliga frekvens med tiden kommer att lagra en obegränsad,
hela tiden växande del av energi. Men de formler som vi utgår ifrån gäller ju för linjära
oscillatorer, där vi förutsätter att amplituden håller sig inom rimliga proportioner. Fysiska,
reella oscillatorer har ju också alltid en viss dämpning. Därför kan vi säga att energin växer
tills någon form av icke-linjaritet inträffar, som till exempel att amplituden går över en viss
gräns då våra formler inte längre gäller, eller att dämpningen till slut kommer att uppväga
energitillskottet.
7. En ”underdamped” DSHO’s svar mot en sinusoidal drivande kraft med variabel frekvens
Vår nästa uppgift är att studera hur en en dämpad oscillator svarar mot en sinusoidalt drivande
kraft med variabel frekvens. Man kan tänka sig en pendel med en metallkropp, placerad
bredvid en spole. Metallkroppen påverkas av ett periodiskt magnetfält som uppkommer på
grund av en växelström som körs igenom spolen.
Närmare bestämt skall vi titta på en pendeloscillator av typen ”Underdamped DSHO”. Rent
intuitivt kan vi tänka oss vad som kommer att hända om en sådan kraft plötsligt appliceras på
oscillatorn. Oscillatorn kommer till en början att svänga i två olika frekvenser, dels i sin
naturliga frekvens och dels i den yttre påtvingade kraftens frekvens. Eller rättare sagt, i en
superposition av de två frekvenserna. Efter en viss tid kommer pendeln att nå en jämvikt, där
energin som pendeln mottar från den drivande kraften precis uppväger friktionsförlusterna.
Efter att detta inträffar kommer bara en frekvens att vara närvarande, vilket är samma
frekvens som frevensen hos den yttre drivande kraften. Pendeln kommer då alltså att vara
synkroniserad med växelströmsfrekvensen, men med en viss konstant fasförskjutning.
Vi tittar nu på den ”Underdamped DSHO”:n där man applicerar en sinusoidalt drivande kraft
med en viss frekvens, F(t) = sin ωt vid tiden t = 0. Vi kan lösa detta problem med hjälp av
Greens funktionsintegral som då skulle få utseendet:
t
q(t) = qsteady state(t) + qtransient(t) = ∫ sin(ωt’) G(t – t’) dt’,
(13)
0
där vi sätter in den korrekta formen av Greens funktion för den ”Underdamped DSHO”:n,
formel 9. Efter resonemanget ovan inser vi nu att det är den transienta lösningen som med
tiden avtar och kvar vid jämvikt är endast ”the steady state solution” närvarande. Eftersom
den transienta lösningen med tiden kommer att ebba ut så skall vi intressera oss för ”the
steady state solution”, även om, rent fysiskt, båda är närvarande.
Eftersom integralen ovan kommer att bli något krånglig att räkna ut för hand skall vi lösa
problemet med en annan metod. Vi använder istället en komplext drivande kraft, och vi byter
ut sin ωt mot eiωt. Detta kan vi tillåta eftersom vi till sist tar realdelen av resultatet. Vi utnyttjar
regeln att i ”the steady state” så svarar alltid ett linjärt system mot den drivande frekvensen, så
att q(t) måste vara proportionell mot eiωt . Om vi sätter in F = eiωt, och q = q0eiωt , där q0 är en
proportionalitetskonstant, i ekvationen för ”Underdamped DSHO nedan,
q″ + (1/Q)· q′ + q = F(t),
samt löser för q0 , så erhålls den komplexa lösningen:
q(t) = eiωt / (1 – ω2 +(i/Q)·ω) + qtransient,
(14)
där qtransient = Ace-(t/2Q)·eiω’t, som ett tidigare resultat för den fria DSHO:n. qtransient ebbar med
tiden ut och vi intresserar oss endast för ”the steady state” delen av lösningen.
Systemets energi är proportionell mot amplituden i kvadrat. Efter tillräckligt lång tid så
behöver vi bara titta på q(t) 2steady state . Per enhetskraft får vi:
E ~ q(t)
2
steady state
= ((1 - ω2 )2 + (ω2/ Q2))-1.
(15)
Plottar man oscillatorns energi som funktion av den drivande frekvensen kommer man få en
skarp pik vid en viss frekvens, den vi kallar för resonansfrekvensen, ωr. ωr kan vi få genom att
sätta dE/dω = 0, och lösa för ω = ωr. Om vi gör detta får erhåller vi
ωr = (1 – 1/(2Q2))½.
(16)
Om Q är stort och ω ≈ ωr ≈ 1, så kan man göra följande approximationer:
1 – ω2 = (1 - ω)(1 + ω) ≈ 2(1 - ω), och ω2/Q2 ≈ 1/Q2.
Oscillatorns upplagrade energi efter lång tid, eller ”steady state” energin med denna
approximation blir då:
E ~ ((1- ω)2 + 1/(4Q2))-1,
(17)
under förutsättningen att Q >> 1. Formeln X är den berömda ”Lorentzian line shape för en
driven DSHO.
I graferna nedan ser vi olika plottar av en dämpad oscillators amplitud som funktion av tiden i
dimensionslösa enheter. Vi tiden t = 0 sätts plötsligt en periodisk drivande kraft på med en
frekvens i eller i närheten av resonansfrekvensen. I bild A (ω = 0.8) och bild C (ω = 1.2) ser vi
att den transienta oscillationen inte är i fas med den drivande frekvensen. Efter en viss tid
kommer dock den transienta delen att ebba ut och kvar är då endast steady state-delen som
ensam ansvarig för den drivande frekvensen, och fasskillnaden kommer att kommer då att
vara konstant. I bild B ser vi en oscillator som drivs i sin naturliga frekvens, (ω = 1), och
oscillatorn bygger sakta med säkert upp en stor steady state-amplitud. Studerar man bild B
noggrant ser vi att fasskillnaden, eller ”fasen” mellan kraften och responsen är exakt 90˚.
Bild 4. Dämpad harmonisk oscillator, med Q = 10
och driven nära resonansfrekvensen
8. Relativ fasskillnad för en DSHO oscillator med sinusoidal drivning
Man kan nu fråga sig vad fasen är för en driven oscillator i ”the steady state”. Leder
responsen den drivande kraften, eller går den bakom. Rent intuitivt, om den drivande
frekvensen är väldigt låg i förhållande till oscillatorns naturliga frekvens, så borde
fasskillnaden vara 0. Men vad händer om den drivande frekvensen är mycket hög i
förhållande till oscillatorns naturliga frekvens? Detta skall vi nu utröna.
Vi antar att den drivande kraften är på formen:
F(t) = Re [eiωt] = cos ωt.
Från formel X, ”the steady state” responsen av systemet, q(t) måste vara på formen
q(t) = Re[eiωt / (1 – ω2 + (i/Q)·ω)] = Re[Ac(ω)eiωt] = A(ω)cos(ωt + φ(ω)),
(Formel 18)
Ekvationen definierar den komplexa amplituden Ac(ω), som är är en starkt varierande
funktion av frekvensen, men konstant med avseende på tiden. Ac = Aeiφ definierar A som den
(reella) amplituden, och φ som den relativa fasvinkeln mellan oscillatorresponsen och den
drivande kraften. Ett negativt värde på φ svarar mot en fördröjning hos oscillatorn relativt
drivsignalen., och ett positivt värde betyder att oscillatorresponsen ”leder” drivsignalen.
Med några enkla identiteter inom komplex analys kommer man fram till att formel 18 kan
skrivas som:
tan φ = -(ω/Q)/(1- ω2).
(19)
Vi har nu kommit fram till ett mycket intressant uttryck där vi har φ som funktion av den
drivande frekvensen ω, där φ är den relativa fasen mellan q och F. Nedan kan en plott ses där
φ < 0 (fördröjning), och den drivande frekvensen sveper igenom resonansfrekvensen ω =1. Vi
ser att vid mycket små värden på den drivande frekvensen är fasskillnaden nära 0. När man
närmar sig resonansfrekvensen viker kurvan snabbt uppåt, passerar igenom
resonansfrekvensen vid exakt φ = -90˚, för att slutligen gå mot φ = -180˚ när frekvensen går
mot högre värden.Att fasskillnaden mellan den drivande kraften och oscillatorns respons är
helt motsatt (180˚), vid höga frekvenser är ju ett ganska förbryllande resultat. Oscillatorns
amplitud går hastigt mot större värden när man närmar sig resonansfrekvensen, når sitt max
där, för att sedan hastigt avta när man passerar förbi resonansfrekvensen. Detta kan man dock
inte se i bilden nedan.
Plott för Q = 100
Litteraturreferenser
Hand, N. Louis and Finch, D. Janet. 1998. Analytical Mechanics. Cambridge University
Press.
