Föreläsning 11/3 Kvantmekaniska tillmpningar Ulf Torkelsson 1 En

Föreläsning 11/3
Kvantmekaniska tillmpningar
Ulf Torkelsson
1
En kvantmekanisk harmonisk oscillator och kvantmekaniska
operatorer
I den en-dimensionella Schrödinger-ekvationen
−
h̄2 ∂ 2 Ψ
+ V (z) Ψ = EΨ,
2m ∂z 2
(1)
inför vi potentialen för en harmonisk oscillator
V (z) =
Vi får då
−
1
Kz 2 .
2
h̄2 ∂ 2 Ψ 1
+ Kz 2 Ψ = EΨ.
2m ∂z 2
2
(2)
(3)
Sedan inför vi beteckningarna
ω2
α2
λ
x
K
m
mω
=
h̄
2E m 1/2
=
h̄ K
= αz,
=
(4)
(5)
(6)
(7)
så att vi kan skriva Schrödinger-ekvationen som
d2 Ψ
− x2 Ψ = −λΨ.
dx2
Vi kan nu skriva om ekvationen som
∂
∂
+x
− x Ψ = − (λ + 1) Ψ.
∂x
∂x
Sedan applicerar vi operatorn ↠= ∂x − x på denna ekvationen
∂
∂
∂
∂
−x
+x
− x Ψ = − (λ + 1)
− x Ψ.
∂x
∂x
∂x
∂x
(8)
(9)
(10)
Därefter inför vi funktionen Ψ1 = (∂x − x)Ψ och utvecklar operatorprodukten i vänsterledet
d2 Ψ1
− x2 Ψ1 = − (λ + 2) Ψ1 ,
dx2
(11)
som återigen är Schrödinger-ekvationen för en harmonisk oscillator. Alltså har vi med hjälp av
operatorn ↠skapat en ny funktion Ψ1 som är en lösning till den harmoniska oscillatorn, men med
ett högre egenvärde λ + 2. En sådan operator kallas för en födelseoperator.
På samma sätt kan vi skriva ekvationen för den harmoniska oscillatorn som
∂
∂
−x
+ x Ψ = − (λ − 1) Ψ.
(12)
∂x
∂x
1
Vi multiplicerar nu ekvationen med operatorn â = ∂x + x, och får
∂
∂
∂
∂
+x
−x
+ x Ψ = − (λ − 1)
+ x Ψ.
∂x
∂x
∂x
∂x
(13)
Vi kan nu definiera en funktion (∂x + x) = Ψ−1 , och på samma sätt ser vi att den uppfyller
ekvationen
d2 Ψ−1
− x2 Ψ−1 = − (λ − 2) Ψ−1 .
(14)
dx2
Alltså är Ψ−1 också en lösning till den harmoniska oscillatorn, men dess egenvärde är λ − 2.
Operatorn â som minskar egenvärdet kallar vi för en förintelseoperator.
Genom att successivt använda födelse- och förintelseoperatorerna kan vi generera alla lösningarna
och alla egenvärdena för den harmoniska oscillatorn om vi känner till en lösning. Egenvärdena
till dessa lösningar är kvanttillståndens totala energi, som består av deras kinetiska energi och
den potentiella energin, men då den potentiella energin för en harmonisk oscillator alltid är positiv, så måste den totala energin alltid vara positiv. I så fall kan förintelseoperatorn inte generera
tillstånd med allt lägre energi hur länge som helst, utan det måste finnas ett lägsta kvanttillstånd
med vågfunktionen Ψ0 sådan att
∂
+ x Ψ0 = 0.
(15)
∂x
Detta är en separabel differentialekvation
dΨ0
= −xdx,
Ψ0
(16)
som då vi integrerar den ger oss
ln Ψ0 = −
x2
+ A1 ,
2
där vi kan lösa ut
Ψ0 (x) = A0 e−x
2
/2
.
(17)
(18)
Vi kan sedan med hjälp av födelseoperatorn generera alla lösningarna till den harmoniska oscillatorn.
2
Den harmoniska oscillatorn och Hermites ekvation
Vi kan också skriva Schrödinger-ekvationen för den harmoniska oscillatorn som
d2 Ψ
+ λ − x2 Ψ = 0.
2
dx
Detta är en självadjungerad differentialekvation på formen
ϕ00n + 2n + 1 − x2 ϕn = 0.
(19)
(20)
Denna ekvation har lösningarna
2
ϕn (x) = e−x
/2
Hn (x) ,
(21)
där Hn (x) är Hermite-polynomet av ordning n. Hermite-polynomen är i sin tur lösningar till
differentialekvationen
Hn00 − 2xHn0 + 2nHn = 0.
(22)
På den här formen är differentialekvationen inte självadjungerad, men vi kan göra den självadjungerad
2
genom att multiplicera med e−x . I så fall kan vi skriva ekvationen som
2 dHn
2
d
e−x
+ 2ne−x Hn = 0.
(23)
dx
dx
2
Vi ser nu att lösningarna Hn bildar ett komplett set av ortogonala funktioner under skalärprodukten
Z ∞
2
Hm (x) Hn (x) e−x dx = 2n π 1/2 n!δmn .
(24)
−∞
Därför är de normerade lösningarna till den harmoniska oscillatorn
−1/2 −x2 /2
Ψn (x) = 2−n/2 π −1/4 (n!)
e
Hn (x) .
Energiegenvärdena för den harmoniska oscillatorn blir
1
E = n+
h̄ω,
2
(25)
(26)
och vi ser att till och med grundtillståndet har en ändlig energi
1
h̄ω.
2
E0 =
(27)
Den här nollpunktsenergin är en konsekvens av att osäkerhetsprincipen inte tillåter ett kvanttillstånd med energin 0.
3
Väteatomen
Mellan en atomkärna med laddningen Ze och en elektron med laddningen −e råder en elektrostatisk
potential
1 Ze2
,
(28)
V (r) = −
4π0 r
och om vi sätter in denna i Schrödinger-ekvationen får vi
−
h̄2 2
1 Ze2
∇ Ψ−
Ψ = EΨ.
2m
4π0 r
(29)
Vi har redan sett att om vi skriver upp denna ekvation i sfäriska koordinater får vi en θϕ-del som
har klotytefunktionerna som lösningar. Den radiella ekvationen blir då
1 Ze2
h̄2 l (l + 1)
h̄2 1 d
2 dR
r
−
R
+
R = ER.
(30)
−
2m r2 dr
dr
4π0 r
2m r2
För ett bundet tillstånd måste E < 0. Vi inför nu
α2
=
ρ =
λ
=
8mE
h̄2
αr
mZe2
2π0 αh̄2
−
så att vi kan skriva ekvationen som
λ 1 l (l + 1)
1 d
2 dR
ρ
+
− −
R = 0.
ρ2 dρ
dρ
ρ 4
ρ2
(31)
(32)
(33)
(34)
Låt oss först studera ekvationen i gränsen att ρ → ∞. I denna gränsen går ekvationen mot
d2 R R
−
= 0,
dρ2
4
(35)
R (ρ) = Aeρ/2 + Be−ρ/2 ,
(36)
som har lösningen
3
men eftersom R(ρ) → 0 då ρ → ∞ för att den skall kunna vara en normaliserbar vågfunktion
så måste A = 0. Vi ansätter nu en lösning på formen
R (ρ) = e−ρ/2 F (ρ) .
(37)
Vi får då differentialekvationen
d2 F
2
dF
λ − 1 l (l + 1)
+
F = 0,
−
1
+
−
dρ2
ρ
dρ
ρ
ρ2
(38)
som går att lösa med Frobenius metod om vi ansätter en lösning på formen
F (ρ) = ρs
∞
X
ak ρk ,
(39)
k=0
där a0 6= 0. Vi får då ekvationen
∞
X
(s + k) (s + k − 1) ak ρs+k−2 + 2 (s + k) ak ρs+k−2 − (s + k) ak ρs+k−1 − ak ρs+k−1 +
k=0
λak ρs+k−1 − l (l + 1) ak ρs+k−2 = 0.
(40)
Vi kan ordna om ekvationen som
[s (s + 1) − l (l + 1)] a0 ρs−2 +
∞
X
{[(s + t + 1) (s + t + 2) − l (l + 1)] al+1 − (s + t + 1 − λ) at } ρs+t−1 = 0.
(41)
t=0
Eftersom varje term måste försvinna för sig har vi
at+1
s (s + 1) − l (l + 1) = 0
s+t+1−λ
at .
=
(s + t + 1) (s + t + 2) − l (l + 1)
(42)
(43)
Den första ekvationen ger oss att s = l eller s = −(l + 1), men i det senare fallet är uteslutet
eftersom det ger oss en singularitet i origo. För att undvika att vågfunktionen divergerar då ρ → ∞,
så måste rekursionsrelationen bara ge upphov till ett ändligt antal koefficienter som är skilda från
noll. Detta sker endast om λ = n, som är ett heltal sådant att n ≥ l + 1. Alltså ger summan
upphov till polynom. Dessa polynom är nära besläktade med de associerade Laguerre-polynomen
som är lösningar till differentialekvationen
ρ
d2 Lkj
dLkj
+
(k
+
1
−
ρ)
+ (j − k) Lkj = 0.
dρ2
dρ
(44)
Uttryckt i de associerade Laguerre-polynomen så får vi
R (ρ) = Anl e−ρ/2 ρl L2l+1
n+l (ρ) ,
där
"
Anl =
2Z
na0
3
(n − l − 1)!
2n (n + l)!3
(45)
#1/2
,
(46)
och
4π0 h̄2
= 5.3 × 10−11 m
me2
är Bohr-radien. Speciellt så ger vår lösning energiegenvärdena
a0 =
En = −
mZ 2 e4
.
32π 2 20 h̄2 n2
4
(47)
(48)