1
STUDENTEXAMENSNÄMNDEN
13.2.2015
MODELLPROV I MATEMATIK
LÅNG LÄROKURS
Del B
Uppgifterna i B-delen bedöms med 0–6 poäng. Lösningen på varje uppgift skriver du på ett eget
halvark. Du får använda tabellbok och räknare som hjälpmedel. Men du får tillgång till räknare
först när du returnerat ditt provhäfte för A-delen. I både B1- och B2-delen ska du lösa tre uppgifter.
Del
Utför
treuppgifterna
(3) av uppgifterna
5–9
DelB1
B1 Lös
tre av
5–9.
5. En rektangulär gräsmatta har ursprungligen måtten
25 m 11 m. Den utvidgas med en överallt lika
bred rand.
a) Hur bred ska randen vara för att gräsmattans
area ska fördubblas jämfört med den
ursprungliga?
b) Uttryck allmänt randens bredd som en funktion
f(s) av utvidgningsförhållandet, varvid f(2) ger
svaret i deluppgift a, f(3) anger den bredd som ger en tredubbel area osv.
6. En tankspridd professor ska hålla en föreläsning om dagen under veckans fem
arbetsdagar. Varje dag är sannolikheten för att han ska minnas att hålla sin
föreläsning endast 80 procent.
a) Hur stor är sannolikheten för att han håller veckans alla föreläsningar?
b) Hur stor är sannolikheten för att han ska missa bara en av de fem
föreläsningarna?
c) Bestäm väntevärdet av antalet föreläsningar som professorn håller under en
vecka.
7. Peter har nyligen köpt en ny bil till priset a €. Anta att bilens värde i
användningen minskar med 15 procent varje år.
a) Med hur många procent har bilens värde minskat efter fyra år?
b) Bilda en funktion som anger bilens värde efter x år. Skissera funktionens
graf i intervallet 0–15 år.
c) Efter hur många år är bilen värd mindre än en femtedel av det ursprungliga
priset?
8. Förhållandet mellan areorna av två klot är 16 : 25. Bestäm förhållandet mellan
klotens volymer.
9. Behandla en av uppgifterna i och ii
i. Sanningstabellen för konnektivet # är den här invid.
Framställ satsen A#(A#B) i en form där endast
konnektiven , eller ingår.
A
1
1
0
0
B
1
0
1
0
A#B
0
1
0
0
ii. Sök genom att använda Newtons metod en lösning till ekvationen e x 3x .
2
8. Förhållandet mellan areorna av två klot är 16 : 25. Bestäm förhållandet mellan
klotens volymer.
9. Behandla en av uppgifterna i och ii
i. Sanningstabellen för konnektivet # är den här invid.
Framställ satsen A#(A#B) i en form där endast
konnektiven , eller ingår.
A
1
1
0
0
B
1
0
1
0
A#B
0
1
0
0
ii. Sök genom att använda Newtons metod en lösning till ekvationen e x 3x .
Mellansteg ska ingå.
Del B2 Utför tre (3) av uppgifterna 10–13
Del B2 Lös tre av uppgifterna 10–13.
ax 2 , x 1
10. a) Bestäm en sådan konstant a, så att funktionen f ( x) x 2
är
10.
,
x
1
1 x 2
kontinuerlig överallt. Är den då också deriverbar?
b) Bestäm summan av de heltal 1, 2, 3, …, 310000 som inte är delbara med tre.
11.
11. Bestäm för cirklarna 4 x 2 4 y 2 16 x 16 y 7
0 och
4 x 2 4 y 2 16 x 8 y 205
0
a) medelpunkterna (1 p.)
b) radierna (1 p.)
c) ekvationen för deras gemensamma tangenter. (4 p.)
12. I kuben nedan är kantens längd 2. I kuben finns en ljusröd boll som tangerar
12.
varje sidoyta i kuben. I ett hörn av kuben finns en mindre, blå, boll som
tangerar den stora bollen och tre av kubens sidoytor i enlighet med figuren.
Beräkna det exakta värdet av den blå bollens radie.
13.
13. Vi säger att ett positivt heltal är kiva om talet är summan av sina två största,
olika stora, äkta faktorer. Med en äkta faktor till talet n avses det tal k som
delar talet n och för vilket det gäller att 1 k n . Visa att inget tal är kiva
utifrån dessa definitioner.
3
