Att prissätta optioner med hjälp av Black

Att prissätta optioner med hjälp av Black-Scholes
ekvation
Niklas Burvall, Hua Dong, Mikael Laaksonen, Peter Malmqvist, Daniel Nibon
12 maj 2005
I den ekonomiska världen omsätter idag aktiehandeln många miljoner kronor
varje sekund. Ett sätt att handla med aktier är att betala för en aktie idag och
hoppas att värdet stiger över tiden. En annan omfattande marknad är att handla med så kallade finansiella derivat. Ett av de vanligaste derivaten är optioner,
vilka ger innehavaren rätten men inte skyldigheten att genomföra en bestämd
aktieaffär vid eller före någon bestämd tidpunkt längre fram i tiden. En viktig
detalj vid handel med dessa derivat är att bestämma ett värde på optionen så
att köpet innebär en viss risk för innehavaren. Skulle priset vara för lågt innebär
köpet en säker vinst, vilket självklart inte är önskat. Tvärtom ifall priset är för
högt skulle varje affär innebära en förlust. Därför behöver man någon matematisk metod för att spekulera i optionspris, fär sätta optionspriset på en sådan
nivå att man skapar en balanserad risk i att handla med dessa derivat.
Om man utgår från vissa antaganden om hur den finansiella marknaden fungerar använder man idag Black-Sholes ekvation för att bestämma priset på
optioner. Black-Scholes ekvation uppfanns i början på sjuttiotalet. På grund
av dess ekonomiska användningsområde har den kommit att bli en av världens
mest lösta ekvationer. Dess uppfinnarna Myron S. Scholes och Robert C. Merton
fick nobelpriset i ekonomi 1997. Den tredje uppfinnarnen Fischer Black dog 1995
Black-Sholes ekvation ges av
1
∂F (t, s)
∂F (t, s) 1 2 2 ∂ 2 F (t, s)
+ rd
+ σ s
− rF (t, s) = 0
∂t
∂s
2
∂s2
där F (t, s) är optionens värde vid tiden t och aktiepriset s, r är den så kallade
korta räntan och σ anger aktiens volatilitet. Volatilitet är ett mått på hur
mycket en akties värde varierar. Oscillerar kurvan mycket har aktien en hög
volatilitet.
I vårt fall använder vi en enkel modell som baseras på den Europeiska köpoptionen.
Den har en speciell kontraktsfunktion som ger optionens värde vid sluttiden T ,
F (T, s) = max(s − K, 0)
där K är det så kallade inlösenpriset. Inlösenpriset står för det pris man enligt
optionen får köpa ett antal aktier för vid tiden T , till skillnad från att köpa dem
direkt för aktiernas aktuella värden. Grafen för den funktionen ges av
där O är värdet på optionen och S är aktievärdet. För att försöka förstå grafen
följer vi S-axeln som är priset på de underliggande aktierna. När S understiger
K betyder det att aktievärdet är lägre än inlösenpriset som är skrivet i optionen.
Innehavaren av optionen har alltså ett erbjudande om att köpa en aktie för ett
pris som är högre än aktiens värde för tillfället. Uppenbarligen en väldigt dålig
affär och optionen är i detta fall värdelös. När S överstiger K betyder det att
innehavaren får köpa en aktie för priset K, vilket är lägre än det aktuella värdet
på aktien. Självklart är det en lönande affär att köpa en aktie för ett pris lägre
än dess värde. Därför ser vi att värdet på optionen ökar för att täcka skillnaden
mellan inlösenpriset och det aktievärdet.
2
Vi kommer att lösa Black-Scholes ekvation på följande form:
∂u
∂u 1 2 2 ∂ 2 u
(t, x) =rx
+ σ x
,
∂t
∂x 2
∂x2
∂u
(t, 0) =0,
∂t
∂u
(t, 4) =re−rt ,
∂t
x ∈ (0, 4)
u(0, x) = max(0, x − 1)
(1)
(2)
(3)
(4)
Här är problemet omskalat så att inlösenpriset K är lika med 1. Dessutom är
ekvationen transformerad så att vi räknar framåt i tiden, istället för bakåt. För
att lösa problemet använder vi oss av radiella basfunktioner.
Radiella basfunktioner är globala funktioner som tidigare använts till att ge
funktionsapproximationer av utspridda data, men som på senare tid används till
att lösa partiella differentialekvationer. En fördel är att metoden är nätfri vilket
innebär att man kan placera beräkningspunkterna vart man vill i ett område.
Vill man approximera en kurva utifrån vissa givna data kan man alltså placera
dessa funktioner vart man vill längst x-axeln (i ett endimensionellt problem),
eller vart som helst i planet (i två dimensioner). En annan fördel är att man får
en mycket snabb minskning av felet när man lägger till fler beräkningspunkter.
Radiellabasfunktioner tillsammans med minstakvadrat-metoden är det vi har arbetat med i vårt experiment. Vi ställer upp en ekvation som ser ut som följande:
ũ(t, x) =
N
X
λk φ(||x − xk ||)
k=1
Vi sätter in ekvationen ovan i ekvation (1). Då får vi ett nytt ekvationssymtem
vi ska lösa. Vi placera ut ett antal punkter som kallas minstakvadrat-punkter
över hela intervallet, så få vi ett ekvationsystem där λ är obekanten i ekvationsystemet, och sen använder vi minstakvadrat metoden för att beräkna alla
λ, till slut kommer vi få ett linjärtkombination av radiella basfunktioner som
approximera vår black-Scholes ekvationen.
I detta projekt har vi jobbat för att hitta den mest effektivt resp den bästa
3
numeriska lösningen. Detta har vi gjort genom att variera vissa parametrar till
ekvationen. Vi fann att antalet basfunktioner påverkar resultat, men effekten
minskar, vid 33 och 37 radiella-basfunktioner är felen ganska nära varandrar.
Vid antal minstakvadratpunkter > 4 (hela intervall, eller antal minstaklvadratpunkter(mkp) > 6 under den intressanta området), så få man ganska litet fel
på alla 3 olika antal basfunktioner, fast med 33 och 37 är resultat bättre än 28.
Dvs, större antal mkp än 4 behövs inte (6 om man är mer intresserad av intervallet 1/3 till 5/3), så 33 basfunktioner och ca 5 minstakvadratpunkter funkar
bra som parametrar för att få noggrant svar med relativt mindre arbetet.
4

Att prissätta optioner med hjälp av Black

Related documents

Products

Support

Att prissätta optioner med hjälp av Black

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib