Matematiker och deras matematik Lösta och olösta problem

Matematiker och deras matematik
Lösta och olösta problem
Niels Chr. Overgaard
2015-11-20
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20 logoonly
1 / 26
Pierre de Fermat (1601–1665), Frankrike
I
Jurist i Toulouse
I
Amatörmatematiker
N. Chr. Overgaard
I
Villkoret f 0 (x0 ) = 0 i
extremumpunkt x0
I
Fermats princip inom optiken
I
Arean under kurvan y = x n
för godtyckligt n > 0
I
Fermats lilla sats
(utan bevis!)
I
Fermats stora sats
(utan bevis!!)
Matematiker
2015-11-20 logoonly
2 / 26
Pierre de Fermat (1601–1665), Frankrike
I
Jurist i Toulouse
I
Amatörmatematiker
N. Chr. Overgaard
I
Villkoret f 0 (x0 ) = 0 i
extremumpunkt x0
I
Fermats princip inom optiken
I
Arean under kurvan y = x n
för godtyckligt n > 0
I
Fermats lilla sats
(utan bevis!)
I
Fermats stora sats
(utan bevis!!)
Matematiker
2015-11-20 logoonly
2 / 26
Pierre de Fermat (1601–1665), Frankrike
I
Jurist i Toulouse
I
Amatörmatematiker
N. Chr. Overgaard
I
Villkoret f 0 (x0 ) = 0 i
extremumpunkt x0
I
Fermats princip inom optiken
I
Arean under kurvan y = x n
för godtyckligt n > 0
I
Fermats lilla sats
(utan bevis!)
I
Fermats stora sats
(utan bevis!!)
Matematiker
2015-11-20 logoonly
2 / 26
Pierre de Fermat (1601–1665), Frankrike
I
Jurist i Toulouse
I
Amatörmatematiker
N. Chr. Overgaard
I
Villkoret f 0 (x0 ) = 0 i
extremumpunkt x0
I
Fermats princip inom optiken
I
Arean under kurvan y = x n
för godtyckligt n > 0
I
Fermats lilla sats
(utan bevis!)
I
Fermats stora sats
(utan bevis!!)
Matematiker
2015-11-20 logoonly
2 / 26
Pierre de Fermat (1601–1665), Frankrike
I
Jurist i Toulouse
I
Amatörmatematiker
N. Chr. Overgaard
I
Villkoret f 0 (x0 ) = 0 i
extremumpunkt x0
I
Fermats princip inom optiken
I
Arean under kurvan y = x n
för godtyckligt n > 0
I
Fermats lilla sats
(utan bevis!)
I
Fermats stora sats
(utan bevis!!)
Matematiker
2015-11-20 logoonly
2 / 26
Pierre de Fermat (1601–1665), Frankrike
I
Jurist i Toulouse
I
Amatörmatematiker
N. Chr. Overgaard
I
Villkoret f 0 (x0 ) = 0 i
extremumpunkt x0
I
Fermats princip inom optiken
I
Arean under kurvan y = x n
för godtyckligt n > 0
I
Fermats lilla sats
(utan bevis!)
I
Fermats stora sats
(utan bevis!!)
Matematiker
2015-11-20 logoonly
2 / 26
Pierre de Fermat (1601–1665), Frankrike
I
Jurist i Toulouse
I
Amatörmatematiker
N. Chr. Overgaard
I
Villkoret f 0 (x0 ) = 0 i
extremumpunkt x0
I
Fermats princip inom optiken
I
Arean under kurvan y = x n
för godtyckligt n > 0
I
Fermats lilla sats
(utan bevis!)
I
Fermats stora sats
(utan bevis!!)
Matematiker
2015-11-20 logoonly
2 / 26
Pierre de Fermat (1601–1665), Frankrike
I
Jurist i Toulouse
I
Amatörmatematiker
N. Chr. Overgaard
I
Villkoret f 0 (x0 ) = 0 i
extremumpunkt x0
I
Fermats princip inom optiken
I
Arean under kurvan y = x n
för godtyckligt n > 0
I
Fermats lilla sats
(utan bevis!)
I
Fermats stora sats
(utan bevis!!)
Matematiker
2015-11-20 logoonly
2 / 26
Pierre de Fermat (1601–1665), Frankrike
I
Villkoret f 0 (x0 ) = 0 i
extremumpunkt x0
I
Fermats princip inom optiken
I
Arean under kurvan y = x n
för godtyckligt n > 0
Fermats lilla sats
(utan bevis!)
I
I
Fermats stora sats
(utan bevis!!)
Bevis: Andrew Wiles 1993
I
Jurist i Toulouse
I
Amatörmatematiker
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20 logoonly
3 / 26
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), Tyskland
N. Chr. Overgaard
I
Matematiker och filosof
I
Anställd av olika tyska furstar
I
Differential- och
integralkalkyl (1676)
I
Matematisk
R notation t.ex.
d/dx och
I
Produktregeln
df
d
dx fg = dx g + f
dg
dx
I
Vidareutvecklade Pascals
mekaniska räknemaskin
I
Bråkade med Newton
Matematiker
2015-11-20 logoonly
4 / 26
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), Tyskland
N. Chr. Overgaard
I
Matematiker och filosof
I
Anställd av olika tyska furstar
I
Differential- och
integralkalkyl (1676)
I
Matematisk
R notation t.ex.
d/dx och
I
Produktregeln
df
d
dx fg = dx g + f
dg
dx
I
Vidareutvecklade Pascals
mekaniska räknemaskin
I
Bråkade med Newton
Matematiker
2015-11-20 logoonly
4 / 26
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), Tyskland
N. Chr. Overgaard
I
Matematiker och filosof
I
Anställd av olika tyska furstar
I
Differential- och
integralkalkyl (1676)
I
Matematisk
R notation t.ex.
d/dx och
I
Produktregeln
df
d
dx fg = dx g + f
dg
dx
I
Vidareutvecklade Pascals
mekaniska räknemaskin
I
Bråkade med Newton
Matematiker
2015-11-20 logoonly
4 / 26
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), Tyskland
N. Chr. Overgaard
I
Matematiker och filosof
I
Anställd av olika tyska furstar
I
Differential- och
integralkalkyl (1676)
I
Matematisk
R notation t.ex.
d/dx och
I
Produktregeln
df
d
dx fg = dx g + f
dg
dx
I
Vidareutvecklade Pascals
mekaniska räknemaskin
I
Bråkade med Newton
Matematiker
2015-11-20 logoonly
4 / 26
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), Tyskland
N. Chr. Overgaard
I
Matematiker och filosof
I
Anställd av olika tyska furstar
I
Differential- och
integralkalkyl (1676)
I
Matematisk
R notation t.ex.
d/dx och
I
Produktregeln
df
d
dx fg = dx g + f
dg
dx
I
Vidareutvecklade Pascals
mekaniska räknemaskin
I
Bråkade med Newton
Matematiker
2015-11-20 logoonly
4 / 26
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), Tyskland
N. Chr. Overgaard
I
Matematiker och filosof
I
Anställd av olika tyska furstar
I
Differential- och
integralkalkyl (1676)
I
Matematisk
R notation t.ex.
d/dx och
I
Produktregeln
df
d
dx fg = dx g + f
dg
dx
I
Vidareutvecklade Pascals
mekaniska räknemaskin
I
Bråkade med Newton
Matematiker
2015-11-20 logoonly
4 / 26
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), Tyskland
N. Chr. Overgaard
I
Matematiker och filosof
I
Anställd av olika tyska furstar
I
Differential- och
integralkalkyl (1676)
I
Matematisk
R notation t.ex.
d/dx och
I
Produktregeln
df
d
dx fg = dx g + f
dg
dx
I
Vidareutvecklade Pascals
mekaniska räknemaskin
I
Bråkade med Newton
Matematiker
2015-11-20 logoonly
4 / 26
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), Tyskland
N. Chr. Overgaard
I
Matematiker och filosof
I
Anställd av olika tyska furstar
I
Differential- och
integralkalkyl (1676)
I
Matematisk
R notation t.ex.
d/dx och
I
Produktregeln
df
d
dx fg = dx g + f
dg
dx
I
Vidareutvecklade Pascals
mekaniska räknemaskin
I
Bråkade med Newton
Matematiker
2015-11-20 logoonly
4 / 26
Isaac Newton (1642–1726), England
N. Chr. Overgaard
I
Fysiker och matematiker
I
Rörelselagarna och
gravitationslagen
I
Differential- och
integralkalkyl (1666, publ.
1693)
I
Spegelteleskopens uppfinnare
I
Newtons metod för att söka
rötter; f (x) = 0
I
Bråkade med Leibniz
Matematiker
2015-11-20 logoonly
5 / 26
Isaac Newton (1642–1726), England
N. Chr. Overgaard
I
Fysiker och matematiker
I
Rörelselagarna och
gravitationslagen
I
Differential- och
integralkalkyl (1666, publ.
1693)
I
Spegelteleskopens uppfinnare
I
Newtons metod för att söka
rötter; f (x) = 0
I
Bråkade med Leibniz
Matematiker
2015-11-20 logoonly
5 / 26
Isaac Newton (1642–1726), England
N. Chr. Overgaard
I
Fysiker och matematiker
I
Rörelselagarna och
gravitationslagen
I
Differential- och
integralkalkyl (1666, publ.
1693)
I
Spegelteleskopens uppfinnare
I
Newtons metod för att söka
rötter; f (x) = 0
I
Bråkade med Leibniz
Matematiker
2015-11-20 logoonly
5 / 26
Isaac Newton (1642–1726), England
N. Chr. Overgaard
I
Fysiker och matematiker
I
Rörelselagarna och
gravitationslagen
I
Differential- och
integralkalkyl (1666, publ.
1693)
I
Spegelteleskopens uppfinnare
I
Newtons metod för att söka
rötter; f (x) = 0
I
Bråkade med Leibniz
Matematiker
2015-11-20 logoonly
5 / 26
Isaac Newton (1642–1726), England
N. Chr. Overgaard
I
Fysiker och matematiker
I
Rörelselagarna och
gravitationslagen
I
Differential- och
integralkalkyl (1666, publ.
1693)
I
Spegelteleskopens uppfinnare
I
Newtons metod för att söka
rötter; f (x) = 0
I
Bråkade med Leibniz
Matematiker
2015-11-20 logoonly
5 / 26
Isaac Newton (1642–1726), England
N. Chr. Overgaard
I
Fysiker och matematiker
I
Rörelselagarna och
gravitationslagen
I
Differential- och
integralkalkyl (1666, publ.
1693)
I
Spegelteleskopens uppfinnare
I
Newtons metod för att söka
rötter; f (x) = 0
I
Bråkade med Leibniz
Matematiker
2015-11-20 logoonly
5 / 26
Isaac Newton (1642–1726), England
N. Chr. Overgaard
I
Fysiker och matematiker
I
Rörelselagarna och
gravitationslagen
I
Differential- och
integralkalkyl (1666, publ.
1693)
I
Spegelteleskopens uppfinnare
I
Newtons metod för att söka
rötter; f (x) = 0
I
Bråkade med Leibniz
Matematiker
2015-11-20 logoonly
5 / 26
Jakob och Johan Bernoulli, Schweiz
Jakob (1655–1705)
I
Professor i Basel
I
Sannolikhetsteori
I
Gränsvärdet
e = limn→∞ (1 + n1 )n
I
Johan (1667–1748)
Professor i Groningen
I
Variationskalkylen (1696)
I
Lärare till unga Euler
Bråkade med l’Hôpital
och brorsan
I
Bråkade med brorsan
N. Chr. Overgaard
I
Matematiker
2015-11-20 logoonly
6 / 26
Jakob och Johan Bernoulli, Schweiz
Jakob (1655–1705)
I
Professor i Basel
I
Sannolikhetsteori
I
Gränsvärdet
e = limn→∞ (1 + n1 )n
I
Johan (1667–1748)
Professor i Groningen
I
Variationskalkylen (1696)
I
Lärare till unga Euler
Bråkade med l’Hôpital
och brorsan
I
Bråkade med brorsan
N. Chr. Overgaard
I
Matematiker
2015-11-20 logoonly
6 / 26
Jakob och Johan Bernoulli, Schweiz
Jakob (1655–1705)
I
Professor i Basel
I
Sannolikhetsteori
I
Gränsvärdet
e = limn→∞ (1 + n1 )n
I
Johan (1667–1748)
Professor i Groningen
I
Variationskalkylen (1696)
I
Lärare till unga Euler
Bråkade med l’Hôpital
och brorsan
I
Bråkade med brorsan
N. Chr. Overgaard
I
Matematiker
2015-11-20 logoonly
6 / 26
Jakob och Johan Bernoulli, Schweiz
Jakob (1655–1705)
I
Professor i Basel
I
Sannolikhetsteori
I
Gränsvärdet
e = limn→∞ (1 + n1 )n
I
Johan (1667–1748)
Professor i Groningen
I
Variationskalkylen (1696)
I
Lärare till unga Euler
Bråkade med l’Hôpital
och brorsan
I
Bråkade med brorsan
N. Chr. Overgaard
I
Matematiker
2015-11-20 logoonly
6 / 26
Jakob och Johan Bernoulli, Schweiz
Jakob (1655–1705)
I
Professor i Basel
I
Sannolikhetsteori
I
Gränsvärdet
e = limn→∞ (1 + n1 )n
I
Johan (1667–1748)
Professor i Groningen
I
Variationskalkylen (1696)
I
Lärare till unga Euler
Bråkade med l’Hôpital
och brorsan
I
Bråkade med brorsan
N. Chr. Overgaard
I
Matematiker
2015-11-20 logoonly
6 / 26
Jakob och Johan Bernoulli, Schweiz
Jakob (1655–1705)
I
Professor i Basel
I
Sannolikhetsteori
I
Gränsvärdet
e = limn→∞ (1 + n1 )n
I
Johan (1667–1748)
Professor i Groningen
Variationskalkylen (1696)
I
Lärare till unga Euler
Bråkade med l’Hôpital
och brorsan
I
Bråkade med brorsan
N. Chr. Overgaard
I
I
Matematiker
2015-11-20 logoonly
6 / 26
Jakob och Johan Bernoulli, Schweiz
Jakob (1655–1705)
I
Professor i Basel
I
Sannolikhetsteori
I
Gränsvärdet
e = limn→∞ (1 + n1 )n
I
Johan (1667–1748)
Professor i Groningen
Variationskalkylen (1696)
I
Lärare till unga Euler
Bråkade med l’Hôpital
och brorsan
I
Bråkade med brorsan
N. Chr. Overgaard
I
I
Matematiker
2015-11-20 logoonly
6 / 26
Jakob och Johan Bernoulli, Schweiz
Jakob (1655–1705)
I
Professor i Basel
I
Sannolikhetsteori
I
Gränsvärdet
e = limn→∞ (1 + n1 )n
I
Johan (1667–1748)
Professor i Groningen
Variationskalkylen (1696)
I
Lärare till unga Euler
Bråkade med l’Hôpital
och brorsan
I
Bråkade med brorsan
N. Chr. Overgaard
I
I
Matematiker
2015-11-20 logoonly
6 / 26
Jakob och Johan Bernoulli, Schweiz
Jakob (1655–1705)
I
Professor i Basel
I
Sannolikhetsteori
I
Gränsvärdet
e = limn→∞ (1 + n1 )n
I
Johan (1667–1748)
Professor i Groningen
Variationskalkylen (1696)
I
Lärare till unga Euler
Bråkade med l’Hôpital
och brorsan
I
Bråkade med brorsan
N. Chr. Overgaard
I
I
Matematiker
2015-11-20 logoonly
6 / 26
Leonhard Euler (1707–1783), Schweiz
I
Professor i Berlin och St.
Petersburg
I
Oändliga serier, t.ex.
P∞ 1
π2
n=1 n2 = 6
Exponentialfunktionen;
e iπ + 1 = 0
I
N. Chr. Overgaard
I
Grafteori (Königsbergs broar)
I
Eulers ekvation
(variationskalkyl)
I
Blind på höger öga (1738)
och vänster (1766)
Matematiker
2015-11-20 logoonly
7 / 26
Leonhard Euler (1707–1783), Schweiz
I
Professor i Berlin och St.
Petersburg
I
Oändliga serier, t.ex.
P∞ 1
π2
n=1 n2 = 6
Exponentialfunktionen;
e iπ + 1 = 0
I
N. Chr. Overgaard
I
Grafteori (Königsbergs broar)
I
Eulers ekvation
(variationskalkyl)
I
Blind på höger öga (1738)
och vänster (1766)
Matematiker
2015-11-20 logoonly
7 / 26
Leonhard Euler (1707–1783), Schweiz
I
Professor i Berlin och St.
Petersburg
I
Oändliga serier, t.ex.
P∞ 1
π2
n=1 n2 = 6
Exponentialfunktionen;
e iπ + 1 = 0
I
N. Chr. Overgaard
I
Grafteori (Königsbergs broar)
I
Eulers ekvation
(variationskalkyl)
I
Blind på höger öga (1738)
och vänster (1766)
Matematiker
2015-11-20 logoonly
7 / 26
Leonhard Euler (1707–1783), Schweiz
I
Professor i Berlin och St.
Petersburg
I
Oändliga serier, t.ex.
P∞ 1
π2
n=1 n2 = 6
Exponentialfunktionen;
e iπ + 1 = 0
I
N. Chr. Overgaard
I
Grafteori (Königsbergs broar)
I
Eulers ekvation
(variationskalkyl)
I
Blind på höger öga (1738)
och vänster (1766)
Matematiker
2015-11-20 logoonly
7 / 26
Leonhard Euler (1707–1783), Schweiz
I
Professor i Berlin och St.
Petersburg
I
Oändliga serier, t.ex.
P∞ 1
π2
n=1 n2 = 6
Exponentialfunktionen;
e iπ + 1 = 0
I
N. Chr. Overgaard
I
Grafteori (Königsbergs broar)
I
Eulers ekvation
(variationskalkyl)
I
Blind på höger öga (1738)
och vänster (1766)
Matematiker
2015-11-20 logoonly
7 / 26
Leonhard Euler (1707–1783), Schweiz
I
Professor i Berlin och St.
Petersburg
I
Oändliga serier, t.ex.
P∞ 1
π2
n=1 n2 = 6
Exponentialfunktionen;
e iπ + 1 = 0
I
N. Chr. Overgaard
I
Grafteori (Königsbergs broar)
I
Eulers ekvation
(variationskalkyl)
I
Blind på höger öga (1738)
och vänster (1766)
Matematiker
2015-11-20 logoonly
7 / 26
Leonhard Euler (1707–1783), Schweiz
I
Professor i Berlin och St.
Petersburg
I
Oändliga serier, t.ex.
P∞ 1
π2
n=1 n2 = 6
Exponentialfunktionen;
e iπ + 1 = 0
I
N. Chr. Overgaard
I
Grafteori (Königsbergs broar)
I
Eulers ekvation
(variationskalkyl)
I
Blind på höger öga (1738)
och vänster (1766)
Matematiker
2015-11-20 logoonly
7 / 26
Joseph-Louis Lagrange, Italien
N. Chr. Overgaard
I
Matematiker och astronom
I
Första professorn vid École
Polytechnique (1794)
I
Bevisade talteoretiska satser
av Fermat (1773–1777)
I
Mentor för Sophie Germain
(1776–1831)
Matematiker
2015-11-20 logoonly
8 / 26
Joseph-Louis Lagrange, Italien
N. Chr. Overgaard
I
Matematiker och astronom
I
Första professorn vid École
Polytechnique (1794)
I
Bevisade talteoretiska satser
av Fermat (1773–1777)
I
Mentor för Sophie Germain
(1776–1831)
Matematiker
2015-11-20 logoonly
8 / 26
Joseph-Louis Lagrange, Italien
N. Chr. Overgaard
I
Matematiker och astronom
I
Första professorn vid École
Polytechnique (1794)
I
Bevisade talteoretiska satser
av Fermat (1773–1777)
I
Mentor för Sophie Germain
(1776–1831)
Matematiker
2015-11-20 logoonly
8 / 26
Joseph-Louis Lagrange, Italien
N. Chr. Overgaard
I
Matematiker och astronom
I
Första professorn vid École
Polytechnique (1794)
I
Bevisade talteoretiska satser
av Fermat (1773–1777)
I
Mentor för Sophie Germain
(1776–1831)
Matematiker
2015-11-20 logoonly
8 / 26
Joseph-Louis Lagrange, Italien
N. Chr. Overgaard
I
Matematiker och astronom
I
Första professorn vid École
Polytechnique (1794)
I
Bevisade talteoretiska satser
av Fermat (1773–1777)
I
Mentor för Sophie Germain
(1776–1831)
Matematiker
2015-11-20 logoonly
8 / 26
Joseph-Louis Lagrange, Italien
N. Chr. Overgaard
I
Matematiker och astronom
I
Första professorn vid École
Polytechnique (1794)
I
Bevisade talteoretiska satser
av Fermat (1773–1777)
I
Mentor för Sophie Germain
(1776–1831)
Matematiker
2015-11-20 logoonly
9 / 26
Carl Friedrich Gauss (1777–1855), Tyskland
N. Chr. Overgaard
Matematiker
I
Professor i Göttingen
I
Algebrans
fundamentalsats
I
Konstruktion av reguljär
17-hörning
I
Disquisitiones
Arithmeticae (talteori)
I
Differentialgeometri
(Theorema Egregium)
I
Icke-Euklidisk geometri
(i skrivbordslådan!)
2015-11-20
10 / 26
logoonly
Carl Friedrich Gauss (1777–1855), Tyskland
N. Chr. Overgaard
Matematiker
I
Professor i Göttingen
I
Algebrans
fundamentalsats
I
Konstruktion av reguljär
17-hörning
I
Disquisitiones
Arithmeticae (talteori)
I
Differentialgeometri
(Theorema Egregium)
I
Icke-Euklidisk geometri
(i skrivbordslådan!)
2015-11-20
10 / 26
logoonly
Carl Friedrich Gauss (1777–1855), Tyskland
N. Chr. Overgaard
Matematiker
I
Professor i Göttingen
I
Algebrans
fundamentalsats
I
Konstruktion av reguljär
17-hörning
I
Disquisitiones
Arithmeticae (talteori)
I
Differentialgeometri
(Theorema Egregium)
I
Icke-Euklidisk geometri
(i skrivbordslådan!)
2015-11-20
10 / 26
logoonly
Carl Friedrich Gauss (1777–1855), Tyskland
N. Chr. Overgaard
Matematiker
I
Professor i Göttingen
I
Algebrans
fundamentalsats
I
Konstruktion av reguljär
17-hörning
I
Disquisitiones
Arithmeticae (talteori)
I
Differentialgeometri
(Theorema Egregium)
I
Icke-Euklidisk geometri
(i skrivbordslådan!)
2015-11-20
10 / 26
logoonly
Carl Friedrich Gauss (1777–1855), Tyskland
N. Chr. Overgaard
Matematiker
I
Professor i Göttingen
I
Algebrans
fundamentalsats
I
Konstruktion av reguljär
17-hörning
I
Disquisitiones
Arithmeticae (talteori)
I
Differentialgeometri
(Theorema Egregium)
I
Icke-Euklidisk geometri
(i skrivbordslådan!)
2015-11-20
10 / 26
logoonly
Carl Friedrich Gauss (1777–1855), Tyskland
N. Chr. Overgaard
Matematiker
I
Professor i Göttingen
I
Algebrans
fundamentalsats
I
Konstruktion av reguljär
17-hörning
I
Disquisitiones
Arithmeticae (talteori)
I
Differentialgeometri
(Theorema Egregium)
I
Icke-Euklidisk geometri
(i skrivbordslådan!)
2015-11-20
10 / 26
logoonly
Carl Friedrich Gauss (1777–1855), Tyskland
N. Chr. Overgaard
Matematiker
I
Professor i Göttingen
I
Algebrans
fundamentalsats
I
Konstruktion av reguljär
17-hörning
I
Disquisitiones
Arithmeticae (talteori)
I
Differentialgeometri
(Theorema Egregium)
I
Icke-Euklidisk geometri
(i skrivbordslådan!)
2015-11-20
10 / 26
logoonly
Joseph Liouville (1809–1882), Frankrike
I
Professor vid École
Polytechnique, Paris
I
Känd sats om holomorfa
funktioner
Visade existensen av
transcendenta tal (1848)
I
I
Första exempeln på
trancendenta tal skriven på
decimalform (1851), t.ex.
Liouvilles konstant
α=
∞
X
10−k! .
k=1
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
11 / 26
logoonly
Joseph Liouville (1809–1882), Frankrike
I
Professor vid École
Polytechnique, Paris
I
Känd sats om holomorfa
funktioner
Visade existensen av
transcendenta tal (1848)
I
I
Första exempeln på
trancendenta tal skriven på
decimalform (1851), t.ex.
Liouvilles konstant
α=
∞
X
10−k! .
k=1
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
11 / 26
logoonly
Joseph Liouville (1809–1882), Frankrike
I
Professor vid École
Polytechnique, Paris
I
Känd sats om holomorfa
funktioner
Visade existensen av
transcendenta tal (1848)
I
I
Första exempeln på
trancendenta tal skriven på
decimalform (1851), t.ex.
Liouvilles konstant
α=
∞
X
10−k! .
k=1
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
11 / 26
logoonly
Joseph Liouville (1809–1882), Frankrike
I
Professor vid École
Polytechnique, Paris
I
Känd sats om holomorfa
funktioner
Visade existensen av
transcendenta tal (1848)
I
I
Första exempeln på
trancendenta tal skriven på
decimalform (1851), t.ex.
Liouvilles konstant
α=
∞
X
10−k! .
k=1
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
11 / 26
logoonly
Joseph Liouville (1809–1882), Frankrike
I
Professor vid École
Polytechnique, Paris
I
Känd sats om holomorfa
funktioner
Visade existensen av
transcendenta tal (1848)
I
I
Första exempeln på
trancendenta tal skriven på
decimalform (1851), t.ex.
Liouvilles konstant
α=
∞
X
10−k! .
k=1
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
11 / 26
logoonly
Stickspår: Liouvilles konstant
Definition. Ett reellt tal ξ kallas algebraisk om det finns ett polynom
f (x) = cn x n + cn−1 x n−1 + · · · + c1 x + c0
där c0 , c1 , . . . , cn är heltal, cn 6= 0, sådan att f (ξ) = 0. Reella tal som inte är
algebraiska kallas transcendenta.
Varje rationellt tal är ξ = a/b är algebraisk√(tag f (x) = bx − a).
Många irrationella tal är algebraiska, t.ex. 2 (tag f (x) = x 2 − 2).
Följande resultat visar att mängden av transcendenta tal är icke-tom:
Sats. Talet
α=
∞
X
k=1
10−k! =
1
1
1
1
+ 2! + 3! + · · · + k! + · · ·
101!
10
10
10
= 0, 11000100000000000000000100000000000000000 . . .
är transcendent
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
12 / 26
logoonly
Stickspår: Liouvilles konstant
Definition. Ett reellt tal ξ kallas algebraisk om det finns ett polynom
f (x) = cn x n + cn−1 x n−1 + · · · + c1 x + c0
där c0 , c1 , . . . , cn är heltal, cn 6= 0, sådan att f (ξ) = 0. Reella tal som inte är
algebraiska kallas transcendenta.
Varje rationellt tal är ξ = a/b är algebraisk√(tag f (x) = bx − a).
Många irrationella tal är algebraiska, t.ex. 2 (tag f (x) = x 2 − 2).
Följande resultat visar att mängden av transcendenta tal är icke-tom:
Sats. Talet
α=
∞
X
k=1
10−k! =
1
1
1
1
+ 2! + 3! + · · · + k! + · · ·
101!
10
10
10
= 0, 11000100000000000000000100000000000000000 . . .
är transcendent
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
12 / 26
logoonly
Stickspår: Liouvilles konstant
Definition. Ett reellt tal ξ kallas algebraisk om det finns ett polynom
f (x) = cn x n + cn−1 x n−1 + · · · + c1 x + c0
där c0 , c1 , . . . , cn är heltal, cn 6= 0, sådan att f (ξ) = 0. Reella tal som inte är
algebraiska kallas transcendenta.
Varje rationellt tal är ξ = a/b är algebraisk√(tag f (x) = bx − a).
Många irrationella tal är algebraiska, t.ex. 2 (tag f (x) = x 2 − 2).
Följande resultat visar att mängden av transcendenta tal är icke-tom:
Sats. Talet
α=
∞
X
k=1
10−k! =
1
1
1
1
+ 2! + 3! + · · · + k! + · · ·
101!
10
10
10
= 0, 11000100000000000000000100000000000000000 . . .
är transcendent
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
12 / 26
logoonly
Stickspår: Liouvilles konstant
Definition. Ett reellt tal ξ kallas algebraisk om det finns ett polynom
f (x) = cn x n + cn−1 x n−1 + · · · + c1 x + c0
där c0 , c1 , . . . , cn är heltal, cn 6= 0, sådan att f (ξ) = 0. Reella tal som inte är
algebraiska kallas transcendenta.
Varje rationellt tal är ξ = a/b är algebraisk√(tag f (x) = bx − a).
Många irrationella tal är algebraiska, t.ex. 2 (tag f (x) = x 2 − 2).
Följande resultat visar att mängden av transcendenta tal är icke-tom:
Sats. Talet
α=
∞
X
k=1
10−k! =
1
1
1
1
+ 2! + 3! + · · · + k! + · · ·
101!
10
10
10
= 0, 11000100000000000000000100000000000000000 . . .
är transcendent
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
12 / 26
logoonly
Bevis, steg 1.
Indirekt bevis: Antag att det finns ett polynom
f (x) = cn x n + cn−1 x n−1 + · · · + c1 x + c0
med heltalskoefficienter sådan att f (α) = 0. Det vill säga, antag att Liouvilles
konstant är ett algebraisk tal. Vi ska visa att detta leder till en motsägelse.
Antag att f :s grad tal är valt så litet som möjligt. (Alltså att Liouvilles konstant är
inte rot till ett polynom av grad lägre än n.)
Lägg märke till att α har en icke-periodisk (och oändlig) decimalutveckling. Alltså
kan inte α vara ett rationellt tal. Speciellt följer att n > 1.
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
13 / 26
logoonly
Bevis, steg 1.
Indirekt bevis: Antag att det finns ett polynom
f (x) = cn x n + cn−1 x n−1 + · · · + c1 x + c0
med heltalskoefficienter sådan att f (α) = 0. Det vill säga, antag att Liouvilles
konstant är ett algebraisk tal. Vi ska visa att detta leder till en motsägelse.
Antag att f :s grad tal är valt så litet som möjligt. (Alltså att Liouvilles konstant är
inte rot till ett polynom av grad lägre än n.)
Lägg märke till att α har en icke-periodisk (och oändlig) decimalutveckling. Alltså
kan inte α vara ett rationellt tal. Speciellt följer att n > 1.
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
13 / 26
logoonly
Bevis, steg 1.
Indirekt bevis: Antag att det finns ett polynom
f (x) = cn x n + cn−1 x n−1 + · · · + c1 x + c0
med heltalskoefficienter sådan att f (α) = 0. Det vill säga, antag att Liouvilles
konstant är ett algebraisk tal. Vi ska visa att detta leder till en motsägelse.
Antag att f :s grad tal är valt så litet som möjligt. (Alltså att Liouvilles konstant är
inte rot till ett polynom av grad lägre än n.)
Lägg märke till att α har en icke-periodisk (och oändlig) decimalutveckling. Alltså
kan inte α vara ett rationellt tal. Speciellt följer att n > 1.
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
13 / 26
logoonly
Bevis, steg 2.
Välj nu
β=
j
X
k=1
10−k! =
1
1
1
1
+ 2! + 3! + · · · + j!
1!
10
10
10
10
där vi specificerar j senare. Talet β är rationellt.
Vi har
0<α−β <
2
10(j+1)!
så β är en mycket bra rationell approximation till α.
Lägg märke till att man kan skriva
β=
t
10j!
för något naturligt tal t (vars exakta värde är oväsentligt för argumentet.)
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
14 / 26
logoonly
Bevis, steg 2.
Välj nu
β=
j
X
k=1
10−k! =
1
1
1
1
+ 2! + 3! + · · · + j!
1!
10
10
10
10
där vi specificerar j senare. Talet β är rationellt.
Vi har
0<α−β <
2
10(j+1)!
så β är en mycket bra rationell approximation till α.
Lägg märke till att man kan skriva
β=
t
10j!
för något naturligt tal t (vars exakta värde är oväsentligt för argumentet.)
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
14 / 26
logoonly
Bevis, steg 2.
Välj nu
β=
j
X
k=1
10−k! =
1
1
1
1
+ 2! + 3! + · · · + j!
1!
10
10
10
10
där vi specificerar j senare. Talet β är rationellt.
Vi har
0<α−β <
2
10(j+1)!
så β är en mycket bra rationell approximation till α.
Lägg märke till att man kan skriva
β=
t
10j!
för något naturligt tal t (vars exakta värde är oväsentligt för argumentet.)
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
14 / 26
logoonly
Bevis, steg 3.
Vi visar först att f (β) 6= 0.
I motsatt fall, om f (β) = 0, följer det av faktorsatsen att
f (x) = (x − β)g (x)
där g är ett polynom med rationella koefficienter och gradtal < n.
Men så gäller
0 = f (α) = (α − β) g (α)
| {z }
6=0
så g (α) = 0.
Men g (α) = 0 motsäger att f (x) var det polynom med lägst grad med α som
nollställe. Alltså är antagandet f (β) = 0 falskt och påståendet bevisat.
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
15 / 26
logoonly
Bevis, steg 3.
Vi visar först att f (β) 6= 0.
I motsatt fall, om f (β) = 0, följer det av faktorsatsen att
f (x) = (x − β)g (x)
där g är ett polynom med rationella koefficienter och gradtal < n.
Men så gäller
0 = f (α) = (α − β) g (α)
| {z }
6=0
så g (α) = 0.
Men g (α) = 0 motsäger att f (x) var det polynom med lägst grad med α som
nollställe. Alltså är antagandet f (β) = 0 falskt och påståendet bevisat.
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
15 / 26
logoonly
Bevis, steg 3.
Vi visar först att f (β) 6= 0.
I motsatt fall, om f (β) = 0, följer det av faktorsatsen att
f (x) = (x − β)g (x)
där g är ett polynom med rationella koefficienter och gradtal < n.
Men så gäller
0 = f (α) = (α − β) g (α)
| {z }
6=0
så g (α) = 0.
Men g (α) = 0 motsäger att f (x) var det polynom med lägst grad med α som
nollställe. Alltså är antagandet f (β) = 0 falskt och påståendet bevisat.
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
15 / 26
logoonly
Bevis, steg 3.
Vi visar först att f (β) 6= 0.
I motsatt fall, om f (β) = 0, följer det av faktorsatsen att
f (x) = (x − β)g (x)
där g är ett polynom med rationella koefficienter och gradtal < n.
Men så gäller
0 = f (α) = (α − β) g (α)
| {z }
6=0
så g (α) = 0.
Men g (α) = 0 motsäger att f (x) var det polynom med lägst grad med α som
nollställe. Alltså är antagandet f (β) = 0 falskt och påståendet bevisat.
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
15 / 26
logoonly
Bevis, steg 4.
Påstående: För varje j är 10n·j! f (β) ett heltal.
Påståendet följer av beräkningen,
10n·j! f (β) = 10n·j!
j
X
ck β k
k=1
n
t
t2
tn o
= 10n·j! c0 + c1 j! + c2 2·j! + · · · + cn n·j!
10
10
10
= 10n·j! c0 + 10(n−1)·j! c1 t + 10(n−2)·j! c2 t 2 + · · · + cn t n ∈ Z.
Eftersom att f (β) 6= 0 fås
n·j!
10 f (β) ≥ 1,
vilket är det som används senare.
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
16 / 26
logoonly
Bevis, steg 4.
Påstående: För varje j är 10n·j! f (β) ett heltal.
Påståendet följer av beräkningen,
10n·j! f (β) = 10n·j!
j
X
ck β k
k=1
n
t
t2
tn o
= 10n·j! c0 + c1 j! + c2 2·j! + · · · + cn n·j!
10
10
10
= 10n·j! c0 + 10(n−1)·j! c1 t + 10(n−2)·j! c2 t 2 + · · · + cn t n ∈ Z.
Eftersom att f (β) 6= 0 fås
n·j!
10 f (β) ≥ 1,
vilket är det som används senare.
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
16 / 26
logoonly
Bevis, steg 4.
Påstående: För varje j är 10n·j! f (β) ett heltal.
Påståendet följer av beräkningen,
10n·j! f (β) = 10n·j!
j
X
ck β k
k=1
n
t
t2
tn o
= 10n·j! c0 + c1 j! + c2 2·j! + · · · + cn n·j!
10
10
10
= 10n·j! c0 + 10(n−1)·j! c1 t + 10(n−2)·j! c2 t 2 + · · · + cn t n ∈ Z.
Eftersom att f (β) 6= 0 fås
n·j!
10 f (β) ≥ 1,
vilket är det som används senare.
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
16 / 26
logoonly
Bevis, steg 4.
Påstående: För varje j är 10n·j! f (β) ett heltal.
Påståendet följer av beräkningen,
10n·j! f (β) = 10n·j!
j
X
ck β k
k=1
n
t
t2
tn o
= 10n·j! c0 + c1 j! + c2 2·j! + · · · + cn n·j!
10
10
10
= 10n·j! c0 + 10(n−1)·j! c1 t + 10(n−2)·j! c2 t 2 + · · · + cn t n ∈ Z.
Eftersom att f (β) 6= 0 fås
n·j!
10 f (β) ≥ 1,
vilket är det som används senare.
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
16 / 26
logoonly
Bevis, steg 4.
Påstående: För varje j är 10n·j! f (β) ett heltal.
Påståendet följer av beräkningen,
10n·j! f (β) = 10n·j!
j
X
ck β k
k=1
n
t
t2
tn o
= 10n·j! c0 + c1 j! + c2 2·j! + · · · + cn n·j!
10
10
10
= 10n·j! c0 + 10(n−1)·j! c1 t + 10(n−2)·j! c2 t 2 + · · · + cn t n ∈ Z.
Eftersom att f (β) 6= 0 fås
n·j!
10 f (β) ≥ 1,
vilket är det som används senare.
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
16 / 26
logoonly
Bevis, steg 4.
Påstående: För varje j är 10n·j! f (β) ett heltal.
Påståendet följer av beräkningen,
10n·j! f (β) = 10n·j!
j
X
ck β k
k=1
n
t
t2
tn o
= 10n·j! c0 + c1 j! + c2 2·j! + · · · + cn n·j!
10
10
10
= 10n·j! c0 + 10(n−1)·j! c1 t + 10(n−2)·j! c2 t 2 + · · · + cn t n ∈ Z.
Eftersom att f (β) 6= 0 fås
n·j!
10 f (β) ≥ 1,
vilket är det som används senare.
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
16 / 26
logoonly
Bevis, steg 5.
Påstående: Vi har uppskattningen
|f (α) − f (β)| ≤ N(α − β),
där N = n|cn | + (n − 1)|cn−1 | + · · · + 2|c2 | + |c1 | är oberoende av j.
Vi använder triangelolikheten, almänna konjugatregeln samt att 0 < β < α < 1.
n
n
X
X
|f (α) − f (β)| = ck α k −
ck β k k=0
k=0
n
X
=
ck (αk − β k )
≤
k=0
= (α − β)
n
X
|ck |(αk − β k )
k=1
n
X
|ck |(αk−1 + αk−2 β + · · · + αβ k−2 + β k ),
k=1
{z
|
<N
}
vilket visar påståendet.
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
17 / 26
logoonly
Bevis, steg 5.
Påstående: Vi har uppskattningen
|f (α) − f (β)| ≤ N(α − β),
där N = n|cn | + (n − 1)|cn−1 | + · · · + 2|c2 | + |c1 | är oberoende av j.
Vi använder triangelolikheten, almänna konjugatregeln samt att 0 < β < α < 1.
n
n
X
X
|f (α) − f (β)| = ck α k −
ck β k k=0
k=0
n
X
ck (αk − β k )
=
≤
k=0
= (α − β)
n
X
|ck |(αk − β k )
k=1
n
X
|ck |(αk−1 + αk−2 β + · · · + αβ k−2 + β k ),
k=1
|
{z
<N
}
vilket visar påståendet.
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
17 / 26
logoonly
Bevis, steg 5.
Påstående: Vi har uppskattningen
|f (α) − f (β)| ≤ N(α − β),
där N = n|cn | + (n − 1)|cn−1 | + · · · + 2|c2 | + |c1 | är oberoende av j.
Vi använder triangelolikheten, almänna konjugatregeln samt att 0 < β < α < 1.
n
n
X
X
|f (α) − f (β)| = ck α k −
ck β k k=0
k=0
n
X
ck (αk − β k )
=
≤
k=0
= (α − β)
n
X
|ck |(αk − β k )
k=1
n
X
|ck |(αk−1 + αk−2 β + · · · + αβ k−2 + β k ),
k=1
|
{z
<N
}
vilket visar påståendet.
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
17 / 26
logoonly
Bevis, steg 5.
Påstående: Vi har uppskattningen
|f (α) − f (β)| ≤ N(α − β),
där N = n|cn | + (n − 1)|cn−1 | + · · · + 2|c2 | + |c1 | är oberoende av j.
Vi använder triangelolikheten, almänna konjugatregeln samt att 0 < β < α < 1.
n
n
X
X
|f (α) − f (β)| = ck α k −
ck β k k=0
k=0
n
X
ck (αk − β k )
=
≤
k=0
= (α − β)
n
X
|ck |(αk − β k )
k=1
n
X
|ck |(αk−1 + αk−2 β + · · · + αβ k−2 + β k ),
k=1
|
{z
<N
}
vilket visar påståendet.
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
17 / 26
logoonly
Bevis, steg 5.
Påstående: Vi har uppskattningen
|f (α) − f (β)| ≤ N(α − β),
där N = n|cn | + (n − 1)|cn−1 | + · · · + 2|c2 | + |c1 | är oberoende av j.
Vi använder triangelolikheten, almänna konjugatregeln samt att 0 < β < α < 1.
n
n
X
X
|f (α) − f (β)| = ck α k −
ck β k k=0
k=0
n
X
ck (αk − β k )
=
≤
k=0
= (α − β)
n
X
|ck |(αk − β k )
k=1
n
X
|ck |(αk−1 + αk−2 β + · · · + αβ k−2 + β k ),
k=1
|
{z
<N
}
vilket visar påståendet.
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
17 / 26
logoonly
Bevis, sista steget.
Eftersom att α − β < 2 · 10−(j+1)! följer det att |f (α) − f (β)| ≤ 2N10−(j+1)!
Använder vi att f (α) = 0 samt tidigare uppskattningar fås slutligen:
1 ≤ 10n·j! |f (β)|
= 10n·j! |f (α) − f (β)|
≤ 10n·j! · 2N10−(j+1)!
= 2N10(n−(j+1))j! < 1
om man blott väljer j tillräckligt stort. Detta är en motsägelse och vi drar
slutsatsen att α inte kan vara algebraisk, vilket skulle visas.
Det första “naturliga” reella talet som bevisades vara trancendent är e. Bevis gavs
av Charles Hermite i 1873.
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
18 / 26
logoonly
Bevis, sista steget.
Eftersom att α − β < 2 · 10−(j+1)! följer det att |f (α) − f (β)| ≤ 2N10−(j+1)!
Använder vi att f (α) = 0 samt tidigare uppskattningar fås slutligen:
1 ≤ 10n·j! |f (β)|
= 10n·j! |f (α) − f (β)|
≤ 10n·j! · 2N10−(j+1)!
= 2N10(n−(j+1))j! < 1
om man blott väljer j tillräckligt stort. Detta är en motsägelse och vi drar
slutsatsen att α inte kan vara algebraisk, vilket skulle visas.
Det första “naturliga” reella talet som bevisades vara trancendent är e. Bevis gavs
av Charles Hermite i 1873.
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
18 / 26
logoonly
Bevis, sista steget.
Eftersom att α − β < 2 · 10−(j+1)! följer det att |f (α) − f (β)| ≤ 2N10−(j+1)!
Använder vi att f (α) = 0 samt tidigare uppskattningar fås slutligen:
1 ≤ 10n·j! |f (β)|
= 10n·j! |f (α) − f (β)|
≤ 10n·j! · 2N10−(j+1)!
= 2N10(n−(j+1))j! < 1
om man blott väljer j tillräckligt stort. Detta är en motsägelse och vi drar
slutsatsen att α inte kan vara algebraisk, vilket skulle visas.
Det första “naturliga” reella talet som bevisades vara trancendent är e. Bevis gavs
av Charles Hermite i 1873.
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
18 / 26
logoonly
Bevis, sista steget.
Eftersom att α − β < 2 · 10−(j+1)! följer det att |f (α) − f (β)| ≤ 2N10−(j+1)!
Använder vi att f (α) = 0 samt tidigare uppskattningar fås slutligen:
1 ≤ 10n·j! |f (β)|
= 10n·j! |f (α) − f (β)|
≤ 10n·j! · 2N10−(j+1)!
= 2N10(n−(j+1))j! < 1
om man blott väljer j tillräckligt stort. Detta är en motsägelse och vi drar
slutsatsen att α inte kan vara algebraisk, vilket skulle visas.
Det första “naturliga” reella talet som bevisades vara trancendent är e. Bevis gavs
av Charles Hermite i 1873.
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
18 / 26
logoonly
Bevis, sista steget.
Eftersom att α − β < 2 · 10−(j+1)! följer det att |f (α) − f (β)| ≤ 2N10−(j+1)!
Använder vi att f (α) = 0 samt tidigare uppskattningar fås slutligen:
1 ≤ 10n·j! |f (β)|
= 10n·j! |f (α) − f (β)|
≤ 10n·j! · 2N10−(j+1)!
= 2N10(n−(j+1))j! < 1
om man blott väljer j tillräckligt stort. Detta är en motsägelse och vi drar
slutsatsen att α inte kan vara algebraisk, vilket skulle visas.
Det första “naturliga” reella talet som bevisades vara trancendent är e. Bevis gavs
av Charles Hermite i 1873.
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
18 / 26
logoonly
Bevis, sista steget.
Eftersom att α − β < 2 · 10−(j+1)! följer det att |f (α) − f (β)| ≤ 2N10−(j+1)!
Använder vi att f (α) = 0 samt tidigare uppskattningar fås slutligen:
1 ≤ 10n·j! |f (β)|
= 10n·j! |f (α) − f (β)|
≤ 10n·j! · 2N10−(j+1)!
= 2N10(n−(j+1))j! < 1
om man blott väljer j tillräckligt stort. Detta är en motsägelse och vi drar
slutsatsen att α inte kan vara algebraisk, vilket skulle visas.
Det första “naturliga” reella talet som bevisades vara trancendent är e. Bevis gavs
av Charles Hermite i 1873.
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
18 / 26
logoonly
Bevis, sista steget.
Eftersom att α − β < 2 · 10−(j+1)! följer det att |f (α) − f (β)| ≤ 2N10−(j+1)!
Använder vi att f (α) = 0 samt tidigare uppskattningar fås slutligen:
1 ≤ 10n·j! |f (β)|
= 10n·j! |f (α) − f (β)|
≤ 10n·j! · 2N10−(j+1)!
= 2N10(n−(j+1))j! < 1
om man blott väljer j tillräckligt stort. Detta är en motsägelse och vi drar
slutsatsen att α inte kan vara algebraisk, vilket skulle visas.
Det första “naturliga” reella talet som bevisades vara trancendent är e. Bevis gavs
av Charles Hermite i 1873.
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
18 / 26
logoonly
Bernhard Riemann (1826–1866), Tyskland
I
Professor i Göttingen
I
Riemannintegralen
I
Riemanngeometri
I
Riemannhypotesen: Varje
icke-reell rot till
∞
X
1
,
ζ(s) =
s
n
n=1
s ∈ C\{1},
(Riemanns zeta-funktion)
har realdelen 1/2. (Olöst!)
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
19 / 26
logoonly
Bernhard Riemann (1826–1866), Tyskland
I
Professor i Göttingen
I
Riemannintegralen
I
Riemanngeometri
I
Riemannhypotesen: Varje
icke-reell rot till
∞
X
1
,
ζ(s) =
s
n
n=1
s ∈ C\{1},
(Riemanns zeta-funktion)
har realdelen 1/2. (Olöst!)
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
19 / 26
logoonly
Bernhard Riemann (1826–1866), Tyskland
I
Professor i Göttingen
I
Riemannintegralen
I
Riemanngeometri
I
Riemannhypotesen: Varje
icke-reell rot till
∞
X
1
,
ζ(s) =
s
n
n=1
s ∈ C\{1},
(Riemanns zeta-funktion)
har realdelen 1/2. (Olöst!)
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
19 / 26
logoonly
Bernhard Riemann (1826–1866), Tyskland
I
Professor i Göttingen
I
Riemannintegralen
I
Riemanngeometri
I
Riemannhypotesen: Varje
icke-reell rot till
∞
X
1
,
ζ(s) =
s
n
n=1
s ∈ C\{1},
(Riemanns zeta-funktion)
har realdelen 1/2. (Olöst!)
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
19 / 26
logoonly
Bernhard Riemann (1826–1866), Tyskland
I
Professor i Göttingen
I
Riemannintegralen
I
Riemanngeometri
I
Riemannhypotesen: Varje
icke-reell rot till
∞
X
1
,
ζ(s) =
s
n
n=1
s ∈ C\{1},
(Riemanns zeta-funktion)
har realdelen 1/2. (Olöst!)
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
19 / 26
logoonly
David Hilbert (1866–1943), Tyskland
N. Chr. Overgaard
I
Professor i Göttingen
I
Grundlagen der Geometrie
I
Talteori (Zahlbericht)
I
Hilberts 23 problem (ICM,
Paris 1900)
I
Axiomatisering av
matematiken
I
Sista matematikern som
kunne överskåda alla
samtidens matematiska fält
Matematiker
2015-11-20
20 / 26
logoonly
David Hilbert (1866–1943), Tyskland
N. Chr. Overgaard
I
Professor i Göttingen
I
Grundlagen der Geometrie
I
Talteori (Zahlbericht)
I
Hilberts 23 problem (ICM,
Paris 1900)
I
Axiomatisering av
matematiken
I
Sista matematikern som
kunne överskåda alla
samtidens matematiska fält
Matematiker
2015-11-20
20 / 26
logoonly
David Hilbert (1866–1943), Tyskland
N. Chr. Overgaard
I
Professor i Göttingen
I
Grundlagen der Geometrie
I
Talteori (Zahlbericht)
I
Hilberts 23 problem (ICM,
Paris 1900)
I
Axiomatisering av
matematiken
I
Sista matematikern som
kunne överskåda alla
samtidens matematiska fält
Matematiker
2015-11-20
20 / 26
logoonly
David Hilbert (1866–1943), Tyskland
N. Chr. Overgaard
I
Professor i Göttingen
I
Grundlagen der Geometrie
I
Talteori (Zahlbericht)
I
Hilberts 23 problem (ICM,
Paris 1900)
I
Axiomatisering av
matematiken
I
Sista matematikern som
kunne överskåda alla
samtidens matematiska fält
Matematiker
2015-11-20
20 / 26
logoonly
David Hilbert (1866–1943), Tyskland
N. Chr. Overgaard
I
Professor i Göttingen
I
Grundlagen der Geometrie
I
Talteori (Zahlbericht)
I
Hilberts 23 problem (ICM,
Paris 1900)
I
Axiomatisering av
matematiken
I
Sista matematikern som
kunne överskåda alla
samtidens matematiska fält
Matematiker
2015-11-20
20 / 26
logoonly
David Hilbert (1866–1943), Tyskland
N. Chr. Overgaard
I
Professor i Göttingen
I
Grundlagen der Geometrie
I
Talteori (Zahlbericht)
I
Hilberts 23 problem (ICM,
Paris 1900)
I
Axiomatisering av
matematiken
I
Sista matematikern som
kunne överskåda alla
samtidens matematiska fält
Matematiker
2015-11-20
20 / 26
logoonly
David Hilbert (1866–1943), Tyskland
N. Chr. Overgaard
I
Professor i Göttingen
I
Grundlagen der Geometrie
I
Talteori (Zahlbericht)
I
Hilberts 23 problem (ICM,
Paris 1900)
I
Axiomatisering av
matematiken
I
Sista matematikern som
kunne överskåda alla
samtidens matematiska fält
Matematiker
2015-11-20
20 / 26
logoonly
Emmy Noether (1882–1935), Tyskland
N. Chr. Overgaard
I
Privatdozent i Göttingen,
Professor i Brym Mwar
(USA)
I
Noethers sats (symmetrier
och konservationslagar)
I
Abstrakt algebra
I
Ringar och ideal
I
Begriffliche Mathematik
Matematiker
2015-11-20
21 / 26
logoonly
Emmy Noether (1882–1935), Tyskland
N. Chr. Overgaard
I
Privatdozent i Göttingen,
Professor i Brym Mwar
(USA)
I
Noethers sats (symmetrier
och konservationslagar)
I
Abstrakt algebra
I
Ringar och ideal
I
Begriffliche Mathematik
Matematiker
2015-11-20
21 / 26
logoonly
Emmy Noether (1882–1935), Tyskland
N. Chr. Overgaard
I
Privatdozent i Göttingen,
Professor i Brym Mwar
(USA)
I
Noethers sats (symmetrier
och konservationslagar)
I
Abstrakt algebra
I
Ringar och ideal
I
Begriffliche Mathematik
Matematiker
2015-11-20
21 / 26
logoonly
Emmy Noether (1882–1935), Tyskland
N. Chr. Overgaard
I
Privatdozent i Göttingen,
Professor i Brym Mwar
(USA)
I
Noethers sats (symmetrier
och konservationslagar)
I
Abstrakt algebra
I
Ringar och ideal
I
Begriffliche Mathematik
Matematiker
2015-11-20
21 / 26
logoonly
Emmy Noether (1882–1935), Tyskland
N. Chr. Overgaard
I
Privatdozent i Göttingen,
Professor i Brym Mwar
(USA)
I
Noethers sats (symmetrier
och konservationslagar)
I
Abstrakt algebra
I
Ringar och ideal
I
Begriffliche Mathematik
Matematiker
2015-11-20
21 / 26
logoonly
Emmy Noether (1882–1935), Tyskland
N. Chr. Overgaard
I
Privatdozent i Göttingen,
Professor i Brym Mwar
(USA)
I
Noethers sats (symmetrier
och konservationslagar)
I
Abstrakt algebra
I
Ringar och ideal
I
Begriffliche Mathematik
Matematiker
2015-11-20
21 / 26
logoonly
Stefan Banach (1892–1945), Polen
N. Chr. Overgaard
I
Professor i Lwów
I
Funktionalanalyse
I
Théorie des opérationes
linéaires (1932)
I
Banachs fixpunktssats
Matematiker
2015-11-20
22 / 26
logoonly
Stefan Banach (1892–1945), Polen
N. Chr. Overgaard
I
Professor i Lwów
I
Funktionalanalyse
I
Théorie des opérationes
linéaires (1932)
I
Banachs fixpunktssats
Matematiker
2015-11-20
22 / 26
logoonly
Stefan Banach (1892–1945), Polen
N. Chr. Overgaard
I
Professor i Lwów
I
Funktionalanalyse
I
Théorie des opérationes
linéaires (1932)
I
Banachs fixpunktssats
Matematiker
2015-11-20
22 / 26
logoonly
Stefan Banach (1892–1945), Polen
N. Chr. Overgaard
I
Professor i Lwów
I
Funktionalanalyse
I
Théorie des opérationes
linéaires (1932)
I
Banachs fixpunktssats
Matematiker
2015-11-20
22 / 26
logoonly
Stefan Banach (1892–1945), Polen
N. Chr. Overgaard
I
Professor i Lwów
I
Funktionalanalyse
I
Théorie des opérationes
linéaires (1932)
I
Banachs fixpunktssats
Matematiker
2015-11-20
22 / 26
logoonly
Marcel Riesz och Lars Gårding, Lund
Gårding (1919–2014)
I
PDE (Gårdings olikhet)
I
Flera böcker: Encounters
with Mathematics (1974)
Svenska matematiker och
en bok om fågelsång!
I
Hörmanders handledare
Riesz (1886–1969), Ungern
I
Potentialteori och PDE
I
Funktionalanalys
I
Hörmanders handledare
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
23 / 26
logoonly
Marcel Riesz och Lars Gårding, Lund
Gårding (1919–2014)
I
PDE (Gårdings olikhet)
I
Flera böcker: Encounters
with Mathematics (1974)
Svenska matematiker och
en bok om fågelsång!
I
Hörmanders handledare
Riesz (1886–1969), Ungern
I
Potentialteori och PDE
I
Funktionalanalys
I
Hörmanders handledare
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
23 / 26
logoonly
Marcel Riesz och Lars Gårding, Lund
Gårding (1919–2014)
I
PDE (Gårdings olikhet)
I
Flera böcker: Encounters
with Mathematics (1974)
Svenska matematiker och
en bok om fågelsång!
I
Hörmanders handledare
Riesz (1886–1969), Ungern
I
Potentialteori och PDE
I
Funktionalanalys
I
Hörmanders handledare
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
23 / 26
logoonly
Marcel Riesz och Lars Gårding, Lund
Gårding (1919–2014)
I
PDE (Gårdings olikhet)
I
Flera böcker: Encounters
with Mathematics (1974)
Svenska matematiker och
en bok om fågelsång!
I
Hörmanders handledare
Riesz (1886–1969), Ungern
I
Potentialteori och PDE
I
Funktionalanalys
I
Hörmanders handledare
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
23 / 26
logoonly
Marcel Riesz och Lars Gårding, Lund
Gårding (1919–2014)
I
PDE (Gårdings olikhet)
I
Flera böcker: Encounters
with Mathematics (1974)
Svenska matematiker och
en bok om fågelsång!
I
Hörmanders handledare
Riesz (1886–1969), Ungern
I
Potentialteori och PDE
I
Funktionalanalys
I
Hörmanders handledare
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
23 / 26
logoonly
Marcel Riesz och Lars Gårding, Lund
Gårding (1919–2014)
I
PDE (Gårdings olikhet)
I
Flera böcker: Encounters
with Mathematics (1974)
Svenska matematiker och
en bok om fågelsång!
I
Hörmanders handledare
Riesz (1886–1969), Ungern
I
Potentialteori och PDE
I
Funktionalanalys
I
Hörmanders handledare
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
23 / 26
logoonly
Marcel Riesz och Lars Gårding, Lund
Gårding (1919–2014)
I
PDE (Gårdings olikhet)
I
Flera böcker: Encounters
with Mathematics (1974)
Svenska matematiker och
en bok om fågelsång!
I
Hörmanders handledare
Riesz (1886–1969), Ungern
I
Potentialteori och PDE
I
Funktionalanalys
I
Hörmanders handledare
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
23 / 26
logoonly
Lars Hörmander (1931–2012), Mjällby
N. Chr. Overgaard
I
Allmänna teorin för PDE
I
Gårding om Hörmanders
avhandling:
Classical from birth
I
Fieldsmedaljen (1962)
I
ΦDO och
Fourierintegraloperatorer
I
Min lärare i distributionsteori,
HT1996.
Matematiker
2015-11-20
24 / 26
logoonly
Lars Hörmander (1931–2012), Mjällby
N. Chr. Overgaard
I
Allmänna teorin för PDE
I
Gårding om Hörmanders
avhandling:
Classical from birth
I
Fieldsmedaljen (1962)
I
ΦDO och
Fourierintegraloperatorer
I
Min lärare i distributionsteori,
HT1996.
Matematiker
2015-11-20
24 / 26
logoonly
Lars Hörmander (1931–2012), Mjällby
N. Chr. Overgaard
I
Allmänna teorin för PDE
I
Gårding om Hörmanders
avhandling:
Classical from birth
I
Fieldsmedaljen (1962)
I
ΦDO och
Fourierintegraloperatorer
I
Min lärare i distributionsteori,
HT1996.
Matematiker
2015-11-20
24 / 26
logoonly
Lars Hörmander (1931–2012), Mjällby
N. Chr. Overgaard
I
Allmänna teorin för PDE
I
Gårding om Hörmanders
avhandling:
Classical from birth
I
Fieldsmedaljen (1962)
I
ΦDO och
Fourierintegraloperatorer
I
Min lärare i distributionsteori,
HT1996.
Matematiker
2015-11-20
24 / 26
logoonly
Lars Hörmander (1931–2012), Mjällby
N. Chr. Overgaard
I
Allmänna teorin för PDE
I
Gårding om Hörmanders
avhandling:
Classical from birth
I
Fieldsmedaljen (1962)
I
ΦDO och
Fourierintegraloperatorer
I
Min lärare i distributionsteori,
HT1996.
Matematiker
2015-11-20
24 / 26
logoonly
Lars Hörmander (1931–2012), Mjällby
N. Chr. Overgaard
I
Allmänna teorin för PDE
I
Gårding om Hörmanders
avhandling:
Classical from birth
I
Fieldsmedaljen (1962)
I
ΦDO och
Fourierintegraloperatorer
I
Min lärare i distributionsteori,
HT1996.
Matematiker
2015-11-20
24 / 26
logoonly
Kommande veckorna på Matkomm
I
Deadline för inlämning 2 (version 1): Tis 24 november
I
Sammanställning av lösningar och opponentgrupper: Ons 25 november
I
Muntlig redovisning enl.schema: Mån 1 december
I
Deadline för inlämning 2 (slutgiltig): Fre 7 december
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
25 / 26
logoonly
Kommande veckorna på Matkomm
I
Deadline för inlämning 2 (version 1): Tis 24 november
I
Sammanställning av lösningar och opponentgrupper: Ons 25 november
I
Muntlig redovisning enl.schema: Mån 1 december
I
Deadline för inlämning 2 (slutgiltig): Fre 7 december
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
25 / 26
logoonly
Kommande veckorna på Matkomm
I
Deadline för inlämning 2 (version 1): Tis 24 november
I
Sammanställning av lösningar och opponentgrupper: Ons 25 november
I
Muntlig redovisning enl.schema: Mån 1 december
I
Deadline för inlämning 2 (slutgiltig): Fre 7 december
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
25 / 26
logoonly
Kommande veckorna på Matkomm
I
Deadline för inlämning 2 (version 1): Tis 24 november
I
Sammanställning av lösningar och opponentgrupper: Ons 25 november
I
Muntlig redovisning enl.schema: Mån 1 december
I
Deadline för inlämning 2 (slutgiltig): Fre 7 december
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
25 / 26
logoonly
Matkomm nästa termin
I
Projektarbete i självvalda grupper (4 pers)
I
Presentation av projektförslag
I
Val av projektämne samt bildande av projekgrupper
I
Jobba!
I
Den 19 maj 2016: Workshop i Matematisk kommunikation (Fika + enkelare
lunch)
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
26 / 26
logoonly
Matkomm nästa termin
I
Projektarbete i självvalda grupper (4 pers)
I
Presentation av projektförslag
I
Val av projektämne samt bildande av projekgrupper
I
Jobba!
I
Den 19 maj 2016: Workshop i Matematisk kommunikation (Fika + enkelare
lunch)
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
26 / 26
logoonly
Matkomm nästa termin
I
Projektarbete i självvalda grupper (4 pers)
I
Presentation av projektförslag
I
Val av projektämne samt bildande av projekgrupper
I
Jobba!
I
Den 19 maj 2016: Workshop i Matematisk kommunikation (Fika + enkelare
lunch)
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
26 / 26
logoonly
Matkomm nästa termin
I
Projektarbete i självvalda grupper (4 pers)
I
Presentation av projektförslag
I
Val av projektämne samt bildande av projekgrupper
I
Jobba!
I
Den 19 maj 2016: Workshop i Matematisk kommunikation (Fika + enkelare
lunch)
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
26 / 26
logoonly
Matkomm nästa termin
I
Projektarbete i självvalda grupper (4 pers)
I
Presentation av projektförslag
I
Val av projektämne samt bildande av projekgrupper
I
Jobba!
I
Den 19 maj 2016: Workshop i Matematisk kommunikation (Fika + enkelare
lunch)
N. Chr. Overgaard
Matematiker
2015-11-20
26 / 26
logoonly