Dagens 19/9
1.
Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkterna (1,1,2), (2,2,1) och
(1,0,1).
2.
Ett plan går genom punkten (2,1,3) och är parallellt med planet x – 2y + z = 1.
Bestäm planets ekvation.
För vilka värden på konstanten a är planen
ax + y + 2z = 1 och 6x + (a – 1)y + (a + 1)z = 1
a. vinkelräta
b.
parallella?
3.
4.
Ett plan går genom punkten (1,2,3) och är vinkelrät med skärningslinjen
mellan planen x + y + 2z = 9 och 2x + 3y + z = 11. Bestäm planets ekvation.
5.
Bestäm ekvationen för det plan som innehåller punkten (3,1,0) och linjen
r(t) = (1 – t, 1 + t, 1 + t).
6.
Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (2,1,3) och som är
vinkelrätt mot linjen r(t) = (t + 1, 1 + 2t, 2t + 1).
7.
Linjen L går genom punkterna (1,1,0) och (2,2,1). Linjen K går genom
punkten (2,3,4) och är parallell med linjen L. Bestäm de båda linjernas ekvationer.
Svar:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
2x – y + z = 3.
x – 2y + z = 3.
a. –1/9.
b.
3.
5x – 3y – z + 4 = 0.
x – y + 2z = 2.
x + 2y + 2z = 10.
L: (x,y,z) = (1 + t, 1 + t, t). K: (x,y,z) = (2 + t, 3 + t, 4+ t).
Dagens 20/9
8.
Ett plan går genom punkten (2,1,3) och är parallellt med de båda linjerna
r(t) = (t + 1, 1 + 2t, 2t + 1) och p(t) = (2t + 3, 2 + t, t + 2). Bestäm planets ekvation.
9.
Bestäm ekvationen för skärningslinjen mellan planen 3x + y + 2z = 1 och
x – 2y + z = 0.
10.
Planet P går genom punkten (3,2,1) och är parallellt med de båda linjerna
p(t) = (t, 2t + 1, 1 + t) och r(t) = (2t + 1, 1 + t, 2t + 2). Bestäm planets ekvation.
Beräkna också avståndet mellan planet och den första linjen.
11.
Ett plan, P, ligger på avståndet 1 från planet 2x + 3y + 6z = 7. Bestäm P:s ekvation.
12.
Beräkna avståndet mellan linjen r(t) = (1 + 3t, 3 + t, –2t) och planet x – y + z = 4.
Svar:
8.
9.
z – y = 2.
r(t) = (1 – 5t, t, 7t – 1).
11.
√2 .
x – z = 2, 3
2
2x + 3y + 6z = 0 eller 2x + 3y + 6z = 14.
12.
2
√ 3.
10.
Dagens 21/9
13.
Bestäm avståndet från det plan som går genom punkterna (4,3,2), (6,0,0)
och (–2,8,4) till punkten (5,4,2).
14.
Linjen L går genom punkterna (1,1,2) och (2,2,1). Linjen K går genom
punkten (1,1,5) och skär linjen L under rät vinkeln. Bestäm de båda linjernas ekvationer.
15.
Bestäm a så att vektorn (1,a, 3) blir parallell med planet x + 2y + 3z = 1.
16.
Punkterna A och B är symmetriska med avseende på planet 2x + y + z = 11.
Bestäm B då A = (1,2,1).
17.
Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkten (1,2,3) och som
skär linjen (x,y,z) = (6,0,4) + t (3,–2,3) vinkelrätt.
18.
Ett plan går genom punkterna A = (5,1,4) och B = (3,1,3) och är parallellt
med linjen r(t) = (3 +t, 2 + t, 5 + 2t). Bestäm planets ekvation.
Svar:
13.
14.
15.
16.
17.
1.
L: (x,y,z) = (2 – t, 2 – t, 1 + t). K: (x,y,z) = (t, t, 2t + 3).
a = –5.
(5,4,3).
(1 + 2t,2,3 – 2t).
18.
x + 3y – 2z = 0
Dagens 22/9
19.
20.
21.
Skriv på formen a + bi, där a och b är reella,
a. (2 + i)(1 – 2i)2.
b. 1 + 2i + 3i
3 – 4i 1 + 2i
Lös ekvationerna
a. (2 – i)z = 3 + i.
(2 + i)(3 + i)
4–i
b.
(2 + i)–
z = 1 + 3i
c.
( 2 + i)–
z + iz = 2 – 2i.
b.
√ 3 + i
c.
1 + i√
3.
Skriv på polär form
a.
22.
c.
1–i
Lös ekvationssystemet
–iz + (1 + i)w =
2i
.
–
–
(1 + i)z + (2 – i)w = 3 – 2i
23.
Skriv e3πi/2 på formen a + bi.
24.
Visa att om z = 1 så är 2z – 1 = z – 2.
Svar:
19.
a.
–2 – 11i.
b.
1 + i.
c.
20.
a.
1 + i.
b.
1 – i.
c.
21.
a.
2(cos(– π/4) + i sin(– π/4)).
√
b.
2(cos(π/6) + i sin(π/6)).
22.
23.
c.
2(cos(π/3) + i sin(π/3)).
–i.
z = 1 – i, w = 2 + i.
15
25 i
+
.
17
17
1 + 2i.
