Dagens 19/9 1. Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkterna (1,1,2), (2,2,1) och (1,0,1). 2. Ett plan går genom punkten (2,1,3) och är parallellt med planet x – 2y + z = 1. Bestäm planets ekvation. För vilka värden på konstanten a är planen ax + y + 2z = 1 och 6x + (a – 1)y + (a + 1)z = 1 a. vinkelräta b. parallella? 3. 4. Ett plan går genom punkten (1,2,3) och är vinkelrät med skärningslinjen mellan planen x + y + 2z = 9 och 2x + 3y + z = 11. Bestäm planets ekvation. 5. Bestäm ekvationen för det plan som innehåller punkten (3,1,0) och linjen r(t) = (1 – t, 1 + t, 1 + t). 6. Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (2,1,3) och som är vinkelrätt mot linjen r(t) = (t + 1, 1 + 2t, 2t + 1). 7. Linjen L går genom punkterna (1,1,0) och (2,2,1). Linjen K går genom punkten (2,3,4) och är parallell med linjen L. Bestäm de båda linjernas ekvationer. Svar: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 2x – y + z = 3. x – 2y + z = 3. a. –1/9. b. 3. 5x – 3y – z + 4 = 0. x – y + 2z = 2. x + 2y + 2z = 10. L: (x,y,z) = (1 + t, 1 + t, t). K: (x,y,z) = (2 + t, 3 + t, 4+ t). Dagens 20/9 8. Ett plan går genom punkten (2,1,3) och är parallellt med de båda linjerna r(t) = (t + 1, 1 + 2t, 2t + 1) och p(t) = (2t + 3, 2 + t, t + 2). Bestäm planets ekvation. 9. Bestäm ekvationen för skärningslinjen mellan planen 3x + y + 2z = 1 och x – 2y + z = 0. 10. Planet P går genom punkten (3,2,1) och är parallellt med de båda linjerna p(t) = (t, 2t + 1, 1 + t) och r(t) = (2t + 1, 1 + t, 2t + 2). Bestäm planets ekvation. Beräkna också avståndet mellan planet och den första linjen. 11. Ett plan, P, ligger på avståndet 1 från planet 2x + 3y + 6z = 7. Bestäm P:s ekvation. 12. Beräkna avståndet mellan linjen r(t) = (1 + 3t, 3 + t, –2t) och planet x – y + z = 4. Svar: 8. 9. z – y = 2. r(t) = (1 – 5t, t, 7t – 1). 11. √2 . x – z = 2, 3 2 2x + 3y + 6z = 0 eller 2x + 3y + 6z = 14. 12. 2 √ 3. 10. Dagens 21/9 13. Bestäm avståndet från det plan som går genom punkterna (4,3,2), (6,0,0) och (–2,8,4) till punkten (5,4,2). 14. Linjen L går genom punkterna (1,1,2) och (2,2,1). Linjen K går genom punkten (1,1,5) och skär linjen L under rät vinkeln. Bestäm de båda linjernas ekvationer. 15. Bestäm a så att vektorn (1,a, 3) blir parallell med planet x + 2y + 3z = 1. 16. Punkterna A och B är symmetriska med avseende på planet 2x + y + z = 11. Bestäm B då A = (1,2,1). 17. Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkten (1,2,3) och som skär linjen (x,y,z) = (6,0,4) + t (3,–2,3) vinkelrätt. 18. Ett plan går genom punkterna A = (5,1,4) och B = (3,1,3) och är parallellt med linjen r(t) = (3 +t, 2 + t, 5 + 2t). Bestäm planets ekvation. Svar: 13. 14. 15. 16. 17. 1. L: (x,y,z) = (2 – t, 2 – t, 1 + t). K: (x,y,z) = (t, t, 2t + 3). a = –5. (5,4,3). (1 + 2t,2,3 – 2t). 18. x + 3y – 2z = 0 Dagens 22/9 19. 20. 21. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)(1 – 2i)2. b. 1 + 2i + 3i 3 – 4i 1 + 2i Lös ekvationerna a. (2 – i)z = 3 + i. (2 + i)(3 + i) 4–i b. (2 + i)– z = 1 + 3i c. ( 2 + i)– z + iz = 2 – 2i. b. √ 3 + i c. 1 + i√ 3. Skriv på polär form a. 22. c. 1–i Lös ekvationssystemet –iz + (1 + i)w = 2i . – – (1 + i)z + (2 – i)w = 3 – 2i 23. Skriv e3πi/2 på formen a + bi. 24. Visa att om z = 1 så är 2z – 1 = z – 2. Svar: 19. a. –2 – 11i. b. 1 + i. c. 20. a. 1 + i. b. 1 – i. c. 21. a. 2(cos(– π/4) + i sin(– π/4)). √ b. 2(cos(π/6) + i sin(π/6)). 22. 23. c. 2(cos(π/3) + i sin(π/3)). –i. z = 1 – i, w = 2 + i. 15 25 i + . 17 17 1 + 2i.