DOP-matematik Copyright © Tord Persson
geometri ma B 2009-08-26
Uppgift nr 1
Uppgift nr 3
26°
135°
z
s
Hur stor är vinkeln z i den här
figuren?
Hur stor är vinkeln s i den här
figuren?
Uppgift nr 2
Uppgift nr 4
78°
p
36°
Hur stor är vinkeln p i den här
figuren?
w
Hur stor är vinkeln w i den här
figuren?
Sid 1
DOP-matematik Copyright © Tord Persson
geometri ma B 2009-08-26
Uppgift nr 5
Uppgift nr 7
F
C
E
G
v
H
B
BC är en diameter. Hur stor är
vinkeln v?
Vilken vinkel i den här figuren är
lika stor som den markerade
vinkeln GEH?
Uppgift nr 6
Uppgift nr 8
r°
s°
t°
q°
Vad kan man säga om de
markerade vinklarna i figuren?
Fyrhörningen ligger med alla fyra
hörnen på en cirkels rand. Vad
gäller för vinklarna i
fyrhörningen?
Sid 2
DOP-matematik Copyright © Tord Persson
geometri ma B 2009-08-26
Uppgift nr 9
Uppgift nr 11
o
3,9
6,5
n
114°
Hur stora är vinklarna n och o i
fyrhörningen?
Uppgift nr 10
Beräkna tredje sidans längd i
den här triangeln. Måtten har
enheten dm.
Uppgift nr 12
I en rätvinklig triangel är
kateterna 7,5 m och 18 m.
Hur lång är triangelns
hypotenusa?
b
c
a
Vad innebär Pythagoras´ sats?
Uppgift nr 13
I en rätvinklig triangel är
kateterna 8,7 cm och 11,6 cm.
Hur lång är triangelns
hypotenusa?
Uppgift nr 14
I en rätvinklig triangel är
kateterna 8,4 m och 11,2 m.
Hur lång är triangelns
hypotenusa?
Sid 3
DOP-matematik Copyright © Tord Persson
geometri ma B 2009-08-26
Uppgift nr 15
Uppgift nr 17
Två vinklar i en triangel är lika
med var sin vinkel i en annan
triangel. Vad kan man säga om
trianglarna?
Uppgift nr 18
Man vet att två figurer i
matematiken (tex två trianglar
eller två fyrhörningar) är
likformiga. Vad menas med det?
9
5,4
Uppgift nr 19
Enhet dm
Beräkna tredje sidans längd i
den här triangeln. Måtten har
enheten dm.
D
Uppgift nr 16
7
E
5
A
F
56
B
9,2
11,5
24
C
Trianglarna är likformiga (här inte
ritade med rätt innebördes
storlek). Beräkna sidorna DF och
BC.
Beräkna tredje sidans längd i
den här triangeln. Måtten har
enheten cm.
Sid 4
DOP-matematik Copyright © Tord Persson
geometri ma B 2009-08-26
Uppgift nr 20
Uppgift nr 22
Enhet mm
Enhet cm
A
D
A
20 a
DC
5
7
E
50
F
8
80
E
e
d
6
30
F
C
B
b
B
Trianglarna är likformiga (här inte
ritade med rätt innebördes
storlek). Beräkna sidorna DF och
BC.
I dessa trianglar (här inte ritade
med rätt innebördes storlek) är
a = d och b = e.
Beräkna sidorna DF och AB.
Uppgift nr 21
Uppgift nr 23
Enhet mm
D
4
Enhet cm
A
D
6
8
44
E
a
5
96
e
F
E
B
d
A
55
F
C
C
72
b
B
Trianglarna är likformiga (här inte
ritade med rätt innebördes
storlek). Beräkna sidorna EF och
AC.
I dessa trianglar (här inte ritade
med rätt innebördes storlek) är
a = d och b = e.
Beräkna sidorna EF och AC.
Sid 5
DOP-matematik Copyright © Tord Persson
geometri ma B 2009-08-26
Uppgift nr 24
Uppgift nr 26
Enhet dm
C
Enhet mm
6
D
D
A
a
d
18
E
17,4
B
b
9
e
E
5
27
7
F
20,3
A
B
C
I dessa trianglar (här inte ritade
med rätt innebördes storlek) är
a = d och b = e.
Beräkna sidorna DE och BC.
Sträckan DE i den här triangeln
är en parallelltransversal.
Beräkna sträckorna BC och DE.
Uppgift nr 27
Uppgift nr 25
Enhet cm
Enhet m
C
C
5
6
4
D
4
E
19,6
14
D
E
2,4
A
A
B
B
Sträckan DE i den här triangeln
är en parallelltransversal.
Beräkna sträckorna AB och CE.
Sträckan DE i den här triangeln
är en parallelltransversal.
Beräkna längden på sträckan BE
Sid 6
DOP-matematik Copyright © Tord Persson
geometri ma B 2009-08-26
Uppgift nr 28
Uppgift nr 30
Enhet cm
C
5
E
D
1,6
2
B
A
Sträckan DE i den här triangeln
är en parallelltransversal.
Beräkna längden på sträckan CD
Uppgift nr 29
Enhet m
C
7,2
Uppgift nr 31
Vad gäller för sidorna och
vinklarna i en triangel, om den är
A/ likbent?
B/ liksidig?
Uppgift nr 32
Två vinklar i en triangel är 93°
och 61°. Beräkna triangelns
tredje vinkel.
9
D
A
A/ Vad kallas denna figur i
matematiken?
B/ Vad gäller för vinklarna i den?
B
Δ ABC och Δ ACD är rätvinliga.
Beräkna sträckan BD
Sid 7
DOP-matematik Copyright © Tord Persson
geometri ma B 2009-08-26
Uppgift nr 33
Uppgift nr 35
29°
40°
37°
y
t
Beräkna storleken på vinkeln t i
denna triangel.
Beräkna storleken på den vinkel,
som markerats med y.
Uppgift nr 36
Uppgift nr 34
33°
107°
v
56°
50°
g
Beräkna storleken på den vinkel,
som markerats med v.
Beräkna storleken på den vinkel,
som markerats med g.
Sid 8
DOP-matematik Copyright © Tord Persson
geometri ma B 2009-08-26
Uppgift nr 37
117°
g
26°
Beräkna storleken på den vinkel,
som markerats med g.
Sid 9
DOP-matematik Copyright © Tord Persson
Facit - geometri ma B 2009-08-26
Uppgift nr 1
Uppgift nr 3
Uppgift nr 5
E
C
E
26°
D
135°
180°
z
M
M
D
s
C
D
B
Vinkeln z och vinkeln
CED står båda på
samma båge (bågen
CD). Då är
medelpunktsvinkeln z
dubbelt så stor som
randvinkeln CED.
Svar: Vinkeln
z = 52°.
Vinkeln s och vinkeln
DME står båda på
samma båge (bågen
DE). Då är randvinkeln
s hälften så stor som
medelpunktsvinkeln
DME.
Svar: Vinkeln
s = 67,5°.
Diametern är en
medelpunktsvinkel BMC
med storleken 180°,
som står på
halvcirkelbågen BC. Det
gör randvinkeln BDC
också. Den är alltså
hälften så stor.
Svar: Vinkeln v = 90°
Uppgift nr 2
Uppgift nr 4
Uppgift nr 6
C
B
78°
M
p
D
36°
F
B
w
A
E
Vinkeln p och vinkeln
DFE står båda på
samma båge (bågen
DE). Då är
medelpunktsvinkeln p
dubbelt så stor som
randvinkeln DFE.
Svar: Vinkeln
p = 72°.
Vinkeln w och vinkeln
BMC står båda på
samma båge (bågen
BC). Då är randvinkeln
w hälften så stor som
medelpunktsvinkeln
BMC.
Svar: Vinkeln
w = 39°.
Sid 1
Båda vinklarna är
randvinklar, som står på
samma båge (bågen
AB).
Svar: Vinklarna är
lika stora.
DOP-matematik Copyright © Tord Persson
Facit - geometri ma B 2009-08-26
Uppgift nr 7
F
E
G
H
Svar: Vinkeln
GFH är lika stor
som vinkeln GEH. Båda
är randvinklar på
samma båge (bågen
GH).
Uppgift nr 9
Fyrhörningen har alla
hörn på en cirkels rand.
Då är motstående
vinklar tillsammans
180°. Här gäller alltså
att
n + 90° = 180° och att
114° + o = 180°
Svar: Vinkeln o = 66°
Vinkeln n = 90°
Uppgift nr 10
Uppgift nr 11
Antag att tredje sidan är
z dm.
Triangeln är rätvinklig.
Då ger Pythagoras sats:
z2 + 3,92 = 6,52
z2 = 6,52 - 3,92
z2 = 42,25 - 15,21
z2 = 27,04
z = ± 27,04
z = ±5,2
(z = -5,2 sträcka)
Svar: Tredje sidan är
5,2 dm.
b
c
Uppgift nr 8
a
Uppgift nr 12
Antag att hypotenusan
är y m.
Pythagoras sats ger:
7,52 + 182 = y2
-y2 = -7,52 - 182
r°
s°
t°
q°
Svar: Motstående
vinklar är tillsammans
180°. I den här figuren
gäller alltså att
q + s = 180 och att
r + t = 180.
(Alla är naturligtvis 360°
tillsammans.)
Svar: I en rätvinklig
triangel gäller alltid att
om man adderar
kateternas kvadrater,
blir summan lika mycket
som hypotenusans
längd i kvadrat.
Kan skrivas som en
formel:
2
2
2
a +b =c
Formeln kallas
Pythagoras´ sats.
Sid 2
-y2 = -56,25 - 324
y2 = 56,25 + 324
y2 = 380,25
y = ± 380,25
y = ±19,5
(Även ett negativt tal är
lösning till ekvationen.
Det kan inte accepteras
eftersom vi söker längd
på en sträcka. Visas så
här)
(y = -19,5 sträcka)
Svar: Hypotenusan
är 19,5 m.
DOP-matematik Copyright © Tord Persson
Facit - geometri ma B 2009-08-26
Uppgift nr 13
Antag att hypotenusan
är y cm.
Pythagoras sats ger:
8,72 + 11,62 = y2
-y2 = -8,72 - 11,62
2
-y = -75,69 - 134,56
Uppgift nr 15
Antag att tredje sidan är
x dm.
Triangeln är rätvinklig.
Då ger Pythagoras sats:
y2 = 210,25
x = 51,84
y = ± 210,25
y = ±14,5
(Även ett negativt tal är
lösning till ekvationen.
Det kan inte accepteras
eftersom vi söker längd
på en sträcka. Visas så
här)
(y = -14,5 sträcka)
Svar: Hypotenusan
är 14,5 cm.
x = ± 51,84
x = ±7,2
(x = -7,2 sträcka)
Svar: Tredje sidan är
7,2 dm.
Uppgift nr 16
Antag att tredje sidan är
y cm.
Triangeln är rätvinklig.
Då ger Pythagoras sats:
Uppgift nr 14
Antag att hypotenusan
är y m.
Pythagoras sats ger:
y2 = 11,52 - 9,22
8,42 + 11,22 = y2
y = ± 47,61
y = ±6,9
(y = -6,9 sträcka)
Svar: Tredje sidan är
6,9 cm.
y2 = 70,56 + 125,44
5
A
F
56
B
24
C
Sidorna DE och AB är
motsvarande sidor i
trianglarna.
Skaltalet blir 56 / 7 = 8
Sidan BC: 8 · 5 = 40
Sidan DF: 24 / 8 = 3
Svar: Sidan
DF är 3 dm och Sidan
BC är 40 dm.
Uppgift nr 20
Enhet mm
y2 = 132,25 - 84,64
D
2
y = 47,61
A
5
y2 = 196
y = ± 196
y = ±14
(Även ett negativt tal är
lösning till ekvationen.
Det kan inte accepteras
eftersom vi söker längd
på en sträcka. Visas så
här)
(y = -14 sträcka)
Svar: Hypotenusan
är 14 m.
E
2
y2 + 9,22 = 11,52
-y2 = -70,56 - 125,44
D
7
x2 = 92 - 5,42
y = 75,69 + 134,56
-y2 = -8,42 - 11,22
Enhet dm
x2 + 5,42 = 92
x2 = 81 - 29,16
2
Uppgift nr 19
Uppgift nr 17
Svar: Trianglarna är
likformiga.
Uppgift nr 18
Svar: Om två figurer
är likformiga, ser de
likadana ut, men den
ena är en förstoring
eller förminskning av
den andra.
Sid 3
E
7
50
F
80
B
Sidorna DE och AB är
motsvarande sidor i
trianglarna.
Skaltalet blir 50 / 5 = 10
Sidan BC: 10 · 7 = 70
Sidan DF: 80 / 10 = 8
Svar: Sidan
DF är 8 mm och Sidan
BC är 70 mm.
C
DOP-matematik Copyright © Tord Persson
Facit - geometri ma B 2009-08-26
Uppgift nr 21
Uppgift nr 23
Uppgift nr 24
Enhet mm
D
Enhet cm
A
Enhet mm
D
D
A
A
4
6
8
44
5
E
a
9
a
e
96
e
F
E
d
d
E
F
18
7
27
F
b
55
B
b
C
B
Sidorna DE och AB är
motsvarande sidor i
trianglarna.
Skaltalet blir 44 / 4 = 11
Sidan AC: 11 · 6 = 66
Sidan EF: 55 / 11 = 5
Svar: Sidan
EF är 5 mm och Sidan
AC är 66 mm.
Enhet cm
D
E
e
6
A
d
a
20
F
B
b
30
C
Här är trianglarna ritade
´´åt samma håll´´(den
högra spegelvänd).
Eftersom 2 par vinklar
är lika är de likformiga.
Sidorna DE och AB är
motsvarande sidor i
trianglarna.
Skaltalet blir 96 / 8 = 12
Sidan AC: 12 · 5 = 60
Sidan EF: 72 / 12 = 6
Svar: Sidan
EF är 6 cm och Sidan
AC är 60 cm.
Uppgift nr 22
8
72
C
Här är trianglarna ritade
´´åt samma håll´´(den
högra spegelvänd).
Eftersom 2 par vinklar
är lika är de likformiga.
Sidorna EF och BC är
motsvarande sidor i
trianglarna.
Skaltalet blir 30 / 6 = 5
Sidan AB: 5 · 8 = 40
Sidan DF: 20 / 5 = 4
Svar: Sidan
DF är 4 cm och Sidan
AB är 40 cm.
Sid 4
B
C
Här är trianglarna ritade
´´åt samma håll´´(den
högra spegelvänd).
Eftersom 2 par vinklar
är lika är de likformiga.
Sidorna DF och AC är
motsvarande sidor i
trianglarna.
Skaltalet blir 27 / 9 = 3
Sidan BC: 3 · 7 = 21
Sidan DE: 18 / 3 = 6
Svar: Sidan
DE är 6 mm och Sidan
BC är 21 mm.
DOP-matematik Copyright © Tord Persson
Facit - geometri ma B 2009-08-26
Uppgift nr 25
Uppgift nr 26
Uppgift nr 27
Enhet cm
Enhet m
Enhet dm
C
C
C
C
C
5
D
6
5
17,4
y
D
4
E
14
19,6
y
6
x
20,3
A
B
D
2,4
A
x
B
ΔABC∼ΔCDE
(Topptriangels.)
Beteckn. enl. fig.
AC och CD är
motsvarande sträckor i
trianglarna.
Skaltalet blir 14/5 = 2,8
Alla sträckor i ΔABC är
2,8 gånger längre än
motsv. sträckor i ΔCDE.
x = 2,8·DE = 2,8·4 = 11,2
y = BC/2,8 = 19,6/2,8 = 7
Svar: AB = 11,2 m
CE = 7 m
4
E
A
ΔABC∼ΔCDE
(Topptriangels.)
Beteckn. enl. fig.
AC och CD är
motsvarande sträckor i
trianglarna.
Skaltalet blir 17,4/6 = 2,9
Alla sträckor i ΔABC är
2,9 gånger längre än
motsv. sträckor i ΔCDE.
x = 2,9·CE = 2,9·5 = 14,5
y = AB/2,9 = 20,3/2,9 = 7
Svar: BC = 14,5 dm
DE = 7 dm
Sid 5
E
x
B
Eftersom DE är parallell
med AB gäller
transversalsatsen
AD
BE
Skrivs den CD
= CE
kommer x med figurens
beteckningar i täljaren
direkt
2,4
x
6 =4
4 · 2,4 4 · x
6 = 4
1,6 = x
Svar: BE är 1,6 cm
DOP-matematik Copyright © Tord Persson
Facit - geometri ma B 2009-08-26
Uppgift nr 28
Uppgift nr 29
Enhet cm
C
x
Enhet m
5
A
D
C
E
1,6
2
y(5,4)
B
A
7,2
9
D
A
Eftersom DE är parallell
med AB gäller
transversalsatsen
CD
AD
= CE
BE som med
figurens beteckningar
ger
x
5
1,6 = 2
1,6 · x 1,6 · 5
1,6 = 2
x=4
Svar: CD är 4 cm
y
B
AB beräknas med
Pythagoras` sats
(Beteckn. se. fig.)
9² = y² + 7,2²
x
B
Uppgift nr 31
Svar: A/ I en
LIKBENT triangel är
BARA TVÅ sidor lika
långa. De två
vinklar, som INTE
ligger vid spetsen
mellan dessa, är lika
stora.
B/ I en LIKSIDIG
triangel är ALLA sidor
lika långa. Alla vinklar
är 60°.
Uppgift nr 32
De givna vinklarna är
154° tillsammans.
Tredje vinkeln = 180° 154°.
Svar: Tredje vinkeln
är 26°.
y = ± 9² - 7,2²
y = +5,4 (sträcka)
ΔABD∼ΔABC (En vinkel
rät, ABD är
gemensam)
Likformigheten ger
skaltalet
Uppgift nr 33
BC/AB = 9/5,4 ≈ 1,667
x ≈ AB /1,667 = 5,4 / 1,667 ≈De
3,2kända vinklarna är
90° + 29° = 119°
Svar: BD ≈ 3,2 m
Återstår
180° - 119°
Uppgift nr 30
till den sökta vinkeln.
Svar: t = 61°
Svar: A/ Figuren
kallas triangel.
B/ Alla vinklar är
tillsammans 180°.
Sid 6
DOP-matematik Copyright © Tord Persson
Facit - geometri ma B 2009-08-26
Uppgift nr 34
Uppgift nr 35
33°
Uppgift nr 37
40°
37°
z=103°
w=91°
89°
117°
77°
56°
h=63°
g
26°
(Antingen:) Enligt
yttervinkelsatsen är
yttervinkeln lika med
summan av de två
motstående inre
vinklarna.
(Eller: Vinkelsumman i
en triangel ger först
w = 91°
Yttervinkeln = 180° - 91°)
Svar: Yttervinkeln
v = 89°
(Antingen:) Enligt
yttervinkelsatsen är
yttervinkeln lika med
summan av de två
motstående inre
vinklarna.
(Eller: Vinkelsumman i
en triangel ger först
z = 103°
Yttervinkeln = 180° - 103°)
Svar: Yttervinkeln
y = 77°
Uppgift nr 36
107°
h=73°
50°
g
(Antingen:) Med
yttervinkelsatsen fås
vinkeln g ur
g + 50° = 107°
(Eller: Först inses att
vinkeln
h = 180° - 107° = 73°
Vinkelsumman i en
triangel ger sedan
storleken på vinkeln g.)
Svar: g = 57°
Sid 7
(Antingen:) Med
yttervinkelsatsen fås
vinkeln g ur
g + 26° = 117°
(Eller: Först inses att
vinkeln
h = 180° - 117° = 63°
Vinkelsumman i en
triangel ger sedan
storleken på vinkeln g.)
Svar: g = 91°
