Fö5 Konservativa/icke konservativa krafter, Pot. energi

Potentiell energi (lägesenergi)
För konstant kraft är arbetet som kraften gör oberoende av vägen. Detta gäller även
för en klass av krafter som kallas konservativa.
För en konservativ kraft kan vi definiera potentiell energi Ep(r) enligt:
B
B
A
A
W   F  dr  F   dr  F  (r ( B)  r ( A))  EP, A  EP, B
Initial
Final
För en konservativ kraft är
W = EP,A- EP,B
W=DEP dvs oberoende av vägen
För specialfallet sluten kurva blir kraftens arbete 0.
Wslutenkurva   F  dr  0
1
Potentiell energi: Tyngdkraften
Tyngdkraften konstant kraft: F  mgyˆ
W  F  (rB  rA )  mgyˆ  ( xB xˆ  yB yˆ )  ( xA xˆ  y A yˆ )
 mg( yB  y A )  mgh
 DE p  W  mgh
ŷ
yb r
B
B
h
F=mg
ya
xb
Tyngdkraftens arbete
rA
A
xa
x̂
2
Exempel på konservativa krafter
Tyngdkraften:
F  mgyˆ
Fjäderkraft:
F  kxxˆ
Centralkraft :
F (r )  Fr (r )rˆ
x̂
F  kxxˆ
En centralkraft är en kraft vars storlek Fr (r ) endast beror av
avståndet r från centrum till objektet samt är riktad radiellt från
centrum.
Exempel Centralkrafter:
Mm
FM (r )  G 2 rˆr̂
r
FQ (r ) 
1 Qq
rˆ
2r̂
40 r
r̂
r̂
Kraften ligger längst kropparnas sammanbindningslinje!
3
Energikonservering
För en konservativ kraft gäller:
W = DEk =  DEP
Gäller alltid
Konservativ kraft
DEk =  DEP
D(Ek +EP) =D Etot = 0
energi)
där Etot  Ek +EP) är partikelns totalenergi (mekaniska
Dvs: Om kraften är konservativ är totalenergin (mekaniska energin) konstant. Energin
konserveras (därför "konservativ" kraft)
E tot mv2/2 + EP = konstant
eller
(Ek + Ep)A = (Ek + Ep)B vid position A resp B
Uppgift: 1
4
Relation mellan kraft och potentiell energi
Om W = DEP skall gälla för varje liten förflyttning dr så krävs:
dW = F  dr =dEP för alla tänkbara riktningar
F  dr = Fdrcosq=FS ds
q
där FS är kraftkomponenten i riktning dr och ds = dr
FS ds   dEP
eller
FS =  dEP /ds
Kraftkomponenten i en viss riktning är negativa riktningsderivatan
av potentiella energin
5
Relation mellan kraft och potentiell energi
Allmänt, i tre dimensioner:
 dEP
dEP
dEP 
ˆ
ˆ
F  
x
y
zˆ   EP
dy
dz 
 dx
OBS: Kraften är en vektorvärd funktion av rumskoordinaterna (ett vektorfält)
Potentiella energin är en skalärvärd funktion av rumskoordinaterna (ett skalärfält)
Kraften erhålls direkt ur potentiella energin enligt ovan, vilket ofta underlättar räkningar
(skalärfält är enklare att hantera matematiskt)
Uppgift: 2
6
Potentialkurvor
E4
E3
E2
E1
Potentialkurvan är ett kvalitativt sätt att förstå
partikelns rörelse (utan att lösa kraftekvationen)
genom att studera EP(r)
Kurvan illustrerar en-dimensionell rörelse EP(x)
(identisk med EP(r) för en centralkraft).
M1, M2, M3 : F = -dEP/dx = 0 -> Jämviktslägen
Min: M1, M3
stabilt jämviktsläge
Max: M2
instabilt jämviktsläge
Totalenergin för systemet Etot = (Ek +EP) representeras av de horisontella strecken
För Etot = E1 oscillerar partikeln mellan vändlägena A resp B
För Etot = E2 har vi två potentialgropar separerade av potentialbarriär
För Etot = E3 kan partikeln röra sig mellan potentialgroparna
För Etot = E4 är partikeln fri att gå mot x = + 
Uppgift: 3
Icke konservativa krafter och energiförlust (energidissipation)
Exempel på icke-konservativa krafter är friktion och luftmotstånd.
Här är totala arbetet Wtot längs sluten kurva skilt från noll.
Wtot,sluten kurva   F  dr  0
Kan samtidigt finns konservativa och icke-konservativa krafter (t.ex. tyngdkraft och
luftmotstånd). Låt Wp vara arbetet uträttat av de konservativa krafterna och W´ arbetet
uträttat av de icke konservativa krafterna.
Wtot = Wp+ W´
använd Wp = -DEp
Wtot = DEP + W´
använd Wtot = DEk
DEk =  DEP + W´
DEk +EP) = DEtot =W´
Energi förloras (vinns) om W´ < 0 (W´ > 0)
OBS! Energin "försvinner" inte utan övergår i värme. Slutillståndet är mikroskopiskt
annorlunda än begynnelsetillståndet.
Uppgift: 4
8