Taluppfattning - Malmö högskola

Malmö högskola
Lärande och samhälle
Skolutveckling
Examensarbete
15 poäng på avancerad nivå
Taluppfattning
En undersökning av elevers förståelse och svårigheter inom
talomvandling
mellan olika former (bråk, decimal och procent)
Number sense – a survey on number-format conversion
(fraction, decimal and per cent)
Abdul Hamid Yasin Munir
Lärarexamen 270 hp
Lärarutbildning 90 hp
2013-05-30
Examinator: Haukur Viggosson
Handledare: Birgitta Lansheim
2
Förord
Först och främst vill jag tacka alla elever och lärare på den skola där jag fick genomföra
undersökningen, samt bibliotekarien som hjälpt mig att låna böcker.
Ett stort tack till min handledare Birgitta Lansheim, som gav mig råden att undersöka elevers
taluppfattning och talomvandling, och som har stöttat och inspirerat mig.
3
Taluppfattning: En undersökning av elevers förståelse och svårigheter inom
talomvandling mellan olika former (bråk, decimal och procent)
Abdul Hamid Yasin Munir
Sammanfattning
I min studie har jag valt att undersöka elevers förståelse och svårigheter om talomvandling
mellan olika former (bråk, decimal och procent). Syftet med detta arbete är att ta reda på
elevernas förståelse för och svårigheter med att omvandla tal mellan bråkform, decimalform och
procentform. Dessutom ville jag ta reda på om det skiljer i svårighet mellan benämnda uppgifter
och rutinuppgifter när det gäller talomvandling. Med rutinuppgifter avser jag uppgifter utan text.
Rutinuppgifternas syfte är att utveckla procedurförmåga medan de benämnda uppgifterna också
utvecklar problemlösningsförmåga. Undersökningen i denna studie bygger på ett skriftligt test.
Totalt deltog 243 elever i årskurs 7–9.
Resultatet visar att eleverna har förståelse för talomvandling när det gäller

Möjligheten att skriva ett tal på olika form.

relativ storlek på tal i bråkform, decimalform och procentform.
Dock visar det sig att cirka 45 % av eleverna har svårigheter med talomvandling när det gäller

sambandet mellan del av helhet i en delvis skuggad figur och tal i bråkform, decimalform
och procentform
Samt visar att cirka 71 % av eleverna har svårigheter med talomvandling när det gäller

utbytbara uttryck för tal mellan bråkform, decimalform och procentform
Vidare visar resultaten på att det är svårare att lösa benämnda uppgifter än rutinuppgifter.
Resultaten visar att cirka 55 % av eleverna klarade rätt svar när det gäller rutinuppgifter medan
bara 34 % av eleverna klarade rätt svar när det gäller benämnda uppgifter.
Min undersöknings resultat visar att en stor del av eleverna har brister i uppmärksamhet så att
matematik lärare måste betona att eleverna måste förbättra sig genom att läsa frågan och förstår
vilka svar vi fråga efter. Ett laborativt arbete är viktigt med en god kommunikation och lärarna
måste försäkra sig om att det laborativa arbetet är relevant som kan utveckla elevernas förståelse
om talomvandling.
4
Lärarna måste använda matematiskt språk på lektionerna så att eleverna vänjer sig uttrycka sig
med matematikspråk. Grupparbete är bra metod så att eleverna ska kunna använda
matematikspråk och tala med både klasskamrater och läraren.
Jag tror att lärarna bör ta mer genomgångar på tavla och visa eleverna steg för steg hur
lösningsprocesser måste vara samt träna mer med benämnda uppgifter. Lärare ska arbeta mer
med ordkunskap. Matematikläraren bör samarbeta med modersmålslärare ger matematiklärare en
viktig kunskap om hur barnet förstår och uttrycker sig på sitt modersmål och kan tillsammans
vidta lämpliga åtgärder.
Nyckelord
Bråkform, decimalform, grundskolan, matematik, naturliga tal, procentform, talomvandling, åk79
5
Innehållsförteckning
1
Inledning .................................................................................................................................. 7
2
Syfte ......................................................................................................................................... 9
2.1 Frågeställningar ................................................................................................................. 9
3
Teoretisk bakgrund ................................................................................................................ 10
3.1 Tidigare forskningslitteratur ........................................................................................... 10
3.1.1 Språkets betydelse för inlärning ................................................................................ 13
3.2 Tal – begreppsdefinitioner .............................................................................................. 14
3.2.1 Naturliga tal ............................................................................................................... 14
3.2.2 Bråktal ....................................................................................................................... 15
3.2.3 Decimaltal ................................................................................................................. 15
3.2.4 Procent som tal .......................................................................................................... 15
3.2.5 Elevers förståelse för talomvandling mellan bråk-, decimal- och procentform ........ 16
3.2.6 Elevers svårigheter vid talomvandling ...................................................................... 16
3.3 Undersökningar och studier ............................................................................................ 17
4
Metod ..................................................................................................................................... 19
4.1 Datainsamlingsmetoder ................................................................................................... 19
4.2 Urval................................................................................................................................ 20
4.3 Den skriftliga diagnosen ................................................................................................. 21
4.4 Genomförande ................................................................................................................. 22
4.5 Databearbetning och analys av data ................................................................................ 22
5
Resultat och analys ................................................................................................................ 24
5.1 Resultaten utifrån rutinuppgifter och benämnda uppgifter ............................................. 35
5.2 Sammanställning av hela den skriftliga undersökningen ................................................ 37
6
Diskussion och slutsatser ....................................................................................................... 38
6.1 Reflektion över undersökningen ..................................................................................... 38
6.2 Elevers förståelse för och svårigheter med att omvandla tal mellan olika former .......... 39
6.3 Skiljer det i svårighet mellan benämnda uppgifter och rutinuppgifter? .......................... 40
6.4 Slutsatser ......................................................................................................................... 41
6.5 Pedagogiska implikationer .............................................................................................. 42
6.6 Förslag till fortsatt forskning........................................................................................... 43
7
Referenser .............................................................................................................................. 44
Elektroniska dokument .............................................................................................................. 46
Bilaga 1
Bilaga 2
Bilaga 3
Bilaga 4
6
1 Inledning
Som lärare måste man vara observant på vilka kunskaper om ett begrepp en elev har. Där ingår
också att identifiera de förkunskaper som krävs för att förstå begreppet. Taluppfattning är en av
grunderna för matematikinlärningen, och är nödvändig för att behärska talomvandling mellan
bråkform, decimalform och procentform. Ahlberg (2001) anser att taluppfattning inom
matematiken har stor betydelse för elevers uppfattning av ämnet.
Under mina sex år som matematiklärare på högstadiet har jag ofta hört mina kollegor bekymra
sig över elevernas svårigheter med taluppfattning och talomvandling. Mitt intryck har varit att
elevernas förmåga att bemästra taluppfattning skiljer sig kraftigt: eleverna har olika svårigheter
med talomvandling mellan bråk, decimaltal och procentform vid huvudräkning. Jag har därför
undersökt elevernas förståelse och eventuella svårigheter att omvandla tal mellan olika former
vid huvudräkning. Relevansen i detta styrks av att McIntosh (2006) anser att en förståelse av tal
hos elever utvecklas genom huvudräkning.
Uppgifterna i matematikläroböckerna på min skola innehåller huvudräkning. För att eleverna ska
klara dessa uppgifter bör de ha god uppfattning av och förståelse för tal, samt sambandet mellan
de olika talformerna (främst bråk- och decimaltal).
Enligt McIntosh (2008) är tal i bråk, tal i decimalform och procent olika sätt att beskriva tal.
Vidare anser McIntosh att den stora skillnaden är att för tal i bråk- och decimalform är helheten
ett och för procent är helheten hundra.
Enligt Skolverkets kursplan, Lgr 11, är följande centrala innehåll i matematikundervisningen:



Centrala metoder för beräkningar med tal i bråk- och decimalform vid överslagsräkning,
huvudräkning
Tal i bråk- och decimalform och deras användning i vardagliga situationer.
Tal i procentform och deras samband med tal i bråk- och decimalform.
Enligt Skolverket (2003) visar resultat från PISA och den nationella utvärderingen, där man kan
jämföra resultat för elever i årskurs 9 mellan olika länder, att elevernas resultat i matematik har
försämrats sedan 1992. Resultaten visar också att andelen svaga elever har ökat och andelen
duktiga elever har minskat.
Enligt Skolverket (2007) visar resultat från TIMMS 2008, som handlar om svenska elevers
matematikkunskaper, att elevernas taluppfattning och beräkningsprocedurer inte har utvecklas
7
tillräckligt. Detta resultat från PISA och TIMMS har gjort mig intresserad av att undersöka
elevers förståelse för talomvandling mellan bråkform, decimalform och procentform.
Genom detta arbete vill jag också belysa svårigheter att lösa benämnda uppgifter respektive
rutinuppgifter. Min förhoppning med undersökningen är att bidra till ökad måluppfyllelse om
talomvandling i skolan.
8
2 Syfte
Syftet med detta arbete är att få en inblick i förståelsen för tal och talomvandling hos eleverna i
årskurs 7–9. Jag har koncentrerat mig på omvandling mellan bråk, decimaltal och procentform
samt de aktuella svårigheterna vid denna process. Jag vill också få en bild av hur elevernas
förståelse skiljer sig mellan att lösa rutinuppgifter respektive benämnda uppgifter. Jag hoppas att
resultaten ska medverka till att ge matematiklärare i både grundskolan och gymnasiet en
tydligare uppfattning om svårigheterna med att omvandla tal mellan bråk, decimalform och
procentform.
2.1 Frågeställningar
1. Vilken förståelse visar elever vid omvandlingar av tal mellan bråkform, decimalform och
procentform?
2. Vilka svårigheter visar elever när det gäller att omvandla tal mellan bråkform,
decimalform och procentform?
3. Vilka skillnader föreligger när det gäller svårigheter vid lösandet av rutinuppgifter jämfört
med lösandet av benämnda uppgifter?
9
3 Teoretisk bakgrund
I detta avsnitt går jag igenom forskningslitteratur som har anknytningen till min undersökning.
Jag tar också upp definitioner av olika begrepp som till exempel bråk-, decimal- och procentform
samt naturliga tal – alla centrala begrepp i mitt arbete – och beskriver vad som menas med
taluppfattning och talomvandling mellan de olika formerna.
3.1 Tidigare forskningslitteratur
För det rationella tänkandets utveckling använder Piaget (1942) ett förklaringssätt. Det sättet är
konstruktivistiskt, dvs. hur strukturer utvecklas mot bättre strukturer. Vidare nämner Piaget fyra
faktorer som bidrar till de kognitiva strukturernas utveckling:

mognad

erfarenhet

social interaktion

självreglering
Enligt konstruktivismen finns en vision av en aktiv och kunskapsteoretiskt stärkt elev (Ernest
1998). Vidare anser Ernest att konstruktivismen alltså bygger på ett arbetssätt, där elevernas
lärande sätts i centrum istället för att läraren förmedlar givna kunskaper som skall utveckla deras
matematiska värld. Med detta kan vi se att elevers prestationer i talomvandling mellan bråk,
decimal och procentform kan utvecklas när eleven blir mognare och har större erfarenhet.
Engström (1997) anser att eleven kan uppfatta ett bråktal med hjälp av en bild av en pizza eller
en delvis skuggad figur. Engström fortsätter med att eleven ska kunna omforma bråkform till
decimalform och/eller procentform. Vidare anser Engström att i matematikundervisningen i
skolan är mycket av den matematik eleverna lär sig väldigt konkret, och bråktal är den första mer
abstrakta matematik som eleverna möter. Han anser att eleverna ska vara förtrogna med de
naturliga talen innan de börjar arbetet med de rationella.
Smith (1997) anser att man för att förstå Piagets teorier kan använda bergsbestigning som en
metafor, varvid talet uppfattas som ett berg att bestiga. Eleven ska utveckla sin förståelse för
taluppfattning under hela lärotiden. Detta innebär att förståelse för taluppfattning börjar i tidig
ålder och bör fortsätta under hela grundskolan och gymnasiet. Engström (1998) anser att
10
utveckling av ett begrepp är en utdragen process; för många matematiska begrepp är det fråga
om en mycket lång process.
Engström (1997) ger exemplifieringar ur Behr(1992) och Padberg(1989). Behr (1992)
konstaterar att hur man ska arbeta med bråk i skolan är omdebatterat inte bara i Sverige utan
även utomlands, eftersom det är ett område eleverna stöter på problem i. den internationella
forskningen är inte enig kring hur bråk bör arbetas med i skolan, men överenskommelse ligger i
att det finns ett problem med elevers prestationer i bråk. Med denna förutsättning har Engström
(1997) i sin forskning strävat efter att undersöka hur elever lär sig bråk. Han ville ta reda på vilka
problem eleverna stöter på i arbete med bråk och omvandling till decimalform. Engström
behandlar även dessas relevans för undervisningen det vill säga hur eleverna försöker skapa sig
en mening i sitt matematiska tänkande. Engström (1997) nämner en undersökning i Finland som
visade att de svåraste uppgifterna för eleverna var att skapa en tallinje för bråktal. Eleverna hade
svårt att ange tal som var större än en hel, och dessutom var det svårt för eleverna att uppfatta
storlek på bråk och konstruera ett annat namn på ett bråktal. När en elev uppfattar 1/5 som ett tal
som är större än 1/4 för att 5 är större än 4, förklaras det som en bristande förståelse där eleven
antingen riktar uppmärksamheten mot antalet delar eller mot delens storlek.
Räkning med tal i decimalform istället för bråkform har börjat tillämpas mer. Motiveringen till
detta har legat i att det anses att eleverna möter tal i decimalform mer ofta i sin vardag som till
exempel priser och vikter än tal i bråkform. Det sägs även att det är lättare för elever att räkna
med tal i decimalform (Engström, 1997). Det sistnämnda argumentet ifrågasätter Engström då
han refererar till Padbergs (1989) tyska undersökning med 900 elever från 34 klasser.
Undersökningen gjordes med elever i skolår 7, där det visade sig att eleverna inte uppvisade
några generellt bättre prestationer med räkning av bråk i decimalform än med allmänna bråk.
Prestationerna låg något högre vid räkning med bråk i decimalform gällande addition och
subtraktion, men med multiplikation och division låg prestationerna mycket högre i räkning med
bråkform. Padberg (1989) påpekar fördelarna med att tillämpa båda formerna, då han anser att
man bör hitta ett samspel i undervisningen, som ger eleverna möjlighet att uppfatta det som olika
sätt att beskriva samma matematiska objekt.
Löwing och Kilborn (2003) anser att eleven kan ha två olika uppfattningar av samma tal om det
skrivs i bråkform eller decimalform. Det finns skillnader mellan bråkformen och decimalformen:
till exempel kan 27/100 användas för en andel av 27 stycken av 100, men decimaltalet 0,27 har
bara betydelsen av ett tal, en plats på tallinjen.
11
En elev som ska förstå ett tal med decimaler måste kunna förstå positionssystemet, anser
Verschaffel och De Corte (1996). Vidare anser författarna att det är tre olika aspekter av
positionssystemet som ska integreras: Den första aspekten är att till exempel 38 kan delas upp i
åtta ental och tre tiotal. Den andra aspekten är att uttala och skriva talet 38. Den tredje aspekten
är att kunna skriva talet 38 med bokstäver: trettioåtta.
Eftersom åldersskillnaden mellan elever i åk 9 och åk 1 på gymnasiet är liten är det intressant att
läsa undersökningen av procentkunskaper i årskurs 9 genomförd av Omfors (2003). Denna visar
att många elever hade problem med begreppsförståelsen och genom mekaniskt räknande
klarades endast enkla uppgifter. Det var stora bekymmer med procentuella förändringar och
begreppen procent och procentenheter förstod man inte skillnaden på.
Elvstam och Månsson (2006) har undersökt procentkunskaper i åk 6 i grundskolan och åk 1 på
gymnasiet. Deras studie av läroböcker visar att svårighetsgraden på uppgifterna inte förändras
speciellt mycket mellan åk 6 och åk 9.
Jaworski (1998) anser att man genom lärande skapar sig en bra matematisk uppfattning utifrån
sina erfarenheter i förhållande till kunskap. Denna förhållandet ska förändras för att kunna
generalisera eller tänka i abstrakta matematiska begrepp. Med detta anser Jaworski att elev som
uppfattar ordet hälften av en mängd, bör eleven kan skriva uttrycka ordet hälften på olika form
till exempel 50 % eller 0,5 av samma mängd.
Emanuelsson (2001) anser att eleverna har olika erfarenheter som påverkar deras lärande. Om
och hur en elev lär sig ett nytt begrepp kan förklaras av olika variationer.
Löwing och Kilborn (2002) anser att det inte är lätt att avgöra vilken uppfattning eleverna har
om bråk och viken aspekt de behärskar, och att bråk- decimalräkning är ett svårt ämnesområde.
Vidare anser Löwing och Kilborn (2002) att eleverna bör uppfatta att decimaltalen är en typ av
bråk med ett annorlunda skrivsätt. Man missar förklaringen av hur man dividerar tal när man
hoppar över bråktalen och går direkt till decimaltalen. Kilborn (1990) har funnit att elever idag
ofta omvandlar bråktal till decimaltal med hjälp av miniräknare, men att detta leder till att
eleverna får problem med att utföra algebraiska förenklingar i gymnasieskolan. Vidare skriver
Kilborn att decimaltalen idag har övertagit mycket av bråkräkningens roll, och att miniräknare
och datorer i samhället har minskat behovet av färdigheter i skriftliga beräkningsmetoder.
12
3.1.1 Språkets betydelse för inlärning
Språket bygger upp en förståelse som har stor betydelse för inlärning av matematik anser
Riesbeck (2008). Vidare anser Riesbeck att lärare och elever kan skaffa sig en god förståelse för
matematik genom att tänka, läsa, tala, lyssna och skriva. Engström (1998) anser att det finns en
koppling mellan elevens uppfattning av talen och språket. Fortsättningsvis skriver Engström att
språkbruket kan underlätta inlärningen av talramsan.
PISA är en återkommande internationell undersökning av femtonåringar elevers färdigheter i tre
olika ämnen: läsförståelse, matematik och naturvetenskap. I figur 1 presenteras resultaten för
svenska elever från PISA 2000, uppdelat efter migrationsstatus för de tre kunskapsområdena.
4 416 elever deltog i undersökningen, och de har delats upp i tre grupper efter
migrationsförhållanden.
Figur 1: Svenska elevers färdigheter i läsförståelse, matematik och naturvetenskap uppdelat efter
migrationsstatus.
Resultaten visar stora skillnader mellan alla de tre grupperna för alla de tre kunskapsområdena.
”En delförklaring till detta resultat kan vara att uppgifterna som eleverna genomförde i PISAundersökningen både i matematik och i naturvetenskap innefattade en hel del textmassa. Därmed
är grundläggande kunskaper i läsförståelse också i praktiken ett nödvändigt villkor för att klara
sig bra i matematik och naturvetenskap.” (Skolverket, 2001a.). I min undersökning vill jag också
belysa svårigheter att lösa benämnda uppgifter respektive rutinuppgifter. Ladberg (2003) anser
att språket spelar en stor roll i barnens utveckling och för att de ska kunna lära sig saker och ting.
I boken Matematik från början beskriver författaren att läraren genom samtal kan ta reda på
elevers tankar, kunskap och förståelse av tal/matematik. Samtalen stärker elevers
språkutveckling och ett välutvecklat språk hjälper eleverna att utveckla sitt matematiska
tänkande.
Tiden som krävs för att elever med utländsk härkomst ska behärska svenska språket på samma
sätt som infödda varierar beroende bland annat på hur gammal eleven var vid ankomsten till
Sverige. Språkforskaren Virginia Collier(2002) har gjort följande uppställning:
13
Ankomstålder
Genomsnittlig tidsåtgång
5–7 år
3–8 år
8–11 år
2–5 år
12–15 år
6–8 år
Figur 2: Tid som krävs för att invandrarungdomar ska lära sig svenska. (Källa: Myndigheten för
skolutveckling, 2003)
3.2 Tal – begreppsdefinitioner
Så här definierar Reys & Reys (1995) taluppfattning:
”En persons övergripande förståelse för tal och operationer parat med förmåga, färdigheter och lust att
använda denna förståelse på olika sätt som underlag för beslut och för att utveckla användbara och
effektiva strategier för att använda tal och operationer.”
Vidare anser Reys & Reys att en elevs taluppfattning visar sig på olika sätt i aktiviteter i
matematik. Det är svårt att mäta elevers förståelse för tal inom taluppfattning på grund av att det
är ett komplext begrepp, anser Reys & Reys (1995). De menar att det är svårt att ta reda på hur
eleverna tänker. Kilborn & Löwing (2003) anser att en god förståelse inom taluppfattning
handlar om att:

förstå talens betydelse och storlek

behärska talraden både framåt och bakåt

behärska entals- och tiotalsväxling
Med detta ska elever kunna skriva tal i storleksordning samt omvandla talen mellan olika former
(bråk, decimal och procent).
3.2.1 Naturliga tal
Den traditionella innebörden om ”naturliga tal” är heltalen 0, 1, 2, 3… till oändlighet anser
Thompson (1991).
14
3.2.2 Bråktal
Enligt Nationalencyklopedin (1991) är bråk ett ”matematiskt uttryck av formen a/b. a kallas
täljaren, b nämnaren och strecket bråkstreck. Nämnaren får aldrig vara noll.” Vidare är ett
bråktal kallas för ett rationellt tal som är ett ”tal som kan skrivas som kvoten mellan två heltal,
p/g, och g ≠ 0”. Ordet rationell kommer från latinets ratio, som betyder kvot (Thompson 1991).
Enligt Piaget (1942) är inlärning av de två grundläggande förhållandena del–helhet och del–del
viktiga vid bildandet av elevers bråkföreställningar.
Kilborn & Löwing (2002) menar att vi för att kunna avgöra vilken iakttagelseförmåga det finns
av bråk och vilka aspekter som ska behärskas måste vi fundera över bråkets olika gestaltningar.
Bråket ½ har en plats på tallinjen, innebär att bråktal är en form av tal.
McIntosh (2008) anser att bråkuttryck är nära knutna till resultatet av en division: när en mängd
delas i lika delar kan det ses som en form av division, och själva kvoten kan skrivas i bråkform.
3.2.3 Decimaltal
Löwing & Kilborn (2003) skriver att decimaltalet är en form av tal som består av heltal och delar
och innehåller decimaltecken. Ett decimaltal kan bestå av en ändlig eller oändlig följd av
decimaler, till exempel 1/4 = 0,25 och 7/3 = 2,333333… Siffrorna har olika värde beror på deras
respektive positioner. Decimaltal är en speciell form av bråk, och med hjälp från grundläggande
bråkräkning kan eleven förstå vad decimaltecknet betyder och var det ska placeras. Decimaltal,
bråk och procent tillhör tillsammans de rationella talen. Till exempel 2/5 som bråktal är lika med
0,40 som decimaltal och är lika med 40 % som procent form. Kilborn (1999) beskriver rationella tal
som de tal som kan skrivas som heltal, bråk, procent-, eller decimalform. Rationella tal som skrivs i
decimalform kan skrivas med ett oändligt antal decimaler.
3.2.4 Procent som tal
Procent betyder per hundra eller hundradelar, och är faktiskt bara en stenografisk förkortning,
där de två nollorna i nämnaren av exempelvis 7/100 återges med symbolen %, och därmed skrivs
talet kort som 7 % (Skott, Hansen, Jess & Schou, 2010). Eleven ska uppfatta talet i procentform
som ett tal i bråkform med nämnaren 100.
15
3.2.5 Elevers förståelse för talomvandling mellan bråk-, decimal- och procentform
Enligt Skott, Hansen, Jess & Schou (2010) innebär talomvandling mellan olika former att ett tal
ska skrivas i bråkform, decimalform och procentform utan att värdet ändras. Eleven bör kunna
grunderna i bråkräkning och räkning med tal i decimalform för att klara procenträkning. Teorin
om procentform är att 15 % betyder varken mer eller mindre än 15/100 eller 0,15, och man
räknar med 15 % på exakt samma sätt som med 15/100 och 0,15.
McIntosh (2008) anser att bråk, tal i decimalform och procent är olika sätt att beskriva tal.
McIntosh menar att den stora skillnaden är att för tal i bråk- och decimalform är helheten ett och
för procent är helheten hundra. Att förstå att två olika bråkuttryck kan representera samma tal är
centralt för att förstå bråkform anser McIntosh (2008). Hon menar att två bråk, till exempel 2/3
och 4/6, ses helt olika ut men ändå beteckna samma tal eller andel av något.
Löwing och Kilborn (2003) anser att elever visar förståelse för tal när de arbetar med tal i olika
former, och kan omvandla ett tal mellan bråkform, decimalform och/eller procentform. Enligt
Löwing och Kilborn (2003) gäller för procenträkning i stort sett grundläggande förståelse för
decimaltalsräkning. Det gäller att förstå innebörden i procentbegreppet, att det handlar om en
andel av något uttryckt i hundradelar.
3.2.6 Elevers svårigheter vid talomvandling
Elevers svårigheter med matematik för elever när de arbetar med talomvandling kan påverkas av
olika faktorer till exempel elevers erfarenheter och förutsättningar. Verschaffel & De Corte
(1996) kopplar den matematiska utvecklingen till det logiska tänkandet och förmågan att utföra
beräkningar. Denna utveckling leder inte alltid rätt spår, exempelvis för flersiffriga tal i
decimalform till exempel eleverna tror att 1,25 > 1,3. Verschaffel & De Corte (1996) anser att en
annan utmaning är att eleven ska förstå sammanhanget när benämnda uppgifterna gäller
vardagsmatematiska problem; då kan eleven lösa praktiska uppgifter som utvecklar elevens
matematiska förmåga.
Löwing och Kilborn (2003) anser att bristande färdighet att arbeta med tal kan iakttas när elever
på högstadiet systematiskt gör fel vid räkning med bråk och decimaltal. Det är då svårt för en
elev att förstå att 2/5 av 30 kr är lika med 0,40 av 30, samt ska kopplas till procentandelen 40 %,
eftersom eleven inte ser siffrorna 2 och 5 i talet 0,40. Vidare anser Löwing & Kilborn att 40 %
16
får numerisk betydelse som proportionen (andelen) av något. Alltså bör man skilja mellan 2/5
som tal, vilket är lika med 0,40, och 2/5 av 300 där 2/5 betyder 2 andelar av 5 som en proportion.
Tal som ska omvandlas från bråkform till procentform är enkla när täljaren är lika med 100, för
en hundradel är lika med en procent. Exempel: 28/100 = 28 %. Det blir svårare om täljaren inte
är lika med hundra, till exempel 38/146. Löwing & Kilborn (2003) tar som exempel 56/160, som
med hjälp av division kan skrivas som 0,35. Då finner vi att 56/160 = 35/100, som kan skrivas
som 35 %.
McIntosh (2008) tar ett exempel där 40 % av pojkarna och 40 % av flickorna i skolan använder
glasögon. Frågan är hur många procent av alla eleverna i skolan det är. McIntosh anser att de
som svarar 20 % (hälften av 40 %) eller (40 % + 40 % =) 80 % använder räkneregler och inte
uppfattar innebörden av situationen.
3.3 Undersökningar och studier
Enligt Skolverket (2003) visar den nationella utvärderingen av grundskolan dels att cirka 90 %
av eleverna klarar målen i taluppfattning, dels att elevernas resultat i matematik har blivit sämre
jämfört med år 1992. Resultaten visar också att andelen svaga elever har ökat och andelen
duktiga elever har minskat. Enligt Skolverket (2007) visar resultat från TIMMS 2008, som
handlar
om
svenska
elevers
matematikkunskaper,
att
elevernas
taluppfattning
och
beräkningsprocedurer inte har utvecklas tillräckligt. Vidare skriver man att 42 % av eleverna
uppger att de aldrig diskuterar matematik. Detta kan visa brister på att eleven kan skriva till
exempel ”var femte” i bråk, decimal och procentform. I min undersökning vill jag om eleverna
kan skriva till exempel ”varannan och trettiotvå hundradelar” i bråkform, decimalform och
procentform.
Enligt en studie som utförts av Möllehed (2001) påverkar sexton olika faktorer elevernas
uppfattning i matematik. Nedan tar jag bara upp de faktorer som kan kopplas till min
undersökning samt de brister som förekommer hos elever för respektive faktor.

Textförståelse: Elever missförstår hela eller delar av innehållet i texten.

Talförståelse: Bristerna består i feltolkningar av decimaler och rationella tal.

Relationer mellan helheten och dess delar: Här kan man inte se hur delarna och helheten
hör samman.
17

Räkneförmåga: Algoritmfel förekommer, sammanblandning av de olika räknesätten samt
räknefel med heltal, decimaltal, rationella tal och procent.

Uppmärksamhet: Här är det frågan om att eleven gör slarvfel som till exempel att ge ett
ofullständigt svar.
Enligt Engström (1997) utförde PRIM- gruppen vårterminen 1989 en nationell utvärdering
gällande elevers kunskaper och färdigheter i matematik (bilaga 3). Uppgiften handlar om hur
eleven kan se samband mellan tal i bråk, decimal och procentform samt välja det största talet av
några tal.
Magne (1990) jämförde i sin Medelsta- studie hur väl eleverna behärskade matematikämnet
enligt Lgr 69 och Lgr 80. Bilaga 4 visar resultatet för en uppgift om sambandet mellan del av
helhet i en delvis skuggad figur och tal i bråkform, decimalform och procentform.
Mäkiranta (2009) presenterar resultatet av ett fördjupningsarbete under en kurs med boken
”Förstå och använda tal – en handbok” av Alistair McIntosh. Figur 3 nedan visar resultat för
fråga 14. Där visar att bara 50 % av eleverna som deltog på arbetet kunde omvandla ett tal från
procentform till bråkform och decimalform.
14. Uttryck 60 % i bråkform och decimalform.
Resultatet: 9 korrekta svar av 18 elever som svarade på frågan (50 %)
Figur 3: Ett exempel på att ett tal kan skrivas på olika form (omvandling mellan bråkform,
decimalform och/eller procentform) (Mäkiranta, Nämnaren nr1, 2009).
Resultaten ovan från olika studier och undersökningar ska jag använda för att jämföra min
undersöknings resultat och försöka komma fram på svar till min undersöknings frågeställningar.
Samt kommer jag att dra slutsatser som kan bidra till att matematik lärare kan ta hänsyn till det.
18
4 Metod
I detta kapitel kommer jag att redovisa de metoder som användes i undersökningen, samt hur de
uppgifter som användes i det skriftliga testet valdes. Dessutom beskrivs urvalet av elever som
deltog i det skriftliga testet.
I min undersökning har jag beaktat forskningsetiska principer. Enligt Forskningsetiska principer
i humanistisk–samhällsvetenskaplig forskning ska undersökningar uppfylla följande krav
(Vetenskapsrådet, 2000):

Informationskravet: Forskaren ska informera dem som berörs av forskningen om syftet med
forskningen.

Samtyckeskravet: De berörda får själva bestämma om de vill medverka i forskningen.

Konfidentialitetskravet: Ingen annan får ta del av namn på personer som deltagit i
undersökningen.

Nyttjandekravet: Insamlade uppgifter får bara används inom forskningen.
I min studie informerade jag mina arbetskamrater som är matematiklärare och min rektor och
förklarade min studies syfte. Jag träffade alla 11 klasser innan de deltog på undersökningen och
berättade om studien och jag gav de ett brev till sina föräldrar med information om min studie.
Jag berättade till alla elever att eleverna får själv bestämma om de vill delta i forskningen, och att
eleverna inte behöver skriva sitt namn. Eleverna fick veta att uppgifter får bara används inom
forskningen.
4.1 Datainsamlingsmetoder
Johansson & Svedner (2006) skiljer på enkäter, som bidrar till en bredare men ytligare
information, och intervjuer, som ger en smal men mer grundlig information i en undersökning.
Det skriftliga testet är delvis gjort som en kvantitativ undersökning. Det skriftliga testets syfte är
att få en bild av elevernas kunskap i taluppfattning. Jag kommer att göra en kvantitet
resultatredovisning genom min analys och kategorisering.
För att kunna jämföra och till viss del generalisera resultat bad jag alla deltagande elever att
försöka svara på alla frågor. Patel & Davidsson (2003) anser att detta kännetecknar
undersökningar som har enkäter som metod.
19
Davidson & Patel (2003) anser att man kan få information om omvärlden genom observation.
Detta innebär att man kan skaffar kunskap om ett problemområde. Vidare beskriver författarna
två typer av observationer: strukturerad och ostrukturerad observation. I denna studie användes
ostrukturerad observation under två veckor innan det skriftliga testet genomfördes.
Min undersökning är gjord med 243 elever så underlaget kan ge mig bra möjlighet att jämföra
och generalisera min undersöknings resultat.
4.2 Urval
Jag valde att genomföra det skriftliga testet (bilaga 2) med elever i elva klasser som går i
högstadiet (åk 7–9) i en grundskola i Skåne utgående ifrån vad som enligt Lgr 11 för matematik
ska ha uppnåtts under skolår 9. Målen innefattar att eleverna ska ha grundläggande
taluppfattning som omfattar att kunna klara beräkningar med tal i bråkform och decimalform,
samt kunna beräkningar med procent genom att omvandla tal mellan bråkform och decimalform
till procentform.
Jag valde denna skola av två anledningar. Den första anledningen var att denna skola är en
mångkulturell skola, så att jag kunde få bättre resultat om en frågeställning som handlar om
huruvida förståelsen av och svårigheterna med benämnda uppgifter skiljer sig från
rutinuppgifter. Med detta ville jag kontrollera hur bristande matematikspråk inverkar på
elevernas förståelse av talomvandling mellan bråkform, decimalform och procentform. I skolan
kan eleverna välja mellan tre olika profiler: musik-, fotbolls- och kulturprofil. I klasser med
musikprofil som betecknas med (M) har majoriteten av eleverna inte invandrarbakgrund. I
klasser med kulturprofil som betecknas med (A och/eller B) består majoriteten av elever med
invandrarbakgrund. Klasserna som har fotbollsprofil som betecknas med (FM) har den jämnaste
fördelningen mellan elever med och utan invandrarbakgrund. Löwing (2006) lyfter fram det
faktum att ”bristen på ett adekvat språk kan vara en bidragande orsak till den kris som råder i
dagens matematikundervisning”. Den andra anledningen till valet av den skolan var att jag
arbetar på denna skola sedan sex år. Jag hade därför tillgång till lämpligt material och salar.
20
4.3 Den skriftliga diagnosen
Utgångspunkten för min diagnos är McIntoshs (2010) definition av fem olika typer av
frågeställningar för att uppfatta sambandet mellan bråkform, decimalform och procentform:
1. att kunna omvandla enkel bråkform till decimalform och procentform
2. att kunna tolka ett uttryck till tal i olika former
3. att kunna omvandla ett tal mellan olika former
4. att kunna koppla procentuell förändring till decimalform
5. att jämföra storleken på tal i bråkform, decimalform och procentform
När jag valde frågorna till det skriftliga testet tog jag hänsyn till att de förväntades ge svar på de
forskningsfrågor jag ställt. Målet var att välja frågor av bra kvalitet då de testades av en forskare
eller författare av läroböcker. Jag har använt frågor av den typ som finns i boken ”Förstå och
använda tal – en handbok” av McIntosh (2010). I de fall jag inte fann lämpliga frågor i boken,
har jag använt frågor ur två olika läroböcker. Den första läroboken är Möte med matte åk 7–9
och den andra läroboken är Matte Direkt åk 7–9. Jag kompletterade med egna frågor och
modifierade några frågor som jag valde från ovanstående böcker. Det kan till exempel gälla att
svaret i mitt skriftliga test ska anges i bråkform, decimalform och procentform i stället för bara
bråkform. Material och hjälpmedel som eleverna fick använda var penna och sudd. Det skriftliga
testet bestod av nio frågor. De första sju uppgifterna skulle lösas genom att eleven skriver bara
svaret. De sista två svaren skulle eleverna redovisa fullständigt. För att ska kunna jämföra och
analysera om det skilde i svårighet mellan benämnda uppgifter och rutinuppgifter valde jag tre
benämnda uppgifter. För att undvika att en uppgift gav vägledning till lösningen på nästa uppgift
ändrade jag ordningen på uppgiftstyperna. En närmare beskrivning av uppgifterna:
1. Uppgift 1 och 3 handlar om att ett tal har samma värde men kan skrivas på olika form
(omvandling mellan bråkform, decimalform och/eller procentform). Uppgiften är tagen från
läroboken Möte med matte B och Matte Direkt åk 9.
2. Uppgift 2 handlar om sambandet mellan del av helhet i en delvis skuggad figur och tal i
bråkform, decimalform och procentform. Uppgiften kommer ursprungligen från McIntosh
(2010).
3. Uppgift 4 och 5 handlar om relativ storlek på tal, samt jämförelse mellan tal i bråkform,
decimalform och procentform. Uppgifterna kommer ursprungligen från McIntosh (2010).
21
4. Uppgift 6 handlar om att kunna tolka tal i bråkform, decimalform och procentform.
Uppgiften kommer ursprungligen från Möte med matte C.
5. Uppgift 7 och 8 handlar om vardagsproblem där bråk- och procentbegrepp ingår. De texterna
kommer ursprungligen från Möte med matte E och Matte Direkt åk 7.
4.4 Genomförande
Jag inledde med att tala med mina arbetskamrater som är matematiklärare och förklarade min
undersöknings syfte och metoden med ett skriftligt test. Jag diskuterade även med dem hur jag
skulle utföra det skriftliga testet. Skolans rektor gav mig mycket stöd och beröm under hela min
undersökning och utbildning. Jag fick gå in i varje klass när de hade matematik och berättade för
eleverna om min undersökning. I ett brev (bilaga 1) till elevernas vårdnadshavare berättade jag
lite om vem jag är, om min undersökning och bad om tillstånd för deras barn att delta i
undersökningen. Eleverna fick 60 minuter på sig att besvara skriftligt testet (bilaga 2). Under
testet var eleverna placerade så att fusk skulle undvikas. För att göra undersökningsresultatet mer
konkret försökte jag motivera eleverna att genomföra det skriftliga testet och att svara på bästa
sätt. Jag klargjorde varför deras insats var viktig och att de hade möjlighet att påverka
undervisningen i talomvandling mellan bråkform, decimalform och procentform. Jag förklarade
för eleverna att de skulle fokusera på division, vilket gör det lättare att klara talomvandling
mellan olika form. Engström (1997) anser att elever måste behärska division för att kunna räkna
med bråk på det sätt eleverna ska lära sig under högstadiet. Vidare anser Engström att elevernas
förståelse av division bör vara ett viktigt mål för undervisningen att omvandla tal mellan olika
former. Piaget (1942) anser att elevers föreställning om bråk beror på förståelsen av division.
4.5 Databearbetning och analys av data
Johansson och Svedner (2006) anser att ett skriftligt test är en kvantitativ undersökning som kan
vara mer bristövertygande och osäkert, och oklara frågor eller slarv vid svar på dessa kan orsaka
låg reliabilitet. Om jag hade valt att intervjua eleverna som komplement med det skriftliga testet
skulle det bidra till säkrare resultat än resultaten som jag har fått av det skriftliga testet. Av de
skriftliga testresultaten fick jag dock en bild av vilka uppgifter eleverna klarade bättre än andra.
Vidare visade testet om det fanns någon skillnad i förståelse av benämnda uppgifter och
rutinuppgifter. Det är möjligt att använda svaren för statistisk jämförelse mellan resultaten från
22
en mångkulturell skola och resultaten från PISA-undersökningen i matematik. Varje uppgift och
dess resultat redovisas i tabeller eller diagramform. Efter genomförande enkätundersökning
började jag med att läsa igenom vad alla eleverna svarat. Sedan sammanställde jag svaren i
datorn uppdelat efter varje enkätfråga. Utifrån de enkätfrågor jag utformade till att besvara mina
frågeställningar delade jag in elevernas resultat i tre kategorier: rätt svar, delvis rätt eller fel eller
inget svar. Efter dessa moment jämförde jag resultaten med tidigare studie och undersöknings
resultat.
23
5 Resultat och analys
I detta avsnitt presenteras resultatet av den skriftliga diagnosen om elevers uppfattningar om
talomvandling mellan olika former (bråk, decimal och procent). Totalt medverkade 243 elever i
den skriftliga undersökningen, fördelade så här:
Tabell 1. Antal elever som deltog i undersökningen i varje klass.
ÅK 7: 60 elever
7AB: 15 elever
ÅK 8: 98 elever
8A: 24 elever
ÅK 9: 85 elever
9A: 16 elever
7FM: 18 elever
7M: 27 elever
8B: 21 elever
8FM: 25 elever
8M: 28 elever
9B: 21 elever
9FM: 27 elever
9M: 21 elever
Undersökningsresultatet är indelat i olika sätt att omvandla talet mellan bråkform, decimalform
och/eller procentform enligt följande:

Att ett tal kan skrivas på olika former men har samma värde (uppgift 1 och 3).

Sambandet mellan del av helhet i en delvis skuggad figur och tal i bråkform, decimalform
och procentform (uppgift 2).

Relativ storlek på tal, samt jämförelse mellan tal i bråkform, decimalform och procentform
(uppgift 4 och 5).

Att tolka uttryck som tal i bråkform, decimalform och procentform.(uppgiften 6).

Benämnda uppgifter om vardagsproblem där bråk- och procentbegrepp ingår.(uppgift 7 och
8).
Vid analys och beskrivning av uppvisade svårigheter har jag använt mig av de teoretiska
resonemangen hos Möllehed (2001) och Kilborn & Löwing (2003), Magne (1990), Engström
(1997) och Mäkiranta (2009) samt studieresultaten från PRIM-gruppen (1989).
Jag delade in svaren i tre kategorier:

rätt svar

delvis rätt

fel eller inget svar
24
Uppgift 1 och 3: Ett tal kan skrivas på olika former men har samma värde
1. Vilka av talen har värdet 1/4? 0,4
25%
40%
3/12
0,25
2/6
3. Fyll i tabellen.
Bråkform
Decimalform
Procentform
1 3/5
0,65
14 %
Jag analyserade elevernas svar och försökte jämföra resultatet med Mäkirantas (2009) resultat att
50 % svarade rätt på en fråga om att ett tal kan uttryckas på olika former (bråk, decimal och
procent).
Resultaten för uppgift 1 och 3:
Tabell 2. Resultat för uppgifter 1 och 3.
Svaret
7AB
7FM
7M
8A
8B
8FM
8M
9A
9B
9FM
9M
Rätt
40 %
58%
48 %
77%
26%
78%
54%
59%
60%
50%
79%
Delvis rätt
37%
19%
37%
21%
48%
8%
34%
28%
33%
35%
19%
fel eller
23%
23%
15%
2%
26%
14%
12%
13%
7%
15%
2%
inget svar
Årskurs 7: Resultaten visar att merparten av eleverna i klass 7AB uppvisar svårigheter när det
gäller att ett tal kan skrivas på olika former (bråk, decimal och procent) men har samma värde.
40 % svarade rätt. Eleverna i klass 7FM uppvisar god taluppfattning när det gällde att förstå att
ett tal har samma värde men kan skrivas på olika form. Den besvarades över huvud taget inte av
6 elever i 7AB, 8 elever i 7FM och 7 elever i 7M. Detta tyder på att dessa elever inte förstod
frågan. Exempel på delvis rätt svar är om eleven enbart klarar omvandling mellan decimal och
procent. Eleverna hade svårigheter att omvandla talet 1 3/5 till decimalform och procent.
Årskurs 8: Resultatet visar att merparten av eleverna i klass 8A uppvisar god förståelse när det
gäller att ett tal kan skrivas på olika form. 77 % gav rätt svar. I 8B svarade 13 elever delvis rätt,
såsom att 1/4 = 25 % = 0,25, men ingen svarade 1/4 = 3/12. Merparten av eleverna i klass 8FM
uppvisade god taluppfattning med 78 % rätt svar. Exempel på delvis rätt svar är om eleven
25
enbart klarar omvandling mellan decimal och procent. Eleverna hade svårigheter att omvandla
1 3/5 till decimalform och procent, samt att omvandla 14 % till bråktal (14/100). Läraren
instruerade eleverna i 8A att de skulle besvara hela frågan och inte bara en del, vilket kan
förklara varför ingen elev i 8A gav fel svar i uppgift 3.
Årskurs 9: Resultatet visar att merparten av eleverna i klass 9A uppvisade god taluppfattning
när det gäller att ett tal kan skrivas på olika form, 59 % gav rätt svar. Merparten av eleverna i
klass 9B uppvisade god taluppfattning när det gäller att ett tal kan skrivas på olika former (bråk,
decimal och procent): 60 % gav rätt svar. Elever som svarade delvis rätt, såsom att 1/4 = 25 % =
0,25, men ingen svarade 1/4 = 3/12. 9M har god taluppfattning när det gäller att ett tal kan
skrivas på olika form. Där svarade 79 % rätt. Uppgift 3 besvarades över huvud taget inte av 3
elever i 9A och 4 elever i 9FM. Detta tyder på att dessa elever inte förstod frågan. Exempel på
delvis rätt svar är om eleven enbart klarar omvandling mellan decimal och procent. Eleverna
hade svårigheter att omvandla 1 3/5 till decimalform och procent eller att omvandla 14 % till
bråktal (14/100).
Sammanfattning av resultatet för uppgift 1 och 3:
Resultaten visar att en del av eleverna i alla klasser har delvis rätt. De eleverna som har delvis
rätt i uppgift 1 har bara skrivit ett svar på uppgift 1, till exempel 1/4 = 25 % eller 1/4 = 0,25,
eftersom de antagligen trott att de bara skulle ange ett svar. Det kan vara ett exempel på vad
Möllehed (2001) menar om att elever missförstår hela eller del av frågan. Elever som har delvis
rätt svar på uppgift 3 har klarat omvandling mellan decimaltal och procent, men de kunde inte
omvandla talet 1 3/5 till decimal- och procentform. Uteblivet svar kan tyda på slarv. Enligt
Johansson & Svedner kan detta orsaka låg reliabilitet.
Rätta svar: 50 % i åk 7, cirka 60 % i åk 8 och cirka 61 % i åk 9. Detta tyder på talutveckling, i
och med att eleverna i åk 9 klarar uppgifterna bättre än eleverna i åk 8 och åk 7: uppmärksamhet,
matematiska begrepp och räkneförmåga verkar utvecklas.
Uppgift 2: Sambandet mellan del av helhet i en delvis skuggad figur och tal i bråkform,
decimalform och procentform
2. Hur stor del av figuren är skuggad?
26
Svaret i bråkform:
decimalform:
procentform:
Jag analyserade elevernas svar och försökte jämföra resultatet med det som Magne (1990)
redovisar när det gäller sambandet mellan del av helhet i en delvis skuggad figur och tal i
bråkform, decimalform och procentform:
År 1977 svarade rätt 81 % och år 1986 svarade rätt 76 %.
Resultaten för uppgift 2:
Tabell 3. Resultat för uppgift 2
Svaret
7AB
7FM
7M
8A
8B
8FM
8M
9A
9B
9FM
9M
Rätt
13 %
56 %
56 %
83 %
29 %
64 %
46 %
50 %
62 %
67 %
62 %
Delvis rätt
87 %
28 %
22 %
17 %
62 %
28 %
36 %
31 %
38 %
26 %
24 %
fel eller inget
0%
16 %
22 %
0%
9%
8%
28 %
19 %
0%
7%
14 %
svar
Årskurs 7: Resultaten visar att merparten av eleverna i klass 7AB uppvisar stora svårigheter i
taluppfattning när det gäller sambandet mellan del av helhet i en delvis skuggad figur och tal i
bråkform, decimalform och procentform. 7FM och 7M visar bättre taluppfattning än 7AB, men
de hade fortfarande svårigheter när jämfört med Magnes resultat
Årskurs 8: Resultatet visar att merparten av eleverna i klass 8A uppvisar god förståelse när det
gäller sambandet mellan del av helhet i en delvis skuggad figur och tal i bråkform, decimalform
och procentform. Ingen svarade fel eller underlät att svara i 8A. 8B hade svårigheter. Vissa
elever missförstod frågan så att de trodde att svaret bara skulle skrivas i bråkform. Detta innebar
att 9 % inte svarade, vilket kan tyda på problem med begreppsförståelse eller slarv vid svaret.
8FM visar god taluppfattning. Merparten av eleverna i klass 8M uppvisar svårigheter när det
gäller sambandet mellan del av helhet i en delvis skuggad figur och tal i bråkform, decimalform
och procentform.
Årskurs 9: Resultatet visar att merparten av eleverna i klass 9A uppvisar svårigheter när det
gäller sambandet mellan del av helhet i en delvis skuggad figur och tal i bråkform, decimalform
27
och procentform. Exempel på delvis rätt är 6/24, 25 % eller 0,25. 9B har taluppfattning. 62 %
gav rätt svar, och inget helt felaktigt svar gavs. Vissa elever missförstod frågan så att de trodde
att svaret bara skulle skrivas i bråkform. 9FM uppvisar taluppfattning med 67 % rätt svar.
Merparten av eleverna i klass 9M uppvisar god taluppfattning med 62 % svarade rätt.
Sammanfattning av resultatet för uppgift 2:
Andelen delvis rätta svar varierade mellan klasserna. Exempel på delvis rätt är att elever svarade
bara med ett svar 6/24, 25 % eller 0,25. Vissa elever missförstod frågan så att de trodde att svaret
bara skulle skrivas i bråkform. Felräkning kan tyda på brister i uppmärksamhet eller
räkneförmåga – vilket är svårt att avgöra eftersom eleverna inte redovisade någon uträkning.
Detta är eventuellt ett tecken på brister i många av Mölleheds (2001) matematiska kompetenser,
såsom uppmärksamhet, matematiska begrepp och räkneförmåga. Elever som har delvis rätt svar i
uppgift 2 har svarat på omvandling mellan decimaltal och procent, men de kunde inte omvandla
talet 1 3/5 till decimal- och procentform. Uteblivna svar kan tyda på slarv vid svaret. Enligt
Johansson & Svedner kan detta orsaka låg reliabilitet.
Rätta svar: 45 % i åk 7, 56 % i åk 8 och 61 % i åk 9. Detta tyder på talutveckling, i och med att
eleverna i åk 9 klarar uppgifterna bättre än eleverna i åk 8 och åk 7: uppmärksamhet,
matematiska begrepp och räkneförmåga verkar utvecklas. Resultatet visar att de som gav fel svar
är mellan 0–28 %, och detta stämmer inte helt med Skolverkets (2003) resultat att nationella
utvärderingen av grundskolan visar att cirka 90 % av eleverna klarar målen i taluppfattning.
Uppgift 4 och 5 Relativ storlek på tal, samt jämförelse mellan tal i bråkform, decimalform och
procentform
4. Ringa in det största talet.
2/3
0,24
5,2 %
5. Ringa in det största talet i varje par.
30 % eller 0,5
3/8 eller 80% 2/5 eller 0,25
Resultaten för uppgift 4 och 5:
Jag analyserade elevernas svar och försökte jämföra resultatet med det som Engström (1997)
redovisar om att 47 % svarade rätt när det gäller ett exempel på relativ storlek på tal, samt
jämförelse mellan tal i bråkform, decimalform och procentform
28
Tabell 4. Resultat för uppgifter 4 och 5
Svaret
7AB
7FM
7M
8A
8B
8FM
8M
9A
9B
9FM
9M
Rätt
47 %
78 %
80 %
71 %
52 %
90 %
63 %
69 %
88 %
74 %
86 %
Delvis rätt
23 %
3%
5%
12 %
7%
0%
10 %
9%
0%
6%
0%
fel eller inget
31 %
19 %
15 %
17 %
41 %
10 %
27 %
22 %
12 %
20 %
14 %
svar
Årskurs 7: Resultatet visar att merparten av eleverna i klass 7AB har taluppfattning när det gäller
ett exempel på relativ storlek på tal, samt jämförelse mellan tal i bråkform, decimalform och
procentform. Merparten av eleverna i klass 7M uppvisar god taluppfattning med 80 % rätt svar.
Exempel på delvis rätt svar är att eleven svarar på ett par eller två par, men inte på alla tre par.
Årskurs 8: Resultatet visar att merparten av eleverna i klass 8A uppvisar god förståelse när det
gäller relativ storlek på tal, samt jämförelse mellan tal i bråkform, decimalform och procentform.
Exempel på fel svar är att 5,2 % är större än 0,24. I 8B gav 52 % rätt svar, men 41 % svarade fel
eller underlät att svara. Detta innebär att en stor del hade svårigheter att jämföra tal i olika form
(bråk, decimal och procent). Merparten av eleverna i klass 8FM uppvisar god taluppfattning med
90 % korrekta rätt svar. Merparten av eleverna i klass 8M uppvisar bra taluppfattning med 63 %
rätt svar. 10 % i 8M svarade delvis rätt. Detta tyder på att eleverna hade brister i räkneförmåga
eller slarvade vid räkning.
Årskurs 9: Resultatet visar att merparten av eleverna i klass 9A uppvisar god förståelse när det
gäller relativ storlek på tal, samt jämförelse mellan tal i bråkform, decimalform och procentform.
9B uppvisar bättre god taluppfattning än 9A med 88 % gav rätt svar. Merparten av eleverna i
klass 9FM visar god taluppfattning med 74 % gav rätt svar, men 20 % av elever svarade fel,
vilket tyder på brister i räkneförmåga. merparten av eleverna i klass 9M uppvisar god
taluppfattning med 86 % rätta svar. Uteblivet svar tyder på har brister i räkneförmåga eller slarv
vid räkning. Resultatet för uppgift 4 visar att ingen elev i alla fyra klasser har delvis rätt svar.
Detta betyder att ingen elev har begränsad talförståelse. För uppgift 5 blev resultatet att alla
elever i svarade rätt. Detta tyder på att de eleverna har mycket god taluppfattning när det gäller
jämföra mellan tal i olika former (bråk, decimal och/eller procent).
Sammanfattning av uppgift 4 och 5:
Exempel på svårigheter i talförståelse:
29

En elev uppfattar 5,2 % som 5,2.

En elev i klass 9B skrev att 5,2 % är större än 2/3.

En elev i 8B skrev att 2/3 är 2 av 3 så att det är lika med 3–2=1, och kommer fram till att 1 är
större än 0,24 så att 2/3 är större än 0,24.

En elev skrev att 0,5 = 5 %, 30 % är större än 5 % så att 30 % är större än 0,5. Eleven har
svårighet att se att 0,5 = 0,50 = 50 %.
Eleverna som svarade fel har brister i talförståelse (feltolkningar av decimaler och rationella tal)
eller i förståelsen av relationer mellan helheten och dess delar. Resultaten visar att eleverna i åk 9
har mycket bättre taluppfattning än eleverna i åk 8 eller åk 7. Detta tyder på att större erfarenhet
ger bättre taluppfattning. Men visst går det att använda huvudräkning/papper och penna, genom
att betrakta 1 % som en hundradel. Om 1/3 är cirka 33 hundradelar, så är 2/3 lika med cirka 67
hundradelar. Eleven kan skriva 0,24 som 24 hundradelar och 5,2 % som 5,2 hundradelar. Rätt
svar: cirka 71 % i åk 7, cirka 69 % i åk 8 och cirka 79 % i åk 9. Detta tyder på talutveckling, i
och med att eleverna i åk 9 klarar uppgifterna bättre än eleverna i åk 8 och åk 7: uppmärksamhet,
matematiska begrepp och räkneförmåga verkar utvecklas.
Uppgift 6: Att tolka uttryck som tal i bråkform, decimalform och procentform.
6. Skriv ett tal som motsvarar uttrycket (bråkform, decimalform och procentform)
Uttrycket
Varannan elev är pojke.
Bråkform
Decimalform
Procentform
Tre av fyra av elever uppnått målen i Ma
32 hundradelar liter saft.
En hel och 6 hundradelar
Resultaten för uppgift 6:
Jag analyserade elevernas svar och försökte jämföra resultatet med det som Mäkiranta (2009)
redovisar om att 50 % svarade rätt på en fråga om att ett tal kan uttryckas på olika former (bråk,
decimal och procent). Dessutom utgick jag ifrån vad McIntosh (2008) anser om utbytbara
uttryck för tal i bråkform, decimalform och procentform.
Tabell 5. Resultat för uppgift 6
Svaret
7AB
7FM
7M
8A
8B
8FM
8M
9A
9B
9FM
9M
Rätt
20 %
5%
15 %
50 %
10 %
40 %
27 %
25 %
43 %
45 %
52 %
Delvis rätt
40 %
67 %
56 %
49 %
43 %
28 %
46 %
50 %
43 %
37 %
43 %
30
fel eller inget
40 %
28 %
29 %
1%
47 %
32 %
27 %
25 %
14 %
18 %
5%
svar
Årskurs 7: Resultatet visar att merparten av eleverna i klass 7AB, 7FM och 7M uppvisar
svårigheter med taluppfattning när det gäller att tolka uttryck som tal i bråkform, decimalform
och procentform. De verkar ha svårt att förstå vad vi frågar efter. 18 elever av 60 i åk 7 svarade
inte på uppgiften, vilket motsvarar 30 %. Detta kan tyda på problem med begreppsförståelse eller
slarv vid svaret. 33 elever av 60 i åk 7 svarade delvis rätt på uppgiften, vilket motsvarar 55 %.
Felräkning kan tyda på brister i uppmärksamhet eller räkneförmåga.
Årskurs 8: Resultatet visar att merparten av eleverna i klass 8A uppvisar taluppfattning medan
8Boch 8M hade stora svårigheter med taluppfattning när det gäller att tolka uttryck som tal i
bråkform, decimalform och procentform. Bara 10 % av 8B svarade rätt. Merparten av eleverna i
klass 8FM uppvisar svårigheter i taluppfattning när det gäller att tolka uttryck som tal i
bråkform, decimalform och procentform. 20 elever av 98 i åk 8 svarade inte på uppgiften, vilket
motsvarar 20 %. Detta kan tyda på problem med begreppsförståelse eller slarv vid svaret. 40
elever av 98 i åk 8 svarade delvis rätt på uppgiften, vilket motsvarar 40 %. Felräkning kan tyda
på brister i uppmärksamhet eller räkneförmåga.
Årskurs 9: Resultatet visar att merparten av eleverna i klass 9A uppvisar stora svårigheter med
taluppfattning när det gäller att tolka uttryck som tal i bråkform, decimalform och procentform.
Resultatet visar att merparten av eleverna i klass 9B och 9FM uppvisar lite svårt med
taluppfattning när det gäller att tolka uttryck som tal i bråkform, decimalform och procentform.
9M har viss taluppfattning när det gäller att tolka uttryck som tal i bråkform, decimalform och
procentform. 7 elever av 85 i åk 9 svarade inte på uppgiften, vilket motsvarar cirka 8 %. Detta
kan tyda på problem med begreppsförståelse eller slarv vid svaret. 36 elever svarade delvis rätt
på uppgiften av 85 i åk 9, vilket motsvarar 42 %. Felräkning kan tyda på brister i uppmärksamhet
eller räkneförmåga.
Sammanfattning av uppgift 6:
Exempel på felaktiga eller enbart delvis korrekta svar:

korrekta svar i enbart bråk- och decimalform.

”tre av fyra” omvandlat endast till bråk- och decimalform

en hel och 6 hundradelar = 1,6 = 16 %
31

varannan uppfattat som 50 % men mer sällan uttryckt i decimalform

32 hundradelar omvandlat till decimalform och procentform men inte bråkform
McIntosh (2008) anser att talomvandling mellan decimalform och procentform är betydligt
enklare eftersom siffrorna är desamma. Problemen där beror snarare på bristande
begreppsförståelse. Att elever inte kan skriva 1 hel och 6 hundradelar = 106 %, tyder på att det
kan vara svårt att acceptera att någonting kan vara mer än 100 %. Resultatet visar att elever har
svårt med taluppfattning när det gäller att tolka uttryck som tal i bråkform, decimalform och
procentform. Uttrycket ”varannan” upplevs tydligen som krångligt: 76 av 243 elever svarade rätt
på frågan, vilket motsvarar cirka 31 %. Detta kan jämföras med 50 % i Mäkirantas
undersökning.
Felräkning kan tyda på brister i uppmärksamhet eller räkneförmåga – vilket är svårt att avgöra
eftersom eleverna inte redovisade någon uträkning. Detta är eventuellt ett tecken på brister i
många av Mölleheds matematiska kompetenser, såsom uppmärksamhet, matematiska begrepp
och räkneförmåga.
I samband med undersökningen frågade jag alla elever som har bott mindre än fem år i Sverige
vad uttrycket ”varannan” betyder. 5 av 12 elever förstod frågan och kunde skriva rätt svar, men
resten hade svårt att skriva svaret i decimalform 0,50. Detta tyder på att bristande
matematikspråk inverkar på elevernas förståelse för talomvandling mellan bråkform,
decimalform och procentform.
Rätta svar: 13 % i åk 7, 32 % i åk 8 och 42 % i åk 9. Detta tyder på talutveckling, i och med att
eleverna i åk 9 klarar uppgifterna bättre än eleverna i åk 8 och åk 7: uppmärksamhet,
matematiska begrepp och räkneförmåga verkar utvecklas.
Uppgift 7 och 8: Benämnda uppgifter om vardagsproblem där bråk- och procentbegrepp ingår.
Redovisa lösningar så fullständigt du kan
8. Erik sparar fyrtio procent av 300 kr varje månad. Stefan sparar två femtedelar av 350 kr. Vem sparar mest varje
månad?
9. Anders tjänar 24000 kr per månad. Han betalar tjugofem procent av lönen till skatt. Av resten betalar Anders två
sjättedelar till hyran. Anders sparar tretton procent av det som är kvar. Hur mycket sparar Anders på ett år?
De sista två uppgifterna är benämnda uppgifter, där eleverna skulle redovisa lösningar så
fullständigt de kunde. Uppgifterna utgörs av procenträkning i flera steg, där man dessutom måste
tänka sig för vad man svarar på. Även dessa frågor visade sig vara ganska kluriga. En svårighet i
32
uppgift 9 var att eleven måste räkna rätt för att uträkningen i nästa steg beror på resultatet från
det första steget. Eleverna fick inte använda miniräknare som hjälpmedel.
Resultaten för uppgift 7 och 8:
Tabell 6. Resultat för uppgifter 7 och 8
Svaret
7AB
7FM
7M
8A
8B
8FM
8M
9A
9B
9FM
9M
Rätt
17 %
11 %
41 %
56 %
24 %
34 %
46 %
44 %
41 %
56 %
76 %
Delvis rätt
23 %
31 %
13 %
27 %
24 %
14 %
18 %
31 %
21 %
24 %
21 %
fel eller inget
60 %
58 %
46 %
17 %
52 %
52 %
36 %
25 %
38 %
20 %
5%
svar
Årskurs 7: Resultatet visar att merparten av eleverna i klass 7AB och 7FM uppvisar stora
svårigheter med taluppfattning när det gäller benämnda uppgifter om vardagsproblem där bråkoch procentbegrepp ingår. Merparten av eleverna i klass 7M uppvisar vissa svårigheter med
taluppfattning: För uppgift 8 uteblev svar från 29 elever av 60 i åk 7 vilket motsvarar cirka 48 %.
Årskurs 8: Resultatet visar att merparten av eleverna i klass 8A uppvisar viss taluppfattning när
det gäller benämnda uppgifter om vardagsproblem där bråk- och procentbegrepp ingår.
Merparten av eleverna i klass 8B och 8FM uppvisar stora svårigheter med taluppfattning.
Merparten av eleverna i klass 8M uppvisar lite svårt med taluppfattning: 27 elever av 98 i åk 8
svarade inte på uppgift 8, vilket motsvarar 28 %. Detta kan tyda på problem med
begreppsförståelse eller slarv vid svaret. Eleverna som svarat delvis rätt på uppgiften är 29 elever
av 98 i åk 8 vilket motsvarar 30 %. Felräkning kan tyda på brister i uppmärksamhet eller
räkneförmåga.
Årskurs 9: Resultatet visar att merparten av eleverna i klass 9Aoch 9B uppvisar svårt
taluppfattning när det gäller benämnda uppgifter om vardagsproblem där bråk- och
procentbegrepp ingår. 9FM har viss taluppfattning: 56 % svarade rätt. merparten av eleverna i
klass 9M har god taluppfattning: 76 % svarade rätt. På Uppgift 8 underlät 18 elever av 85 i åk 8
att svara, vilket motsvarar 21 %. Detta kan tyda på problem med begreppsförståelse eller slarv
vid svaret. 29 elever av 85 i åk 8 svarade delvis rätt på uppgiften, vilket motsvarar 34 %.
Felräkning kan tyda på brister i uppmärksamhet eller räkneförmåga.
33
Sammanfattning av uppgift 7 & 8:
Exempel på svårigheter:
1. 40 % av 300 = 300/40 = 7,5 kr. (Ett resultat som uppkommit då eleven inte behärskar den
procedur som krävs.)
2. 40 % av 300 = 0,4 * 300 = 1 200. (Eleven visar textförståelse och en bra procentuell räkning,
men eleven visar bristande i multiplikation i decimaltal, eleven kommer att klara uppgiften
om de får använda miniräknare.)
3. Tjugofem procent av 24 000 = 24 000/4 = 6 000 kr
2/6 av resten, eleven räknar 2/6 av 24 000. (Eleven har bristande på uppmärksamhet eller
textförståelse och utgår från hela lönen. Detta räknefel gör att svaret i slutänden blir
felaktigt.)
4. Två femtedelar av 300 kr. (Eleven tolkar en femtedel som 50 %, dvs. 150 kr. (Eleven förstår
inte uttrycket med bokstäver, vilket tyder på bristande matematikspråk.)
5. 13 procent av 12 000 = 13 gånger 12000. (Eleven förstår inte att 13 % = 13 hundradelar.)
6. Skatt = 25 % av 24 000 = 24 000/4 = 6 000 kr
Resten efter skatt = 24 000 – 6 000 = 18 000 kr
Hyran = 2/6 av 18 000, 18 000/6 = 3 000, dvs. hyran = 6 000 kr
Resten efter hyran = 18 000 – 6 000 = 12 000 kr
Sparat = 13 % av 12 000
1 % = 120 kr, 10 % = 1 200, så 13 % = 1 200 + 3 * 120 = 1 560 kr
(Eleven visar textförståelse och bra procenträkning, men faller på bristande uppmärksamhet.)
Fel eller inget svar alls kan tyda på problem med begreppsförståelse, strategisk kompetens och
resonerande. De elever som inte svarade på frågorna utgjorde cirka 43 % i åk 7, 29 % i åk 8 och
16 % i åk 9. Detta kan vara på grund av slarv vid svaret. Enligt Johansson & Svedner kan detta
orsaka låg reliabilitet.
Rätta svar: cirka 26 % i åk 7, 40 % i åk 8 och 55 % i åk 9. Detta tyder på talutveckling för
benämnda uppgifter om vardagsproblem där bråk- och procentbegrepp ingår, i och med att
eleverna i åk 9 klarar uppgifterna bättre än eleverna i åk 8 och åk 7: uppmärksamhet,
matematiska begrepp och räkneförmåga verkar utvecklas.
34
5.1 Resultaten utifrån rutinuppgifter och benämnda uppgifter
I detta avsnitt diskuteras om det skiljer i svårighet mellan benämnda uppgifter och rutinuppgifter.
Utgångspunkten är vad Möllehed (2001) visar om att olika faktorer påverkar elevernas
matematikuppfattning.
Resultat för åk 7:
Figur 4: Resultat på rutinuppgifter och benämnda uppgifter för elever i årskurs 7.

Rutinuppgifter: 50 % rätt, 22 % delvis rätt och 28 % fel eller inget svar

Benämnda uppgifter: 22 % rätt, 32 % delvis rätt och 46 % fel eller inget svar
Resultaten från åk 7 visar att det är svårare att lösa benämnda uppgifter än rutinuppgifter. Detta
kan tyda på problem med begreppsförståelse eller slarv vid svaret. De 58 delvis korrekta svaren
motsvarar 32 %. Detta tyder på att elever har bristande på uppmärksamhet eller textförståelse;
det sker ett räknefel vilket gör att svaret i slutänden blir felaktigt.
Resultat för åk 8:
Figur 5: Resultat på rutinuppgifter och benämnda uppgifter för elever i årskurs 8.

Rutinuppgifter: 55 % rätt, 17 % delvis rätt och 28 % fel eller inget svar

Benämnda uppgifter: 38 % rätt, 27 % delvis rätt och 35 % fel eller inget svar
35
Resultaten från åk 8 visar att det är svårare att lösa benämnda uppgifter än rutinuppgifter. Detta
kan tyda på problem med begreppsförståelse eller slarv vid svaret. De 80 delvis korrekta svaren
motsvarar 27 %. Detta tyder på att elever har bristande på uppmärksamhet eller textförståelse;
det sker ett räknefel vilket gör att svaret i slutänden blir felaktigt.
Resultat för åk 9:
Figur 6: Resultat på rutinuppgifter och benämnda uppgifter för elever i årskurs 9.

Rutinuppgifter: 60 % rätt, 15 % delvis rätt och 25 % fel eller inget svar

Benämnda uppgifter: 51 % rätt, 30 % delvis rätt och 19 % fel eller inget svar
Resultaten från åk 9 visar att det är svårare att lösa benämnda uppgifter än rutinuppgifter. Detta
kan tyda på problem med begreppsförståelse eller slarv vid svaret. De 77 delvis korrekta svaren
motsvarar 30 %. Detta tyder på att elever har bristande på uppmärksamhet eller textförståelse;
det sker ett räknefel vilket gör att svaret i slutänden blir felaktigt.
Sammanfattning av resultaten utifrån rutinuppgifter och benämnda uppgifter
En del av eleverna fick bara delvis rätta svar på benämnda uppgifterna, eftersom deras svar
saknar redovisningar och hela lösningsprocesser fastän de har kommit fram till rätt resultat.
Delvis korrekta svar kan tyda på bristande uppmärksamhet eller textförståelse; det sker ett
räknefel vilket gör att svaret i slutänden blir felaktigt. Uteblivna svar kan bero på att eleven inte
förstått texten, vilket tyder på bristande matematikspråk. Resultatet visar att det är svårare att
lösa benämnda uppgifter än rutinuppgifter. Cirka 56 % svarade rätt på rutinuppgifterna medan
bara 39 % svarade rätt på benämnda uppgifter. Elever i åk 9 klarade uppgifterna bättre än
eleverna i åk 8, och eleverna i åk 8 har svarat bättre än eleverna i åk 7. Detta tyder på att
elevernas erfarenheter och tidigare inhämtade kunskaper i talomvandling har betydelse.
Andel korrekta svar på benämnda uppgifterna:
36
Tabell 7. Andel korrekta svar på benämnda uppgifter för varje klass.
ÅK 7
7AB: 18 %
ÅK 8
8A: 54 %
ÅK 9
9A: 38 %
7FM: 9 %
7M: 32 %
8B: 19 %
8FM: 36 %
8M: 36 %
9B: 41 %
9FM: 52 %
9M: 68 %
Resultaten för benämnda uppgifter visar att bristande matematikspråk kan vara ett resultat av
invandrarbakgrund, eftersom de klasser som har många invandrarbakgrunds elever fått sämre
resultat än de andra klasser, men det kan också påverkas av bristande allmänna språkkunskaper
enligt Riesbeck (2008), som anser att förståelsen av språket har stor betydelse för inlärningen av
matematik.
5.2 Sammanställning av hela den skriftliga undersökningen
Som man ser i diagrammet nedan, och såsom konstaterats tidigare, är det benämnda uppgifterna
(7,
8
och9)
visar
låga
resultat
jämfört
med
rutinuppgifterna.
80%
60%
40%
Rätt svar
20%
Delvis rätt
0%
Fel eller inte svarat
Fråga 1&3
Fråga2
Fråga 4 &5
Fråga 6
Fråga 7 & 8
Figur 7: Sammanställning av alla elevers resultat på alla uppgifter uppdelat efter svaret.
37
6 Diskussion och slutsatser
I följande avsnitt görs reflektioner över min egen undersökning och tillförlitligheten av mina
resultat. Var min metod hållbar eller skulle jag ha gjort någonting annorlunda? Jag jämför och
diskuterar det jag fann i litteraturen i förhållande till mina resultat. Detta sammanfattas under
mina frågeställningar som rubriker för att underlätta för läsare. Vidare ges en presentation av
mina egna slutsatser och som avslutning introduceras de områden jag funnit som skulle kunna
vara intressanta att gå vidare med.
6.1
Reflektion över undersökningen
Med datainsamlingsmetoden (den skriftliga diagnosen) känner jag i efterhand att jag inte riktigt
fick det djup i svaren som jag hade väntat mig. Uppgift 1, 4 och 5 var flervalsfrågor, så där kan
vissa elever ha gissat. Det har varit bättre om svaren skulle redovisas med hjälp av till exempel
en tallinje.
I formuleringen av uppgift 2 kunde det ha framgått tydligare att svaret skulle skrivas på alla tre
former (bråk, decimal och procent). Resultaten visar att 83 elever av 243, motsvarande 34 %,
svarade delvis rätt svar genom att de gav svaret bara på en form (bråk, decimal eller procent).
Detta kan dock också tyda på bristande uppmärksamhet från dessa elever.
Min undersöknings tillförlitlighet eller reliabilitet är kanske svag. Som jag nämnt tidigare kan
slarv i svaren ha gett en felaktig bild av resultatet. I klass 8A saknades bara 8 svar i hela texten,
vilket motsvarar cirka 4 %, och i klass 9M saknades bara 1 svar (cirka 0,5 %). I klass 7AB
saknades dock 38 svar (28 %) och i klass 8B saknades 40 svar (cirka 21 %). Detta tyder på att
matematiklärarna i både 8A och 9M har understrukit att alla elever måste försöka svara på alla
frågor. Vad gäller formuleringen av uppgift 3 hade det varit bättre och relevantare med tre
separata frågor i stället för en tabell att fylla i. Då hade eleverna förstått att alla frågor skulle
besvaras och att svaret skulle omfatta alla tre formerna (bråk, decimal och procent). 72 elever av
243 (cirka 30 %) gav delvis rätt svar. Dessa elever svarade genom att omvandla bara ett tal till
andra talformer. Detta tyder på bristande uppmärksamhet. Efter att ha rättat alla frågor frågade
jag eleverna i 8 klasser av 11 som deltog i undersökningen varför vissa inte svarade på uppgift 2
och 3 i sin helhet. De elever som svarade delvis på uppgifterna angav att de trodde att svaret bara
skulle vara på en form och inte på alla tre former (bråk, decimal och procent).
38
Efter att ha sett resultaten upptäckte jag en del brister i uppgifterna. Uppgift 1 och 3 har samma
innehåll, liksom uppgift 4 och 5. Det hade varit med två textfrågor i stället för två rutinfrågor, så
hade jag fått bättre underlag för att få veta om det skiljer i svårighet mellan benämnda uppgifter
och rutinuppgifter.
6.2 Elevers förståelse för och svårigheter med att omvandla tal mellan olika
former
Min undersökning visar att de flesta inte har så stora problem när det gäller de enklare och
tydligare uppgifterna. De brister som ändå dominerar här är Mölleheds (2001) faktorer
uppmärksamhet, textförståelse och räkneförmåga. Dessa brister återfinns på samtliga
diagnosfrågor. Andra svårighet är relationen mellan helheten och dess delar.
Av de fyra faktorer som enligt Piaget (1942) bidrar till de kognitiva strukturernas utveckling har
två spelat stor roll i resultatet av min undersökning: mognad och erfarenhet. I nästan alla frågor
har eleverna i åk 9 fått bäst resultat, och eleverna i åk 8 har fått bättre resultat än eleverna i åk 7.
Eleverna verkar ha god förståelse när det gäller att ett tal har samma värde men kan skrivas på
olika form (uppgift 1 och 3). Som jag nämnde tidigare borde uppgift 3 ha varit tydligare. En del
av eleverna såg sambandet mellan 25 %, 1/4 och 3/12. 1/4 kan förlängas med 3, så blir svaret
3/12. Rockström (1991) anser att elever bör kunna förlänga och förkorta bråktal med
huvudräkning för att kunna omvandla talen mellan bråkform, decimalform och procentform;
omvandlingen förenklas om man kan skriva talen som bråk med nämnare 10 eller 100.
Mellanledet som gör uträkningen enklare tvingar eleven till tankearbete och tankereda.
Resultaten visar att en stor del av eleverna har stora svårigheter med taluppfattning (uppgift 2)
när det gäller sambandet mellan del av helhet i en delvis skuggad figur och tal i bråkform,
decimalform och procentform. Detta kan tyda på problem med begreppsförståelse, slarv vid
svaret eller brister i uppmärksamhet som leder till ofullständigt svar.
Undersökningen tyder på att eleverna har förståelse för talomvandling (uppgift 4 & 5) när det
gäller relativ storlek på tal, samt jämförelse mellan tal i bråkform, decimalform och procentform.
Kilborn & Löwing (2003) anser att en god förståelse inom taluppfattning bland annat handlar om
att förstå talens betydelse och storlek. För att göra om procenttal till absoluta kvantiteter brukar
elever omvandla talet i procentform till bråkform och/eller decimalform. Exempel: 30 % av 200
39
kan skrivas som 30/100 av 200 och som 0,30 * 200. Detta exempel visar hur eleven bör kunna
omvandla tal oavsett i vilken form dessa anges i uppgiften. Testresultatet visar att en stor del av
eleverna har svårigheter med taluppfattning när det gäller att tolka tal i bråkform, decimalform
och procentform.
Resultatet visar att vissa klasser har svårt med taluppfattning och andra klasser har bra förståelse
(uppgift 7) när det gäller att tolka tal i bråkform, decimalform och procentform. Det kan bero på
hur mycket läraren använder matematikspråk i undervisningen. Felräkning tyder på brister på
uppmärksamhet eller räkneförmåga. Det kan vara svårt för eleven att skilja mellan tre av fyra
och tre fjärdedelar, och hur detta uttryck ska skrivas i procentform. Eleverna förstår att 32
hundradelar kan skrivas 0,32, och det är inte svårt att omvandla talet till 32 %, men en del av
eleverna har svårighet att omvandla 32 % till bråkformen 32/100. Löwing (1991) anser att
övergången från procent- till decimalform är för många elever ett mycket stort steg, och det är
inte säkert att alla elever är mogna för denna abstraktionsnivå under sin tid i grundskolan.
I undersökningen uppvisar en stor del av eleverna stora svårigheter när det gäller procentbegrepp
och sambandet mellan tal i bråkform, decimalform och procentform (uppgift 8 & 9). Löwing &
Kilborn (2003) tar exemplet att 40 % av 300 egentligen är 40/100 av 300. Det betyder 0,40 * 300
även om denna multiplikation ger samma svar och givetvis kan användas som beräkningsmodell
av den som förstår operationen. Många elever i åk 7 kan inte se att 25 % av ett tal är lika med en
fjärdedel av talet. Eleverna behöver använda matematikspråket under lektionstid. En elev tolkar
ordet ”av” i uttrycket ”2/5 av 350” som ”minus”, och svarar följaktligen 350 – 2/5. Det tyder på
bristande matematikspråk och talförståelse. Sjöberg (2006) betonar att kommunikation är en
viktig faktor i matematikundervisningen, vilket kan förklara svårigheter att klara grundskolans
mål i matematik. Löwing & Kilborn (2002) anser att något som kan kopplas till procenträkning
är att många elever endast kan tyda ett bråk på ett sätt, nämligen att täljaren ska delas i så många
delar som nämnaren anger.
6.3 Skiljer det i svårighet mellan benämnda uppgifter och rutinuppgifter?
Möllehed har textförståelse som sin första faktor som påverkar elevernas matematikuppfattning.
Min undersöknings resultat visar att det är svårare att lösa benämnda uppgifter än rutinuppgifter.
Resultatet stämmer med Omfors (2003) påstående att elever har svårare att lösa benämnda
uppgifter än liknande uppgifter med bara siffror. Cirka 56 % svarade rätt på rutinuppgifterna
40
medan bara 39 % svarade rätt på benämnda uppgifterna. Eleverna i åk 9 klarade uppgifterna
bättre än eleverna i åk 8, och eleverna i åk 8 hade bättre resultat än eleverna i åk 7. Detta tyder
på att elevernas erfarenheter och tidigare inhämtade kunskaper i talomvandling har betydelse.
Bland deltagarna i undersökningen fanns nyanlända elever, som har bott i Sverige mellan 2 och 5
år. Av dessa elever gick 3 elever i 9A, 6 i 9B, 3 i 8A, 5 i 8B, 2 i 8FM, 2 i 7FM och 4 i 7AB.
Resultaten för benämnda uppgifterna visar att bristande matematikspråk kan vara ett resultat av
invandrarbakgrund, eftersom de klasser som har många elever med invandrarbakgrund fick
sämre resultat än de andra klasserna, men det kan också påverkas av bristande allmänna
språkkunskaper enligt Riesbeck (2008), som anser att förståelsen av språket har stor betydelse
för inlärningen av matematik.
Både Anderberg (1992) och Malmer (1990) skriver att läraren ska fokusera på att vänja eleverna
vid att uttrycka tal i samma talenhet; till exempel uttalas 0,24 som 24 hundradelar. En del av
eleverna har dock svårighet att uppfatta talet 13 % som 13 hundradelar. Brister i
matematikspråket kan både infödda och invandrade elever ha. Det finns skillnader mellan olika
klasser, eftersom några matematiklärare använder matematikspråk mer än andra. En del av
eleverna lämnade delvis rätt svar på benämnda uppgifterna, eftersom deras svar saknar
redovisningar och en del av lösningsprocesser, men de kom fram till de rätta resultaten. Löwing
& Kilborn (2003) anser att om eleverna saknar ett språk som är effektivt nog för att lösa
flerstegsproblem, betyder det att de saknar grundläggande taluppfattning, alltså färdigheter i att
analysera och hantera tal.
6.4 Slutsatser
Jag tror att föreställningar kring taluppfattning och talomvandling sitter djupt och har funnits så
länge att de tar tid att arbeta bort. Om barnen i tidig ålder får börja arbeta med matematik tror jag
att matematiklärare har bra förutsättningar att ge eleverna en positiv inställning till ämnet.
Som jag nämnt tidigare visar TIMSS-rapporten (2003) att elevernas kunskaper i matematik inte
ökar utan minskar. Min undersöknings resultat visar att en stor del av eleverna har brister i bland
annat textförståelse, talförståelse, uppmärksamhet, räkneförmåga och matematikspråk. Jag anser
att vi som lärare måste vara noga med att värdera elevers kunskaper, ge oss tid att lyssna på
elevernas åsikter och svara på deras frågor för att hjälpa dem i sitt tänkande. Språket bygger upp
en förståelse som har stor betydelse för inlärning av matematik, anser Riesbeck (2008). Vidare
41
anser Riesbeck att lärare och elever kan skaffa sig en god förståelse för matematik genom att
tänka, läsa, tala lyssna och skriva.
De klasser som har många elever med invandrarbakgrund fick sämre resultat än de andra
klasserna i min undersöknings resultat. Den mångkulturella skolan måste ha nya krav på
undervisningen eftersom en del av eleverna har annat modersmål än svenska. Det innebär att
undervisningen ska utformas så att det blir balans mellan matematiska begrepp och
uttrycksformer
och
kreativ
problemlösning.
Detta
ställer
krav
på
lärare
och
undervisningsmetoder: eleverna måste få möjligheter att kommunicera matematik i olika nya
situationer, och de ska söka förståelse för att nå nya kunskaper. Så att elever skall kunna klara
benämnda uppgifter och rutinuppgifter på samma nivå.
Resultatet visar att eleverna i årskurs 9 klarade talomvandling bättre än eleverna i årskurs 7 och
8. Lärarna i 8A och 9M betonade att eleverna måste svara på alla frågor, vilket förmodligen
förklarar varför deras resultat blev bättre än andra klasser. Om eleverna redan hade arbetat med
talomvandling kan det vara en faktor som påverkade resultatet. Exempelvis arbetade klass 7AB
med talomvandling under terminen efter undersökningen. 7AB uppvisar stora svårigheter i olika
aspekter. Emanuelsson (2001) anser att eleverna har olika erfarenheter, vilket påverkar deras
lärande. Vi som lärare bör planera undervisningen utifrån elevernas behov för att de ska få
korrekt uppfattning om talomvandling.
6.5 Pedagogiska implikationer
Taluppfattning är grunden för matematikinlärningen och, för att eleverna skulle skaffa sig en god
taluppfattning måste lärarna använda olika metoder i arbetet med tal. Undervisningen bör
planeras utifrån elevers perspektiv, för att eleverna ska få en korrekt uppfattning om tal.
Som pedagog kan man utveckla elevers förståelse inom talomvandling mellan olika former
(bråk, decimaltal och procent), genom att arbeta på ett laborativt sätt som rita, klippa och räkna.
Ett laborativt arbete är viktigt med en god kommunikation och lärarna måste försäkra sig om att
det laborativa arbetet är relevant som kan utveckla elevernas förståelse om talomvandling.
Laborativt arbete stimulerar elevernas fantasi och nyfikenhet. Där får eleverna möjlighet
uppleva, utforska, upptäcka och stärker deras själv förtroende och ge eleverna en bra
grundförståelse för talomvandling.
42
Min undersöknings resultat visar att en stor del av eleverna har brister i uppmärksamhet så att
matematik lärare måste betona att eleverna måste förbättra sig genom att läsa frågan och förstår
vilka svar vi fråga efter.
Resultaten visar att en del av eleverna saknar grunden för taluppfattning och matematikspråk
som bör kunna redan i mellanstadiet. Jag tycker att lärarna bör lägga mer undervisningstid i
talomvandling så att eleverna kommer klara sig bättre när de går på högstadiet. Lärarna måste
använda matematiskt språk på lektionerna så att eleverna vänjer sig uttrycka sig med
matematikspråk. Elever kan skaffa sig en god förståelse för talomvandling genom att tala och
skriva på matematiksspråk. Grupparbete är bra metod så att eleverna ska kunna använda
matematikspråk och tala med både klasskamrater och läraren.
Resultaten visar att en stor del av eleverna fick bara delvis rätta svar på benämnda uppgifterna,
eftersom deras svar saknar redovisningar och hela lösningsprocesser fastän de har kommit fram
till rätt resultat. Jag tror att lärarna bör ta mer genomgångar på tavla och visa eleverna steg för
steg hur lösningsprocesser måste vara samt träna mer med benämnda uppgifter.
Resultaten för benämnda uppgifterna visar att bristande matematikspråk kan vara ett resultat av
invandrarbakgrund. Läraren ska utforma undervisningen så att det blir balans mellan
matematiska begrepp och uttrycksformer och kreativ problemlösning. Lärare ska arbeta mer med
ordkunskap. Matematikläraren bör samarbeta med modersmålslärare ger matematiklärare en
viktig kunskap om hur barnet förstår och uttrycker sig på sitt modersmål och kan tillsammans
vidta lämpliga åtgärder.
6.6 Förslag till fortsatt forskning
Nedan följer några punkter på vad som skulle kunna vara intressanta områden att arbeta vidare
med.

Spelar det någon roll vilka undervisningsmetoder lärarna använder när det gäller
talomvandling?

Ur ett genusperspektiv: Finns det skillnader mellan flickors och pojkars talomvandling?

Har det betydelse när eleverna senast arbetade med talomvandling?

Utifrån elevbakgrund: Finns det skillnader mellan infödda och invandrade elevers
talomvandling?
43
7 Referenser
Ahlberg, Ann m fl. (red.) (2001). Matematik och språk. I: Matematik från början. Göteborg:
Nämnaren Tema. Göteborgs Universitet
Anderberg, B. (1992) Matematikmetodik 1 grundskolan i grundläggande begrepp. Stockholm:
Läromedel. Balder AB.
Collier, V. & Thomas, W. (2002), A National Study of School Effectiveness for Language
Minority Students, Long-Term Academic Achievement. Final Report. Washington: CREDE:
Center of Research of Education, Diversity and Excellence
Emanuelsson, J. (2001). En fråga om frågor. Göteborg: ACTA UNIVERSITATIS
GOTHOBURGENSIS.
Engström, A.(1996). Kunskapandets utveckling. Jean Piagets genetiska epistemologi.
Pedagogisk-psykologiska problem Nr 6332. Malmö: Lärarhögskolan.
Engström, Arne. (1997). Reflektivt tänkande i matematik – Om elevers konstruktioner av bråk.
Malmö: Graphics Systems AB
Engström, Arne (1998a). Inledning. I: Engström, Arne (red.) Matematik och reflektion. Lund:
Studentlitteratur.
Engström, Arne (1998a). Piagets genetiska epistemologi. I Arne (red.) Matematik och reflektion.
Lund: Studentlitteratur.
Hansen, H-C. Skott, J. Jess, K och Schou, J. (2010). Matematik för lärare Ypsilon Band 2.
Malmö: Gleerups Utbildning AB.
Jaworski, Barbara (1998a). Att undervisa i matematik: ett social-konstruktivistiskt perspektiv. I:
Engström, Arne (red.) Matematik och reflektion. Lund: Studentlitteratur.
Johansson, Bo & Svedner, Per Olof. (2006). Examensarbete i lärarutbildningen. Uppsala:
Kunskapsföretaget.
Kilborn, Wiggo (1990). Del 2 Rationella och irrationella tal. Stockholm: Utbildningsförlaget.
Ladberg, Gunilla(2003) Barn med flera språk: tvåspråkighet och flerspråkighet i familj, förskola,
skola och samhälle. Stockholm: Utbildningsförlaget.
Löwing, M. (1991) Procentbegreppet och procenträkning. I Emanuelsson, Göran, Johansson,
Bengt & Ryding, Ronny. (1991b). Tal och räkning 2. Lund: Studentlitteratur.
Löwing, Madeleine. Kilborn, Wiggo (2002). Baskunskaper i matematik för skola, hem och
samhälle. Studentlitteratur.
Löwing, Madeleine(2002). Ämnesdidaktisk teori för matematikundervisning. Göteborgs
Universitet
44
Löwing, Madeleine & Kilborn, Wiggo (2003). Huvudräkning: en inkörsport till matematiken.
Lund: Studentlitteratur.
Löwing, M. (2006) Matematikundervisningens dilemman. Hur lärare kan hantera lärandets
komplexitet. Lund: Studentlitteratur.
Magne, O. (1990) Medelsta- studie. Hur väl behärskar grundskolans elever lärostoffet enligt Lgr
69 och Lgr 80? Pedagogisk- psykologiska problem. Nr 539. Malmö: Lärarhögskolan.
Magne, O. (1994) Taluppfattning pussel. Särtryck och småtryck nr 821. Lärarhögskolan, Malmö.
I: Engström, Arne (red.) Matematik och reflektion. Lund: Studentlitteratur.
Malmer. Gudrun (1990) Kreativ matematik. Solna: Ekelunds Förlag.
Malmer, Gudrun (2002). Bra matematik för alla. Lund: Studentlitteratur.
McIntosh, Alistair (2006). Nya vägar i räkneundervisningen. I Boesen, J. et al. (red.), Lära och
undervisa – internationella perspektiv (s. 7-20). Göteborg: Nationellt Centrum för
Matematikutbildning.
Möllehed, E. (2001). Problemlösning i matematik: en studie av påverkansfaktorer i årskurserna
4-9. Malmö: Institutionen för pedagogik, Lärarhögskolan.
Patel, Runa & Davidson, Bo (2003). Forskningsmetodikens grunder. Lund: Studentlitteratur.
Piaget, J. (1942). Classes, relations et nombres. Paris: Vrin
Pimm, D. (1987). Speaking Mathematically. Communication in Mathematics Classroom.
London: Routledge & Keagan Paul.
Reys, Emanuelsson, Holmqvist, Häggström etc. (1995). Vad är god taluppfattning? Nämnaren,
2, 23-26.
Reys m fl. (1995). Vad är taluppfattning? Nämnaren 22(2), 23
Riesbeck, Eva (2008). På tal om matematik: matematiken:
matematikdidaktiska diskursen. Linköping: Linköping Universitet.
vardagen
och
den
Rockström, Birgitta (1991) Skriftlig huvudräkning. I Emanuelsson, Göran, Johansson, Bengt &
Ryding, Ronny. (Red.). Tal och räkning 2. Lund: Studentlitteratur.
Skolverket. Nationella utvärderingen av grundskolan 2003, Huvudrapport 251. Stockholm:
Fritzes, 2003.
Skolverket (2001,a). Svenska femtonåringars läsförståelse och kunnande i matematik och
naturvetenskap i ett internationellt perspektiv. Skolverkets rapport nr 209. Stockholm:
Skolverket.
Skolverket. Pisa 2003 – Svenska femtonåringars kunskaper och attityder i ett internationellt
perspektiv. Rapport 254. Stockholm: Fritzes, 2004.
45
Skolverket. Svenska elevers matematikkunskaper i TIMSS 2007. Skolverkets analysrapport.
Stockholm: Fritzes, 2008.
Smith, L., Dockrell, J. & Tomlinson.(1997) Introduction. I: L. Smith, J. Dockrell & P.
Tomlinson (Eds.) Piaget, Vygotsky and beyond. Future issues for developmental psychology
and education. London: Routledge.
Thompson, Jan (1991). Wahlström & Widstrands Matematiklexikon. Stockholm: Wahlström &
Widstrands.
Utbildningsdepartementet (1997) ). Kommentar till grundskolans kursplan och betygskriterier i
matematik. Stockholm: Skolverket/Balder.
Verschaffel, L & De Corte, E. (1996) Number and Arithmetic. I A.J. Bishop m.fl. (Ed)
International Handbook of Mathematics Education Part 1. Dordrecht: Kluwer.
Vetenskapsrådet (2002). Forskningsetiska principer inom humanistisk samhällsvetenskaplig
forskning. Stockholm: Vetenskapsrådet.
Elektroniska dokument
Elvstam, C. & Månsson, C. (2007). Vem är bäst på procenträkning? –elever i årskurs sex eller
elever i årskurs ett på gymnasiet. (Examensarbete). Malmö: Malmö högskola, lärarutbildning.
Hämtad från http://dspace.mah.se/dspace/handle/2043/3952
Mäkiranta, Marie (2009). Att diagnostisera elevers kunskaper och missuppfattningar. Nämnaren
nr 1-2009 http://ncm.gu.se/node/3336
Omfors, R. (2003). Procentförståelse årskurs 9. (Examensarbete). Malmö Lärarhögskola Hämtad
2012-04-12från
http://dspace.mah.se:8080/bitstream/handle/2043/1121/rickardomfors_procentarbete.pdf?sequ
ence=1
Sjöberg, G. (2006). Om det inte är dyskalkyli - vad är det då? (Doktorsavhandling). Umeå: Umeå
universitet, Institutionen för matematik, teknik och naturvetenskap. Hämtad 2009-11-29 från:
http://fou.skolporten.com/art.aspx?id=a0A20000000D5yp & typ=art
Skolverket:
http://www.skolverket.se/2.3894/publicerat/2.5006?_xurl_=http%3A%2F%2Fwww4.skolverk
et.se%3A8080%2Fwtpub%2Fws%2Fskolbok%2Fwpubext%2Ftrycksak%2FRecord%3Fk%3
D2575
46
Bilaga 1 (Brev till föräldrar)
Till föräldrar med barn i årskurs 7–9.
Hej!
Mitt namn är Hamid Yasin och jag är lärarstudent på Malmö högskola, lärande och samhälle. Jag
läser nu min sista termin på utbildningen vilket innebär att jag nu håller på att skriva mitt
examensarbete. Det ämne som jag är mest intresserad av är matematik vilket jag även valt som
huvudämne i min utbildning. Omvandling av tal mellan bråkform, decimalform och procentform
inom matematikens värld är ett av de kapitel som tyvärr många inklusive jag själv kan tycka är
svårt. Mitt examensarbete kommer att handla om elevers uppfattningar om bråkform,
decimalform och procentform. Med hjälp av enkäten avser jag att undersökningen ska ge klarare
uppfattning om elevernas förståelser och svårigheter att omvandla tal mellan bråkform,
decimalform och procentform. Jag vill att enkäten ska leda till att man får en bättre inblick i om
hur det skiljer i svårighet att lösa benämnd uppgift respektive rutinuppgifter. Genom en
enkätundersökning med samtliga frivilliga elever från årskurs 7–9 hoppas jag att jag kan finna
resultat som kan leda till diskussion kring mina teorier. Enkätundersökningen kommer vara helt
anonym. Det innebär att era barn inte kan identifieras genom denna undersökning. Jag hoppas att
era barn ska finna det lärorikt och kul att få vara med och delta i enkätundersökningen.
Hälsningar Hamid Yasin
E-post:
Telefonnummer:
47
Bilaga 2
Undersökning av talomvandling mellan bråkform, decimalform och procentform
1.
Vilka av talen har värde 1/4?
0,4
2.
25 %
40%
0,25
2/6
Hur stor del av figuren är färgad?
Svaret är: Bråkform:
3.
3/12
Decimalform: Procentform:
Fyll i tabellen.
Bråkform
1 3/5
Decimalform
Procentform
0,65
14 %
4.
Ringa in det största talet.
0,3
5.
2/3
0,24
5,2%
3/9
Ringa in det största talet i varje par.
0,08 eller 0,3
6.
45%
30% eller 4/8
3/8 eller 80 %
2/5 eller 0,25
Skriv ett tal som motsvarar uttrycket (bråkform, decimalform och procentform)
Uttrycket
Bråkform
Decimalform
Procentform
Varannan
Tre av fyra
32 hundradelar
En hel och 6
hundradelar
Redovisa lösningar så fullständigt du kan
7.
Erik sparar fyrtiofem procent av 300 kr varje månad. Stefan sparar två femtedelar av 350 kr. Vem sparar mest
varje månad?
8.
Anders tjänar 24000 kr per månad. Han betalar tjugofem procent av lönen till skatt. Av resten betalar Anders
två sjättedelar till hyran. Anders sparar tretton procent av den som är kvar. Hur mycket sparar Anders på ett år?
TACK för Din medverkan!
48
Bilaga 3
Exempel på bråktal och decimaltal, samt lösningsfrekvenserna, vilka som synes är låga
(Engström, 1997).
49
Bilaga 4
Exempel på sambandet mellan del av helhet i en delvis skuggad figur och tal i bråkform,
decimalform och procentform (Engström, 1997).
50