Forelasning 11/10
Hydrodynamik
1 De hydrodynamiska ekvationerna
For att beskriva ett enkelt hydrodynamiskt ode behover man kanna uidens densitet, , tryck
p och hastighet u. I princip behover man ocksa kanna temperaturen i uiden for att kunna
berakna dess tryck, men vi skall inte harleda en sarskild ekvation for temperaturen i uiden,
vilket man vanligen gor, utan istallet infora nagon form av forenklande antaganden om uidens
termiska energi. Darfor behover vi harleda en ekvation for att beskriva hur uidens massa bevaras,
kontinuitetsekvationen, och en rorelseekvation, egentligen Newtons andra lag. Rorelseekvationen
kan vi enklast harleda ur att rorelsemangden i uiden ar bevarad.
1.1 Kontinuitetsekvation
Antag att vi har en uid med densiteten och hastighetsfaltet v. Detta hastighetsfalt bar da med
sig uiden, vilket leder till att vi far ett massode
j = u:
(1)
Vi kan nu stalla upp en integralekvation for forandringen av uidens massa i en volym V per
tidsenhet
@ Z d V = Z @ dV
(2)
@t V
V @t
Denna forandring ar lika med hur mycket massa som strommar in i V genom dess begransningsyta
S per tidsenhet
Z
Z
; u dS = ; r ( u) dV
(3)
S
V
dar vi har anvant Gauss sats. Om vi nu satter integranderna lika med varandra far vi kontinuitetsekvationen
@ + r ( u) = 0:
(4)
@t
For en inkompressibel uid sa ar konstant och ekvationen forenklas till
r u = 0:
(5)
1.2 Eulers ekvation
Om vi betraktar en volym V sa har den en total rorelsemangd
Z
udV:
(6)
Denna rorelsemangd kan forandras pa tva satt genom ett ode av rorelsemangd genom ytan S och
genom paverkan av yttre krafter.
Utodet av rorelsemangden u genom ett ytelement dS ar uu dS. Det totala utodet av
rorelsemangd ar da
I
uu dS:
(7)
S
Samtidigt paverkas volymen V av en yttre tryckkraft, som per areaenhet ar ;pdS. Den totala
tryckkraften ar
Z
; pdS:
(8)
S
1
I allmanhet skulle det ocksa kunna forekomma andra krafter som verkar pa volymen V , till exempel gravitationskraften, men vi ska bortse fran sadana krafter har. Vi forsummar ocksa uidens
viskositet. Om man tar med viskositeten far man Navier-Stokes ekvation.
Den totala forandringen av rorelsemangden per tidsenhet blir nu
Z
Z @
I
I
Z
Z
@
u
d
V
=
(
u
)
d
V
=
;
uu
dS
;
p
dS
=
;
r
(
uu
)
d
V
;
rpdV =
@t V
V @t
S
S
V
V
Z
f;r ( uu) ; rpg dV (9)
V
dar vi har anvant Gauss sats for den forsta integralen och en analog sats for den andra integralen.
Eftersom volymen V ar godtycklig sa maste integranderna vara lika
@
(10)
@t ( u) = ;r ( uu) ; rp:
Lat oss nu se vad den forsta termen i hogerledet egentligen betyder. uu ar ett exempel pa en
tensor. I det har fallet beskriver tensorn hur vektorfaltet u transporterar vektorn u. For att gora
det enkelt borjar vi med att bara betrakta hur x-komponenten av rorelsemangden transporteras
av hastighetsfaltet u. Vi har da
r ( ux u) = r (ux u) = ux r ( u) + urux :
(11)
Vi ser nu att vi maste tolka r ( uu) som
r ( uu) = ur ( u) + u ru:
(12)
Vansterledet av Eulers ekvation kan vi skriva om med hjalp av kontinuitetsekvationen som
@ ( u) = @ u + u @ = @ u ; ur ( u) :
(13)
@t
@t
@t
@t
Satter vi in dessa uttryck och stryker de termer som tar bort varandra far vi
@ u + u ru = ;rp:
(14)
@t
Trycket p beraknas ur en tillstandsekvation, en ekvation som ger trycket som funktion av
temperatur och densitet i uiden, eller vice versa.
2 Approximativa losningar: ljudvagor
De hydrodynamiska ekvationerna ar icke-lineara, vilket gor det svart att hitta exakta losningar
till dem, bortsett fran en del triviala fall. Det nns olika tekniker for att ta fram approximativa
losningar ur ekvationerna, aven om man i manga praktiska tillampningar blir tvungna att anvanda
numeriska metoder. Ett satt att konstruera en losning ar att linearisera ekvationerna kring en
exakt losning.
Vi borjar med att konstatera att ett medium med konstant densitet, 0 , och tryck, p0 i vila
(u = 0) ar en exakt losning till de hydrodynamiska ekvationerna. Till denna losning lagger vi till
sma storningar
= 0 + 1 (r t)
(15)
p = p0 + p1 (r t)
(16)
och
u (r t) :
(17)
Ekvationerna blir da
@ 1 + r ( + ) u] = 0
(18)
0
1
@t
2
och
(19)
( 0 + 1 ) @@tu + (u r) u = ;rp1:
Har approximerar vi 0 + 1 0 och termen (u r)u forsummas i sin helhet eftersom den ar
kvadratisk i den lilla storningen u. Dessutom behover vi infora en tillstandsekvation som ger ett
samband mellan tryck och densitet. Formellt kan vi med en Taylor-utveckling skriva den som
@p
p0 + p1 = p ( 0 ) + @
(20)
1:
0
Vara ekvationer blir nu
@ 1 + r ( u) = 0
(21)
0
@t
och
@ u = ; @p r :
(22)
0
@t
@ 0 1
Vi deriverar nu Ekv. (21) med avseende pa tiden
@ 2 1 + @ r ( u) = @ 2 1 + r @ u = 0:
(23)
0
0
@t2 @t
@t2
@t
Vi kan nu satta in Ekv. (22) i den andra termen
@ 2 1 ; @p r r = 0
(24)
1
@t2
@ 0
vilket blir vagekvationen for en ljudvag
@ 2 1 = c2 r2 (25)
@t2 s 1
dar ljudhastigheten ges av
@p
2
:
(26)
cs = @
0
3 Inkompressibelt och potential ode
For en inkompressibel uid ar densiteten konstant. Kontinuitetsekvationen reduceras da till
r u = 0
(27)
och Eulers ekvation kan skrivas
@ u + u ru = ;r( p ):
(28)
@t
Dessa tva ekvationer bestammer nu hastighets- och tryckfaltet. Vi kan nu eliminera p och bilda
ekvationer som innehaller u enbart. Forst uttnyttjar vi en produktregel,
2
(29)
r( u2 ) = (u r)u + u (r u)
for att skriva om (u r)u i Eulers ekvation:
@ u + r( u2 ) ; u (r u) = ;r( p )
(30)
@t
2
Om vi applicerar rotationen pa HL och VL sa far vi foljande ekvationen for vorticiten ! = r u,
@! ; r (u !) = 0
(31)
@t
3
Denna ekvationen visar da att ett rotationsfritt hastighetsfalt r u = 0 ar en losning. I detta fall
nns det en hastighetspotential till u = ;r och eftersom u ar kallfritt sa satiserar Laplace
ekvation.
r2 = 0
(32)
Rotationsfrittode kallas darfor aven potentialode.
Nar vi val har bestammt u sa kan vi bestamma p fra Bernouille's ekvation. For potentialode
sa erhalles direkt fran ekv.(30) for ett stationart ode att
2
(33)
r( u2 ) = ;r( p ):
Detta betyder att
u2
2
+ p = konstant.
3.1 Tva-dimensionellt potentialode
Eftersom u ar kallfri sa kan vi nna en vektorpotential A som genererar u enligt u = r u. I
tva dimensioner kan vi ersatta denna vektorpotential (A = ^z) med en skalar funktion , en
stromfunktion, som har egenskapen att den ger uidhastigheten enligt
ux = @@y
(34)
och
uy = ; @@x :
(35)
I tre dimensioner fungerar inte omskrivningar med stromfunktioner.
For ett potentialode i tva dimensioner nns det en hastighetspotential och
@
ux = ; @
=
(36)
@x @y
och
@
uy = ; @
(37)
@y = ; @x :
Alltsa ar och relaterade till varandra via Cauchy-Riemanns ekvationer, och ; i ar en
analytisk funktion av z = x + iy. Det foljer da att bade och ar harmoniska funktioner som
uppfyller Laplaces ekvation. Det nns darfor ocksa kraftfulla metoder for att losa potentialoden
i tva dimensioner med analytiska funktioner.
4 Exempel pa tre-dimensionellt ode
Vi vill studera odet av en vatska kring en sfar med radien a. Vi antar da att langt fran sfaren
kan vi skriva hastigheten som u = u0^z, och av bekvamlighetsskal placerar vi sfaren i origo.
Om odet ar potentiellt sa uppfyller det ekvationen
r2 = 0:
(38)
Vara randvillkor har ar dels att vid sfarens yta kan odet inte penetrera sfaren, det vill saga dess
radiella komponent ar 0.
u ^r = ;r ^r = 0
(39)
vilket ger
@ = 0:
(40)
@r a
4
Vart andra randvillkor ar att hastigheten langt fran sfaren skall vara
1 @ ^:
^
r
;
(41)
u0^z = u0 cos ^r ; sin ^ = ; @
@r r @
Detta villkor kan formuleras som
! ;u0 r cos da r ! 1:
(42)
For att uppfylla dessa randvillkor ansatter vi en losning pa formen
(r ) = f (r) + g (r)cos :
(43)
Laplace-ekvationen kan vi skriva som
1
@
@
1
@
@
2
2
r = r2 @r r @r + r2 sin @ sin @ = 0
(44)
och med var losningsform insatt kan vi skriva
1 @ r2 (f + g cos ) ; g @ ;sin2 =
r2 @r
r2 sin @
2 (f (r) + g (r) cos ) + f (r) + g (r) cos ; 2g (r) cos = 0:
(45)
r
r2
For att denna ekvation skall vara uppfylld for alla maste det galla att
f (r) + r2 f (r)
= 0
(46)
g (r) + r2 g (r) ; r22 g (r) = 0
For att nna losningar till dessa ekvationer ansatter vi nu f (r) = Ar , vilket ger oss ekvationen
( ; 1) + 2 = 0
(47)
som har losningarna = 0 och = ;1, sa att vi kan skriva
(48)
f (r) = A + Br :
Pa samma satt far vi for g(r)
g (r) = Cr + rD2 :
(49)
Potentialen kan da skrivas som
(r ) = A + Br + Cr + rD2 cos :
(50)
0
0
0
0
00
00
00
00
0
0
Vi kan genast satta A = 0, eftersom A anda inte bidrar till hastigheten u. Vi ser ocksa att
randvillkoret i oandligheten uppfylls om vi satter C = ;u0 . Vi beraknar nu r-komponenten av
hastigheten vid sfarens yta
B
2
D
@
(51)
ur = ; @r = r2 + u0 + r3 cos = 0:
For att denna ekvation skall vara uppfylld vid r = a maste B = 0 och
u0 + 2aD3 = 0
(52)
som har losningen
3
D = ; u02a :
(53)
Potentialen blir nu
3 a
= ;u0 r + 2r2 cos (54)
och hastigheten blir
1 @ ^ = u 1 ; a3 cos ^r ; u 1 + a3 sin ^:
u^ = ; @
^
r
;
(55)
0
0
@r r @
r3
2r3
5
