Matemaattiset apuneuvot I, hösten 2008
Hemövning 3
Returneras senast 19.9. kl: 16.00 till MAPU lådan för de svenskspråkiga övningarna.
Skriv assistentens namn på papret!
Behandlas Ons. 24.9.
w har representationen w = 4i + 6j − 12k i den rätvinkliga standardbasen.
0
0
0
w:s representation i basen {e1 , e2 , e3 }, som kopplar till standardbasen enligt
1. En vektor
Bestäm
följande.
0
e1 = i + j + k
0
e2 = 2i − j
0
e3 = i − k
Är basen
0
{ei }
ortonormal?
2. Föreläsarens laserpenna riktar en laserstråle längs vektorn
vägg i
xy -planet
v = −6i + 3j + 4k
mot en
(se guren 1 på baksidan). Pä väggen nns en apparat som delar
laserstrålen i två strålar riktade längs med väggen, som är vinkelräta i förhållande till
den ursprungliga strålen riktad längs
v.
Bestäm enhetsvektorerna för de två delade
strålarna.
a:s längd är 4 och att vektorn b:s längd är 2. Ytterligare vet vi
a − b är vinkelräta mot varandra. Bestäm m.h.a. denna information
vektorerna a − 3b och a + b.
3. Vi vet att vektorn
att
a + 3b
längden på
och
4. Mot punkten
P
på ett objekt, riktas en kraft
F = (2i − 3j − 6k) N
a) Dela upp kraften i en vektor riktad längs vektorn
nent vinkelrät mot
F:s moment
M = r × F.
c) Beräkna kraften
5.
r = (2i − j) m
och en kompo-
r.
b) Beräkna vinkeln mellan vektorerna
produkten
(see. g. 2).
F
och
r.
i förhållande till punkten
0,
d.v.s. beräkna kryss-
a) Beräkna arean av parallellogrammet som späns upp av vektorerna
2j + 3k
och
b = −i + j − 4k.
a = i−
Hitta enhetsvektorerna som är vinkelräta mot
parallellogrammets yta.
b) Vi inför en ny vektor
b
bonus
och
c
c = 5j + 2k
i systemet. Tillsammans bildar vektorerna
a,
en parallellpiped. Beräkna volymen för denna.
En 4-dimensionel hyperkub har 16 hörn
P1 = (0, 0, 0, 0)
P5 = (0, 1, 0, 0)
P9 = (1, 0, 0, 0)
P13 = (1, 1, 0, 0)
P2 = (0, 0, 0, 1)
P6 = (0, 1, 0, 1)
P10 = (1, 0, 0, 1)
P14 = (1, 1, 0, 1)
P3 = (0, 0, 1, 0)
P7 = (0, 1, 1, 0)
P11 = (1, 0, 1, 0)
P15 = (1, 1, 1, 0)
P4 = (0, 0, 1, 1)
P8 = (0, 1, 1, 1)
P12 = (1, 0, 1, 1)
P16 = (1, 1, 1, 1)
Hur många hyperytor (begränsande sidor) har den? (Tips: Med en yta menas
här den yta som begränsar objektet från den runtomliggande rymden. En vanlig
3-dimensionel kub t.ex., har 6 ytor, vilka alla är 2-dimensionella (kvadrater). Hurudanna är månne då de ytor som begränsar ett 4-dimensionelt hyperobjekt?).
VÄND!
⇒
Hur många diagonaler har en 4-dimensionel hyperkub och vad är längden på en
diagonal i den? (Tips: En diagonal är en sådan linje som går mellan kubens hörn via
kubens mittpunkt
( 21 , 12 , 21 , 21 ).)
Vi betraktar de tre diagonalerna
−−−→
−−−→
a = P1 P16 , b = P8 P9
och
−−−→
c = P4 P13 .
Vi denie-
rar den 4-dimensionella rymdens vinklar m.h.a den 4-dimensionella skaläprodukten.
Beräkna vinklarna mellan diagonalerna
^(a, b), ^(a, c)
och
^(b, c).
optinen laite
z
y
v
Kuva 1: En laserstråle delar sig i en optisk apparat till två strålar (uppg. 2).
F
P
r
O
Kuva 2: Kraftens uppdelning i komponenter och kraftens moment (uppg. 4).
